1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tai lieu chuyen de he toa do trong khong gian

186 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 186
Dung lượng 3,64 MB

Nội dung

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc   Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0)   Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0)   Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1)  Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ      Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z )   = a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a (=    a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )     a kb (k ∈ R)  a phương b ⇔=   ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = kb1 a a a  ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3  a3 = kb3 a1 = b1    b b2  a =⇔ a2 = a = b  3    a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3   a=     a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =  2 2 2  a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22    cos(a= , b)   a.b  = a b a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:  ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )  AB =  AB =  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:  x + x y + yB z A + z B ; M A B; A 2     ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC G A B C ; A ; 3     QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu vào Ox  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ;0;0) ( Giữ nguyên x ) Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu vào Oxy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x , y ) Chiếu vào Oy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ) Chiếu vào Oyz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ) Chiếu vào Oz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ) Chiếu vào Oxz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyeân x , z ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Oxy Đối xứng qua Ox  M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM )  M1 ( xM ; yM ;zM )  M ( xM ; yM ; zM )  ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z ) Đối xứng qua Oy  M ( xM ; yM ; zM )   M2 (xM ; yM ;zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) Đối xứng qua Oz  M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y ) Đối xứng qua Oxz  M ( xM ; yM ; zM )   M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y ) Đối xứng qua Oyz  M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ) Tích có hướng hai vectơ:      Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là:  a2 a3 a3 a1 a1 a2     a , b  = ; ; ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )  = b b b b b b 3 1               [a, b] = a b sin ( a , b )  Tính chất: [ a, b] ⊥ a [ a, b] ⊥ b       Điều kiện phương hai vectơ a & b a , b  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ c         a, b  = với = (0;0;0) [a, b].c =    Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   =  AB, AD      Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD ] AA '  Diện tích tam giác ABC: S ∆ABC =    AB, AC   Thể tích tứ diện: VABCD =     AB, AC  AD  6 Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ   Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: = ,b a (2; −5;3)=     Tìm tọa độ vectơ d =a − 4b − 2c Câu ( 0;2; −1) ,  c = (1;7;2 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2;4 ) , B ( 2; −1;0 ) , D ( −2;3; −1) a/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành b/ Tìm tọa độ tâm I hình bình hành ABCD Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) , C ( 4;6;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cách điểm A, B, C ? Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K ( 2;4;6 ) , gọi K ' hình chiếu vng góc K trục Oz Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng OK ' ? Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( −2;0; −3) , B ( −4;1; −1) , C ( −4; −4;1) Gọi D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm D Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D '     1/ Chứng minh: AC ' + CA ' + 2C ' C = 2/ Cho A (1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , C ' ( 4;5; −5 ) , D (1; −1;1) Tính tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp Câu Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) điểm C nằm mặt phẳng ( Oxy ) có tung độ nhỏ 1/ Tìm tọa độ điểm C 2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD tứ diện DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Câu  Trong không gian m cho tam giác ABC có A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 ) Tính cos BAC Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1;2;3) , B đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O Tính diện tích tam giác ABC ? Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3;6;4 ) Gọi M điểm cạnh BC cho MC = MB Tính độ dài đoạn thẳng AM       Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a, b thỏa mãn a= ; b 1200= ; a 2;= b ( ) a)   Tính a − 2b b)     Tính góc hai vecto a = x 3a + 2b Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu Trong không gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a, b > ) Gọi M trung điểm cạnh CC ' Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = I R A {M / IM = R} B II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng : Phương trình tắc Dạng : Phương trình tổng qt Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > (S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) 2 (2) (S) : x + y + z − ax − 2by − 2cz + d = ⇒ Điều kiện để phương trình (2) phương trình = R2 mặt cầu: a2 + b2 + c − d > • (S) có tâm I ( a; b; c ) • (S) có bán kính: R= a2 + b2 + c − d III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) ⇒ d = IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) Khi : + Nếu d > R : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung + Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó: ( P ) + Nếu d < R : Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán kính mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm R2 − IH = r M1 R P H I I M2 R P H I d R r I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu I lên ∆ Khi : + IH > R : ∆ không cắt mặt cầu + IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu ∆ tiếp tuyến (S) H tiếp điểm ∆ + IH < R : ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ∆ H H I R R R I I Δ H B A * Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d ( I ; ∆ ) =IH + Lúc đó: R=  AB  IH +     2 IH + AH = V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG mặt cầu (S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) 2 = R2 tâm I ( a ; b; c ) bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = o Nếu d ( I , ( P ) ) > R mp ( P ) mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung o Nếu d ( I , ( P ) ) = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm ( ) o Nếu d I , ( P ) < R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình : ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2   Ax + By + Cz + D = Trong bán kính đường tròn= r R − d( I ,( P ))2 tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN I TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kiến thức vận dụng R2 phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán  Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = 2 kính R  Phương trình x + y + z – ax – 2by – 2cz + d = thỏa điều kiện a + b2 + c – d > , phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R= a2 + b2 + c − d Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu a) ( x − ) + ( y + ) + z = 2 b) x + y + z − x + y − z + = c) x + y + z − x + y + 21 = Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu a) x + y + z − mx + ( m + 1) y − z + = b) x + y + z − ( m − ) x − mz + = Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m để phương phương trình x + y + z + ( m + ) x – ( m − ) z + m − = phương trình mặt cầu có 2 2 bán kính nhỏ II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp Thuật tốn 1: Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) Bước 2: Xác định bán kính R (S) ( ) ( ) ( Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R là: x − a + y − b + z − c ) = R2 Thuật tốn 2: 2 Gọi phương trình (S) : x + y + z − ax − 2by − 2cz + d = Phương trình (S) hoàn toàn xác định biết a , b , c , d ( a + b2 + c − d > ) Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Có đường kính AB với A ( 4; − 3; ) , B ( 2; 1; ) b) Có tâm C ( 3; −3;1) qua điểm A ( 5; −2;1) Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN c) Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) qua điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − ) , C ( −1; 0; ) d) Có tâm A ( 2; 4; − ) tiếp xúc với trục Oz Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 1; ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A , B, C có tâm nằm mp ( Oxz ) Câu 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2; ) , D ( 1; 0; ) b) (S) qua A ( 0; 8; ) , B ( 4; 6; ) , C ( 0;12; ) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) x = t  Câu 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y = −1 (S) tiếp xúc với hai  z = −t  mặt phẳng (α ) : x + y + z + = 0 ( β ) : x + y + z + = Câu 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A ( 2; 6; ) , B ( 4; 0; ) có tâm thuộc d: x −1 = −1 y = z+5 Câu 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 3; −1) cắt đường thẳng ∆ : x + =y − =z hai điểm A, B với AB = 16 Câu 7: Cho hai mặt phẳng ∆: y+ z−6 ( P ) : 5x − 4= −4 0, ( Q ) : x −= y + z + đường thẳng x −1 y z −1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) −2 ∆ cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20π  x = −t  Câu 8: Cho mặt phẳng ( P) : x − y − z − = = 2t − đường thẳng d :  y  z = t + Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính −1 y +1 z −1 Câu 9: Cho điểm I ( 1; 0; ) đường thẳng d : x= Viết phương trình mặt cầu (S) tâm = I cắt d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I 2 2 điểm A ( 4; 4; ) Viết phương trình mặt Câu 10: Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): = r ( ) R2 − d I ; ( P )    Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 cắt mặt phẳng (P): x − = Câu 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S) : x + y + z − x − = theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C) II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) =R + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) ⇔ ( ) d I ; (α ) = R * Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao 2 Tìm Câu 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x = y − = z − và mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = số điểm chung ( ∆ ) ( S ) ? −1 Câu 2: Cho điểm I ( 1; −2; ) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy +1 y −2 z + Viết phương trình Câu 3: Cho điểm I ( 1; −2; ) đường thẳng d có phương trình x= = mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d −1 Câu 4: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; 3; −1) cắt đường thẳng d : x − 11= y= z + 25 2 điểm A, B cho AB = 16 −2 +5 y−7 z Câu 5: Cho đường thẳng d : x= điểm I (4; 1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm = −2 I, hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu ( S ) −1 y −1 z + Câu 6: Cho điểm I ( 1; 0; ) đường thẳng d : x= Viết phương trình mặt cầu ( S ) có = tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc   Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0)   Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0)   Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1)  Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ      Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z )   = a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a (=    a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )     a kb (k ∈ R)  a phương b ⇔=   ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = kb1 a a a  ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3  a3 = kb3 a1 = b1    b b2  a =⇔ a2 = a = b  3    a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3   a=     a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =  2 2 2  a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22    cos(a= , b)   a.b  = a b a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:  ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )  AB =  AB =  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:  x + x y + yB z A + z B ; M A B; A 2     ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC G A B C ; A ; 3     QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn C x + y + z − x − y − z − = ⇔ ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 16 2 M ( a; b; c ) ∈ ( S ) ⇔ ( a − 1) + ( b − ) + ( c − ) = 16 2 Ta có: ( a − 1) + ( b − ) + ( c − ) ≤ (2 2 + 32 + 62 ) ( a − 1) + ( b − ) + ( c − )    ⇔ 2a + 3b + 6c − 20 ≤ 28 ⇒ 2a + 3b + 6c − 20 ≤ 28 ⇒ 2a + 3b + 6c ≤ 48 15   a = 2a + 3b + 6c = 48 48  2a + 3b + 6c =  26  a −1 b −   = ⇔  3a − 2b = −1 ⇔ b = Dấu " = " xảy khi:    3a − c =   38  a −1 c −  = = c    Vậy P = 2a − b + c = Câu 20: 15 26 38 − + = 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A ( 2t ; 2t ;0 ) , B ( 0;0; t ) Điểm P di động thỏa       a a mãn OP AP + OP.BP + AP.BP = tối Biết có giá trị t = với a, b nguyên dương b b giản cho OP đạt giá trị lớn Khi giá trị Q = 2a + b A C 11 B 13 D Lời giải Chọn C    Gọi P ( x; y; z ) , ta có: OP = ( x; y; z ) , AP = ( x − 2t; y − 2t; z= ) , BP       Vì P ( x; y; z ) thỏa mãn OP AP + OP.BP + AP.BP = ( x; y; z − t ) 4 ⇔ x + y + z − 4tx − 4ty − 2tz − = ⇔ x + y + z − tx − ty − tz − = 3  2t 2t t  Nên P thuộc mặt cầu tâm I  ; ;  ,= R  3 3 t2 +1 Ta có OI = t < R nên O thuộc phần khơng gian phía mặt cầu Để OPmax P, I , O thẳng hàng OP = OI + R Suy OPmax =OI + R ⇔ =t + t + Từ tìm t = Suy ra= a 4,= b 3 Vậy, Q = 2a + b = 11 Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4;1;5 ) , B ( 3;0;1) , C ( −1; 2;0 )       điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn MA.MB + MB.MC − 5MC.MA lớn Tính P =a − 2b + 4c A P = 23 B P = 31 C P = 11 Lời giải D P = 13 Chọn D Page 50 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN       + Đặt Q =MA.MB + MB.MC − 5MC.MA     ( MA − MB ) ( MB − MC ) ( )     = MB + MC − MB.MC ⇒ MB.MC = MB + MC − BC     = MC + MA2 − MC.MA ⇒ MC.MA = MC + MA2 − AC       Q MA.MB + 2MB.MC − 5MC.MA ⇒ = ( =   MC − MA     = MA2 + MB − MA.MB ⇒ MA.MB = MA2 + MB − AB ) ( ) MA2 + MB − AB + MB + MC − BC − MC + MA2 − AC 2 ( ) ( ) 3 = −2 MA2 + MB − MC − AB − BC + AC 2 2 3 − AB − BC + AC không đổi nên Q lớn T = −2 MA2 + MB − MC đạt giá trị 2 2 lớn 3 −2 MA2 + MB − MC +T= 2     Gọi E điểm thỏa mãn −2 EA + EB − EC = 2         ⇔ −4 EA + 3EB − 3EC = ⇔ EA = 3CB ⇔ EA = CB  17  ⇒ E 1; ;   4       3 T= −2 MA2 + MB − MC = −2 ME + EA + ME + EB − ME + EC 2 2 ( = −2 ME − EA2 + Vì −2 EA2 + ) ( ) ( ) 3 3 EB − EC ≤ −2 EA2 + EB − EC 2 2 3 EB − EC không đổi nên T đạt giá trị lớn ME =0 ⇒ M ≡ E 2  17  ⇒ M 1; ;   4 17 P =a − 2b + 4c =− + =13 Page 51 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −2; ) , B ( −3;3; −1) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 3) 2 Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị nhỏ = MA2 + 3MB B 108 A 103 C 105 Lời giải Chọn C D 100 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;3;3) bán kính R =    Gọi E điểm thỏa mãn: EA + 3EB = Suy E ( −1;1;1)     Xét P = MA2 + 3MB = ME + EA + ME + EB ( ) ( ) = 5ME + EA2 + 3EB P đạt giá trị nhỏ ME đạt giá trị nhỏ = IE > R suy điểm E nằm mặt cầu nên ME nhỏ IE − R= − 3= Vậy P = MA2 + 3MB = 5ME + EA2 + 3EB = 105 Câu 23: = hai điểm   A ( 0; 2;0 ) , B ( 2; −6; −2 ) Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( S ) thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Tổng a + b + c A −1 B Chọn B ( S ): x2 + y + z + x − y − z + ( S ): x2 + y + z + 2x − y − 2z + C Lời giải 2 = ⇔ ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , bán kính R = Vì = IA IB > R và= D 82 > R nên hai điểm A , B nằm mặt cầu ( S ) Gọi K trung điểm đoạn thẳng AB K (1; −2; −1) K nằm mặt cầu ( S )       Ta có: MA.MB = MK + KA MK + KB ( )( ) Page 52 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN      KB MK − KA2 = MK + MK KA + KB + KA=   Suy MA.MB nhỏ MK nhỏ nhất, tức MK nhỏ Đánh giá: IM + MK ≥ IK ⇒ R + MK ≥ IK ⇒ MK ≥ IK − R Suy MK nhỏ IK − R , xảy I , M , K thẳng hàng M nằm hai điểm ( ) I , K Như M giao điểm đoạn thẳng IK mặt cầu ( S )  2 Có IK = ( 2; −4; −2 ) , IK= 22 + ( −4 ) + ( −2 ) = 6= R= IM  = 2 ( a + 1) a = −     Suy IK = IM ⇔ −4= ( b − ) ⇔ b =   −2= ( c − 1) c =  Vậy a + b + c = Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( −1;1;0 ) , C ( 0; −1;0 ) , D ( 0;1;0 ) , Giá trị lớn biểu E ( 0;3;0 ) M điểm thay đổi mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + z =      thức P= MA + MB + MC + MD + ME là: A 12 B 12 C 24 Lời giải D 24 Chọn B Mặt cầu ( S ) : tâm I ( 0;1;0 ) bán kính R = Gọi trọng tâm tam giác ABC G ( 0;0;0 ) , trung điểm DE N ( 0; 2;0 ) G, N nằm ( S ) I trung điểm GN nên GN đường kính ( S )        P = MA + MB + MC + MD + ME = 3MG + MN = MG + MN = ( MG + MN ) Ta có: ( MG + MN ) ≤ ( MG + MN ) = 2GN = Suy MG + MN ≤ 2 Vậy giá trị lớn P 12 Page 53 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Câu 25: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0; − 1;3) , B ( −2; − 8; − ) , C ( 2; − 1;1) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 Gọi M ( xM ; yM ; zM ) điểm    P xM + yM ( S ) cho biểu thức 3MA − 2MB + MC đạt giá trị nhỏ Tính = A P = 2 C P = 14 Lời giải B P = D P = 14 Chọn B          Gọi J điểm thỏa mãn JA − JB + JC = ⇔ JO + 3OA − 2OB + OC =     ⇔ 2OJ = 3OA − 2OB + OC ⇒ J (3;6;9)            Mà 3MA − MB + MC = MJ + JA − JB + JC nên 3MA − MB + MC = MJ (    Do 3MA − MB + MC )  ⇔ 2MJ Mặt khác: ( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R = 14 = IJ 14 > R ⇒ điểm J nằm mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm M , M  x = + 2t  4t , t ∈  Phương trình đường thẳng ( IJ ) :  y =+  z= + 6t   x = + 2t   y= + 4t t1 =   Xét hệ phương trình:  ⇔ z= + 6t t = −  2  ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14  = Suy M ( 2; 4;6 ) , M ( 0;0;0 ) , M1J    Vậy 3MA − MB + MC  ⇔ 2MJ = 14 ; M J 14 ⇔ M ≡ M1 P = xM + yM = + = Câu 26: Trong không gian Oxyz cho A ( ; ; ) , B (1 ; 1; ) mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = Xét điểm M thay đổi thuộc ( S ) Giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB A B 19 Lời giải C D 21 Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I ( ; ; 1) , bán kính R = Page 54 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN    2 2 ⇒ K  ; ;  Gọi K điểm thỏa mãn KA + KB = 3 3 Ta có     MA2 + 2MB = MK + KA + MK + KB    = 3MK + KA2 + KB + 2MK KA + KB = 3MK + KA2 + KB ( ) ( ( ) ) Biểu thức MA2 + MB đạt GTNN MK đạt giá trị nhỏ 1 Với M thay đổi thuộc ( S ) ta có MK = KI − R =1 − = 2 Vậy ( MA2 + MB ) = 3MK + KA2 + KB = 19 + + = 3 25 Câu 27: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A, B thay đổi mặt cầu x + y + ( z − 1) = thỏa mãn AB = Giá trị lớn biểu thức OA2 − OB C 10 A 12 B Lời giải D 24 Chọn A Mặt cầu x + y + ( z − 1) = 25 có tâm I ( 0;0;1) Vì A , B thuộc mặt cầu tâm I nên IA = IB   OA2 − OB = OA − OB     ( ) ( ) = (OI + IA) − (OI + IB ) 2        = 2OI IA − IB = 2OI BA = 2OI BA.cos ϕ , với ϕ = OI , BA ( ( ) ) Suy biểu thức OA2 − OB đạt GTLN ϕ = ) ( = 2.1.6.cos = 12 Vậy max OA2 − OB Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 4;5 ) , B ( 3; 4;0 ) , C ( 2; −1;0 ) Gọi M ( a ; b ; c ) điểm cho MA2 + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ Tổng a + b + c có giá trị A B C D −4 Lời giải Chọn C         Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB + 3IC =0 ⇔ OI = OA + OB + OC =( 2;1;1) ⇔ I ( 2;1;1) 5            2 Khi đó, T = MA2 + MB + 3MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC     = 5MI + MI IA + IB + 3IC + IA2 + IB + 3IC ( ( ) ( ) ( ) ) = 5MI + IA2 + IB + 3IC Vì I , A , B , C cố định ⇒ IA2 + IB + 3IC không đổi nên T nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M ≡ I ( 2;1;1) ⇒ a = , b= c= Page 55 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Vậy a + b + c = Câu 29: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) 2 + z2 = điểm A ( 3;0;0 ) ; B ( 4; 2;1) Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA + MB = A P = 2 B P = C P = Lời giải D P = Chọn D Nhận xét: điểm A, B nằm mặt cầu ( S ) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4;0 ) , R = 2 Ta có: IA =4 =2 R, E =IA ∩ ( S ) ⇒ E (1; 2;0 ) Gọi F trung điểm IE ⇒ F ( 0;3;0 ) IF IM Tam giác IFM IMA có  AIM chung = = ⇒ ∆AIM  ∆MIF IM IA Suy MA AI MA = MF = =⇒ FM MI Ta có: MA + MB = ( MF + MB ) ≥ FB = = BF ∩ ( S ) Vì F nằm ( S ) B nằm ( S ) nên dấu '' = '' xảy M điểm A ( 0;1;1) , Câu 30: Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z − = B ( −1; −2; −3) , C (1;0; −3) Điểm D thuộc mặt cầu ( S ) Thể tích tứ diện ABCD lớn bằng: A B C D 16 Page 56 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn D Cách 1:Ta có ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) =   AB = ( −1; −3; −4 )   Ta có:   ⇒  AB, AC  = (8; −8;4 )  AC = (1; −1; −4 ) 2 ( x − 1)2 + y + ( z + 1)2 = Gọi D ( x; y; z ) ∈ ( S ) ⇒   = − − AD x ; y 1; z ( )  Ta có: VABCD =     AB, AC  AD= 8x − y + z + = 2x − y + z +1   6 ( x − 1) − y + ( z + 1) + Ta có: x − y + z += Ta có: ( x − 1) − y + z + ≤ (2 2 + 22 + 12 ) ( x − 1) + y + ( z + 1)  =   ⇒ −6 ≤ ( x − 1) − y + z + ≤ ⇔ −4 ≤ x − y + z + ≤ ⇒ x − y + z + ≤ ⇒ VABCD ≤ 16 Suy ra: Giá trị lớn VABCD Câu 31:  x −1 y z +1 >0 16  = −= 7 1 ⇔ ⇒ D ;− ;−   3 3 ( x − 1)2 + y + ( z + 1)2 =  điểm Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + z = 2 A ( ; ;0 ) , B ( ; ;1) Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức = P MA + MB A P = 2 B P = C P = Lời giải D P = Chọn D Giả sử M ( x ; y ; z )  Ta có: AM= ( x − ; y ; z) ,  BM = ( x − ; y− ; z − ) 2 2 ⇔  ( x + 1) + ( y − ) + z −  = Và ( x + 1) + ( y − ) + z =   Page 57 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( x − 3) Ta có:= P MA + MB = = = ( x − 3) 2 + y2 + z2 + ( x − 4) + y + z + ( x + 1) + ( y − ) + z − 8 +   2 2 =  x + ( y − 3) + z +  ( x − 4) 2 + ( y − ) + ( z − 1)   =  x + ( y − 3) + z +  (4 − x) 2 + ( − y ) + (1 − z )   + ( y − ) + ( z − 1) 2 ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) x + y − 24 y + z + 36 + 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki: a + b2 + c + d + e2 + f ≥ a d Dấu xảy khi: = ⇒P≥2 ( x + − x) (a + d ) + (b + e) + (c + f ) 2 b a = >0 e f + ( y − + − y ) + ( z + − z= ) ) + ( −1) + (1= 2 2 4t  x = t +1   y = 2t + x y z −  t = = = >  t +1  ⇔ Dấu xảy khi:  − x − y − z t z = ( x + 1)2 + ( y − )2 + z =  t +1  2  5t +   −2t −   t    +  +  =  t +   t +   t +   + 133 x = 4t  23 + 133  x = t +1   34 + 133 y =  y = 2t +   23 + 133 ⇔ t +1 ⇔ + 133   t z =  z = 23 + 133 t +1   22t − 2t − =  + 133 t =  22 Vậy giá trị nhỏ biểu thức Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 4; 2; ) , B (1;1; − 1) , C ( 2; − 2; − ) Tìm    tọa độ điểm M thuộc ( Oxy ) cho MA + MB − MC nhỏ A M ( 2; 3;0 ) B M (1; 3;0 ) C M ( 2; −3; ) D M ( 2;3;1) Page 58 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn A Cách Gọi D; E; F trung điểm AB; AC ; ME Ta có:             MA + MB − MC= MA + MB + MB − MC= 2.MD + CB= 2.MD + 2.ED= 2.FD= 4.FD 5 1  x+3 y  ; ;0  Ta lại có: M ( x; y;0 ) ; D  ; ;  ; E ( 3;0;0 ) ; F  2 2  2  FDmin ⇔ F hình chiếu D mp ( Oxy ) ⇔ x = 2; y = ⇔ M ( 2;3;0 ) Cách            Gọi I điểm thỏa mãn: IA + IB − IC =0 ⇔ IO + OA + IO + OB − IO + OC =0 ( ) ( )     ⇔ OI= OA + 2OB − 0C ⇒ I ( 2;3;1) ( )        MA + MB − MC= MI + IA + IB − IC= 2.MI    MA + MB − MC nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I mp ( Oxy ) Vì I ( 2;3;1) ⇒ M ( 2;3;0 ) Cách Gọi M ( x; y;0 ) Ta có:       MA + 2MB − MC = ( − x;6 − y; −1) ⇒ MA + 2MB − MC =4 x + y − 16 x − 24 y + 53    Thế tọa độ điểm M đáp án A vào ta MA + MB − MC =    Thế tọa độ điểm M đáp án B vào ta MA + MB − MC = 17    Thế tọa độ điểm M đáp án C vào ta MA + MB − MC = 145 Page 59 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Điểm M đáp án D không thuộc ( Oxy ) nên bị loại Cách Gọi M ( x; y;0 ) Ta có:       MA + 2MB − MC = ( − x;6 − y; −1) ⇒ MA + 2MB − MC =4 x + y − 16 x − 24 y + 53 Ta có: x + y − 16 x − 24 y + 53 = ( 2x − 4) + ( y − 6) 2 +1 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x= 2; y= Khi M ( 2;3;0 ) Câu 33: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình x + y + z − x + y − z − = điểm A ( 5;3; −2 ) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức= S AM + AN B S = 20 A S = 30 34 − C S= S 34 − D = Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = AI= 34 > R ⇒ A nằm mặt cầu ( S ) M H N A I Do hai điểm M , N nằm vị trí hai đầu dây cung nên để Smin N nằm A M MN Gọi H trung điểm MN ⇒ IH ⊥ MN , NH = S = ( AH − NH ) + AH + NH = AH − NH S= AI − IH − R − IH 2= 34 − x − − x , x= IH Xét hàm số f ( x= ) 34 − x − − x , ( ≤ x < 3) f ′( x ) = −5 x 34 − x +  −5  = x +  32 − x 32 − x   34 − x 3x Page 60 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   > ⇔ − x < 34 − x  − x2   34 − x ⇔ 225 − 25 x < 9.34 − x ⇔ 16 x + 81 > −5 Xét  + Suy ; f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ 0; 3) , f ′ ( x ) = ⇔ x = ⇒ f ( x ) đồng biến 0; 3) ( ) x Suy f= 0;3) f= ( ) 34 − 10 hai điểm A (1; 2; −4 ) Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 B (1; 2;14 ) Điểm M thay đổi mặt cầu ( S ) Giá trị nhỏ ( MA + MB ) A 82 C 79 B 79 D 82 Lời giải Chọn D ( S ) có tâm I (1;0; ) bán kính R = 10 IA 2= 10 R nên tồn điểm C cố định cho MA = MC ∀M ∈ ( S ) (1) Ta có= Thật vậy, gọi ( a ; b ; c ) tọa độ điểm C Khi đó, với điểm M ( x ; y ; z ) ∈ ( S ) ⇒ x + y + z = x + z + , ta có: MA2 = ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = x + y + z − x − y + z + 21 2 =2 x + z + − x − y + z + 21 =−4 y + 12 z + 26 MC = ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c 2 2 = x + z + − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c = ( − 2a ) x − 2by + ( − 2c ) z + a + b + c + MC ∀M ∈ ( S ) Nên (1) ⇔ MA2 = ⇔ −4 y + 12 z += 26 ( − 2a ) x − 2by + ( − 2c ) z + a + b + c + 5 ∀x, y, z  ( − 2a ) =   b = −4 4 ( −2b ) =   1 ⇔ ⇔ a =1 ⇔ C 1; ;  12  2  ( − 2c ) =  4 a + b + c + =  ) 26 c =  ( Lúc này, IC= 10 < R < IB= 37 nên C nằm ( S ) B nằm ( S ) MA + MB = MC + MB = ( MC + MB ) ≥ BC = 82 Đẳng thức xảy ⇔ M giao điểm đoạn BC mặt cầu ( S ) Vậy ( MA + MB ) = 82 Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu ( S2 ) : x + ( y − ) 1, ( S1 ) : x + y + z = 1  + z2 = điểm A ( 4;0;0 ) , B  ;0;0  , C (1; 4;0 ) , D ( 4; 4;0 ) Gọi M 4  Page 61 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN điểm thay đổi ( S1 ) , N điểm thay đổi ( S ) Giá trị nhỏ biểu thức Q =MA + ND + MN + BC A 265 B 265 C 265 Lời giải D 265 Chọn A nên ( S1 ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính ( S1 ) : x + y + z = ( S2 ) : x + ( y − ) R1 = nên ( S ) có tâm I ( 0;4;0 ) bán kính R2 = + z2 = 1  Vậy điểm A ( 4;0;0 ) , B  ;0;0  , C (1; 4;0 ) , D ( 4;4;0 ) , O ( 0;0;0 ) I ( 0;4;0 ) thuộc 4  ( Oxy ) Nhận thấy OB.OA = OM suy OM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Do ∆MOB đồng dạng ∆AOM ⇒ MA OA = =⇒ MA = MB MB OM Hồn tịan tương tự ND DI ND = NC = =⇒ NC NI Q =MA + ND + 4MN + BC =4 ( MB + NC + MN ) + BC ≥ BC + BC =8BC =2 265 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;3; −1) , B ( 2;3; ) , C ( −1;0; ) Tìm tọa độ điểm      M thuộc mặt phẳng ( Oxz ) để S = MA − 4MC + MA + MB + MC nhỏ 7  A M  −1;0;  3  B M ( 0;3;0 ) 7  C M 1;0;  3    D M  − ;0;    Page 62 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn A Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy G (1; 2;1)    Gọi H ( x ; y ; z ) điểm thỏa mãn HA − HC = 2 − x = ( −1 − x )  x = −2   −1 ⇒ H ( −2; −1;3) ⇒ 3 − y= ( − y ) ⇔  y = z =  z 4(2 − z)  −1 − = Nhận thấy G H nằm hai phía mặt phẳng ( Oxz ) ; HG = 22      Ta có: S = MA − MC + MA + MB + MC             = MH + HA − MH − HC + MG + GA + MG + GB + MG + GC = −3MH + 3MG = ( MH + MG ) ≥ 3GH = 22 Đẳng thức xảy H , M , G thẳng hàng theo thứ tự Lại M ∈ ( Oxz ) nên S đạt giá trị nhỏ M giao điểm đường thẳng GH với mặt phẳng ( Oxz )  x = + 3t  Đường thẳng GH có phương trình  y= + 3t ; mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình y =  z = − 2t  M ∈ GH ⇒ M (1 + 3t ; + 3t ;1 − 2t ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ + 3t =0 ⇔ t =− 7  Vậy M  −1;0;  3  2 hai Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − =  điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) MN dây cung mặt cầu thỏa mãn MN hướng với  u = (0;1;1) MN = Tính giá trị lớn AM − BN A 41 B C Lời giải D 17 Chọn C Page 63 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tâm I (1; 2; 0) , bán kính R =   IA (3;0; 4) ⇒ = IA , = IB (0; 2; 2) ⇒ = IB 2 nên điểm A(4; 2; 4) nằm ngồi mặt Ta có = cầu ( S ) điểm B(1; 4; 2) nằm mặt cầu ( S )    = Do MN hướng với u = (0;1;1) suy MN  MN = ( 0; 4; ) ( 0; k ; k ) , k > MN = suy  ( A) , suy A′ = (4; 6;8) Khi AMNA′ hình bình hành nên AM = A′N Gọi A′ = TMN Ta có AM − BN = A′N − BN ≤ A′B , dấu xảy A′, N , B thẳng hàng ⇔ N giao điểm mặt cầu với đường thẳng A′B  A′B =(−3; −2; −6) suy A′B = (−3) + (−2) + (−6) = Vậy AM − BN = A′B = Page 64

Ngày đăng: 02/07/2023, 19:06

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w