THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU III MẶT TRỊN XOAY NĨN – TRỤ – CẦU MẶT TRỊN XOAY – NĨN – TRỤ I LÝ THUYẾT I SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY – Trong không gian cho mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ∆ đường C Khi quay mặt phẳng ( P ) quanh ∆ góc 360 điểm M C vạch đường trịn có tâm O thuộc ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Như quay mặt phẳng ( P ) quanh đường thẳng ∆ C tạo nên hình gọi mặt trịn xoay – Trong đó: đường C gọi đường sinh mặt nón; đường thẳng ∆ gọi trục mặt trịn xoay II MẶT NĨN TRỊN XOAY Định nghĩa mặt nón trịn xoay – Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O tạo thành góc α (với 0 < α < 90 ) Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O – Gọi tắt mặt nón trịn xoay – Trong đó: Đường thẳng ∆ gọi trục; đường thẳng d gọi đường sinh; góc 2α gọi góc đỉnh Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay a) Hình nón trịn xoay – Cho ∆IOM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh vng góc OI đường gấp khúc IOM tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón – Trong đó: + Hình trịn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy nón + Điểm O gọi đỉnh hình nón + Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón + Độ dài đoạn OM gọi độ dài đường sinh hình nón Page CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU + Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón b) Khối nón trịn xoay – Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình gọi khối nón trịn xoay hay cịn gọi tắt khối nón – Trong đó: + Điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón gọi điểm khối nón + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng A B O C Diện tích xung quanh diện tích tồn phần khối nón trịn xoay a) Diện tích xung quanh hình nón – Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh tăng lên vô hạn – Công thức: S xq = π rl A Trong đó: r bán kính đáy; l độ dài đường sinh B O C b) Diện tích tồn phần hình nón – Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay tổng diện tích mặt đáy với diện tích xung quanh hình nón trịn xoay – Cơng thức: Stp = S đáy + S xq = π r + π rl A B O C c) Diện tích hình quạt – Nếu cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải mặt phẳng ta được: + Một hình quạt có bán hính độ dài đường sinh hình nón + Một cung trịn có độ dài chu vi đường trịn đáy hình nón – Cơng thức: Squ= S= π rl xq at Page CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Thể tích khối nón trịn xoay – Thể tích khối nón trịn xoay giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh tăng lên vơ hạn – Công thức: V = S đáy h Trong đó: h chiều cao khối nón – Nếu đáy hình trịn có bán kính r V = π r h O Hình nón cụt – Hình nón cụt phần nón giới hạn mặt đáy thiết diện song song với đáy – Công thức + Diện tích xung quanh = S xq π ( R + r ) l + Diện tích tồn phần Stp = S đáy + S xq = π ( r + R ) + π ( R + r ) l π h ( R + r + Rr ) Trong đó: R, r bán kính hai đáy; h = IJ độ cao hình chóp cụt + Thể tích khối nón cụt = V III MẶT TRỤ TRỊN XOAY: Định nghĩa mặt trụ tròn xoay: Trong mp (P) cho hai đường thẳng ∆ l song song nhau, cách khoảng r Khi quay (P) xung quanh ∆ l sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay ∆ gọi trục, l gọi đường sinh, r bán kính mặt trụ A r D h B r C Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Hình trụ trịn xoay: Xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn AB, đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay – Hai đáy: hai hình trịn: tâm A bán kính r = AD tâm B bán kính r = BC – Đường sinh: đoạn CD – Mặt xung quanh: mặt đoạn CD tạo thành quay, cắt theo đường sinh trãi ta mặt xung quanh hình chữ nhật h AB = CD – Chiều cao:= * Khối trụ trịn xoay: Phần khơng gian giới hạn hình trụ kể hình trụ gọi khối trụ trịn xoay Cơng thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ: * Diện tích xung quanh hình trụ tích độ dài đường trịn đáy độ dài đường sinh S xq = 2π rl mà h = l nên S xq = 2π rh * Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy Stp 2π rh + 2π r S= S xq + 2.S đáy = * Thể tích khối trụ: V = Bh ⇒ V = π r h Một số tính chất: – Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r ) mp (α ) vng góc với trục ∆ ta đường trịn có tâm ∆ có bán kính r với r bán kính mặt trụ – Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r ) mp (α ) khơng vng góc với trục ∆ cắt tất đường sinh, ta giao tuyến đường elíp có trụ nhỏ 2r 2r trục lớn , ϕ góc trục ∆ mp (α ) với 00 < ϕ < 900 sin ϕ – Cho mp (α ) song song với trục ∆ mặt trụ tròn xoay cách ∆ khoảng k : + Nếu k < r mp (α ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện hình chữ nhật + Nếu k = r mp (α ) tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh + Nếu k > r mp (α ) khơng cắt mặt trụ Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: Xác định yếu tố ( r , l , h ) hình nón Tính diện tích xung qunh, diện tích tồn phần hình nón Tính thể tích khối nón PHƯƠNG PHÁP GIẢI: + Áp dụng công thức liên quan đến hình nón trịn xoay vào làm Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy r = 3cm đường sinh l = 5cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Câu 2: Cho tam giác SOA vng O = có OA 3= cm, SA 5cm , quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO hình nón a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Câu 3: Cho tam giác SAB cạnh a , O trung điểm AB , quay tam giác SAB xung quanh cạnh SO hình nón a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Góc mặt bên mặt đáy 60° Một hình nón có đỉnh S đường trịn đáy nội tiếp tứ giác ABCD a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Khi thể tích khối nón tương ứng Câu 5: Câu 6: Câu 7: Cho nửa đường trịn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể trịn α = CAB xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn Cho khối nón có bán kính r = chiều cao h = Tính thể tích V khối nón Cho hình nón ( N ) có đường kính đáy 4a , đường sinh 5a Tính diện tích xung quanh S hình nón ( N ) Trong khơng gian cho tam giác ABC vuông A , AB = a AC = a Tính độ dài đường sinh l hình nón có quay tam giác ABC xung quanh trục AB Câu 9: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AC = a BC = 2a Tính diện tích xung quanh hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB Câu 10: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Diện tích tồn phần hình nón Câu 11: Cho hình nón ( N ) có độ dài đường sinh diện tích xung quanh 15π Tính diện Câu 8: tích tồn phần hình nón ( N ) Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy 4a , chiều cao 3a Diện tích tồn phần hình nón bằng: Câu 13: Một hình nón bán kính đáy ( cm ) , góc đỉnh 120o Tính diện tích xung quanh hình nón Câu 14: Cho khối nón có bán kính đường trịn đáy 10 diện tích xung quanh 120π Chiều cao h khối nón là: Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Câu 15: Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 cm , bán kính đáy r = 25cm Mặt phẳng (α ) qua đỉnh hình nón cách tâm đáy 12 cm Tính diện tích thiết diện hình nón cắt mp (α ) Câu 16: Cho hình nón có góc đỉnh 60°, diện tích xung quanh 6π a Tính thể tích V khối nón cho Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R Câu 18: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 V thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V2 Câu 19: Trong tất hình nón nội tiếp hình cầu tích 36π , tìm bán kính r hình nón có diện tích xung quanh lớn DẠNG 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích khối trụ Câu 1: Cho hình trụ có hình trịn đáy bán kính r = a , có hiều cao h = a Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ theo a Câu 2: Cho hình trụ có hình trịn đáy bán kính r = a , có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ theo a Câu 3: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O′ có chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy góc 60° Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ theo a Câu 4: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 45° Tính diện tích xung quanh diện tích Câu 5: tồn phần hình trụ theo a Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn ( O, R ) ( O ', R ) Biết tồn dây cung AB đường tròn ( O ) cho ∆O′AB mp ( O′AB ) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn ( O ) góc 600 Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ theo R Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm Diện tích xung quanh hình trụ Một hình trụ có bán kính đáy r = a , độ dài đường sinh l = 2a Diện tích tồn phần hình trụ Câu 8: Quay hình vng ABCD cạnh a xung quanh cạnh Thể tích khối trụ tạo thành Câu 9: Khối trụ có chiều cao h = 3cm bán kính đáy r = 2cm tích Câu 10: Bên lon sữa hình trụ có đường kính đáy chiều cao 1dm Thể tích thực lon sữa Câu 11: Cho hình vng ABCD cạnh 8cm Gọi M , N trung điểm AB CD Quay hình vng ABCD xung quanh MN Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành Câu 12: Một hình trụ (T) có diện tích tồn phần 120π ( cm ) có bán kính đáy 6cm Chiều cao Câu 6: Câu 7: (T) Câu 13: Một khối trụ (T) tích 81π ( cm3 ) có dường sinh gấp ba lấn bán kính đáy Độ dài đường sinh (T) Câu 14: Trong hộp hình trụ người ta bỏ vào ba banh tennis, biết đáy hình trụ hình trịn lớn banh chiều cao hình trụ lần đường kính banh Gọi S1 S tổng diện tích ba banh S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S2 Câu 15: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy h = cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo thành là: Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Câu 16: Cho hình trụ có hai đáy hình trịn ( O ) , ( O′ ) bán kính a , chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy Các điểm A , B tương ứng nằm hai đường tròn ( O ) , ( O′ ) cho AB = a Tính thể tích khối tứ diện ABOO′ theo a Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU MẶT CẦU I LÝ THUYẾT Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu S ( O; R ) tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S ( O; R ) Khi = M | OM {= R} Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A bất kì, đó: Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho OA = −OB đoạn thẳng AB gọi đường kính B mặt cầu O Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu A A Nếu OA > R ⇔ A nằm mặt cầu ⇒ Khối cầu S (O; R ) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R A Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) mp ( P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp ( P ) H hình chiếu O mp ( P ) ⇒ d = OH Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến đường trịn nằm mp ( P ) có tâm H bán kính r = HM = R2 − d = R − OH (hình a) Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b) Nếu d= R ⇔ mp ( P ) có điểm chung Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Do đó, điều kiện cần đủ để mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) d (O , ( P ) ) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S (O; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O đường thẳng ∆ d = OH khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng ∆ Khi đó: Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S (O; R ) Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu S (O; R ) hai điểm phân biệt Nếu d= R ⇔ ∆ mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần d d (O, = ∆) R đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là= Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S (O; R ) thì: Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R ) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt cầu S (O; R ) Diện tích thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC = 4π R II • Thể tích mặt cầu: VC = π R3 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Các khái niệm Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng ⇒ Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng ⇒ Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp Cách xác định tâm bán kính mặt cầu số hình đa diện a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Page CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU ⇒ Tâm I , trung điểm AC ' - Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒ Bán kính: R= AC ' A B D A C I A’ I B’ C’ B’ D’ b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trịn ' ' ' ' Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A1 A2 A3 An , có đáy An A1 ' O A2 A1 A2 A3 An A A A A nội tiếp đường tròn (O ) (O ' ) Lúc đó, ' ' ' n A3 I mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: A’n A’1 - Tâm: I với I trung điểm OO ' ' IA2= = IAn - Bán kính: R= IA= O’ A’2 A’3 c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại góc vng = SBC = - Hình chóp S ABC có SAC + Tâm: I trung điểm SC 900 S S SC + Bán kính: = R = IA = IB = IC I I - Hình chóp S ABCD có SAC = SBC = SDC = 900 A + Tâm: I trung điểm SC SC + Bán kính: = R = IA = IB = IC = ID A C D C B B d/ Hình chóp S Cho hình chóp S ABC ∆ - Gọi O tâm đáy ⇒ SO trục đáy - Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực cạnh SA M I A ∆ cắt SA M cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu D O B - Bán kính: Ta có: ∆SMI ∆SOA ⇒ SM = SI ⇒ Bán kính là: SO C SA SM SA SA2 = R IS = = = IA = IB = IC = SO SO Page 10 CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Gọi điểm hình vẽ Ta có SI a Góc SMO 600 Gọi cạnh đáy x SO OM tan 600 SA SO AO x x 5 x 3a.x 12 SN SO x a ( x 0) SNI SOA nên SI SA Câu 74: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh AB = a , góc mặt bên với mặt phẳng đáy 600 Tính bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh hình chóp S ABC A a B 7a 12 C 7a 16 D a Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC = Khi SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SMA 600 ( SBC ) , ( ABC ) ) = Page 45 CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Gọi N trung điểm SA , kẻ NI ⊥ SA ( I ∈ SH ) = IA = IB = IC , nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Khi ta có IS ∆ABC cạnh a nên AM = = tan SMA a a a ⇒ HM = , AH = SH a 3= a ⇒ SH = HM SA2 = SH + AH = ∆SAH ∆SIN ⇒ a a 7a + = 12 7a 7a SA SH SA.SN SA2 = ⇒ SI = = = = SH 12.2 a 12 SI SN SH Câu 75: Cho mặt cầu tâm O tam giác ABC có ba đỉnh nằm mặt cầu với góc BAC = 300 BC = a Gọi S điểm nằm mặt cầu, không thuộc mặt phẳng ( ABC ) thỏa mãn SA = SB = SC , góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích V khối cầu tâm O theo a A V = 3 πa B V = 32 3 πa 27 C V = Lời giải 3 πa 27 D V = 15 3 πa 27 Gọi H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , SH ⊥ ( ABC ) SH trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy = 600 Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) SAH Gọi N trung điểm SA , mặt phẳng trung trực cạnh SA cắt SH O Khi OS = OA = OB = OC nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Page 46 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC= AH tan 600 a , SA = SH AH = = SH + AH = 2a SN SA SA2 a = = SH SH Bán kính mặt cầu = R SO = Thể tích khối cầu tâm O = V Câu 76: Cho hình chóp S.ABC có SA = tiếp hình chóp S.ABC là: A R = a 13 BC = a 2sin 300 32 3 = πR πa 27 a , cạnh cịn lại a Bán kính R mặt cầu ngoại B R = a C R = a 13 D R = a 13 Lời giải Chọn D A E I S G C M B Ta có SM = AM = a a , tam giác SAM ,= SA 2 Gọi M trung điểm đoạn BC Ta có ( SAM ) mặt phẳng trung trực đoạn BC Gọi G trọng tâm tam giác SBC , ∆ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Gọi E trung điểm SA , ta có I = ∆ ∩ EM , I tâm đường mặt cầu ngoại tiếp S ABC a a a , SG = = IG GM = tan 30ο = 3 Do R = SI = IG + GS = a2 a2 a 13 + ⇒R= 36 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Page 47 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Câu 77: Cho khối cầu S tâm I , bán kính R khơng đổi Một khối trụ thay đổi có chiều cao h bán kính đáy r nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn A h R B h 2R C h R Lời giải D h R Chọn B h2 Ta có: r R h2 Thể tích khối trụ V r h R h , h R 3h 2R ; Vh h Vh R Bảng biến thiên 2R Câu 78: Một sở sản suất đồ gia dụng đặt hàng làm hộp kín hình trụ nhơm đề đựng Vậy thể tích khối trụ lớn h rượu tích V = 28π a ( a > ) Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất hộp hình trụ có bán kính R cho diện tích nhơm cần dùng Tìm R A R = a B R = 2a C R = 2a 14 Lời giải D R = a 14 Diện tích nhơm cần dùng đề sản suất diện tích tồn phần S V 28π a ⇔ π R= h 28π a ⇔= h Ta có l = h ; mà= S = 2π Rl + 2π R = 2π 28a R2 28a + 2π R với R > R 28a S ′ =2π − + R =0 ⇔ R =a 14 R Page 48 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Bảng biến thiên Vậy S ⇔ R = a 14 Câu 79: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 576 B V = 144 C V = 144 Lời giải D V = 576 Chọn D Xét hình chóp tứ giác S ABCD nội tiếp mặt cầu có tâm I bán kính R = Gọi = H AC ∩ BD , K trung điểm SC Đặt= AB x= ; SH h , ( x, h > ) x2 x ⇒ l= SC= h + 2 SK SI Do ∆SHI ∽ ∆SHC ⇒ = ⇒ l = 2h.R ⇒ x = 36h − 2h SH SC = V = h.x h 36h − 2h Diện tích đáy hình chóp S ABCD = x nên 3 Ta có HC = ( Ta có ) 1 h + h + 36 − 2h h ( 36h − 2h )= h.h ( 36 − 2h ) ≤ = 576 ⇒ V ≤ 576 , dấu xảy 3 h = h = 36 − 2h ⇔ h = 12, x = 12 Vậy Vmax = 576 Câu 80: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , khối chóp tích lớn ? A 576 B 144 C 576 Lời giải D 144 Page 49 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Giả sử khối chóp S ABCD khối chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Gọi O tâm hình vng ABCD SO ⊥ ( ABCD ) M trung điểm SA , kẻ MI vng góc với SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD , bán kính = IS = mặt cầu IA AO Đặt IO = x , ≤ x ≤ , ∆IAO vuông O nên= AI − IO = 81 − x , suy = AC 81 − x AC = Do tứ giác ABCD hình vng nên AB = 2 81 − x , suy S ABCD = AB = ( 81 − x ) 2 Vậy VS ABCD = S ABCD SO = ( 81 − x ) ( + x ) = ( − x − x + 81x + 729 ) 3 Xét hàm số f ( x ) = ( − x3 − x + 81x + 729 ) với x ∈ [0;9] x = f ′ ( x ) = ( − x − x + 27 ) ; f ′ ( x ) = ⇔ x = −9 ( l ) Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : max f ( x ) = f ( 3) = 576 x∈[ 0;9] Vậy khối chóp tích lớn 576 Page 50 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Câu 81: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên hình chóp cm , AB = cm Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD A 12π cm C 9π cm B 4π cm D 36π cm Lời giải Chọn D S M I A D O C B Gọi O giao điểm AC BD Ta có ∆SAC cân S nên SO ⊥ AC ∆SBD cân S nên SO ⊥ BD Khi SO ⊥ ( ABCD ) ∆SBO = ∆SCO = ∆SDO ⇒ OA === OB OC OD Ta có: ∆SAO = Vậy hình bình hành ABCD hình chữ nhật 16 + x AC = Đặt BC =x ⇒ AC = 42 + x ⇒ AO = 2 Xét ∆SAO vng O , ta có: SO = SA2 − AO = − Thể tích khối chóp S ABCD là: VS = ABCD Áp dụng bất đẳng thức : ab ≤ 16 + x − x2 = 1 − x2 SO.S= = x − x x ABCD 3 2 − x2 + x2 a + b2 = ta có: V = − x x ≤ 3 BC 2,= SO Dấu " = " xảy ⇔ − x = x ⇔ x = Do đó:= Gọi M trung điểm SA , ( SAO ) kẻ đường trung trực SA cắt SO I Khi mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có tâm I bán kính R = IS Vì ∆SMI ∽ ∆SOA( g g ) nên SI SM SA2 = ⇒ SI = = =3 ⇒ R =3(cm) SA SO 2.SO 2.1 π R 4= π 32 36π (cm ) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 4= Page 51 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Câu 82: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = Khối tứ diện ABCD có tất đỉnh thay đổi = DB = DC Biết thể tích lớn thuộc mặt cầu ( S ) cho tam giác ABC vuông cân B DA khối tứ diện ABCD a+b A a + b = 1173 a a ( a , b số nguyên dương phân số tối giản), tính b b B a + b = 4081 C a + b = 128 Lời giải D a + b = 5035 Chọn B Gọi H trung điểm AC , Vì tam giác ABC vng cân B DA = DB = DC nên DH ⊥ ( ABC ) tâm I mặt cầu ( S ) thuộc tia DH Đặt DH = x AH = a ( < a ≤ 5, < x < 10 ) = IA = IH= x − Có ID Xét tam giác vng AIH có a = AH = AI − IH = 25 − ( x − 5) = 10 x − x Diện tích tam giác ABC là: = S AC.BH = a= 10 x − x Thể tích khối chóp ABCD = là: V Xét f ( x) = 1 S ABC= DH (10 x − x ) x 3 1 (10 x − x ) x = (10 x − x ) với < x < 10 3 Lập bảng biến thiên cho hàm số f ( x) ta giá trị lớn hàm số f ( x) nửa khoảng ( 0;10 ) ta có kết 4000 20 x = 81 4081 Vậy = a 4000, = b 81 nên a + b = = 60° Đoạn SO = a vng góc với mặt phẳng (α ) Các Câu 83: Trên mặt phẳng ( P ) cho góc xOy điểm M ; N chuyển động Ox , Oy cho ta ln có: OM + ON = a Tính diện tích mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN A 4π a B π a2 C 8π a D 16π a Page 52 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU Lời giải Chọn A Gọi H , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tâm bán mặt cầu ngoại tiếp a2 tứ diện SOMN ⇒ R = OH + IH = + OH 2 MN MN = 2OH ⇔ OH = sin60° Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác OMN ta có = OM + ON − OM ON = ( OM + ON )2 − 3OM ON MN = OM + ON − 2.OM ONcos MON Áp dụng định lý hàm số sin tam giác OMN ta có ≥a ( OM + ON ) −3 ⇒ MN ≥ a2 = a2 a2 a2 a2 a2 a2 ⇔ 3OH ≥ ⇒ R = + OH ≥ + = 4 4 3.4 Bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN a Tính diện tích mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN 4π R = 4π a Câu 84: Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương khơng có nắp Khi thả khối cầu kim loại đặc vào hình lập phương thấy khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Tính bán kính khối cầu, biết thể tích nước cịn lại hình lập phương 10 Giả sử mặt hình lập phương có độ dày khơng đáng kể A 15 12 − 2π B 24 − 4π C 15 24 − 4π D 12 − 2π Lời giải Chọn A Page 53 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU Giả sử hình lập phương có cạnh x Khi thể tích khối lập phương x Bán kính khối cầu tiếp xúc với mặt khối lập phương x Do thể tích khối cầu tiếp xúc với mặt hình lập phương Theo đề ta có x − π x3 = 10 ⇔ x = x = Do bán kính khối cầu R= x π x3 π = 60 −π 15 12 − 2π Câu 85: Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao thùng nước đo thể tích nước tràn 54 3π ( dm3 ) Biết khối cầu tiếp xúc với mặt thùng nửa khối cầu chìm nước Thể tích nước cịn lại thùng có giá trị sau đây? A 46 3π ( dm3 ) ( ) B 18 3π dm3 C Lời giải 46 3π ( dm3 ) ( ) D 18π dm3 Chọn C Xét thiết diện qua trục hình nón hình vẽ Hình thang cân ABCD ( IJ trục đối xứng) thiết diện thùng nước, hình trịn tâm I bán kính IH thiết diện khối cầu Các đường thẳng AD , BC , IJ đồng qui E Page 54 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Đặt bán kính khối cầu IH = R , bán kính mặt đáy thùng JD = r , chiều cao thùng IJ = h Ta có 3 R 54 3π ⇔= R 3 , h = 2R = ⇔ h = π= EJ JC r 1 1 1 = = = ⇒ EJ =2 , = + 2⇔ = + ⇔ r= 2 EI IB 3r IH IA IE 27 9r 108 1 208 3π Suy thể tích thùng nước V1 = π IA2 IE − π JD JE = 3 208 3π 46 3π − 54 3π = ( dm3 ) 3 Câu 86: Cho tứ diện OABC có= OA a= , OB b= , OC c đơi vng góc với Gọi r bán Vậy thể tích nước cịn lại thùng V = kính mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện Giả sử a ≥ b, a ≥ c Giá trị nhỏ A + B + C a r D + Lời giải Chọn D Kẻ đường cao AH tam giác ABC Dễ thấy OH ⊥ BC nên 1 = + ⇒ OH = 2 OH OB OC bc b + c2 Page 55 CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Tam giác AOH vng O có AH = OA2 + OH ⇒ AH = b + c nên S ABC = = Tam giác OBC có BC AH BC = a 2b + b c + c a b2 + c2 a 2b + b c + c a Vậy diện tích tồn phần hình chóp O ABC là: Stp= SOAB + SOBC + SOCA + S ABC= ab + bc + ca + a 2b + b c + c a ) ( Dễ thấy thể tích khối chóp O ABC = V 1 = abc Stp r Suy a Stp ab + bc + ca + a 2b + b c + c a 1 = abc = Stp r ⇒ = r bc bc a a a2 a2 = +1+ + +1+ ≥ 1+1+1+ 1+1+1 = + c b c b Dấu “=” xẩy a= b= c Câu 87: Cho hai mặt cầu ( S1 ) ( S ) đồng tâm O , có bán kình R1 = R2 = 10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm ( S1 ) hai đỉnh C , D nằm ( S ) Thể tích lớn khối tứ diện ABCD A B C Lời giải D Chọn D A A' B I A B' O D' J D C C' I B O D J C Dựng mặt phẳng ( P ) chứa AB song song với CD , cắt ( O; R1 ) theo giao tuyến đường tròn tâm I Dựng mặt phẳng ( Q ) chứa CD song song với AB , cắt ( O; R2 ) theo giao tuyến đường tròn tâm J Dựng hai đường kính A′B′, C ′D′ hai đườn tròn cho A′B′ ⊥ C ′D′ Page 56 CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU = Khi IJ d= ( AB; CD ) d ( A′B′; C ′D′) Xét tất tứ diện có cạnh AB nằm ( P ) CD nằm ( Q ) ta có: VABCD = ( ) 1 ′.C ′D′.IJ VA′B′C ′D′ AB.CD.IJ sin AB, CD ≤ A′B= 6 Do ta cần xét tứ diện có cặp cạnh đối AB ⊥ CD chúng có trung điểm I , J thẳng hàng với O ( ) Đặt IA= x, < x ≤ 10 , JC= y, ( < y ≤ ) , ta có: OI = 10 − x , OJ =− y2 Khi đó: d ( AB, CD ) = IJ = OI + OJ = 10 − x + − y Thể tích khối tứ diện ABCD là: V= ABCD 1 IJ x.2 y AB.CD = 6 ( ) 10 − x + − = y2 xy ( 10 − x + − y ) 14 − x − y2 2 10 − x ≤ ; 4− y ≤ x Có 10 −= 2 2 Suy 10 − x + − y ≤ 24 − x − y 24 − 2 xy 12 − xy ≤ = 4 Ta được: VABCD 12 − xy ≤ xy = 3 ( xy + 12 − xy = xy 12 − xy ≤ )( ) 0 < x ≤ 10, < y ≤ 10 − x = x = − y2 ⇔ Đẳng thức xảy khi: = y = x = y xy= 12 − xy Vậy max VABCD = Câu 88: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 B V = 576 C V = 576 D V = 144 Lời giải Page 57 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NĨN – TRỤ – CẦU Gọi I tâm mặt cầu S ABCD hình chóp nội tiếp mặt cầu Gọi x độ dài cạnh SO Gọi M trung điểm SD Ta có = SI SO= 18 x SD SI SO SM SD ⇒ SD= = 2 Suy OD = 18 x − x 2 Thể tích khối chóp S ABCD V = SO.S ABCD = x= x (18 − x ) 2.OD x (18 x= − x2 ) 3 3 18 x x Ta có x (18 − x ) = 864 (18 − x ) ≤ = 3 2 Vậy thể tích khối chóp cần tìm V = 576 Câu 89: Cho hình chóp tứ giác chiều cao h nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm h theo R để thể tích khối chóp lớn A h = 3R C V = R B h = R Lời giải D V = 3R độ dài cạnh đáy hình chóp tứ giác S ABCD Gọi O, I tâm đáy tâm cầu ngoai tiếp hình chóp Gọi a Tam giác IBO có ( h − R ) + a2 a2 = R ⇒ = R − ( h − R ) = Rh − h 2 Thể tích khối chóp là: = V = a h ( Rh − h ) h 3 Page 58 CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU Xét hàm số = y ( 2Rh − h ) h với < h < R , y′ = Rh − 3h ⇒ y′ = ⇒ h = 4R Trên ( 0; 2R ) , y′ đổi dấu từ “+” sang “-” qua h = R nên thể tích hình chóp đạt lớn h= 4R Page 59
Ngày đăng: 02/07/2023, 19:07
Xem thêm: