Thông tin tài liệu
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0) Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0) Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1) Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z ) = a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a (= a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) a kb (k ∈ R) a phương b ⇔= ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = kb1 a a a ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 a3 = kb3 a1 = b1 b b2 a =⇔ a2 = a = b 3 a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a= a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 2 2 2 a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22 cos(a= , b) a.b = a b a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = AB = Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x + x y + yB z A + z B ; M A B; A 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC G A B C ; A ; 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu vào Ox Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) ( Giữ nguyên x ) Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu vào Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x , y ) Chiếu vào Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ) Chiếu vào Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ) Chiếu vào Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ) Chiếu vào Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyeân x , z ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Oxy Đối xứng qua Ox M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ;zM ) M1 ( xM ; yM ;zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z ) Đối xứng qua Oy M ( xM ; yM ; zM ) M2 (xM ; yM ;zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) Đối xứng qua Oz M ( xM ; yM ; zM ) M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y ) Đối xứng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y ) Đối xứng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ) Tích có hướng hai vectơ: Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a2 a3 a3 a1 a1 a2 a , b = ; ; ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) = b b b b b b 3 1 [a, b] = a b sin ( a , b ) Tính chất: [ a, b] ⊥ a [ a, b] ⊥ b Điều kiện phương hai vectơ a & b a , b Điều kiện đồng phẳng ba vectơ c a, b = với = (0;0;0) [a, b].c = Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD = AB, AD Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' Diện tích tam giác ABC: S ∆ABC = AB, AC Thể tích tứ diện: VABCD = AB, AC AD 6 Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: = ,b a (2; −5;3)= Tìm tọa độ vectơ d =a − 4b − 2c Câu ( 0;2; −1) , c = (1;7;2 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2;4 ) , B ( 2; −1;0 ) , D ( −2;3; −1) a/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành b/ Tìm tọa độ tâm I hình bình hành ABCD Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) , C ( 4;6;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cách điểm A, B, C ? Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K ( 2;4;6 ) , gọi K ' hình chiếu vng góc K trục Oz Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng OK ' ? Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( −2;0; −3) , B ( −4;1; −1) , C ( −4; −4;1) Gọi D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm D Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' 1/ Chứng minh: AC ' + CA ' + 2C ' C = 2/ Cho A (1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , C ' ( 4;5; −5 ) , D (1; −1;1) Tính tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp Câu Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) điểm C nằm mặt phẳng ( Oxy ) có tung độ nhỏ 1/ Tìm tọa độ điểm C 2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD tứ diện DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Câu Trong không gian m cho tam giác ABC có A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 ) Tính cos BAC Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1;2;3) , B đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O Tính diện tích tam giác ABC ? Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3;6;4 ) Gọi M điểm cạnh BC cho MC = MB Tính độ dài đoạn thẳng AM Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a, b thỏa mãn a= ; b 1200= ; a 2;= b ( ) a) Tính a − 2b b) Tính góc hai vecto a = x 3a + 2b Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu Trong không gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a, b > ) Gọi M trung điểm cạnh CC ' Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = I R A {M / IM = R} B II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng : Phương trình tắc Dạng : Phương trình tổng qt Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > (S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) 2 (2) (S) : x + y + z − ax − 2by − 2cz + d = ⇒ Điều kiện để phương trình (2) phương trình = R2 mặt cầu: a2 + b2 + c − d > • (S) có tâm I ( a; b; c ) • (S) có bán kính: R= a2 + b2 + c − d III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) ⇒ d = IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) Khi : + Nếu d > R : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung + Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó: ( P ) + Nếu d < R : Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán kính mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm R2 − IH = r M1 R P H I I M2 R P H I d R r I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu I lên ∆ Khi : + IH > R : ∆ không cắt mặt cầu + IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu ∆ tiếp tuyến (S) H tiếp điểm ∆ + IH < R : ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ∆ H H I R R R I I Δ H B A * Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d ( I ; ∆ ) =IH + Lúc đó: R= AB IH + 2 IH + AH = V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG mặt cầu (S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) 2 = R2 tâm I ( a ; b; c ) bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = o Nếu d ( I , ( P ) ) > R mp ( P ) mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung o Nếu d ( I , ( P ) ) = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm ( ) o Nếu d I , ( P ) < R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình : ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2 Ax + By + Cz + D = Trong bán kính đường tròn= r R − d( I ,( P ))2 tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN I TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kiến thức vận dụng R2 phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = 2 kính R Phương trình x + y + z – ax – 2by – 2cz + d = thỏa điều kiện a + b2 + c – d > , phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R= a2 + b2 + c − d Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu a) ( x − ) + ( y + ) + z = 2 b) x + y + z − x + y − z + = c) x + y + z − x + y + 21 = Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu a) x + y + z − mx + ( m + 1) y − z + = b) x + y + z − ( m − ) x − mz + = Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m để phương phương trình x + y + z + ( m + ) x – ( m − ) z + m − = phương trình mặt cầu có 2 2 bán kính nhỏ II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp Thuật tốn 1: Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) Bước 2: Xác định bán kính R (S) ( ) ( ) ( Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R là: x − a + y − b + z − c ) = R2 Thuật tốn 2: 2 Gọi phương trình (S) : x + y + z − ax − 2by − 2cz + d = Phương trình (S) hoàn toàn xác định biết a , b , c , d ( a + b2 + c − d > ) Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Có đường kính AB với A ( 4; − 3; ) , B ( 2; 1; ) b) Có tâm C ( 3; −3;1) qua điểm A ( 5; −2;1) Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN c) Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) qua điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − ) , C ( −1; 0; ) d) Có tâm A ( 2; 4; − ) tiếp xúc với trục Oz Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 1; ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A , B, C có tâm nằm mp ( Oxz ) Câu 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2; ) , D ( 1; 0; ) b) (S) qua A ( 0; 8; ) , B ( 4; 6; ) , C ( 0;12; ) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) x = t Câu 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ : y = −1 (S) tiếp xúc với hai z = −t mặt phẳng (α ) : x + y + z + = 0 ( β ) : x + y + z + = Câu 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A ( 2; 6; ) , B ( 4; 0; ) có tâm thuộc d: x −1 = −1 y = z+5 Câu 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 3; −1) cắt đường thẳng ∆ : x + =y − =z hai điểm A, B với AB = 16 Câu 7: Cho hai mặt phẳng ∆: y+ z−6 ( P ) : 5x − 4= −4 0, ( Q ) : x −= y + z + đường thẳng x −1 y z −1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) −2 ∆ cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20π x = −t Câu 8: Cho mặt phẳng ( P) : x − y − z − = = 2t − đường thẳng d : y z = t + Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính −1 y +1 z −1 Câu 9: Cho điểm I ( 1; 0; ) đường thẳng d : x= Viết phương trình mặt cầu (S) tâm = I cắt d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I 2 2 điểm A ( 4; 4; ) Viết phương trình mặt Câu 10: Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): = r ( ) R2 − d I ; ( P ) Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 cắt mặt phẳng (P): x − = Câu 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S) : x + y + z − x − = theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C) II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) =R + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) ⇔ ( ) d I ; (α ) = R * Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao 2 Tìm Câu 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x = y − = z − và mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = số điểm chung ( ∆ ) ( S ) ? −1 Câu 2: Cho điểm I ( 1; −2; ) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy +1 y −2 z + Viết phương trình Câu 3: Cho điểm I ( 1; −2; ) đường thẳng d có phương trình x= = mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d −1 Câu 4: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; 3; −1) cắt đường thẳng d : x − 11= y= z + 25 2 điểm A, B cho AB = 16 −2 +5 y−7 z Câu 5: Cho đường thẳng d : x= điểm I (4; 1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm = −2 I, hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu ( S ) −1 y −1 z + Câu 6: Cho điểm I ( 1; 0; ) đường thẳng d : x= Viết phương trình mặt cầu ( S ) có = tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0) Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0) Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1) Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z ) = a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a (= a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) a kb (k ∈ R) a phương b ⇔= ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = kb1 a a a ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 a3 = kb3 a1 = b1 b b2 a =⇔ a2 = a = b 3 a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a= a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 2 2 2 a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22 cos(a= , b) a.b = a b a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = AB = Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x + x y + yB z A + z B ; M A B; A 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC G A B C ; A ; 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn C x + y + z − x − y − z − = ⇔ ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 16 2 M ( a; b; c ) ∈ ( S ) ⇔ ( a − 1) + ( b − ) + ( c − ) = 16 2 Ta có: ( a − 1) + ( b − ) + ( c − ) ≤ (2 2 + 32 + 62 ) ( a − 1) + ( b − ) + ( c − ) ⇔ 2a + 3b + 6c − 20 ≤ 28 ⇒ 2a + 3b + 6c − 20 ≤ 28 ⇒ 2a + 3b + 6c ≤ 48 15 a = 2a + 3b + 6c = 48 48 2a + 3b + 6c = 26 a −1 b − = ⇔ 3a − 2b = −1 ⇔ b = Dấu " = " xảy khi: 3a − c = 38 a −1 c − = = c Vậy P = 2a − b + c = Câu 20: 15 26 38 − + = 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A ( 2t ; 2t ;0 ) , B ( 0;0; t ) Điểm P di động thỏa a a mãn OP AP + OP.BP + AP.BP = tối Biết có giá trị t = với a, b nguyên dương b b giản cho OP đạt giá trị lớn Khi giá trị Q = 2a + b A C 11 B 13 D Lời giải Chọn C Gọi P ( x; y; z ) , ta có: OP = ( x; y; z ) , AP = ( x − 2t; y − 2t; z= ) , BP Vì P ( x; y; z ) thỏa mãn OP AP + OP.BP + AP.BP = ( x; y; z − t ) 4 ⇔ x + y + z − 4tx − 4ty − 2tz − = ⇔ x + y + z − tx − ty − tz − = 3 2t 2t t Nên P thuộc mặt cầu tâm I ; ; ,= R 3 3 t2 +1 Ta có OI = t < R nên O thuộc phần khơng gian phía mặt cầu Để OPmax P, I , O thẳng hàng OP = OI + R Suy OPmax =OI + R ⇔ =t + t + Từ tìm t = Suy ra= a 4,= b 3 Vậy, Q = 2a + b = 11 Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4;1;5 ) , B ( 3;0;1) , C ( −1; 2;0 ) điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn MA.MB + MB.MC − 5MC.MA lớn Tính P =a − 2b + 4c A P = 23 B P = 31 C P = 11 Lời giải D P = 13 Chọn D Page 50 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN + Đặt Q =MA.MB + MB.MC − 5MC.MA ( MA − MB ) ( MB − MC ) ( ) = MB + MC − MB.MC ⇒ MB.MC = MB + MC − BC = MC + MA2 − MC.MA ⇒ MC.MA = MC + MA2 − AC Q MA.MB + 2MB.MC − 5MC.MA ⇒ = ( = MC − MA = MA2 + MB − MA.MB ⇒ MA.MB = MA2 + MB − AB ) ( ) MA2 + MB − AB + MB + MC − BC − MC + MA2 − AC 2 ( ) ( ) 3 = −2 MA2 + MB − MC − AB − BC + AC 2 2 3 − AB − BC + AC không đổi nên Q lớn T = −2 MA2 + MB − MC đạt giá trị 2 2 lớn 3 −2 MA2 + MB − MC +T= 2 Gọi E điểm thỏa mãn −2 EA + EB − EC = 2 ⇔ −4 EA + 3EB − 3EC = ⇔ EA = 3CB ⇔ EA = CB 17 ⇒ E 1; ; 4 3 T= −2 MA2 + MB − MC = −2 ME + EA + ME + EB − ME + EC 2 2 ( = −2 ME − EA2 + Vì −2 EA2 + ) ( ) ( ) 3 3 EB − EC ≤ −2 EA2 + EB − EC 2 2 3 EB − EC không đổi nên T đạt giá trị lớn ME =0 ⇒ M ≡ E 2 17 ⇒ M 1; ; 4 17 P =a − 2b + 4c =− + =13 Page 51 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −2; ) , B ( −3;3; −1) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 3) 2 Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị nhỏ = MA2 + 3MB B 108 A 103 C 105 Lời giải Chọn C D 100 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;3;3) bán kính R = Gọi E điểm thỏa mãn: EA + 3EB = Suy E ( −1;1;1) Xét P = MA2 + 3MB = ME + EA + ME + EB ( ) ( ) = 5ME + EA2 + 3EB P đạt giá trị nhỏ ME đạt giá trị nhỏ = IE > R suy điểm E nằm mặt cầu nên ME nhỏ IE − R= − 3= Vậy P = MA2 + 3MB = 5ME + EA2 + 3EB = 105 Câu 23: = hai điểm A ( 0; 2;0 ) , B ( 2; −6; −2 ) Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( S ) thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Tổng a + b + c A −1 B Chọn B ( S ): x2 + y + z + x − y − z + ( S ): x2 + y + z + 2x − y − 2z + C Lời giải 2 = ⇔ ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , bán kính R = Vì = IA IB > R và= D 82 > R nên hai điểm A , B nằm mặt cầu ( S ) Gọi K trung điểm đoạn thẳng AB K (1; −2; −1) K nằm mặt cầu ( S ) Ta có: MA.MB = MK + KA MK + KB ( )( ) Page 52 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KB MK − KA2 = MK + MK KA + KB + KA= Suy MA.MB nhỏ MK nhỏ nhất, tức MK nhỏ Đánh giá: IM + MK ≥ IK ⇒ R + MK ≥ IK ⇒ MK ≥ IK − R Suy MK nhỏ IK − R , xảy I , M , K thẳng hàng M nằm hai điểm ( ) I , K Như M giao điểm đoạn thẳng IK mặt cầu ( S ) 2 Có IK = ( 2; −4; −2 ) , IK= 22 + ( −4 ) + ( −2 ) = 6= R= IM = 2 ( a + 1) a = − Suy IK = IM ⇔ −4= ( b − ) ⇔ b = −2= ( c − 1) c = Vậy a + b + c = Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( −1;1;0 ) , C ( 0; −1;0 ) , D ( 0;1;0 ) , Giá trị lớn biểu E ( 0;3;0 ) M điểm thay đổi mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + z = thức P= MA + MB + MC + MD + ME là: A 12 B 12 C 24 Lời giải D 24 Chọn B Mặt cầu ( S ) : tâm I ( 0;1;0 ) bán kính R = Gọi trọng tâm tam giác ABC G ( 0;0;0 ) , trung điểm DE N ( 0; 2;0 ) G, N nằm ( S ) I trung điểm GN nên GN đường kính ( S ) P = MA + MB + MC + MD + ME = 3MG + MN = MG + MN = ( MG + MN ) Ta có: ( MG + MN ) ≤ ( MG + MN ) = 2GN = Suy MG + MN ≤ 2 Vậy giá trị lớn P 12 Page 53 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Câu 25: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0; − 1;3) , B ( −2; − 8; − ) , C ( 2; − 1;1) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 Gọi M ( xM ; yM ; zM ) điểm P xM + yM ( S ) cho biểu thức 3MA − 2MB + MC đạt giá trị nhỏ Tính = A P = 2 C P = 14 Lời giải B P = D P = 14 Chọn B Gọi J điểm thỏa mãn JA − JB + JC = ⇔ JO + 3OA − 2OB + OC = ⇔ 2OJ = 3OA − 2OB + OC ⇒ J (3;6;9) Mà 3MA − MB + MC = MJ + JA − JB + JC nên 3MA − MB + MC = MJ ( Do 3MA − MB + MC ) ⇔ 2MJ Mặt khác: ( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R = 14 = IJ 14 > R ⇒ điểm J nằm mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm M , M x = + 2t 4t , t ∈ Phương trình đường thẳng ( IJ ) : y =+ z= + 6t x = + 2t y= + 4t t1 = Xét hệ phương trình: ⇔ z= + 6t t = − 2 ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 = Suy M ( 2; 4;6 ) , M ( 0;0;0 ) , M1J Vậy 3MA − MB + MC ⇔ 2MJ = 14 ; M J 14 ⇔ M ≡ M1 P = xM + yM = + = Câu 26: Trong không gian Oxyz cho A ( ; ; ) , B (1 ; 1; ) mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = Xét điểm M thay đổi thuộc ( S ) Giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB A B 19 Lời giải C D 21 Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I ( ; ; 1) , bán kính R = Page 54 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 2 2 ⇒ K ; ; Gọi K điểm thỏa mãn KA + KB = 3 3 Ta có MA2 + 2MB = MK + KA + MK + KB = 3MK + KA2 + KB + 2MK KA + KB = 3MK + KA2 + KB ( ) ( ( ) ) Biểu thức MA2 + MB đạt GTNN MK đạt giá trị nhỏ 1 Với M thay đổi thuộc ( S ) ta có MK = KI − R =1 − = 2 Vậy ( MA2 + MB ) = 3MK + KA2 + KB = 19 + + = 3 25 Câu 27: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A, B thay đổi mặt cầu x + y + ( z − 1) = thỏa mãn AB = Giá trị lớn biểu thức OA2 − OB C 10 A 12 B Lời giải D 24 Chọn A Mặt cầu x + y + ( z − 1) = 25 có tâm I ( 0;0;1) Vì A , B thuộc mặt cầu tâm I nên IA = IB OA2 − OB = OA − OB ( ) ( ) = (OI + IA) − (OI + IB ) 2 = 2OI IA − IB = 2OI BA = 2OI BA.cos ϕ , với ϕ = OI , BA ( ( ) ) Suy biểu thức OA2 − OB đạt GTLN ϕ = ) ( = 2.1.6.cos = 12 Vậy max OA2 − OB Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 4;5 ) , B ( 3; 4;0 ) , C ( 2; −1;0 ) Gọi M ( a ; b ; c ) điểm cho MA2 + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ Tổng a + b + c có giá trị A B C D −4 Lời giải Chọn C Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB + 3IC =0 ⇔ OI = OA + OB + OC =( 2;1;1) ⇔ I ( 2;1;1) 5 2 Khi đó, T = MA2 + MB + 3MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC = 5MI + MI IA + IB + 3IC + IA2 + IB + 3IC ( ( ) ( ) ( ) ) = 5MI + IA2 + IB + 3IC Vì I , A , B , C cố định ⇒ IA2 + IB + 3IC không đổi nên T nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M ≡ I ( 2;1;1) ⇒ a = , b= c= Page 55 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Vậy a + b + c = Câu 29: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) 2 + z2 = điểm A ( 3;0;0 ) ; B ( 4; 2;1) Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA + MB = A P = 2 B P = C P = Lời giải D P = Chọn D Nhận xét: điểm A, B nằm mặt cầu ( S ) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4;0 ) , R = 2 Ta có: IA =4 =2 R, E =IA ∩ ( S ) ⇒ E (1; 2;0 ) Gọi F trung điểm IE ⇒ F ( 0;3;0 ) IF IM Tam giác IFM IMA có AIM chung = = ⇒ ∆AIM ∆MIF IM IA Suy MA AI MA = MF = =⇒ FM MI Ta có: MA + MB = ( MF + MB ) ≥ FB = = BF ∩ ( S ) Vì F nằm ( S ) B nằm ( S ) nên dấu '' = '' xảy M điểm A ( 0;1;1) , Câu 30: Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z − = B ( −1; −2; −3) , C (1;0; −3) Điểm D thuộc mặt cầu ( S ) Thể tích tứ diện ABCD lớn bằng: A B C D 16 Page 56 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn D Cách 1:Ta có ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = AB = ( −1; −3; −4 ) Ta có: ⇒ AB, AC = (8; −8;4 ) AC = (1; −1; −4 ) 2 ( x − 1)2 + y + ( z + 1)2 = Gọi D ( x; y; z ) ∈ ( S ) ⇒ = − − AD x ; y 1; z ( ) Ta có: VABCD = AB, AC AD= 8x − y + z + = 2x − y + z +1 6 ( x − 1) − y + ( z + 1) + Ta có: x − y + z += Ta có: ( x − 1) − y + z + ≤ (2 2 + 22 + 12 ) ( x − 1) + y + ( z + 1) = ⇒ −6 ≤ ( x − 1) − y + z + ≤ ⇔ −4 ≤ x − y + z + ≤ ⇒ x − y + z + ≤ ⇒ VABCD ≤ 16 Suy ra: Giá trị lớn VABCD Câu 31: x −1 y z +1 >0 16 = −= 7 1 ⇔ ⇒ D ;− ;− 3 3 ( x − 1)2 + y + ( z + 1)2 = điểm Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + z = 2 A ( ; ;0 ) , B ( ; ;1) Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức = P MA + MB A P = 2 B P = C P = Lời giải D P = Chọn D Giả sử M ( x ; y ; z ) Ta có: AM= ( x − ; y ; z) , BM = ( x − ; y− ; z − ) 2 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − ) + z − = Và ( x + 1) + ( y − ) + z = Page 57 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( x − 3) Ta có:= P MA + MB = = = ( x − 3) 2 + y2 + z2 + ( x − 4) + y + z + ( x + 1) + ( y − ) + z − 8 + 2 2 = x + ( y − 3) + z + ( x − 4) 2 + ( y − ) + ( z − 1) = x + ( y − 3) + z + (4 − x) 2 + ( − y ) + (1 − z ) + ( y − ) + ( z − 1) 2 ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) x + y − 24 y + z + 36 + 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki: a + b2 + c + d + e2 + f ≥ a d Dấu xảy khi: = ⇒P≥2 ( x + − x) (a + d ) + (b + e) + (c + f ) 2 b a = >0 e f + ( y − + − y ) + ( z + − z= ) ) + ( −1) + (1= 2 2 4t x = t +1 y = 2t + x y z − t = = = > t +1 ⇔ Dấu xảy khi: − x − y − z t z = ( x + 1)2 + ( y − )2 + z = t +1 2 5t + −2t − t + + = t + t + t + + 133 x = 4t 23 + 133 x = t +1 34 + 133 y = y = 2t + 23 + 133 ⇔ t +1 ⇔ + 133 t z = z = 23 + 133 t +1 22t − 2t − = + 133 t = 22 Vậy giá trị nhỏ biểu thức Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 4; 2; ) , B (1;1; − 1) , C ( 2; − 2; − ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( Oxy ) cho MA + MB − MC nhỏ A M ( 2; 3;0 ) B M (1; 3;0 ) C M ( 2; −3; ) D M ( 2;3;1) Page 58 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn A Cách Gọi D; E; F trung điểm AB; AC ; ME Ta có: MA + MB − MC= MA + MB + MB − MC= 2.MD + CB= 2.MD + 2.ED= 2.FD= 4.FD 5 1 x+3 y ; ;0 Ta lại có: M ( x; y;0 ) ; D ; ; ; E ( 3;0;0 ) ; F 2 2 2 FDmin ⇔ F hình chiếu D mp ( Oxy ) ⇔ x = 2; y = ⇔ M ( 2;3;0 ) Cách Gọi I điểm thỏa mãn: IA + IB − IC =0 ⇔ IO + OA + IO + OB − IO + OC =0 ( ) ( ) ⇔ OI= OA + 2OB − 0C ⇒ I ( 2;3;1) ( ) MA + MB − MC= MI + IA + IB − IC= 2.MI MA + MB − MC nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I mp ( Oxy ) Vì I ( 2;3;1) ⇒ M ( 2;3;0 ) Cách Gọi M ( x; y;0 ) Ta có: MA + 2MB − MC = ( − x;6 − y; −1) ⇒ MA + 2MB − MC =4 x + y − 16 x − 24 y + 53 Thế tọa độ điểm M đáp án A vào ta MA + MB − MC = Thế tọa độ điểm M đáp án B vào ta MA + MB − MC = 17 Thế tọa độ điểm M đáp án C vào ta MA + MB − MC = 145 Page 59 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Điểm M đáp án D không thuộc ( Oxy ) nên bị loại Cách Gọi M ( x; y;0 ) Ta có: MA + 2MB − MC = ( − x;6 − y; −1) ⇒ MA + 2MB − MC =4 x + y − 16 x − 24 y + 53 Ta có: x + y − 16 x − 24 y + 53 = ( 2x − 4) + ( y − 6) 2 +1 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x= 2; y= Khi M ( 2;3;0 ) Câu 33: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình x + y + z − x + y − z − = điểm A ( 5;3; −2 ) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức= S AM + AN B S = 20 A S = 30 34 − C S= S 34 − D = Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = AI= 34 > R ⇒ A nằm mặt cầu ( S ) M H N A I Do hai điểm M , N nằm vị trí hai đầu dây cung nên để Smin N nằm A M MN Gọi H trung điểm MN ⇒ IH ⊥ MN , NH = S = ( AH − NH ) + AH + NH = AH − NH S= AI − IH − R − IH 2= 34 − x − − x , x= IH Xét hàm số f ( x= ) 34 − x − − x , ( ≤ x < 3) f ′( x ) = −5 x 34 − x + −5 = x + 32 − x 32 − x 34 − x 3x Page 60 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN > ⇔ − x < 34 − x − x2 34 − x ⇔ 225 − 25 x < 9.34 − x ⇔ 16 x + 81 > −5 Xét + Suy ; f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ 0; 3) , f ′ ( x ) = ⇔ x = ⇒ f ( x ) đồng biến 0; 3) ( ) x Suy f= 0;3) f= ( ) 34 − 10 hai điểm A (1; 2; −4 ) Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 B (1; 2;14 ) Điểm M thay đổi mặt cầu ( S ) Giá trị nhỏ ( MA + MB ) A 82 C 79 B 79 D 82 Lời giải Chọn D ( S ) có tâm I (1;0; ) bán kính R = 10 IA 2= 10 R nên tồn điểm C cố định cho MA = MC ∀M ∈ ( S ) (1) Ta có= Thật vậy, gọi ( a ; b ; c ) tọa độ điểm C Khi đó, với điểm M ( x ; y ; z ) ∈ ( S ) ⇒ x + y + z = x + z + , ta có: MA2 = ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = x + y + z − x − y + z + 21 2 =2 x + z + − x − y + z + 21 =−4 y + 12 z + 26 MC = ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c 2 2 = x + z + − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c = ( − 2a ) x − 2by + ( − 2c ) z + a + b + c + MC ∀M ∈ ( S ) Nên (1) ⇔ MA2 = ⇔ −4 y + 12 z += 26 ( − 2a ) x − 2by + ( − 2c ) z + a + b + c + 5 ∀x, y, z ( − 2a ) = b = −4 4 ( −2b ) = 1 ⇔ ⇔ a =1 ⇔ C 1; ; 12 2 ( − 2c ) = 4 a + b + c + = ) 26 c = ( Lúc này, IC= 10 < R < IB= 37 nên C nằm ( S ) B nằm ( S ) MA + MB = MC + MB = ( MC + MB ) ≥ BC = 82 Đẳng thức xảy ⇔ M giao điểm đoạn BC mặt cầu ( S ) Vậy ( MA + MB ) = 82 Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu ( S2 ) : x + ( y − ) 1, ( S1 ) : x + y + z = 1 + z2 = điểm A ( 4;0;0 ) , B ;0;0 , C (1; 4;0 ) , D ( 4; 4;0 ) Gọi M 4 Page 61 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN điểm thay đổi ( S1 ) , N điểm thay đổi ( S ) Giá trị nhỏ biểu thức Q =MA + ND + MN + BC A 265 B 265 C 265 Lời giải D 265 Chọn A nên ( S1 ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính ( S1 ) : x + y + z = ( S2 ) : x + ( y − ) R1 = nên ( S ) có tâm I ( 0;4;0 ) bán kính R2 = + z2 = 1 Vậy điểm A ( 4;0;0 ) , B ;0;0 , C (1; 4;0 ) , D ( 4;4;0 ) , O ( 0;0;0 ) I ( 0;4;0 ) thuộc 4 ( Oxy ) Nhận thấy OB.OA = OM suy OM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Do ∆MOB đồng dạng ∆AOM ⇒ MA OA = =⇒ MA = MB MB OM Hồn tịan tương tự ND DI ND = NC = =⇒ NC NI Q =MA + ND + 4MN + BC =4 ( MB + NC + MN ) + BC ≥ BC + BC =8BC =2 265 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;3; −1) , B ( 2;3; ) , C ( −1;0; ) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxz ) để S = MA − 4MC + MA + MB + MC nhỏ 7 A M −1;0; 3 B M ( 0;3;0 ) 7 C M 1;0; 3 D M − ;0; Page 62 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lời giải Chọn A Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy G (1; 2;1) Gọi H ( x ; y ; z ) điểm thỏa mãn HA − HC = 2 − x = ( −1 − x ) x = −2 −1 ⇒ H ( −2; −1;3) ⇒ 3 − y= ( − y ) ⇔ y = z = z 4(2 − z) −1 − = Nhận thấy G H nằm hai phía mặt phẳng ( Oxz ) ; HG = 22 Ta có: S = MA − MC + MA + MB + MC = MH + HA − MH − HC + MG + GA + MG + GB + MG + GC = −3MH + 3MG = ( MH + MG ) ≥ 3GH = 22 Đẳng thức xảy H , M , G thẳng hàng theo thứ tự Lại M ∈ ( Oxz ) nên S đạt giá trị nhỏ M giao điểm đường thẳng GH với mặt phẳng ( Oxz ) x = + 3t Đường thẳng GH có phương trình y= + 3t ; mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình y = z = − 2t M ∈ GH ⇒ M (1 + 3t ; + 3t ;1 − 2t ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ + 3t =0 ⇔ t =− 7 Vậy M −1;0; 3 2 hai Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − = điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) MN dây cung mặt cầu thỏa mãn MN hướng với u = (0;1;1) MN = Tính giá trị lớn AM − BN A 41 B C Lời giải D 17 Chọn C Page 63 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tâm I (1; 2; 0) , bán kính R = IA (3;0; 4) ⇒ = IA , = IB (0; 2; 2) ⇒ = IB 2 nên điểm A(4; 2; 4) nằm ngồi mặt Ta có = cầu ( S ) điểm B(1; 4; 2) nằm mặt cầu ( S ) = Do MN hướng với u = (0;1;1) suy MN MN = ( 0; 4; ) ( 0; k ; k ) , k > MN = suy ( A) , suy A′ = (4; 6;8) Khi AMNA′ hình bình hành nên AM = A′N Gọi A′ = TMN Ta có AM − BN = A′N − BN ≤ A′B , dấu xảy A′, N , B thẳng hàng ⇔ N giao điểm mặt cầu với đường thẳng A′B A′B =(−3; −2; −6) suy A′B = (−3) + (−2) + (−6) = Vậy AM − BN = A′B = Page 64
Ngày đăng: 02/07/2023, 19:06
Xem thêm:
