Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào[r]
(1)Lý thuyết – phương pháp chung
MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:
Hình thành: Quay vng SOM quanh trục SO, ta mặt nón hình bên
với: h SO
r OM
Đường cao: hSO (SO gọi trục hình nón)
Bán kính đáy: rOAOBOM Đường sinh:
lSASBSM Góc đỉnh: ASB
Thiết diện qua trục: SAB cân S
Góc đường sinh mặt đáy: SAOSBOSMO
Chu vi đáy: p2r Diện tích đáy: Sđ r2 Thể tích: . đ . 2.
3
V h S h r (liên tưởng đến thể tích khối chóp)
Diện tích xung quanh: Sxq rl Diện tích tồn phần:
2 tp xq
S S Sđ rlr
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r
A 4rl B 2rl C rl D 1
3rl
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l7 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 28 B 14 C 14
3
D 98
3
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l5 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 20 B 20
3
C 10 D 10
3
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l7 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 28
B 14 C 28 D 14
3
Câu (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi , ,l h r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq hình nón là:
A
3 xq
S r h B Sxq rl C Sxq rh D Sxq 2rl
Câu (Chuyên Thái Bình 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a, đường cao 2a Tính diện tích xung quanh hình nón?
A 2 5a2 B 5a2 C 2a2 D 5a2 KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
h
l l
l
r O B
S
(2)Câu (Mã 104 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l4 Tính diện tích xung quanh hình nón cho
A Sxq 8 3 B Sxq 12 C Sxq 4 3 D Sxq 39 Câu (Đề Tham Khảo 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh
3a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho
A l3a B l2 2a C
a
l D
2 a l
Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3a2và có bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho bằng:
A 3a B 2a C 3
2 a
D 2 2a
Câu 10 (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tạiA,ABa vàACa Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB
A la B l2a C la D la
Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón
A
2
3 a
B
2 2 a
C a2 D
2 2 a
Câu 12 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón
A 4a2 B 3a2 C 2a2 D 2a2 Câu 13 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình nón có diện tích xung quanh
3a , bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón
A 2a B 3
2 a
C 2a D 3a
Câu 14 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho khối nón N tích 4 chiều cao 3.Tính bán kính đường trịn đáy khối nón N
A 2 B 2
3 C 1 D
4
Câu 15 (THPT Trần Nhân Tông - QN -2018) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân A, gọi Ilà trung điểm BC, BC2.Tính diện tích xung quanh hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AI
A Sxq 2 B Sxq 2 C Sxq 2 2 D Sxq 4
Câu 16 (Đồng Tháp - 2018) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón
A
π
4 a
B
2
2π
3 a
C
2
π
2 a
D πa2 2
Câu 17 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Cho hình hình nón có độ dài đường sinh 4, diện tích xung quanh 8 Khi hình nón có bán kính hình trịn đáy
A 8 B 4 C 2 D
Câu 18 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 4 Tính diện tích xung quanh hình nón
(3)Câu 19 (THPT Hậu Lộc - TH - 2018) Cho hình nón có đường sinh l5, bán kính đáy r3 Diện tích tồn phần hình nón là:
A Stp 15 B Stp 20 C Stp 22 D Stp 24
Câu 20 (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Cho hình nón N có đường kính đáy 4a, đường sinh 5a Tính diện tích xung quanh S hình nón N
A S10a2 B S14a2 C S36a2 D S20a2
Câu 21 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 5a2 bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón cho?
A a B 3a C 3a D 5a
Câu 22 (Thanh Hóa - 2018) Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện là: A hình chữ nhật B tam giác cân C đường elip D đường tròn Câu 23 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l4
Tính diện tích xung quanh S hình nón cho
A S 8 3 B S24 C S 16 3 D S 4 3 Dạng Thể tích
Câu (Mã 103 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h có bán kính đáy r A 2r h2 B 1
3r h C r h
D 4
3r h
Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối nón có chiều cao h3 bán kính đáy r4 Thể tích khối nón cho
A 16 B 48 C 36 D 4
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r5 chiều cao h2 Thể tích khối nón cho bằng:
A 10
B 10 C 50
3
D 50
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy chiều cao Thể tích khối nón cho
A B C D
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính r2 chiều cao h5 Thể tích khối nón cho
A 20
B 20 C 10
3
D 10
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r2và chiều cao h4 Thể tích khối nón cho
A 8 B 8
3
C 16
3
D 16
Câu (Mã 110 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r chiều cao h4 Tính thể tích Vcủa khối nón cho
A V 12 B V 4 C V 16 D 16
3 V Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
4
r h2
8
8 32
3
(4)A 4
3r h B
2
2r h C 1
3r h D
2 r h Câu (Mã 104 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
A 1
3r h B
2
3r h C
2
2r h D r h2 Câu 10 (Mã 102 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
A 4
3r h B r h
C 2r h2 D 1
3r h
Câu 11 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r 3, chiều cao h Tính thể tích V khối nón
A
3
V B V 3 11 C
3
V D V 9
Câu 12 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC vuông ,A ABc AC, b Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta hình nón tích
A 1
3bc B
2
3bc C
2
3b c D
2 3b c
Câu 13 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho hình nón có độ dài đường sinh 25 bán kính đường trịn đáy 15 Tính thể tích khối nón
A 1500 B 4500 C 375 D 1875
Câu 14 (Mã 105 2017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông A, AB a ACB30o Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC quanh cạnh AC
A V a3 B V 3a3 C
3
3
a
V D
3
3
a V
Câu 15 (Đề Tham Khảo 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho
A 3 a
B
3
2 a
C
3
3 a
D
3
a
Câu 16 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r2, chiều cao h Thể tích khối nón
A 4 3
B 4
C 2 3
D 4
Câu 17 (KTNL Gia Bình 2019) Cho khối nón trịn xoay có chiều cao bán kính đáy a Khi thể tích khối nón
A 4
3a B
3
3a C
3 a
D 1
3a
Câu 18 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r chiều cao h4 Tính thể tích V khối nón cho
A V 16 B 16
3
V C V12 D V 4
Câu 19 (THPT Đơng Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a đường cao a Thể tích khối nón cho
A 3 a
B
3
2 a
C
3
3 a
D
3
a
(5)Câu 20 (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho khối nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc 120 cạnh bên a Tính thể tích khối nón
A
a
B
3
8 a
C
3 24 a
D
3
a
Câu 21 Nếu giữ nguyên bán kính đáy khối nón giảm chiều cao lần thể tích khối nón thay đổi nào?
A.Giảm lần B.Giảm 2lần C.Tăng lần D.Không đổi
Câu 22 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa -2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh đường kính đáy a Thể tích khối nón
A
3 16 a
B
3 48 a
C
3 24 a
D
3 a
Câu 23 (Chuyên An Giang - 2018) Cho khối nón có bán kính r chiều cao h3 Tính thể tích V khối nón
A V 9 B V 3 C V D. V 5
Câu 24 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Cho khối nón có bán kính đáy r2, chiều cao h (hình vẽ) Thể tích khối nón là:
A.
B.
3
C. 4 D.
3
Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy 2(cm), góc đỉnh 60o Thể tích khối nón
A 3cm3
V B 3cm3
2
V C V 8 cm 3 D 3cm3
V
Câu 26 (Cụm Trường Chun - ĐBSH - 2018) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích V khối nón A
3 a
V B
3 a
V C
3 6 a
V D
3 a
V
Câu 27 (THPT Cầu Giấy - 2018) Cho khối nón trịn xoay có đường cao h15cm đường sinh 25
l cm Thể tích V khối nón là:
A. 3
1500 cm
V B 3
500 cm
V C 3
240 cm
V D 3
2000 cm
(6)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung
MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:
Hình thành: Quay vng SOM quanh trục SO, ta mặt nón hình bên với: h SO
r OM
Đường cao: hSO (SO gọi trục hình nón)
Bán kính đáy:
rOAOBOM Đường sinh:
lSASBSM Góc đỉnh: ASB
Thiết diện qua trục: SAB cân S
Góc đường sinh mặt đáy: SAOSBOSMO
Chu vi đáy: p2r
Diện tích đáy: Sđ r2 Thể tích: đ
3
V h S h r
(liên tưởng đến thể tích khối chóp).
Diện tích xung quanh: Sxq rl Diện tích tồn phần:
2
tp xq
S S Sđrlr
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, ABa
AC a Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng AB đường gấp khúc ACB tạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón
A 5a2 B 5a2 C 2 5a2 D 10a2
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 8 B 16 3
C 8 3
D 16
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính góc đỉnh Diện tích xung quanh hình nón cho
A B C D
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính góc đỉnh bằng600 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 18 B 36 C 6 3 D 12 3
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 600 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 64
3
B 32 C 64 D 32
3
KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
h
l l
l
r O
A B
S
M
60
50 100
3
50
3
(7)Câu (Mã1232017) Cho hình nón có chiều cao h a bán kính đáy r2a Mặt phẳng ( )P qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB2 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến ( )P
A
2 a
d B
5 a
d C
2 a
d D d a
Câu (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến SAB
3
a
30 , 60
SAO SAB Độ dài đường sinh hình nón theo a
A a B a C 2a D a
Câu (THPTCẩmGiàng22019) Cho hình nón có bán kính đáy a góc đỉnh 60 Tính diện tích xung quanh hình nón
A Sxq 4a2 B
2
2 3 xq
a
S C
2
4 3 xq
a
S D Sxq 2a2
Câu (THPTCẩmGiàng22019) Cho đoạn thẳngAB có độ dài 2a, vẽ tia Ax phía điểm B cho điểm B ln cách tia Ax đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia Ax, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A 2 a
B
2 3 a
C
2 a
D
2 2 a
Câu 10 (HSGBắcNinh2019) Cho hình nón có chiều cao h20, bán kính đáy r 25 Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 Tính diện tích S thiết diện
A S500 B S 400 C S300 D S406
Câu 11 (Liên Trường THPT TP VinhNghệ An 2019) Cắt hình nón N đỉnh S cho trước mặt phẳng qua trục nó, ta tam giác vng cân có cạnh huyền 2a 2. Biết BC dây cung đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
A 4 2 3 a B 4 2 9 a C 2 2 3 a D 2 2 9 a
Câu 12 (SởHàNội2019) Cho hình nón trịn xoay có chiều cao bán kính Mặt phẳng P qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có độ dài cạnh đáy Diện tích thiết diện
A B 19 C 2 D 2
Câu 13 (Chuyên HạLong 2019) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác vng cân cạnh bên a Tính diện tích tồn phần hình nón
A 4a2(đvdt) B
4 2a (đvdt) C a2 2 1
(đvdt) D
2 2a (đvdt)
Câu 14 (Chuyên KHTN 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính diện tích tồn phần vật trịn xoay thu quay tam giác AA C' quanh trục AA'
A 32a2
B 2 2 1 a2
C 2 6 1 a2
D 62a2
(8)Câu 15 Cho hình nón có chiều cao bán kính đáy Mặt phẳng P qua đỉnh hình nón cắt đáy theo dây cung có độ dài Khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng P A
7 B
2
2 C
3
3 D
21
Câu 16 Cho hình nón đỉnhS, đáy đường trịn O;5.Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy hai điểm A B cho SAAB8 Tính khoảng cách từ O đến SAB A 2 2. B 3
4 . C
3
7 . D
13
Câu 17 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, bán kính, R3cm, góc đỉnh hình nón 120 Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đềuSAB, A, B thuộc đường trịn đáy Diện tích tam giác SAB
A 3 cm B 6 cm C 6 cm2 D 3 cm2
Câu 18 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng có cạnh huyền a 2 Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón
A
2
3 xq
a
S B
2
2 xq
a
S C
2
2 xq
a
S D
2
2 xq
a S
CÂU 19 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O, bán kính R Dựng hai đường sinh SA SB, biết AB chắn đường tròn đáy cung có số đo 60 , khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB
2
R
Đường cao h hình nón
A hR B hR C
R
h D
4
R h
Câu 20 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón trịn xoay có chiều cao 2a, bán kính đáy 3a Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
2
a
Diện tích thiết diện
A
2
2
7
a
B 12a2 C
2
12
a
D
2
24
a
Câu 21 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình nón đỉnh S có đáy hình tròn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có diện tích
2
4a Góc trục SO mặt phẳng SAB 30 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 4 10a2 B 2 10a2 C 10a2 D 8 10a2
Câu 22 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc Diện tích thiết diện
A B C D
Dạng Thể tích
2
a 60
2
2
a 2
2
a
2a
2 2
4
(9)Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình nón có chiều cao Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho
A 32
3
B 32 C 32 5 D 96
Câu (KSCL THPT NguyễnKhuyến 2019) Tính thể tích hình nón có góc đỉnh 60o diện tích xung quanh 6a2
A
3
3
4
a
V B V 3a3 C
3
3
4
a
V D V a3
Câu (Chuyên Thái Nguyên2019) Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB6, AC8và Mlà trung điểm cạnh AC Khi thể tích khối trịn xoay tam giác BMC quanh quanh AB
là
A 86 B 106 C 96 D 98
Câu (Chun Lê Q ĐơnĐiện Biên2019) Cho hình nón có bán kính đáy 2cm, góc đỉnh 60 Tính thể tích khối nón
A 8 cm3
B 8 cm C 8 cm3
D 8 cm3
Câu (ViệtĐứcHàNội 2019) Cho tam giác ABC vuông A, AB6cm AC, 8cm Gọi V1 thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AB V2 thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỷ số
2 V
V bằng:
A 3
4 B
4
3 C
16
9 D
9 16
Câu (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình nón N1 đỉnh Sđáy đường tròn C O R ; , đường cao
40cm
SO Người ta cắt nón mặt phẳng vng góc với trục để nón nhỏ N2 có đỉnh S đáy đường tròn C O R ; Biết tỷ số thể tích
1 N
N
V
V Tính độ dài đường cao nón
2
N
A 20 cm B 5cm C 10cm D 49 cm
Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho đồng hồ cát bên (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ
1000 cm Hỏi cho đầy lượng cát vào phần bên chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu?
A
64 B
1
8 C
1
27 D
(10)Câu Cho hinh chữ nhật ABCDcó AB2,AD2 nằm măt phẳng P Quay P vòng quanh đường thẳng BD Khối trịn xoay tạo thành tích
A 28
9
B 28
3
C 56
9
D 56
3
Câu (ChuyênNguyễnTrãiHải Dương2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2, AD2 nằm mặt phẳng P Quay P vòng quanh đường thẳng BD Khối trịn xoay tạo thành tích
A 28
B 28
3
C 56
9
D 56
3
.
Câu 10 (Cụm 8 Trường Chuyên 2019) Cho hình thang ABCD có AB90, ABBCa,
AD a Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD
A a
B
3
7 12
a
C
3
7
a
D
3 12 a
Câu 11 (KTNL GV ThptLýThái Tổ2019) Cho hình tứ diện ABCD có ADABC, ABC tam giác vuông B Biết BC2(cm),AB2 3(cm AD), 6(cm) Quay tam giác ABC ABD ( bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay
A ( cm3) B 5 ( 3)
2 cm C
3
3
( )
2 cm D
3
64
( ) cm
Câu 12 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh
2
6a Tính thể tích V khối nón cho A
3
3
4
a
V B
3
2
a
V C V 3a3 D V a3
Câu 13 (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích V khối nón tương ứng
A Sxq a2,
3
6 12
a
V B
2
2 xq
a
S ,
3
3 12
a V
C Sxq a2 2,
3
6
a
V D Sxq a2,
3
6
a V
Câu 14 (Nguyễn Huệ - Phú n - 2020) Cho hình nón có chiều cao 6a Một mặt phẳng P qua đỉnh hình nón có khoảng cách đến tâm 3a, thiết diện thu tam giác vng cân Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho
(11)Câu 15 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 10 Mặt phẳng vng góc với trục cách đỉnh hình nón khoảng 4, chia hình nón thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh hình nón cho, V2 thể tích phần cịn
lại Tính tỉ số V
V ?
A
25 B
21
25 C
8
117 D
4 21
Câu 16 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy 2a Mặt phẳng P qua đỉnh S hình nón, cắt đường trịn đáy A B cho AB2a 3, khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng P
2
a
Thể tích khối nón cho
A a
B
3
4
a
C
3
2
a
D
3
3
a
Dạng Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Câu (Mã 123 2017) Trong hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh a Tính thể tích Vcủa khối nón đỉnh S đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
A
3
2 a
V B
3
2 a
V C
3
6 a
V D
3
6 a V
Câu (Mã 110 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh 3a Hình nón N có đỉnh A có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh Sxq N
A Sxq 12a2 B Sxq 6a2 C Sxq 3 3a2 D Sxq 6 3a2
Câu (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC Hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S ABC, hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho
A 1
2 B
1
4 C
2
3 D
1
Câu (Hồng Bàng - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy o
60 Diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A 10 a
B
2
3
a
C
2
7
a
D
2 a
Câu (Chuyên LêHồngPhong NamĐịnh2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vngABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng
A B C D Diện tích tồn phần khối nón
A
2
3 2
tp
a
S B
2
5
tp
a
S C
2
5
tp
a
S D
2
3
tp
a
S
(12)A 3 a B 7 a C 7 a D 10 a
Câu (Mã105 2017) Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy góc 60 Mặt phẳng qua trục N cắt N thiết diện tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp 1 Tính thể tích V khối nón giới hạn N
A V 9 B V 3 3 C V 9 3 D V 3
Câu (Chun VĩnhPhúc2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A 3 a B a C a D 10 a
Câu (THCS-THPTNguyễnKhuyến2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có độ dài cạnh đáy a N hình nón có đỉnh S với đáy đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD Tỉ số thể tích khối chóp S ABCD. khối nón N
A
B
2
C 2
D
2
Câu 10 (THPTNgơSĩ LiênBắcGiang 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45 Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp là:
A 8π 3
3 a B
3
2 π
3 a C
3
2πa D 2π 2
3 a
Câu 11 (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy
a Tam giác SAB có diện tích
2a Thể tích khối nón có đỉnh S đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD
A a
B
3
7
a
C
3
7
a
D
3 15 24 a
Câu 12 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A B C D Kết
tính diện tích tồn phần Stp khối nón có dạng
2
4
a
b c
với b c hai số nguyên dương b1 Tính bc
A bc5 B bc8 C bc15 D bc7
Câu 13 (Chun Đh Vinh -2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh ABa, góc tạo SAB ABC 60 Diện tích xung quanh hình nón đỉnh S có đường trịn đáy ngoại tiếp tam giác ABC
A a
B
2
7
a
C
2
3
a
D
(13)Câu 14 (Nam Định - 2018) Cho hình nón đỉnh ,S đáy hình trịn nội tiếp tam giác ABC Biết ABBC10a, AC 12a, góc tạo hai mặt phẳng SAB ABC 45 Tính thể tích V khối nón cho
A. V 3πa3 B.V 9πa3 C. V 27πa3. D. V 12πa3.
Câu 15 (Chuyên TrầnPhú-Hải Phịng2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có đỉnh tâm
O hình vng A B C D đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD A Sxq a2 17 B
2
17 xq
a
S C
2
17 xq
a
S D Sxq 2a2 17
I B
A
(14)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NĨN (CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ - CỰC TRỊ)
Lý thuyết – phương pháp chung
MẶTNĨN Cácyếutốmặtnón: Mộtsốcơngthức:
Hìnhthành: Quay vng SOM quanh trục SO, ta mặt nón hình bên
với: h SO
r OM
Đườngcao: hSO (SO
cũng gọi trục hình nón)
Bánkínhđáy:
rOAOBOM Đườngsinh:
lSASBSM Gócởđỉnh: ASB
Thiếtdiệnquatrục: SAB
cân S
Gócgiữađườngsinhvàmặt đáy: SAOSBOSMO
Chuviđáy: p2r
Diệntíchđáy:
đ
S r Thểtích: đ
3
V h S h r (liên tưởng đến thể tích khối chóp)
Diệntíchxungquanh: Sxq rl Diệntíchtồnphần:
2
tp xq
S S Sđ rlr
Câu (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai khối nón có chung trục SS 3r Khối nón thứ có đỉnh S, đáy hình trịn tâm S bán kính 2r Khối nón thứ hai có đỉnh S, đáy hình trịn tâm S bán kính r Thể tích phần chung hai khối nón cho
A 27 r B r C r D r
Câu (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ bên) quanh trục DB
A a B 3 a C 3 a D 3 12 a
Câu (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho tam giác ABC vuông A, BCa, ACb, ABc,
bc Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh BC, quay cạnh AC, quanh cạnh AB, ta thu hình có diện tích tồn phần theo thứ tự S S Sa, b, c Khẳng định sau đúng?
A SbSc Sa B Sb Sa Sc C Sc Sa Sb D Sa Sc Sb KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
(15)Câu Cho tam giác ABC cân A, góc BAC120 AB4cm Tính thể tích khối trịn xoay lớn ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC A 16 3 3
cm B 16 3
cm C 16
3
cm D 16
3
cm
Câu (Cụm liên trường Hải Phịng- 2019) Huyền có bìa hình trịn hình vẽ, Huyền muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm
x để thể tích phễu lớn nhất?
A 2
3 B 3
C
2
D
4
Câu Một khối nón tích 9a3 Tính bán kính R đáy khối nón diện tích xung quanh nhỏ
A R3a B
3
a
R C R39a. D
3
3
a
R
Câu (HSG Sở Nam Định 2019) Cho hai mặt phẳng P , Q song song với cắt khối cầu tâm O, bán kính R thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn có đáy hình trịn cịn lại Tính khoảng cách h hai mặt phẳng P , Q để diện tích xung quanh hình nón lớn
A hR B hR C
3
R
h D 2R
Câu (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho tam giác OAB vng cân O, có OA4 Lấy điểm M thuộc cạnh AB(Mkhông trùng với A, B) gọi H hình chiếu M OA Tìm giá trị lớn thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh OA
A 128 81
B 81
256
C 256
81
D 64
81
Câu (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Lượng nguyên liệu cần dùng để làm nón ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh mặt nón Cứ 1kg dùng để làm nón làm số nón có tổng diện tích xung quanh 6,13m2 Hỏi muốn làm 1000 nón
lá giống có đường trình vành nón 50cm, chiều cao 30cm cần khối lượng gần với số đây? (coi nón có hình dạng hình nón)
A 50kg B 76kg C 48kg D 38kg
(16)chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0, 01dm)
A h1, 41dm B h1,89dm C h1,91dm D h1, 73dm
Câu 11 Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy là: A 10 cm B 50 cm C 20 cm D 25 cm
Câu 12 (Phan Dăng Lưu - Huế - 2018) Cho hình nón N có đường cao SOh bán kính đáy
R, gọi M điểm đoạn SO, đặt OM x, 0xh C thiết diện mặt phẳng P vng góc với trục SO M , với hình nón N Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy C lớn
A
2
h
B
2
h
C
2
h
D
3
h
Câu 13 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có ADABC, ABC tam giác vng B Biết BC a, ABa 3, AD3a Quay tam giác ABC ABD
(Bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay
A
3
3 16
a
B
3
8 3
a
C
3
5 16
a
D
3
4 16
a
Câu 14 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác nhọn ABC, biết quay tam giác quanh cạnh AB, BC, CA ta hình trịn xoay tích 672, 3136
5
,
9408 13
.Tính diện tích tam giác ABC
A S1979 B S364 C S84 D S96
Câu 15 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Một ly dạng hình nón ( hình vẽ với chiều cao
ly h) Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly Hỏi bịt kín miệng ly úp ngược ly lại tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước bao nhiêu?
A
4 63
B
363
4 C
4 63
(17)Câu 16 (Nam Định - 2018) Cho tam giác ABC có A120 , ABACa Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay bằng:
A
3 a
B
3
4 a
C
3
3 a
D
3
3 a
Câu 17 (Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N2 tích
bằng
8
thể tích N1.Tính chiều cao h hình nón N2?
A 10cm B 20cm C 40cm D 5cm
Câu 18 (ToánHọcTuổiTrẻ2019) Cho bìa hình dạng tam giác vng, biết b c độ dài cạnh tam giác vuông khối trịn xoay Hỏi thể tích V khối trịn xoay sinh bìa bao nhiêu?
A
2
2
3 b c V
b c
B
2
2
3 b c V
b c
. C
2
2
2
b c V
b c
D
2
2
3 2( ) b c V
b c
.
Câu 19 Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng
A 12
B
1
11 C 12
D 11
12
Câu 20 (THPTBạchĐằngQuảngNinh2019) Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng
nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu
(18)A 0,501 cm B 0,302 cm C 0,216 cm D 0,188 cm
Câu 21 (ChuyênHùngVươngGiaLai2019) Hai hình nón có chiều cao dm đặt hình vẽ bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nón chứa đầy nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón dm
A 37. B 1
3 C
35 D 1
2
Câu 22 (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: chiều dài đường sinh l10 m, bán kính đáy R5m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB. Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử
A 15 m B 10 m C 5 m D 5 m
Câu 23 Một phểu có dạng hình nón, chiều cao phểu 20cm Người ta đổ lượng nước vào phểu cho chiều cao cột nước phểu 10cm Nếu bịt kím miêng phểu lật ngược lên chiều cao cột nước phểu gần với giá trị sau
A 1,07cm B 0,97cm C 0, 67cm D 0,87cm
Câu 24 Giả sử đồ thị hàm số ym21x42mx2m21 có điểm cực trị A B C, , mà
A B C
x x x Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây: A 4;6 B 2; 4 C 2;0 D 0; 2
Câu 25 Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208
Câu 26 Một hình nón trịn xoay có đường sinh 2a Thể tích lớn khối nón A
3
16 3
a
B
3
16
a
C
3
4 3
a
D
3
8 3
a
Câu 27 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Huyền có bìa hình vẽ, Huyền muốn biến đường trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán OA, OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phểu lớn nhất?
A 2
3 B 3
C
D
(19)tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử
(20)Lý thuyết – phương pháp chung
MẶTNĨN Cácyếutốmặtnón: Mộtsốcơngthức:
Hìnhthành: Quay vng SOM quanh trục SO, ta mặt nón hình bên
với: h SO
r OM
Đườngcao: hSO (SO gọi trục hình nón)
Bánkínhđáy: rOAOBOM
Đườngsinh: lSASBSM
Gócởđỉnh: ASB
Thiếtdiệnquatrục: SAB cân S
Gócgiữađườngsinhvàmặt đáy: SAOSBOSMO
Chuviđáy: p2r
Diệntíchđáy: Sđ r2
Thểtích: . đ . 2.
3
V h S h r
(liên tưởng đến thể tích khối chóp).
Diệntíchxungquanh: Sxq rl
Diệntíchtồnphần:
2
tp xq
S S Sđ rlr
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu (Đề MinhHọa 2020Lần1) Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r
A 4rl B 2rl C rl D 1
3rl
Lờigiải
ChọnC
Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình nón
Câu (Mã 102 -2020Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l7 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 28 B 14 C 14
3
D 98
3
Lờigiải
ChọnB
Có Sxq rl.7.1214
Câu (Mã 101 -2020Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l5 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 20 B 20
3
C 10 D 10
3
Lờigiải
ChọnC
Ta có diện tích xung quanh hình nón cho là: Sxq rl .2.5 10
Câu (Mã 104 -2020Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r2 độ dài đường sinh l7 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 28
3
B 14 C 28 D 14
3
KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
h
l l
l
r O
A B
S
(21)Lờigiải
ChọnB
2.7 14 xq
S rl
Câu (KTNLGVThuậnThành2BắcNinh2019) Gọi , ,l h r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq hình nón là:
A
3 xq
S r h B Sxq rl C Sxq rh D Sxq 2rl
Lờigiải
ChọnB
Diện tích xung quanh hình nón Sxq rl
Câu (Chuyên TháiBình2019) Cho hình nón có bán kính đáy a, đường cao 2a Tính diện tích xung quanh hình nón?
A 2 5a2 B 5a2 C 2a2 D 5a2
Lờigiải
Ta có 2
4
xq
S Rla a a a (đvdt)
Câu (Mã1042017) Cho hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l4 Tính diện tích xung quanh hình nón cho
A Sxq 8 3 B Sxq 12 C Sxq 4 3 D Sxq 39
Lờigiải
ChọnC
Diện tích xung quanh hình nón là: Sxqrl4 3
Câu (Đề ThamKhảo2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh
3a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho
A l3a B l2 2a C
2 a
l D
2 a l
Lờigiải
ChọnA
Diện tích xung quanh hình nón là: Sxqrlal3a2 l 3a
Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh
3a có bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho bằng:
A 3a B 2a C 3
2 a
D 2 2a
Lờigiải
(22)Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl với r a .a l 3 a2 l 3a
Câu 10 (ĐềMinhHọa2017) Trong không gian, cho tam giác vng ABC tạiA,ABa vàACa Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB
A la B l2a C la D la
Lờigiải
ChọnB
Xét tam giác ABC vng A ta có 2 2
4
BC AC AB a BC a Đường sinh hình nón cạnh huyền tam giác l BC2a
Câu 11 (THPTLêQuyĐơnĐiệnBiên2019) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón
A
2
3 a
B
2
2 a
C a2 D
2 a
Lờigiải
ChọnD
Ta có tam giác SAB vng cân S có SAa
Khi đó: 2, a
ROA lSAa Nên
2
2
2
xq
a a
S Rl a
Câu 12 (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón
A 4a2 B 3a2 C 2a2 D 2a2
Lờigiải
B
(23)Ta có: Sxq rl .2a a2a2
Câu 13 (SởVĩnhPhúc2019) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3 a2
, bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón
A 2a B 3
2 a
C 2a D 3a
Lờigiải
3
3 xq
xq
S a
S Rl l a
R a
Câu 14 (THPT -Yên ĐịnhThanhHóa 2019) Cho khối nón N tích 4 chiều cao
3.Tính bán kính đường trịn đáy khối nón N
A 2 B 2
3 C 1 D
4
Lờigiải
Thể tích khối nón tính cơng thức
3
V R h ( R bán kính đáy, h độ dài
đường cao khối chóp)
Theo ra: V 4 , h3 nên ta có 4 2.3 4 2
3 R R R
Vậy R2
Câu 15 (THPTTrầnNhânTông-QN -2018) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân A, gọi I trung điểm BC, BC 2.Tính diện tích xung quanh hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AI
A Sxq 2 B Sxq 2 C Sxq 2 2 D Sxq 4
Lờigiải
1 BC
R , 2
2 lABAC
xq
S R
Câu 16 (ĐồngTháp-2018) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón
I
B C
A
A
2a
(24)A
π
4 a
B
2
2π
3 a
C
2
π
2 a
D πa2
Lờigiải
Ta có lABa,
2
BC a
r , Sxq πrl
2
π
2 a
a
2
π
2 a
Câu 17 (THPTHoàng HoaThám -Hưngn -2018) Cho hình hình nón có độ dài đường sinh
4, diện tích xung quanh 8 Khi hình nón có bán kính hình trịn đáy
A 8 B 4 C 2 D 1
Lờigiải
Ta có diện tích xung quanh hình nón là:
.4
xq
S Rl R R Vậy bán kính hình trịn đáy R2
Câu 18 (Chun QuốcHọc Huế-2018) Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao Tính diện tích xung quanh hình nón
A 12 B 9 C 30 D 15
Lờigiải
Ta có l r2h2 3242 5
Diện tích xung quanh hình nón cho Sxq rl.3.5 15
Câu 19 (THPTHậu Lộc 2 -TH-2018) Cho hình nón có đường sinh l5, bán kính đáy r3 Diện tích tồn phần hình nón là:
A Stp 15 B Stp 20 C Stp 22 D Stp 24
Lờigiải
Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phàn hình nón ta có
tp
S rlr 15 9 24
Câu 20 (ChunLươngThếVinh-ĐồngNai-2018) Cho hình nón N có đường kính đáy 4a, đường sinh 5a Tính diện tích xung quanh S hình nón N
A S10a2 B S14a2 C S36a2 D S20a2
(25)Diện tích xung quanh hình nón N là: Srl .2 5a a 10a2
Câu 21 (ChunVĩnhPhúc-2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 5a2 bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón cho?
A a B 3a C 3a D 5a
Lờigiải
Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq Rl, nên ta có: xq
S l
R
2
5 a a
5a
Câu 22 (ThanhHóa-2018) Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện là:
A một hình chữ nhật B một tam giác cân C một đường elip D một đường tròn
Lờigiải
Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân
Câu 23 (Chun Bắc Ninh- 2018) Cho hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l4 Tính diện tích xung quanh S hình nón cho
A S8 3 B S 24 C S 16 3 D S 4 3
Lờigiải
Ta có S rl4 3 Dạng Thể tích
Câu (Mã103-2019) Thể tích khối nón có chiều cao h có bán kính đáy r
A 2r h2 B 1
3r h C
2 r h
D 4
3r h
Lờigiải
ChọnB
Thể tích khối nón có chiều cao h có bán kính đáy r V r h
5a
2a
A B
(26)Câu (ĐềTham Khảo2020Lần2) Cho khối nón có chiều cao h3 bán kính đáy r4 Thể tích khối nón cho
A 16 B 48 C 36 D 4
Lờigiải
ChọnA
Ta có cơng thức thể tích khối nón .2 .16.3 16
3
V r h
Câu (Mã101 -2020Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r5 chiều cao h2 Thể tích khối nón cho bằng:
A 10
3
B 10 C 50
3
D 50
Lờigiải
Chọn C
Thể tích khối nón 50
3
V r h
Câu (Mã 102 -2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy chiều cao Thể tích
khối nón cho
A B C D
Lờigiải
ChọnC
Thể tích khối nón cho
Câu (Mã103 -2020Lần 1) Cho khối nón có bán kính r2 chiều cao h5 Thể tích khối nón cho
A 20
3
B 20 C 10
3
D 10
Lờigiải
ChọnA
Áp dụng cơng thức thể tích khối nón ta được:
2
.2 20
3 3
r h
V
Câu (Mã104-2020Lần1) Cho khối nón có bán kính đáy r2và chiều cao h4 Thể tích khối nón cho
A 8 B 8
3
C 16
3
D 16
Lờigiải
ChọnC
Ta có .2 1.2 42 16
3 3
V r h
Câu (Mã1102017) Cho khối nón có bán kính đáy r chiều cao h4 Tính thể tích Vcủa khối nón cho
A V 12 B V 4 C V 16 D 16
3 V
Lờigiải
4
r h2
8
8 32
3
32
2
1 32
.4
3 3
(27)ChọnB
Ta có 2
4
3
V r h
Câu (Mã101-2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
A 4
3r h B
2
2r h C 1
3r h D
2
r h
Lờigiải
ChọnC
Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r là:
3
V r h
Câu (Mã1042019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
A 1
3r h B
2
4
3r h C
2r h D r h2
Lờigiải
ChọnA
Lý thuyết thể tích khối nón
Câu 10 (Mã102-2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r
A 4
3r h B
2 r h
C 2r h2 D 1
3r h
Lờigiải
ChọnD
Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r V r h
Câu 11 (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Cho khối nón có bán kính đáy r 3, chiều cao h Tính thể tích V khối nón
A
3
V B V 3 11 C
3
V D V 9
Lờigiải
Thể tích khối nón:
3
V r h
Câu 12 (Chuyên ĐHSPHàNội2019) Cho tam giác ABC vuông ,A ABc AC, b Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta hình nón tích
A 1
3bc B
2
1
3bc C
2
1
3b c D
2
1 3b c
(28)2
1
3
V r h b c
Câu 13 (ChunLươngThếVinhĐồngNai2019) Cho hình nón có độ dài đường sinh 25 bán kính đường trịn đáy 15 Tính thể tích khối nón
A 1500 B 4500 C 375 D 1875
Lờigiải
Gọi h chiều cao khối nón h l2r2 252152 20
2
1
.15 20 1500
3
V r h
Câu 14 (Mã1052017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông A, AB a ACB30o Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC quanh cạnh AC
A V a3 B V 3a3 C
3
3
a
V D
3
3
a V
Lờigiải
ChọnD
Ta có ACAB.cot 30o a 3. Vậy thể tích khối nón :
3
1
3
a
V a a
Câu 15 (Đề Tham Khảo 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho
A
3
a
B
3
3
a
C
3
2
a
D
3
3 a
Lờigiải
ChọnA
Chiều cao khối nón cho h l2r2 a
Thể tích khối nón cho là:
3
2
1
3 3
a V r h a a
(29)A 4 3
B 4
C 2
3
D 4
Lờigiải
ChọnA
Khối nón tích
3
V r h
Câu 17 (KTNLGia Bình2019) Cho khối nón trịn xoay có chiều cao bán kính đáy
a Khi thể tích khối nón là A 4
3a B
3
2
3a C
3
a
D 1
3a
Lờigiải
ChọnD
Khối nón có bán kính đáy Ra Diện tích đáy
S a Thể tích khối nón
3 V a .
Câu 18 (Chuyên VĩnhPhúc2019) Cho khối nón có bán kính đáy r chiều cao h4 Tính thể tích V khối nón cho
A V 16 B 16 3
V C V 12 D V 4
Lờigiải
ChọnD
2
1
.3.4
3
V r h
Câu 19 (THPT Đơng Sơn 1 - Thanh Hóa - 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a đường cao a Thể tích khối nón cho
A
3
3 a
B
3
2 a
C
3
3 a
D
3
3 a
Lờigiải
ChọnC
Ta có l2 ,a ha
2 2 2
4
r l h a a a ra
Thể tích khối nón
3
2
1
3
3 3
a V r h a a
Câu 20 (Chuyên HàTĩnh 2019) Cho khối nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc 120 cạnh bên a Tính thể tích khối nón
h
(30)A
3
8 a
B
3
8 a
C
3
3 24 a
D
3
4 a
Lờigiải
ChọnA
Gọi thiết diện qua trục tam giác ABC (Hình vẽ) có BAC120 ABACa Gọi O trung điểm đường kính BC đường trịn đáy ta có sin 60
2 a rBOAB
cos 60 a
hAO AB Vậy thể tích khối nón
2
3
1
3 2
a a a
V r h
Câu 21 Nếu giữ ngun bán kính đáy khối nón giảm chiều cao lần thể tích khối nón thay đổi nào?
A Giảm lần B Giảm 2lần C Tăng lần D Không đổi
Lờigiải
ChọnB
Gọi ,R h bán kính đường trịn đáy chiều cao hình nón ban đầu Thể tích khối nón ban đầu
1
1
V R h Giữ nguyên bán kính đáy khối nón giảm chiều
cao 2lần thể tích khối nón
2
1
3 2
h
V R V
Câu 22 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa -2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh đường kính đáy a Thể tích khối nón
A
3 16
a
B
3
3 48
a
C
3
3 24
a
D
3
3
a
Lờigiải
ChọnC
Khối nón có độ dài đường sinh đường kính đáy a
SAB cạnh a
(31)2
1 3
3 24
kn d
a a a
V SO S
Câu 23 (ChunAnGiang-2018) Cho khối nón có bán kính r chiều cao h3 Tính thể tích V khối nón
A V 9 B V 3 C V D V 5
Lờigiải
Thể tích V khối nón là:
3 h 5.3
V r
Câu 24 (ChunLamSơn-ThanhHóa-2018) Cho khối nón có bán kính đáy r2, chiều cao h (hình vẽ) Thể tích khối nón là:
A 4
3
B 2
3
C 4 D 4
3
Lờigiải
Ta có
V r h 32 3
3
Câu 25 (THPTLêXoay-2018) Cho hình nón có bán kính đáy 2(cm), góc đỉnh 60o Thể tích khối nón
A 3cm3
9
V B 3cm3
V C V 8 cm 3 D 3cm3
V
Lờigiải
Ta có bán kính đáy r2, đường cao o tan 30
r
h h2
Vậy thể tích khối nón
V r h 4.2 3
3cm3
3
(32)Câu 26 (Cụm5Trường Chun-ĐBSH-2018) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích V khối nón
A
3
6 a
V B
3
6 a
V C
3
6 a
V D
3
6 a
V
Lờigiải
Khối nón có 6 a
ra r hr suy thể tích
3
1
3
a V r h
Câu 27 (THPT Cầu Giấy - 2018) Cho khối nón trịn xoay có đường cao h15cm đường sinh 25
l cm Thể tích V khối nón là:
A.V 1500cm3 B V 500cm3 C V 240cm3 D V 2000cm3
Lờigiải
Ta có: 2 2000
V r h l h h
Vậy: V 2000 ( cm3)
(33)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung
MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:
Hình thành: Quay vng
SOM quanh trục SO, ta mặt nón hình bên
với: h SO
r OM
Đường cao: hSO (SO gọi trục hình nón)
Bán kính đáy:
rOAOBOM
Đường sinh: lSASBSM
Góc đỉnh: ASB
Thiết diện qua trục: SAB cân S
Góc đường sinh mặt đáy: SAO SBOSMO
Chu vi đáy: p2r
Diện tích đáy: Sđ r2 Thể tích: đ
3
V h S h r (liên tưởng đến thể tích khối chóp).
Diện tích xung quanh: Sxq rl Diện tích tồn phần:
2
tp xq
S S Sđ rlr
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, ABa
2
AC a Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng AB đường gấp khúc ACB tạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón
A 5a2 B 5a2 C 2 5a2 D 10a2 Lời giải
Chọn C
2
5
BC AB AC a
Diện tích xung quanh hình nón cần tìm S.AC BC .2 a a 52 5a2
Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 8 B 16 3
C 8 3
D 16 Lời giải
Chọn A
KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
h
l l
l
r O
A B
S
(34)Gọi S đỉnh hình nón AB đường kính đáy
Theo ra, ta có tam giác SAB tam giác lSAAB2r4 Vậy diện tích xung quanh hình nón cho Sxq rl 8
Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính góc đỉnh Diện tích xung quanh hình nón cho
A B C D
Lời giải Chọn A
Ta có độ dài đường sinh
Diện tích xung quanh
Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính góc đỉnh bằng
60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 18 B 36 C 6 3 D 12 3 Lời giải
Chọn A
Gọi l đường sinh, r bán kính đáy ta có r 3
Gọi góc đỉnh Ta có sin 0 sin sin 30
r r
l l
Vậy diện tích xung quanh S rl.3.618
Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 600 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 64
3
B 32 C 64 D 32
3
Lời giải
Chọn B
60°
B S
A
60
50 100
3
50
3
100
5
10 sin 30 sin
2
r l
50
xq
(35)Ta có Góc đỉnh 600OSB300 Độ dài đường sinh: 0
1 sin 30
2
r
l
Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl.4.832
Câu 6. (Mã 123 2017) Cho hình nón có chiều cao h a bán kính đáy r2a Mặt phẳng ( )P qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB2 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến ( )P
A
a
d B
5
a
d C
2
a
d D d a
Lời giải Chọn C
Có P SAB
Ta có SO a h OA OB r , 2 ,a AB2a 3, gọi M hình chiếu O lên AB suy M
là trung điểm AB, gọi K hình chiếu O lên SM suy d O SAB ; OK
Ta tính OM OA2MA2 a suy SOM tam giác vuông cân O, suy K trung điểm SM nên
2
SM a OK
Câu 7. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến SAB
3
a
30 , 60
SAO SAB Độ dài đường sinh hình nón theo a
l
r
300
O B
(36)A a B a C 2a D a Lời giải
Chọn A
Gọi K trung điểm AB ta có OKAB tam giác OAB cân O
Mà SOAB nên ABSOK SOK SAB mà SOK SABSK nên từ O dựng
OH SK OHSABOHd O SAB ,
Xét tam giác SAO ta có: sin
2
SO SA
SAO SO
SA
Xét tam giác SAB ta có: sin
SK SA
SAB SK
SA
Xét tam giác SOK ta có: 2 2 12 21 2 12
OH OK OS SK SO SO
2 2
2 2
1 1
3
4 4
SA SA SA
OH SA SA
2
2
6
2
SA a SA a
SA a
Câu 8. (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a góc đỉnh 60 Tính diện tích xung quanh hình nón
A Sxq 4a2 B
2
2 3
xq
a
S C
2
4 3
xq
a
S D Sxq 2a2 Lời giải
Giả sử hình nón có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy AB đường kính đáy
rOAa, ASB60 ASO30
A B
S
O a
(37)Độ dài đường sinh sin 30
OA lSA a
Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq rl .2a a2a2
Câu 9. (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho đoạn thẳngAB có độ dài 2a, vẽ tia Ax phía điểm B
sao cho điểm B ln cách tia Ax đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia Ax, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A
2
3 2
a
B
2
3
a
C
2
1
a
D
2
2 2
a
Lời giải
Xét tam giác AHB vuông H Ta có AH = AB2HB2 a
Xét tam giác AHBvuông H, HI AB I ta có 3
2
AH HB a a a HI =
AB a
Khi tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay (có diện tích xung quanh S) hợp hai mặt xung quanh hình nón (N1) (N2)
Trong đó:
(N1) hình nón có quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh
1
3
2
a a
S = π.HI.AH = a
(N2) hình nón có quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh
2
3
2
a a
S = π.HI.BH = a
2
1
3
3
2 2
a
a a
S = S + S
Câu 10. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình nón có chiều cao h20, bán kính đáy r25 Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 Tính diện tích S thiết diện
A S 500 B S400 C S 300 D S 406 Lời giải
Giả sử hình nón đỉnh S, tâm đáy O có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu tốn SAB
(hình vẽ)
A
B I H
(38)S
A
B I
O
H
Ta có SO đường cao hình nón Gọi I trung điểm ABOI AB Gọi H hình chiếu O lên SI OH SI
Ta chứng minh OH SABOH 12 Xét tam giác vng SOI có 12 12 12
OH OS OI 2
1 1
OI OH OS
12 12
12 20
225
2
225 15
OI OI
Xét tam giác vng SOI có SI OS2OI2 202152 25
Xét tam giác vng OIA có IA OA2OI2 252152 20 AB40
Ta có S SABC
2AB SI
1.40.25
2
500
Câu 11. (Liên Trường THPT TP Vinh Nghệ An 2019) Cắt hình nón N đỉnh S cho trước mặt phẳng qua trục nó, ta tam giác vng cân có cạnh huyền 2a 2. Biết BC dây cung đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
A
2
4 2
3 a
B
2
4 2
9 a
C
2
2 2
3 a
D
2
2 2
9 a Lời giải
(39)Trong tam giác SIO vng O có 2 6
3 sin
SO
SI a
SIO
cos 6
3
OI SI SIO a
Mà 2 2 4 3
3
BC r OI a
Diện tích tam giác SBC
2
1 4 2
.
2 3
a
S SI BC
Câu 12. (Sở Hà Nội 2019) Cho hình nón trịn xoay có chiều cao 4 bán kính Mặt phẳng
P qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có độ dài cạnh đáy Diện tích thiết diện
A B 19 C 2 D 2 Lời giải
Ta có: hOI 4,RIA IB3,AB2
Gọi M trung điểm AB MI ABABSMIABSM
Lại có: SB OI2IB2 4232 5; SM SB2MB2 5212 2 Vậy: 1.2 6.2
2
SAB
S SM AB
Câu 13. (Chun Hạ Long 2019) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác vuông cân cạnh bên a Tính diện tích tồn phần hình nón
A 4a2(đvdt) B 4 2a2(đvdt) C
2
a (đvdt) D 2 2a2(đvdt)
Lời giải
Giả sử hình nón cho có độ dài đường sinh l, bán kính đáy R
Thiết diện hình nón qua trục tam giác OAB vuông cân O OAa Áp dụng định lý Pitago tam giác vng cân OABta có:
2 2
4
AB OA OB a AB a
Vậy: la 2, Ra
Diện tích tồn phn ca hỡnh nún l: Đá
TP xq y
S S S Rl R2 a2 2 1
(đvdt)
(40)A 32a2 B 2 1 a2 C 2 1 a2 D 62a2 Lời giải
Quay tam giác AA C' vòng quanh trục AA' tạo thành hình nón có chiều cao AA'a, bán kính đáy rACa 2, đường sinh lA C' AA'2AC2 a
Diện tích tồn phần hình nón: S r r la 2a 2a 3 62a2
Câu 15. Cho hình nón có chiều cao bán kính đáy Mặt phẳng P qua đỉnh hình nón cắt đáy theo dây cung có độ dài Khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng P A
7 B
2
2 C
3
3 D
21 Lời giải
Chọn D
Ta có lh1
Mặt phẳng P qua đỉnh hình nón cắt đáy theo dây cung AB có độ dài 1.I, Klà hình chiếu O lên AB; SI Ta có ABSIOOKSAB
ta có
2
2 2
1
2
IO R OA
2 2 2 2
1 1 SO 21
7
OI OK
OK OI OS OI OS
a
B'
C' D' A'
D
C B
(41)Câu 16. Cho hình nón đỉnhS, đáy đường tròn O;5.Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy hai điểm A B cho SAAB8 Tính khoảng cách từ O đến SAB A 2 2 B 3
4 C
3
7 D
13
Lời giải Chọn B
Gọi I trung điểm AB
Ta có AB SO AB SOI SAB SOI AB OI
Trong SOI, kẻ OH SI OH SAB
;
d O SAB OH
Ta có:
2
2 8.5 52 39
5
SO SA OA
Ta có:
2
2 2 4.5
5
5
OI OA AI
Tam giác vng SOI có: 12 12 12 13
4
OH
OH OI SO
Vậy ; 13
d O SAB OH
Câu 17. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, bán kính, R3cm, góc đỉnh hình nón 120 Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đềuSAB, A, B thuộc đường trịn đáy Diện tích tam giác SAB
A 3 cm 2 B 6 cm 2 C
(42)Theo đề ta có góc đỉnh hình nón 120 cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh S
tạo thành tam giác đềuSAB nên mặt phẳng khơng chứa trục hình nón Do góc đỉnh hình nón 120 nên OSC60
Xét tam giác vng SOC ta có tanOSC OC SO
tan
OC SO
OSC
tan 60
Xét tam giác vng SOA ta có SA SO2OA2 2
Do tam giác SAB nên 12 32.sin 60
SAB
S 3 cm2
Câu 18. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng có cạnh huyền a 2 Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón
A
2
3
xq
a
S B
2
2
xq
a
S C
2
2
xq
a
S D
2
2
xq
a
S
Lời giải
Gọi S đỉnh hình nón, thiết diện qua trục tam giác SAB Ta có ABa 2SAa, suy lSAa;
2
AB a
r
Vậy
2
2
2
xq
a a
S rl a
(43)cung có số đo 60 , khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB
R
Đường cao h
của hình nón
A hR B hR C
R
h D
4
R h Lời giải
Chọn D
Gọi I trung điểm AB
Kẻ OH vng góc với SI
,
2
R
d O SAB OH
Ta có cung AB 60 nên AOB60
Tam giác AOI vng ,I ta có cos cos 30
OI R
IOA OI OA
OA
Tam giác SOI vng ,O ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
3
3
2 2
R SO OH SO OI SO OH OI R R R
Câu 20. (Chun Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón trịn xoay có chiều cao 2a, bán kính đáy 3a Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
2
a
Diện tích thiết diện
A
2
2
7
a
B 12a2 C
2
12
a
D
2
24
a
Lời giải
Chọn D
(44)Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác SAB cân S
+ Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Trong tam giác SOI, kẻ OH SI, HSI + AB OI AB SOI AB OH
AB SO
+
OH SI
OH ABOH SAB
3 ,
2 d O SAB OH a
Xét tam giác SOIvuông O, ta có 12 2 12
OI OH SO 2
4
9 36
OI a
a a a
2
2 2 36
4
7
a a
SI SO OI a
Xét tam giác AOIvuông I,
2
2 2 36 3
9
7
a a
AI AO OI a
2
7
a AB AI
Vậy diện tích thiết diện là:
2
1 24
2 7
SAB
a a a
S SI AB
Câu 21. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có diện tích
2
4a Góc trục SO mặt phẳng SAB 30 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 4 10a2 B 2 10a2 C 10a2 D 8 10a2 Lời giải
(45)Gọi M trung điểm AB, tam giác OAB cân đỉnh O nên OM AB SOAB suy
AB SOM
Dựng OK SM
Theo có OK AB nên OK SAB
Vậy góc tạo trục SO mặt phẳng SAB OSM30
Tam giác vuông cân SAB có diện tích 4a2 suy 2 2SA a SA a
4
AB a SM a
Xét tam giác vuông SOM có cos 3.2
SO
OSM SO a a
SM
Cuối OB SB2SO2 a
Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq rl.a 5.2a 2a2 10
Câu 22. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc Diện tích thiết diện
A B C D
Lời giải Chọn A
2
a 60
2
2
a 2
2
a 2a2
2
2
(46)Giả sử hình nón có đỉnh , tâm đường trịn đáy Thiết diện qua trục , thiết diện qua đỉnh ; gọi trung điểm
Theo giả thiết ta có vng cân , cạnh huyền
Ta lại có ;
Diện tích thiết diện cần tìm
Dạng Thể tích
Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình nón có chiều cao Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho
A 32
3
B 32 C 32 5 D 96 Lời giải
Chọn A
S O SAB
SCD
I CD
SAB
S 2
2
a ABa rOA
SASB l a
2
2 2 2
4
a a
h SO SA OA a
2
6
60 sin 60
sin 60 3
a
SO SO a
SIO SI
SI
2
2 2 3
9 3
a a a
ID SD SI a CD
2
1
2 3
SCD
a a a
(47)Theo giả thiết tam giác SAB đều, SSAB 9 SO2
2 3
9
4
SAB
AB
S AB
SAB
SA AB6
Xét SOA vng O, theo định lý Pytago ta có: OA SA2SO2 622 52 4
Thể tích hình nón 52 32
3 3
V r h OA SO
Câu 2. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tính thể tích hình nón có góc đỉnh 60o diện tích xung quanh 6a2
A
3
3
4
a
V B V 3 a3
C
3
3
4
a
V D V a3
Lời giải
Chọn B
Khối nón có góc đỉnh 60o nên góc tạo đường sinh đáy 60 o
Vậy
l
R ; lại có Sxq RlR R.2 6a2 nên Ra 3; h l2R2 R 33a
Vậy 3 3.
3
V R h a
Câu 3. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB6, AC8và M trung điểm cạnh AC Khi thể tích khối trịn xoay tam giác BMC quanh quanh AB
là
A 86 B 106 C 96 D 98
Lời giải
Khi tam giác BMC quanh quanh trục ABthì thể tích khối trịn xoay tạo thành hiệu thể tích khối nón có đường cao AB, đường sinh BC khối nón có đường cao AB, đường sinh BM Nên 96
3
V AB AC AB AM AB AC .Đáp án C
Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đơn Điện Biên 2019) Cho hình nón có bán kính đáy 2cm, góc đỉnh 60 Tính thể tích khối nón
A 8 cm3
9
B
8 cm C 8 cm3
3
D 8 cm3
(48)Cắt hình nón mặt phẳng qua trục, ta thiết diện tam giác ABC cân đỉnh A
của hình nón
Do góc đỉnh hình nón BAC60, suy HAC30 Bán kính đáy RHC2cm Xét AHC vng H, ta có
tan 30
HC
AH
2 3cm
Thể tích khối nón:
V R AH
3
cm3
Câu 5. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC vuông A, AB6cm AC, 8cm Gọi V1 thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AB V2 thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỷ số
2 V
V bằng:
A 3
4 B
4
3 C
16
9 D
9 16
Lời giải
Ta có cơng thức tính thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r
3
V r h
+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB thì:
h AB cm rAC8cm
1
.8 128
V
+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC thì:
h AC cm rAB6cm 2 82 96
V
Vậy:
4
V
V đáp án B
l
A C
B
h=6 r=8
l
A B
C
h=8 r=6 =
A
B C
(49)Câu 6. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình nón N1 đỉnh Sđáy đường trịn C O R ; , đường cao
40cm
SO Người ta cắt nón mặt phẳng vng góc với trục để nón nhỏ N2 có đỉnh
S đáy đường tròn C O R ; Biết tỷ số thể tích
1
N
N
V
V Tính độ dài đường cao nón
2
N
A 20 cm B 5cm C 10cm D 49 cm Lời giải
Ta có:
1
2
1 N
V R SO,
2
2
1
N
V R SO
Mặt khác, SO A SOB đồng dạng nên R SO
R SO
Suy ra:
3
2
N
N
V R SO SO
V R SO SO
Suy 1.40 20 cm
2
SO
SO
SO Do chọn A
Câu 7. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho đồng hồ cát bên (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy
lượng cát vào phần bên chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu?
A
64 B
1
8 C
1
27 D
1 3
Lời giải Chọn B
(50)Do đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60
Suy ra: OAI OBI 60, ta có mối liên hệ: h1 , r h1 2 3r2 Theo đề ta có: 2 3
1 1 2
1
1000
3
V V V h r h r h h
Mà: 3 3
1 2 2 200
h h h h h h h h h h Kết hợp giả thiết: h1h2 30 ta
2
10 20
h h
Từ tỉ lệ cần tìm
2
1
2
2
10 1 20
V h
V h
Câu 8. Cho hinh chữ nhật ABCDcó AB2,AD2 nằm măt phẳng P Quay P vòng quanh đường thẳng BD Khối tròn xoay tạo thành tích
A 28
9
B 28
3
C 56
9
D 56
3
Lời giải Chọn C
Khối nón đỉnhD, tâm đáy I tích V1
Ta có BD4 mà IC BD' BC'.C'DIC'
'
DC ID
BD
nên 1 '
V IC ID
Khối nón cụt có tâm đáy ,J I tích V2
Ta có DI3,DJ 2, 2
' 3
JE DJ
JE
IC DI
2
2
1 19
'
3
V IC DIJE DJ
Vậy thể tích cần tìm 2 1 2 56
(51)Câu 9. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2, AD2 nằm mặt phẳng P Quay P vòng quanh đường thẳng BD Khối tròn xoay tạo thành tích
A 28
B 28
3
C 56
9
D 56
3
Lời giải
Gọi điểm hình vẽ
1,
V V thể tích khói nón, nón cụt nhận quay tam giác ABH tứ giác AHLT
quay BD
Ta có: 3, I ,
3
AH L BHHL Ta có:
2
2
V V V 2
2
3BH AH 3HL IL IL AH AH
1 56
2 .3
3` 3
Câu 10. (Cụm 8 Trường Chun 2019) Cho hình thang ABCD có AB90, ABBCa,
2
AD a Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD
A
3
7
a
B
3
7 12
a
C
3
7
a
D
3
7 12
a
(52)Gọi E giao điểm AB CD Gọi F hình chiếu vng góc B CE
Ta có: BCF BEF nên tam giác BCF BEF quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón tích V1
ADC AEC
nên tam giác ADC AEC quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón tích V
Nên thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CDbằng:
2
1
1
2 2
3
V V CD AC CF BF
3 3
3
2
2
3
a a
a
Câu 11. (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho hình tứ diện ABCD có ADABC, ABC tam giác vuông B Biết BC2(cm) ,AB2 3(cm AD), 6(cm) Quay tam giác ABC
ABD ( bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay
A ( cm3) B 5 ( 3)
2 cm C
3
3
( )
2 cm D
3
64
( ) cm
(53)Dễ thấy AD ABCADR1
Gọi M BDAC N hình chiếu M AB Dễ dàng chứng minh tỉ lệ:
(1)
MN AN
BC AB ; (2)
MN BN
AD AB
(1)
3 ;
(2) 4
AD AN AN BN
BC BN AB AB
3 3
; ;
2 2
AN BN MN
Phần thể tích chung khối trịn xoay phần thể tích quay tam giác AMB xung quanh trục AB Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay tam giác BMNxung quanh AB
Và V2 thể tích khối trịn xoay quay tam giác AMNxung quanh AB Dễ tính được: 1 3 ( )
8
V dvtt 2 ( ) 1 2 3 ( )
8
V dvtt V V dvtt Chọn C
Câu 12. (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh
2
6a Tính thể tích V khối nón cho A
3
3
4
a
V B
3 2
4
a
V C
3
V a D
V a Lời giải
Thể tích
3
V R h OA SO
Ta có ASB60 ASO30 tan 30 3
OA
SO OA SO
Lại có . . . 2 6
xq
S RlOA SA OA OA SO a
OO S
(54)2 2 2
3 6
OA OA OA a OA a
3 3 3
3
OA a SO a V a a a
Câu 13. (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích V khối nón tương ứng
A Sxq a2,
3
6 12
a
V B
2
2
xq a S ,
3
3 12
a
V
C Sxq a2 2,
3
6
a
V D Sxq a2,
3
6
a
V
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có: góc đường sinh mặt đáy SAO60 Tam giác SAO vuông O:
.cos 2.cos 60
a
ROASA SAOa
.sin 2.sin 60
a
hSOSA SAOa
Vậy
xq
S Rla
3
1
3 12
a
V R h
Câu 14. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình nón có chiều cao 6a Một mặt phẳng P qua đỉnh hình nón có khoảng cách đến tâm 3a, thiết diện thu tam giác vng cân Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho
A 150a3 B 96a3 C 108a3 D 120a3 Lời giải
(55)Mặt phẳng P cắt hình nón theo thiết diện tam giác SDE Theo giả thiết, tam giác SDE
vuông cân đỉnh S Gọi G trung điểm DE, kẻ OH SGOH3a Ta có 2 12 2 2 2 12 OG 2a
OH SO OG OG OH SO
Do
3
SO OG a a
SO OG OH SG SG a
SG a
DE8a
2 2
12 48 15
OD OG DG a a a
Vậy 2 15 2 6 120
3
V a a a
Câu 15. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 10 Mặt phẳng vng góc với trục cách đỉnh hình nón khoảng 4, chia hình nón thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh hình nón cho, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số
2 V V ?
A
25 B
21
25 C
8
117 D
4 21
Lời giải Chọn C
Ta có: //
10
IB SI IB OA
OA SO
(56)Khi đó, 2 .
1 . . 125
3
IB SI
V IB SI
V OA SO
OA SO
Suy ra: 117
1
125 125
V
V
Vậy 1 2
8 117
: :
125 125 117
V V V
V V V
Câu 16. (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy 2a Mặt phẳng
P qua đỉnh S hình nón, cắt đường tròn đáy A B cho AB2a 3, khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng P
2
a
Thể tích khối nón cho
A a
B
3
4
a
C
3
2
a
D
3 a Lời giải Chọn B
Gọi C trung điểm AB,O tâm đáy Khi SO AB SOC AB OC AB
Gọi H
hình chiếu O lên SC OHSAB nên 2
OH a
2 ,
OB a BCa OCa Xét tam giác vuông SOC: 12 12 12 12 SO a
SO OH OC a
Vậy thể tích khối nón giới hạn hình nón cho
3
1
3
a
a a
Dạng Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Câu 1. (Mã 123 2017) Trong hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh a Tính thể tích
Vcủa khối nón đỉnh S đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
A
2
a
V B
3
2 a
V C
3
6 a
V D
(57)Chọn C
Gọi O AC BDSOABCD Lại có
2 AC
OC aSO SA2OC2 a Bán kính
2 2
AB a
r Suy thể tích khối nón là:
2 3
1
3
a a
V a
Câu 2. (Mã 110 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh 3a Hình nón N có đỉnh A có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh Sxq N
A Sxq 12a2 B Sxq 6a2 C Sxq 3 3a2 D Sxq 6 3a2
Lời giải Chọn C
Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Ta có 3
2
a
BM ; 2 3
3
a
r BM a
2
3.3 3
xq
S r lr ABa a a
Câu 3. (Chun ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC Hình nón có đỉnh S có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S ABC, hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho
A 1
2 B
1
4 C
2
3 D
1
(58)Gọi M trung điểm BC
Gọi O trọng tâm tam giác ABC Ta có: SOABC O
Suy ra, O tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC
Gọi V1, V2 thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC
Do
2
OM OA nên ta có:
2
1
2
1
1
OM SO V
V OA SO
2
2
2
1
2
OM OM
OA OA
Câu 4. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 60o Diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A
2
10
a
B
2
3
a
.C
2
7
a
D
2
7
a
(59)Gọi I tâm đường tròn ABC
3
a
IA r
Gọi M trung điểm ABABSMC
Góc mặt bên mặt đáy góc SMC60o 2
a
SM IM
3
a
,
SA SM2MA2
2
3
a a
21
6
a
Diện tích xung quanh hình nón Sxq rl 21
3
a a
2 7
6
a
Câu 5. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vngABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng
A B C D Diện tích tồn phần khối nón
A
2
3 2
tp a
S B
2
5
tp a
S C
2
5
tp a
S D
2
3
tp a
S Lời giải
Chọn B
Bán kính đường tròn đáy
a r Diện tích đáy nón là:
2
4
a S r
Độ dài đường sinh 2
2
a l a r
A B
C D O
A
B
C
D
O
a
(60)Diện tích xung quanh khối nón là:
2
2
5
a S rl
Vây, diện tích tồn phần khối nón là:
2
1
4
tp
a
S S S
Câu 6. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A
2 3
3
a
B
2 7
6
a
C
2 7
4
a
D
2 10
8
a Lời giải
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, trung điêmt cạnh BC, ta có
6
a
OM ,
3
a
OA SMO60
Trong tam giác vuông SMO:
2
0
tan 60
6 3
a a a a a
SOOM SA
Vậy
2
3 7
3
xq
a a a
S OA SA
Câu 7. (Mã 105 2017) Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy góc 60 Mặt phẳng qua trục N cắt N thiết diện tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp 1 Tính thể tích V khối nón giới hạn N
A V 9 B V 3 3 C V 9 3 D V 3 Lời giải
(61)Hình nón N có đường sinh tạo với đáy góc 60nên SAH60
Ta có SAB cân S có A 60 nên SAB Do tâm I đường trịn nội tiếp SAB
cũng trọng tâm SAB
Suy SH3IH3.Mặt khác 3 2 3 3 Đáy 3
AB
SH AB R S R
Do 13.3
3 Đáy
V SH S
Câu 8. (Chun Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A
2
3
a
B
2
7
a
C
2
7
a
D
2
10
a
Lời giải
Chọn B
Gọi E trung điểm BC Theo giả thiết SEA 600 Suy ra:
2
a
SA l
2
3 7
3
xq
a a a
S Rl
Câu 9. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có độ dài cạnh đáy a N hình nón có đỉnh S với đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Tỉ số thể tích khối chóp S ABCD. khối nón N
A
B
2
C 2
D
(62)Gọi h chiều cao khối chóp đồng thời đường cao khối nón Thể tích khối chóp
1
1
V a h
Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD
2
AC a
r
Thể tích khối nón
2
2
1
a V h
Tỉ số thể tích khối chóp S ABCD. khối nón N
2
V V
Câu 10. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh
2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45 Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp là: A 8π 3
3 a B
3
2 π
3 a C
3
2πa D 2π 3 a Lời giải
Chọn D
Ta có S ABCD hình chóp đều, gọi OACBD
Góc cạnh bên với mặt đáy SBO45
ABCD hình vng cạnh 2a BD2 2a
Khối nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD có bán kính đường trịn đáy 2
BD R a
SOB
vuông cân O
Chiều cao khối nón hSOOB 2a
Thể tích khối nón là: 1π 1π 22. 2 2π 2
3 3
V R h a a a
Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy
a Tam giác SAB có diện tích 2a2 Thể tích khối nón có đỉnh S đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD
A
3
7
a
B
3
7
a
C
3
7
a
D
3
15 24
a
Lời giải
Gọi O ACBD M trung điểm
AB Hình nón có đỉnh S đường tròn đáy nội
S
A D
B
C O
45
2a
M O
B
D A
(63)tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy
2
a
ROM có chiều cao hSO
Thể tích khối nón
3
V Bh
2
4
a BR Diện tích tam giác SAB 2a2 nên 2
2SM AB a SM 4a
Trong tam giác vng SOM ta có
2
2 2
16
4
a a
SO SM OM a hay
2
a
h
Vậy thể tích khối nón
3
7
a
V
Câu 12. (Tốn Học Tuổi Trẻ 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vuông A B C D Kết tính diện tích tồn phần Stp khối nón có dạng
2
4
a
b c
với b c hai số nguyên dương b1 Tính bc
A bc5 B bc8 C bc15 D bc7 Lời giải
Ta có bán kính hình nón
2
a
r , đường cao ha, đường sinh
a l
Diện tích tồn phần Stp rl r2
2
5
4
a a
2
5
a
b5,c1 Vậy bc5
Câu 13. (Chun Đh Vinh -2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh ABa, góc tạo
(64)A
2
7
a
B
2
7
a
C
2
3
a
D
2
3
a
Lời giải
Gọi M trung điểm AB gọi O tâm tam giác ABC ta có :
AB CM AB SO
AB SCM
ABSM ABCM
Do góc SAB ABC SMO60 Mặt khác tam giác ABC cạnh a nên
2
a
CM Suy
3
a OM CM
.tan 60
SOOM 3
6
a
2
a
Hình nón cho có chiều cao
2
a
hSO , bán kính đáy 3
a
ROA , độ dài đường sinh
2 21
6
a l h R
Diện tích xung quanh hình nón là:
2
3 21
3 6
xq
a a a
S R l Câu 14. (Nam Định - 2018) Cho hình nón đỉnh ,S đáy hình trịn
nội tiếp tam giác ABC Biết AB BC10a, 12
AC a, góc tạo hai mặt phẳng SAB ABC
bằng 45 Tính thể tích V khối nón cho A V 3πa3 B V 9πa3
C V 27πa3 D V 12πa3
Lời giải I
B
A
(65)Dựng IK AB suy góc SAB ABC góc SKI45 Xét ΔABC có:
10 10 12 16
2
AB BC AC a a a
p a
Suy
ΔABC
S p pa pb pc
2
16 6 4a a a a 48a
Bán kính đường trịn nội tiếp
2
48 16
S a
r a
p a
Xét ΔSIK có SI IK r 3a Thể tích khối nón là:
2
1
V h πr 1.3 3 2 9
3 a π a πa
Câu 15. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có đỉnh tâm
O hình vng A B C D đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD A 17
xq
S a B
2
17
xq a
S C
2
17
xq a
S D 2 17 xq
S a Lời giải
I B
A
C S
(66)Bán kính đáy hình nón:
2
a
R
Đường sinh hình nón: lOM l MI2OI2
2
4
a
l a
17
l a
Diện tích xungquanh hình nón S .R l 17
2
a
S a
2
17
a
S
(67)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NĨN (CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ - CỰC TRỊ)
Lý thuyết – phương pháp chung
MẶTNĨN Cácyếutốmặtnón: Mộtsốcơngthức:
Hìnhthành: Quay vuông
SOM quanh trục SO, ta
mặt nón hình bên với: h SO
r OM = =
Đườngcao: h=SO (SO
cũng gọi trục hình nón)
Bánkínhđáy:
r=OA=OB=OM
Đườngsinh:
l=SA=SB=SM
Gócởđỉnh: ASB
Thiếtdiệnquatrục: SAB cân tại S
Gócgiữađườngsinhvàmặt đáy: SAO=SBO=SMO.
Chuviđáy: p=2r Diệntíchđáy: Sđ =r2 . Thểtích: đ
3
V = h S = h r
(liên tưởng đến thể tích khối chóp). Diệntíchxungquanh: Sxq =rl. Diệntíchtồnphần:
2 . tp xq
S =S +Sđ =rl+r
Câu 1. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai khối nón có chung trục SS =3r Khối nón thứ có đỉnh S, đáy
là hình trịn tâm S bán kính 2r Khối nón thứ hai có đỉnh S, đáy hình trịn tâm S bán kính r Thể tích phần chung hai khối nón cho bằng
A 4
27
r
. B
3
9
r
. C
3 4
9
r
. D
3 4
3
r
. Lời giải
Chọn C
Gọi ( )P mặt phẳng qua trục hai khối nón cắt hai đường tròn ( )S r, (S, 2r) theo đường kính AB CD, Gọi M =SCS B N , =SDS A Phần chung khối nón
đã cho gồm khối nón chung đáy hình trịn đường kính MN đỉnh S S,
Ta có 1
3 3
MN SN SN SA r r
MN CD
CD = SD = SN+ND =SA S D+ = r = = =
Gọi I giao điểm MN SS Ta có , 2
3
SI = SS=r S I = SS= r
Do thể tích phần chung
2 2 2 3
1 1 4
.2
3 3 9
MN MN r r r
V = SI + S I = r + r =
.
KHỐI NÓN
Chuyên đề 21
h
l l
l
r O
A B
S
(68)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Câu 2. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ bên) quanh trục DB
A
9 3
8
a
. B
3
3 3
8
a
. C
3
2 3
3
a
. D
3 3 12
a
Lời giải
Chọn B
Thể tích vật thể trịn xoay gồm hai phần bao gồm thể tích V1 hình nón tạo tam giác vuông ABC quay quanh cạnh AB thể tích V2 hình nón tạo tam giác vuông ADE
khi quay quanh cạnh AD
*Xét tam giác vuông ABC vuông B ta có:
1 sin 30
o
r =BC=AC =a; h1=AB=AC.sin 60o =a 3 Vậy ta có
3
2
1 1
1 1 3
. . 3
3 3 3
a V = r h = a a = *Xét tam giác vng ADE vng D ta có:
2 sin 30
2 o a
r =DE=AE = ; 2 sin 60
2 o a
h = AD= AE =
Vậy ta có
2 3
2
2 2
1 3
3 2 24
a a a
V = r h = =
Vậy thể tích vật thể trịn xoay
3 3
1
3 3 3 3
3 24 8
a a a
V = +V V = + =
Câu 3. (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho tam giác ABC vuông A, BC=a, AC=b, AB=c,
bc Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh BC, quay cạnh AC, quanh cạnh
AB, ta thu hình có diện tích tồn phần theo thứ tự S S Sa, b, c Khẳng định sau đây đúng?
A Sb ScSa. B Sb Sa Sc. C Sc Sa Sb. D Sa Sc Sb Lời giải
Chọn A
(69)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh BC ta thu hình hợp hai hình nón trịn xoay có chung đáy bán kính h, đường sinh b c, Do Sa =bh+ch Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh AC ta thu hình nón trịn xoay có bán kính đáy c, đường sinh a, Sb =ac+c2 =c a c( + ).
Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh AB ta thu hình nón trịn xoay có bán kính đáy b, đường sinh a, Sc =ab+b2=b a b( + ).
Do bc nên
2 ab ac b c
ScSb
Ta có h bc Sa b2.c c2.b
a a a
= = +
Tam giác ABC vuông nên c b2 c b2
a a ;
2
2 1
c b
c ab
a a
( )
2
a c
S b ab b a b S
+ = + = Do Sa Sc Vậy Sb Sc Sa
Câu 4. Cho tam giác ABC cân A, góc BAC=120 AB=4cm Tính thể tích khối trịn xoay lớn nhất ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC A 16 3 ( )3
cm B 16 ( )3
cm C 16
3
( )3
cm D 16
3
( )3
cm
Lời giải Chọn B
Trường hợp 1: Khối tròn xoay quay ABC quanh đường thẳng chứa AB(hoặc AC)
tích hiệu thể tích hai khối nón ( )N1 ( )N2 Dựng CK⊥BA K
.cos 4.cos 60 2cm 4 2 6cm
.sin 4.sin 60 2 3cm
AK AC CAK
BK BA AK
CK AC CAK
= = =
= + = + =
= = =
+ ( )N1 có h1 =BK=6cm, r1=CK=2 3cm + ( )N2 có h2 = AK=2cm, r2 =CK=2 3cm Do ( ) ( )2 ( )
16
3
V = CK BK−AK = − = ( )cm3
Trường hợp 2: Khối tròn xoay quay ABC quanh đường thẳng chứa BC tích tổng thể tích hai khối nón ( )N3 ( )N4
Kẻ đường cao AH (HBC) .cos 4.cos 60 2cm
.sin 4.sin 60 2 3cm
AH AB BAH
BH CH AB BAH
= = =
= = = =
(70)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Do 1 1 16
2. . . 2. .2 3
3 3 3
V = AH BH = = ( )cm3 Vậy Vmax =16 ( )3
cm
Câu 5. (Cụm liên trường Hải Phịng- 2019) Huyền có bìa hình trịn hình vẽ, Huyền muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm
x để thể tích phễu lớn nhất?
A 2
3 . B 3
. C
2
. D
4
. Lời giải
Chọn A
Góc x chắn cung AB có độ dài l= R x.
Từ giả thiết suy bán kính phễu
2 Rx r
= chiều cao phễu
2 2
4
2
Rx R
h R x
æ ửữ ỗ
= - ỗỗố ữữứ = -
Khi thể tích phễu
2
2 2 2
2
1 1
. . 4 4
3 3 4 2 24
R x R R
V r h x x x
= = - = -
Xét hàm số ( ) 2 4
f x = x - x , xỴ (0; 2)
( ) ( ) ( )
2 2
3 2
2 2 2
2 4 8 3
2 4
4 4 4
x x x x x
x
f x x x
x x x
- -
-¢ = - - = =
- -
-
Cho ( )
f¢x = Þ x=
Lập bảng biến thiên, ta có:
Vậy thể tích phễu lớn
3
(71)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 6. Một khối nón tích 9a3 2 Tính bán kính R đáy khối nón diện tích xung quanh
nhỏ
A R=3a. B 3
2
a
R= . C R= 39a. D 3
2
a R= . Lời giải
Chọn A
Gọi h l, chiều cao độ dài đường sinh khối nón
2
2
1 27
3
a
V R h a h
R
= = = 2
4
729 a
l R h R
R
= + = +
6 6
4 3
2 2
729 729 729 729
xq
a a a a
S R l R R
R R R R
= = + +
2 xq
S a
= Nên
minSxq =9a
6
2
729
3 a
R R a
R
= = .
Câu 7. (HSG Sở Nam Định 2019) Cho hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q song song với cắt khối cầu tâm O, bán kính R thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của hai hình trịn có đáy hình trịn cịn lại Tính khoảng cách h hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q để diện tích xung quanh hình nón lớn
A h=R. B h=R 2. C 2 3
3
R
h= . D 2R 3 Lời giải
Chọn C
Cắt khối cầu tâm O, bán kính Rbằng mặt phẳng ( ) qua tâm O vng góc với hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q ta hình vẽ bên
Trong đó, AB=( ) ( ) P ,CD=( ) ( ) Q với AB=CD, h=SH=AC=BD, R=OB Đường sinh l=SC=SD
Bán kính hình trịn giao tuyến 2
AB r= Ta có: l2 =SC2 =AC2+AS2 =h2+r2
2
2 2 2
4
h r =SB =OB −SO =R − Suy
2 2 3
4
h l =R +
(72)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Ta có Sxq đạt giá trị lớn rl đạt giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số r 3 l ta có
( ) ( )
2 2
1 3 3 2 3
.2. 3 3 .4
6 6 3
2 3
R
rl= r l r +l = R =
rl lớn
2 3
3
R
3 2 4 2 3.
3 3
R r = l h = R =h
Câu 8. (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho tam giác OAB vng cân O, có OA= 4 Lấy điểm M
thuộc cạnh AB(M khơng trùng với A, B) gọi H hình chiếu M OA Tìm giá trị lớn thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh OA.
A 128 81
. B 81
256
. C 256
81
. D 64
81
. Lời giải
Chọn C
Đặt h= OH, 0< h< 4
Khi quay tam giác OMH quanh OA, ta hình nón đỉnh O chiều cao h bán kính đáy
r= HM
Ta có HM //OB nên AH HM
AO= OB
4
4
h r
-Þ = Þ r= -4 h
2
V = r h (4 )2
3 h h
= - (4 )(4 ).2
6 h h h
= -
-3
1 4
6
h h h
ổỗ - + - + ửữ
Ê ỗỗố ÷÷ø 256
81
=
Vậy max 256
3 27
V = 256
81
= .
Câu 9. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Lượng nguyên liệu cần dùng để làm nón được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh mặt nón Cứ 1kg dùng để làm nón có thể làm số nón có tổng diện tích xung quanh 6,13m2 Hỏi muốn làm 1000 nón lá giống có đường trình vành nón 50cm, chiều cao 30cm cần khối lượng gần với con số đây? (coi nón có hình dạng hình nón)
A 50kg B 76kg C 48kg D 38kg Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết nón hình nón có bán kính đáy 50 25( ) 0, 25( ) 2
(73)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Gọi l chiều cao hình nón 2 61 ( ) 20
l R h m
= + =
Diện tích xung quanh nón 0, 25 61 61 ( )2
20 80
xq
S =Rl= = m
Tổng diện tích xung quanh 1000 nón 1000 61 25 61 ( )2
80
S = = m
Do khối lượng cần dùng 50, 03( ) 6,13
S
kg
Câu 10. Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm ( mơ tả hình vẽ ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0, 01dm)
A h1, 41dm. B h1,89dm. C h1, 91dm. D h1, 73dm. Lời giải
Chọn C
Gọi bán kính đáy, thể tích (phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm) khối nón lần lượt r; V
Gọi bán kính đáy, thể tích (tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng ly thứ sau rót sang ly thứ hai ) khối nón r1; V1
Gọi bán kính đáy, chiều cao, thể tích (tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng ly thứ hai ) khối nón r2; ;h V2
Ta có: Thể tích chất lỏng ban đầu là: 2
V = r
Thể tích chất lỏng cịn lại sau rót sang ly thứ hai là:
1
1
V = r
mà
1
1
2 12
r r
r V r
(74)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Thể tích chất lỏng ly thứ hai là: 2 2
2 2
1 7
3 12
V = r h= − V V r h= r r h= r
mà
2 1, 91
2
r h hr
r h h dm
r = = =
Kết luận: h1, 91dm.
Câu 11. Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy là: A 10 cm ( ) B 50 cm ( ) C 20 cm ( ) D 25 cm ( )
Lời giải Ta có diện tích miếng tơn S =.2500 cm( )2 Diện tích tồn phần hình nón là: Stp =R2+ .R l
Thỏa mãn yêu cầu tốn ta có: R2+ .R l=2500 R2+R l =2500= A l A R R
= − Thể tích khối nón là:
2
V = R h 2
3
V R l R
= −
2
2
1
A
V R R R
R
= − −
2
2 1
. 2
3
A
V R A
R
= − 2
3
V A R A R
= −
2
2
3
A A
V A R
= − −
1 . 3 2 2
A A
V
Dấu xảy 25 4
A
R= = , V đạt GTLN R=25
Câu 12. (Phan Dăng Lưu - Huế - 2018) Cho hình nón ( )N có đường cao SO=h bán kính đáy
R, gọi M là điểm đoạn SO, đặt OM =x, 0 x h ( )C thiết diện mặt phẳng ( )P
vng góc với trục SO M , với hình nón ( )N Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy ( )C
lớn A
2 h
B 2
2
h
C
2 h
D
3 h
Lời giải
Ta có BM bán kính đường tròn ( )C Do tam giác SBM∽SAO nên BM SM
AO = SO
AO SM BM
SO
= BM R h( x)
h −
=
(75)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
1
V = BM OM ( )
2
1 3
R h x x h
−
=
( )
2
2
1 3
R
h x x h
= −
Xét hàm số ( ) ( )
2
2
1 3
R
f x h x x
h
= − , (0 x h) ta có
Ta có ( ) ( )( )
2
1
3 3
R
f x h x h x
h
= − − ; ( ) ( )( )
2
1
0 3
3 3
R h
f x h x h x x
h
= − − =
Lập bảng biến thiên ta có
Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O đáy ( )C lớn
3 h
x=
Câu 13. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), ABC
là tam giác vng B Biết BC=a, AB=a 3, AD=3a Quay tam giác ABC ABD
(Bao gồm điểm bên 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta 2 khối trịn xoay Thể tích phần chung 2 khối trịn xoay
A
3 3 3
16
a
B
3 8 3
3
a
C
3 5 3
16
a
D
3
16 a
Lời giải
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy đường
tròn bán kính AE=3 cm Gọi I=ACBE, IH ⊥AB H Phần chung 2 khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB 2 khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH
Ta có IBC đồng dạng với IEA
IC BC
IA AE
= = IA=3IC
Mặt khác IH BC//
4
AH IH AI
AB BC AC
= = = 3
4
a
IH BC
(76)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Gọi V1, V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình trịn tâm H
2
1
3
V = IH AH
2
1
3
V = IH BH
1
V V V
= +
3
V IH AB
= .9 2. 3
3 16
a
V a
= 3
16 a V
=
Câu 14. (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác nhọn ABC, biết quay tam giác quanh cạnh AB, BC, CA ta hình trịn xoay tích 672, 3136
5 , 9408 13
.Tính diện tích tam giác ABC
A S=1979 B S=364 C S=84 D S=96 Lời giải
Vì tam giác ABC nhọn nên chân đường cao nằm tam giác
Gọi ha, hb, hc đường cao từ đỉnh A, B, C tam giác ABC, a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB
Khi
+ Thể tích khối tròn xoay quay tam giác quanh AB 1 672
3 h cc =
+ Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh BC 1 3136
3 ha a
=
+ Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh CA 1 9408
3 h bb 13
= Do 2 1 . 672 3 1 3136 . 3 5 1 9408 . 3 13 c a b c h a h b h = = = 2 4 672 3 4 3136 3 5 4 9408 3 13 S c S a S b = = = 2 4 3.672 20 3.3136 52 3.9408 S c S a S b = = =
( )( )( )( )
4
1 1
3 9408 28812
a b c a b c b c a c a b S
+ + + − + − + − =
4
1 1
16
3 9408 28812
S S
=
6
16.81.9408.28812 S
= =S 84
Câu 15. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Một ly dạng hình nón ( hình vẽ với chiều cao ly h) Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly 1
4
(77)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A
4 63
4 −
B
3 63
4 C
4 63
4 −
D 3 4 Lời giải
Giả sử ly có chiều cao h đáy đường trịn có bán kính r, nên tích
V = hr
Khối nước ly có chiều cao 1
4 chiều cao ly nên khối nước tạo thành khối nón có
chiều cao
4 h
bán kính đáy
4 r
thể tích nước
2
2
1 1
3 4 64 64
h r
hr V
= =
Do thể tích khoảng khơng 63
64 64
V − V = V
Nên úp ngược ly lại ta có tỉ lệ: x h' x r h '
r = h = h
Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:
2 3
2
1 ' ' '
' '
3 3
r h h h
h x h hr V
h h h
= = =
3 3 3
3
63 ' ' 63 ' 63 63 63
'
64 64 64 4
h h h
V V h h
h h h
= = = = =
Nên chiều cao mực nước bằng: ' 363 363
4
h− = −h h h= − h
Vậy tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước 4 363
4 −
(78)
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
A
3
a
B
3
4
a
C
3 a
D
3 a
Lời giải
Theo định lý cosin ta có: 2
2 . .cos 3
BC= AB +AC − AB AC A=a
Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay tích V = −V1 V2 với V V1, 2 thể tích khối trịn xoay quay tam giác
vuông BCH tam giác ACH quay xung quanh với HB (H hình chiếu vng góc C lên
AB)
Ta tính 3;
2
a a
CH = AH = Khi đó, ta có:
2
3
2 2
1 1 1 1 3
. . . . . . . .
3 3 3 3 2 4
a a
V = CH BH− CH AH = CH AB= a=
Câu 17. (Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt
vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N2 tích
bằng 1
8
thể tích N1.Tính chiều cao h hình nón N2?
A 10cm B 20cm C 40cm D 5cm
(79)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Gọi r1 =BE, h1= AB bán kính đáy chiều cao hình nón N1
Gọi r2 =CD, h=AC bán kính đáy chiều cao hình nón N2
Khi thể tích hai khối nón
1 1
V = r h
2
2
1
V = r h
Theo đề ta có
2 2
2
2
2
1 1
1 1
1
3 .
1 8
3
r h
V r h
V r h
r h
= = =
( )1
Xét hai tam giác đồng dạng ACD ABE, có:
1
r
AC CD h
AB = BE r = h ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy
1
1
1 1
20
8 2
h h
h h
h h
= = = =
Câu 18. (TốnHọcTuổiTrẻ2019) Cho bìa hình dạng tam giác vuông, biết b c độ dài cạnh tam giác vng khối trịn xoay Hỏi thể tích V khối trịn xoay sinh bìa bằng bao nhiêu?
A
2
2
b c V
b c
=
+
B
2
2
b c V
b c
=
+
. C
2
2 2
b c V
b c
=
+
D
2
2 3 2( )
b c V
b c
=
+
(80)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Gọi tam giác vuông ABC, kẻ AH^ BC,H chân đường cao Khi 2 2 2
2
1 1 1 bc
AH
AH = AB + AC Þ = b + c
Thể tích khối trịn xoay cần tính tổng thể tích khối nón tạo hai tam giác vuông ACH
và ABH quay quanh trục BC
Khối nón tạo tam giác vng ACH quay quanh trục BC tích
1
V = CH AH
Khối nón tạo tam giác vng ABH quay quanh trục BC tích 2
1
V = BH AH
Thể tích khối trịn xoay cần tính là:
2
1
2
2 2
2 2
1 1
. .
3 3
1 1
. .( )
3 3 3
V V V CH AH BH AH
bc b c
BC AH b c
b c b c
= + = +
= = + =
+ +
Câu 19. Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại ở thùng
A 12
− B
1
11 C 12
D 11
(81)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ChọnA
Coi khối lập phương có cạnh 1 Thể tích khối lập phường V =1 Từ giả thiết ta suy khối nón có chiều cao h=1, bán kính đáy
2
r=
Thể tích lượng nước trào ngồi thể tích V1 khối nón Ta có:
1
1 1
.1
3 12
V = r h= =
Thể tích lượng nước lại thùng là: 2 1 12
12 12
V = − = −V V = − Do đó:
2 12 V V = −
Câu 20. (THPTBạchĐằngQuảng Ninh2019) Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu 1
3 chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15cm.
A 0,501 cm ( ) B 0,302 cm ( ) C 0,216 cm ( ) D 0,188 cm ( )
Lờigiải Gọi h1 chiều cao nước ta có 1
3
h = h Từ hình vẽ ta có: h1 r1
h = r
1 r r = ; 2 h r
h = r
2
h h
r r
= 2
r
h r
h
=
Ta tích nước trước sau lôn ngược nhau:
2 2
1 2
h r =h r −h r
2
1
2
2 h r h r h
r
−
= 12
2
2 .
hr h r h
r −
= 12
2 2
2 . h r hr h r r = − 1
2 2
2 2 h r h h r h h h = − 1 2 2 2 1 . 9 1 h h h h h h = −
2 2
2 .15 15 9 h h h
= − 3
2
1
15 .15
9 h
= −
2 3250
h
=
2 3250 h
= Vậ
y bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bằng: 0,188 cm ( ) Câu 21. (ChunHùngVươngGiaLai2019) Hai hình nón có chiều cao dm đặt
(82)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
thơng qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón dm.
A 3
7 B 1
3. C
3
5. D 1
2.
Lờigiải
Gọi a bán kính đáy hình nón; 1,
V V thể tích hình nón lúc chứa đầy nước chiều cao nước dm;
h,V3 chiều cao nước, thể tích hình nón chiều cao nước hình nón dm;
R, r bán kính hình nón nước, bán kính hình nón nước chiều cao nước hình nón dm
Ta có:
2
R a
R a = =
Thể tích nước hình nón chiều cao ( )
2
1
2 3.1. . 12
a V = a =
Mặt khác:
2
r h ah
r a = =
Do thể tích nước hình nón ( )
2
1
3 3 . .
12
h a h
V = h a =
Thể tích nước hình nón đầy nước 3.2
V = a
Lại có: V3 = −V1 V2
12
a h
=
3.2.a −
12
a
3
1 h h
+ = =
Câu 22. (Chuyen PhanBộiChâuNghệAn 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: chiều dài đường sinh l=10 m, bán kính đáy R=5 m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm của SB Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử.
(83)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lờigiải
• Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB trải ta hình (H2) sau:
Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn độ dài đoạn thẳng AC hình H2.
• Chu vi cung trịn AB: 1.2 5 5 2
C= =
SAC
vuông S
2 2
10 5 5m
AC SA SC
= + = + =
Câu 23. Một phểu có dạng hình nón, chiều cao phểu 20cm Người ta đổ lượng nước vào
phểu cho chiều cao cột nước phểu 10cm Nếu bịt kím miêng phểu lật ngược lên chiều cao cột nước phểu gần với giá trị sau
A 1, 07cm B 0,97cm C 0, 67cm D 0,87cm Lờigiải
ChọnD
Gọi R bán kính đáy phểu ta có 2
R
bán kính đáy chứa cột nước
Ta tích phần nón khơng chứa nước ( )
2
2 2
1 1 35
.20 .10
3 3 2 6
R
V = R − = R
Khi lật ngược phểu Gọi h chiều cao cột nước phểu.phần thể tích phần nón khơng chứa
nước ( ) ( ) ( )
2
3 2 20
1 1
20 20
3 20 1200
R h
V = −h − = −h R
( )3 2 ( )3
1 35
20 20 7000 0,87
1200 −h R = 6 R −h = h
H2 5m
10m C
S
A
(84)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Câu 24. Giả sử đồ thị hàm số y=(m2+1)x4−2mx2+m2+1 có điểm cực trị A B C, , mà
A B C
x x x Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị
m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây: A ( )4;6 B ( )2; C (−2;0) D ( )0;
Lờigiải ChọnB
2 2
4( 1) 4 4 ( 1)
-y = m + x − mx= x m + x m
+ 2
2
0 ( 1) -
( 0)
1 x
y x m x m m
x m m = = + = = +
+ Với m0thì đồ thị hàm số có điểm cực trị (với xAxBxC) là:
2
2
2
( ; - 1)
1 1
− + +
+ +
m m
A m
m m ;
2
(0; 1)
B m + ;
2
2
2
( ; - 1)
1 1+ +
+ +
m m
C m
m m
+ Quay ABC quanh AC khối trịn xoay tích là:
2
1
2
3 3
= =
V r h BI IC
( )
2
2
2 2
2
3 1 3 1
= =
+ +
+
m m m
m m m
+ Xét hàm số
( ) ( ) 1 m f x m = + Có: ( ) (9 - ) '( ) 1 = + m m f x m
; f( )x = 0 m=3 (m0)
Ta có BBT:
Vậy thể tích cần tìm lớn m=3
Câu 25. Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208
r
h
I C
B
A
x 0 3 +
( )
f x – 0 +
( ) f x
0
max
(85)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lờigiải
Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện một parabol
Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính AB⊥KH , tam giác SAB, KE/ /SA E, SB, Suy Parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa yêu cầu toán (Thiết diện song song với đường sinh SA)
Đặt BK=x (với 0 x 24)
Trong tam giác ABH có: HK2 =BK AK. =x(24−x)
Trong tam giác SAB có:
6
KE BK BK x
KE SA KE
SA = BA = BA =
Thiết diện thu parabol có diện tích:
S = KH KE
Ta có: ( ) ( )
2
2 16 2 16 25 100 10
. . 24 . 24 24
9 9 36 81 9
x
S = KH KE = x −x = x −x =S x −x
Đặt ( ) 24
f x = x −x , với 0 x 24
Ta có: f '( )x =72x2−4x3 Suy '( ) 0 72 4 0 0 18
x
f x x x
x =
= − =
=
Bảng biến thiên:
Vậy thiết diện có diện tích lớn là: 10
34992 207,8
9 cm
Câu 26. Một hình nón trịn xoay có đường sinh 2a Thể tích lớn khối nón A
3 16
3 3
a
B
3 16
9 3
a
C
3 4
3 3
a
D
3 8
3 3
a
Lờigiải
Fb: Bi Trần
(86)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Thể tích khối nón:
V = R h Ta có: 2
4
R +h = a
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
2
2 2 3
4 3
2 2 4
R R R h
a =R +h = + +h
6
64 16
4 27 27
R h
a R h a
Đẳng thức xảy
2
2 2
2 3
2
3
R h a
h
h R a R a
= =
+ = =
Khi
max
16
27
V = a
Câu 27. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Huyền có bìa hình vẽ, Huyền muốn biến đường trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán OA, OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phểu lớn nhất?
A 2
3 B 3
C
D Lờigiải
ChọnA
Ta có diện tích hình phểu
2
2 2
xq
R x xR
S r
= = bán kính đáy phểu; x r R =
2 2
1 1
3 3
V = r h= r R −r = r R −r là thể tích phểu
Xét hàm số phụ
. 4 6
y=r R − =r y r R − r
2
0
3 y = R − r = =r R
R O
B
A
h R
B;A
(87)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Vậy ymax V V max 2 6
3 3
R r R
r x x x
R R
= = = =
Câu 28. (Chuyên Phan BộiChâu 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: đường sinh l=10 ,m bán kính đáy R=5 m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB. Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử
A 15m B 10m C 5 3m D 5 5m Lờigiải
Ta có: SAB cân SB=AB SAB
Diện tích xung quanh hình nón ( )2 50 xq
S = =Rl m
Vẽ ( )P qua C vng góc với AB. Mặt phẳng ( )P cắt hình nón theo thiết diện Elip Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn chiều dài dây cung AC Elip
(88)NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nguyễn Bảo Vương
Hình trải dài hình quạt với AB độ dài nửa đường tròn AB= = R. 5 ( )m
0
S
1 360.25
25 25 90
2 360 10
AB
ASB R
S = S= = ASB= =
(89)
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ như hình bên.
Đường cao: hOO.
Đường sinh: l ADBC. Ta có: lh.
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D Trục (∆) là đường thẳng đi qua
hai điểm ,O O.
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD.
Chu vi đáy: p2r. Diện tích đáy: Sđ r2.
Thể tích khối trụ: V h S. h r.
đ
Diện tích xung quanh: Sxq 2r h . Diện tích tồn
phần:
đ
2
2
tp xq
S S S r h r
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
A 4rl B rl C 1
3rl D 2rl
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy R8 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
A 24 B 192. C 48. D 64.
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy và độ dài đường sinh Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A B C D
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy r5 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 15 B 25 C 30 D 75
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán r7 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 42 B 147. C 49 D 21
Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 18 B 36 C 54. D 27
Câu (Đề Minh Họa 2017) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 vàAD 2. Gọi
,
M N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn phần Stp của hình trụ đó
A Stp 10 B Stp 2 C Stp 6 D Stp 4
Câu (Mã 105 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường trịn đáy. Tính bán kính r của đường trịn đáy
KHỐI TRỤ Chuyên đề 22
4
r l3
(90)A r5 B r5 C 2
2
r D
2
r
Câu (Chun Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối trụ T có bán kính đáy R1, thể tích V 5. Tính diện tích tồn phần của hình trụ tương ứng
A S12 B S11 C S10 D S7
Câu 10 (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy là a và đường cao là a 3.
A 2a2 B a2 C a2 3 D 2a2 3
Câu 11 (THPT - N Định Thanh Hóa 2019) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng3a. Tính diện tích tồn phần của khối trụ.
A
2 13
6
tp
a
S B Stpa2 3. C
2
tp
a
S D
2 27
2
tp
a S
Câu 12 (Chun Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4a và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.
A a. B 2a. C 3a. D 4a.
Câu 13 (Chun Thái Ngun 2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A 8pcm3 B 4pcm3 C 32pcm3 D 16pcm3
Câu 14 (THPT Gia Lộc Hải Dương Năm 2019) Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng 3a. Tính diện tích tồn phần của hình trụ đã cho.
A
2 13
6
a
. B
2 27
2
a
. C 9a2. D
2
2
a
.
Câu 15 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD cóAB1,AD2. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD vàBC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn phần Stp của hình trụ đó.
A Stp 4 B Stp 6 C Stp 2 D Stp 10
Câu 16 (Đồng Tháp - 2018) Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng a 3. Khi đó diện tích tồn phần của hình trụ bằng
A 2a2 1 B a21 3 C a2 D 2a21 3.
Câu 17 (THPT Kinh Mơn - HD - 2018) Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích mặt của hình
lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số S S
A
1
S
S B
1
S S
C
1 S
S D
1
S S
Câu 18 (Chun Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy r5cm, chiều cao 7cm
h Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A S35π cm 2. B S70π cm 2. C 70π cm 2
S D 35π cm 2
S
(91)A 2a2. B 8a2. C 4a2. D 16a2.
Câu 20 (THPT Kiến An - Hải Phịng - 2018) Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao
20 m, chu vi đáy bằng 5 m.
A 50 m 2 B 50 m 2. C 100 m 2. D 100 m 2
Câu 21 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - 2018) Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 8a2 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình trụ bằng:
A 4a B 8a C 2a D 6a.
Câu 22 (Chun Biên Hịa - Hà Nam - 2018) Tính diện tích tồn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a
A 2a2 1 . B a2 3. C a2 1 . D 2a2 1 .
Câu 23 (Xn Trường - Nam Định - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vng. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.
A a2. B 2a2. C 3a2. D 4a2.
Câu 24 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vng, diện tích mỗi mặt đáy bằng S9cm2. Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.
A Sxq 36cm2. B
2
18 cm
xq
S C Sxq 72cm2. D
2
9 cm
xq
S
Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho hình trụ có diện tích xung quanh 16a2 độ dài đường sinh 2a Tính bán kính r đường trịn đáy hình trụ cho.
A r4a B r6a C r4 D r8a.
Câu 26 (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vng có cạnh bằng a. Tính diện tích tồn phần S của hình trụ.
A
2
2
a
S B
2
2
a
S C
a
D
4a
Câu 27 Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có ABa và AD2a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK, ta được một hình trụ. Diện tích tồn phần của hình trụ là:
A Stp 8. B Stp 8a2 C Stp 4a2 D Stp4
Câu 28 (Lê Q Đơn - Hải Phịng -2018) Cho hình chữ nhật ABCD có ABa, AD2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Khi quay hình chữ nhật trên (kể cả các điểm bên trong của nó) quanh đường thẳng MN ta nhận được một khối trịn xoay T Tính thể tích của
T theo a.
A
3
3
a
. B
3
3
a
. C a3. D 4a3.
Câu 29 (Chun Vinh - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(92)Câu 30 (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3
2
R Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2
R
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
A
2
2
3
R
. B
2
3
2
R
. C
2
3
2
R
. D
2
2
3
R
Câu 31 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 20 cm và chu vi bằng 2 18cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ T Diện tích tồn phần của hình trụ là:
A 30cm2. B 28cm2. C 24cm2. D 26cm2.
Câu 32 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 1. Diện tích xung quanh của T bằng.
A . B
2
. C 2 D
4
.
Câu 33 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 3. Diện tích xung quanh của T bằng
A 9
B 18 C 9 D 9
.
Câu 34 (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 7. Diện tích xung quanh của T bằng
A 49π
4 B
49π
2 C 49π. D 98π.
Câu 35 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng Diện tích xung quanh của T bằng
A 25
2
B 25 C 50 D 25
4
. Dạng Thể tích
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r 5 và chiều cao h3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 5 B 30 C 25 D 75.
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính r3và chiều caoh4. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A 4 B 12 C 36 D 24.
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy r 4 và chiều cao h3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 48. B 4. C 16. D 24.
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy r3 và chiều cao h5. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 45. B 5 C 15. D 30
(93)A 4
3r h B
r h
C 1
3r h D 2rh
Câu (Mã 123 2017) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính r4 và chiều cao h4
A V 32 B V 64 2 C V 128 D V 32 2
Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối trụ có bán kính đáy ra và chiều cao ha 2 bằng
A 4a3 2. B a3 2. C 2a3. D
3 2
a
.
Câu (Chun Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vng có cạnh bằng 2a. Tính theo a thể tích khối trụ đó.
A a3. B 2a3. C 4a3. D 2
3a
Câu (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC2 a Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AD.
A
4a B
2a C
8a D
a
Câu 10 (Chun Bắc Giang 2019) Cho hình trụ có diện tích tồn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng. Tính thể tích khối trụ?
A
12
B
9
C 4
D 4
Câu 11 (Hồng Lĩnh - Hà Tĩnh - 2018)Cho hình chữ nhật ABCD có ABa, AD2a. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng
A 4a3. B a3. C 2a3. D a3.
Câu 12 (Chun Bắc Ninh - 2018) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 và AD2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
A
. B . C 2 D 4
Câu 13 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4a và độ dài đường cao bằng a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A a2. B 4
3a C
3
4a D 16a3.
Câu 14 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Cho một khối trụ có diện tích xung quanh của khối trụ bằng 80. Tính thể tích của khối trụ biết khoảng cách giữa hai đáy bằng 10.
A 160. B 400. C 40. D 64.
Câu 15 (Hà Nội - 2018) Cho khối trụ có bán kính hình trịn đáy bằng r và chiều cao bằng h. Hỏi nếu tăng chiều cao lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A 18 lần. B 6 lần. C 36 lần. D 12 lần
Câu 16 (THPT Lương Thế Vinh 2018). Cho hình trụ có diện tích tồn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng. Tính thể tích khối trụ?
A
9
. B 4
9
. C
12
. D 4
9
.
(94)A
a
B
3
2
a
. C
3
3
a
. D
3
4
a
Câu 18 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vng có cạnh là 2a.Thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ này là:
A.
2a . B.
3
3
a
. C.
8a . D.
3
3
a
.
Câu 19 (THPT Kinh Mơn - Hải Dương - 2018) Cho một khối trụ S có bán kính đáy bằng a. Biết thiết diện của hình trụ qua trục là hình vng có chu vi bằng 8. Thể tích của khối trụ sẽ bằng
A. 8 B. 4 C. 2 D.16
Câu 20 (THPT Gang Thép - 2018)Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB vàCD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB4a, AC5a. Tính thể tích của khối trụ:
(95)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ hình bên
Đường cao: hOO
Đường sinh: l ADBC Ta có: lh
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D Trục (∆) đường thẳng qua
hai điểm ,O O
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD
Chu vi đáy: p2r Diện tích đáy: Sđ r2
Thể tích khối trụ: V h S. h r.
đ Diện tích xung quanh: Sxq 2r h Diện tích tồn
phần:
đ
2
2
tp xq
S S S r h r
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu (Mã103 -2019) Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 12 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 6 10 B 6 34 C 3 10 D 3 34
Câu (Mã101 -2019) Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 10 3 B 5 39 C 20 3 D 10 39
Câu (Mã102 -2019) Cho hình trụ có chiều cao 4 2 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 2, thiết diện thu có diện tích 16 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 16 2 B 8 2 C 12 2 D 24 2
Câu Cắt hình trụ T mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30 2
cm chu vi 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ T Diện tích tồn phần T là:
A 23 2
cm
B 23 2
2 cm
C 69 2
2 cm
D 69cm2
Câu Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao 50 cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100 cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
A d50cm B d 50 3cm C d25cm D d25 3cm
Câu (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Một hình trụ trịn xoay có hai đáy hai đường trịn O R, O R, Biết tồn dây
(96)cung AB đường tròn O R, sao cho tam giác O AB góc hai mặt phẳng O AB mặt phẳng chứa đường trịn O R, 60 Tính diện tích xung quanh hình trụ cho
A 4R2 B
2 3R C 3
7 R D
2
7 R
Câu (ChuyênSơnLa2019) Cho khối trụ có bán kính đáy 4cm chiều cao 5cm Gọi AB
là dây cung đáy cho AB4 3cm Người ta dựng mặt phẳng P qua hai điểm
A, B tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 hình vẽ Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng P
A 2
8 3
3 cm
B 2
4
3 cm
C 2
4 3
3 cm
D 2
8
3 cm
Câu (Tốn Học VàTuổiTrẻ2018) Cho hình lập phương có cạnh 40 cm hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1, S2 diện tích tồn phần hình lập phương diện tích tồn phần hình trụ Tính S S1S2 cm2
A S 4 2400 B S 2400 4 C S 2400 3 D S 4 2400 3
Câu (Chuyên QuốcHọc Huế 2018) Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 , thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác
ABB A , biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy hình trụ căng cung 120 Tính diện tích thiết diện ABB A
A 3 B C 2 D 2
Câu 10 (Chuyên LươngThế Vinh-ĐồngNai-2018) Ba bình hình trụ chứa lượng nước nhau, độ cao mực nước bình II gấp đơi bình I bình III gấp đơi bình II Chọn nhận xét bán kính đáy r1, r2, r3 ba bình I, Ox, III
A r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
B r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
2
C r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
(97)Câu 11 (ChuyênThái Bình-2018) Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao
2
R
Mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục khoảng
2
R
Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng
A
2 3
R
B
2
3
R
C
2
3 2
R
D
2
2
R
Câu 12 (THPTHải An-Hải Phịng -2018) Cho hình trụ có bán kính đáy 5cm khoảng cách hai đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Tính diện tích Scủa thiết diện tạo thành
A 55 cm B 56 cm C 53cm D 46 cm
Câu 13 (Chuyên Hạ Long -2018) Cho hình trụ có chiều cao 2cm Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A B mà
6
AB A B cm, diện tích tứ giác ABB A 60cm2 Tính bán kính đáy hình trụ A 5cm B 3 2cm C 4cm D 5 2cm
Câu 14 (Chun TháiBình- 2018) Một hình trụ có bán kính đáy r5cm khoảng cách hai đáy h7 cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo thành là:
A S56 cm 2 B S55 cm 2 C S53 cm 2 D S46 cm 2
Câu 15 (ChuyênTháiBình-2018) Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn O O , chiều cao 2R
và bán kính đáy R Một mặt phẳng qua trung điểm OO tạo với OO góc 30 Hỏi cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu?
A 2
3
R
B
3
R
C 2
3
R
D 2
3
R
Câu 16 (THPT LêXoay- 2018) Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm Đổ vào cốc 120 ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Mặt nước cách mép cốc gần với giá trị
A 3,67 cm B 3,08 cm C 2, 28 cm D 2, 62 cm
Câu 17 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao
2
R
Mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục khoảng
2
R
Diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng là:
A
3 2
R
B
2
3
R
C
2
2 3
R
D
2
2
R
(98)
A 2 B 2 C 3 D
Câu 19 (Liên trường Nghệ An - 2020) Một sợi dây (không co giản) quấn đối xứng 10 vịng quanh ống trụ trịn có bán kính R 2cm
(Như hình vẽ)
Biết sợi dây dài50cm Hãy tính diện tích xung quanh ống trụ
A
80cm B
100cm C
60cm D
120cm
Câu 20 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng tính viền, mép, phần thừa)
A 750, 25 cm2
B 756, 25 cm2
C 700 cm2
. D 700 cm2
Câu 21 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Một khối trụ có bán kính đáy r2a ,O O tâm đường tròn đáy Một mặt phẳng song song với trục cách trục 15
2
a
, cắt đường tròn O hai điểm
,
A B Biết thể tích khối tứ diện OO AB
15
a
Độ dài đường cao hình trụ
A a B 6a C 3a D 2a
Dạng Thể tích
Câu (Đề Tham Khảo2020Lần2) Cho hình trụ có chiều cao 6a Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 3a, thiết diện thu hình vng Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho
A 216a3 B 150a3 C 54a3 D 108a3
Câu (Đề ThamKhảo2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1 , H2 xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r h r h1, , ,1 2 2 thỏa mãn 2 1, 2 1
2
r r h h (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích toàn khối đồ chơi
(99)A 24cm3 B 15cm3 C
20cm D 10cm3
Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình trụ có chiều cao 8a Biết hai điểm ,
A Clần lượt nằm hai đáy thỏa AC10a, khoảng cách ACvà trục hình trụ
4a Thể tích khối trụ cho
A 128a3 B 320a3 C 80a3 D 200a3
Câu (SởHàNội2019) Hỏi tăng chiều cao khối trụ lên lần, bán kính lên 3 lần thể
tích khối trụ tăng lần so với khối trụ ban đầu?
A 36 B 6 C 18 D 12
Câu (ChuyênĐHSPHN -2018) Cần đẽo gỗ hình hộp có đáy hình vng thành hình trụ có chiều cao Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo (tính gần đúng)
A 30% B 50% C 21% D 11%
Câu Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m chiều cao 1 m Người ta cắt khối gỗ, phần lại hình vẽ bên tích V Tính V
A 3
16
3
m B 5
64
3
m C 3
64
3
m D
16
3
m
Câu (Sở Hưng Yên - 2020) Cho hình trụ có ,O O tâm hai đáy Xét hình chữ nhật ABCD có ,A B
cùng thuộc O ,C D thuộc O cho ABa 3, BC2a đồng thời ABCD tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 Thể tích khối trụ
A a3 B
3
a
C
3
3
a
D 2a3
Câu (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho khối trụ có hai đáy O O AB CD, hai đường kính O O , góc AB CD 30, AB6 Thể tích khối tứ diện ABCD
30 Thể tích khối trụ cho
A 180 B 90 C 30 D 45
Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Từ tôn hình chữ nhật kích thước 50cmx240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):
(100)• Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng
Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số
2
V V
A
1
V
V B
1
1
V
V C
1
2
V
V D
1
4
V V
Câu 10 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình trụ có hai đáy hình trịn tâm O O, chiều cao
ha Mặt phẳng qua tâm O tạo với OO góc 30, cắt hai đường trịn tâm O
O bốn điểm bốn đỉnh hình thang có đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ diện tích
3a Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho
A 3 a
B 3a3 C
3 12 a D 3 a
Câu 11 (THPT NguyễnHuệ -NinhBình -2018) Cho hình trụ hình vng ABCD có cạnh a Hai đỉnh liên tiếp A B, nằm đường tròn đáy thứ hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thức hai, mặt phẳng ABCD tạo với đáy góc 45 Khi thể tích khối trụ
A a
B
3
3
8
a
C
3 16
a
D
3 16 a
Dạng Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Câu (Đề ThamKhảo2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Tính diện tích xung quanh Sxq
của hình trụ có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác BCD chiều cao chiều cao tứ diệnABCD
A Sxq 8 3 B Sxq 8 2 C 16
3 xq
S D 16
3 xq
S
Câu (ĐềThamKhảo2017) Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a
A
3
6
a
V B
3
2
a
V C
3
4
a
V D V a3
Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho
A
3
V a h B
V a h C
2
9
a h
V D
2
3
a h
V
Câu (SởQuảngNinh2019) Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh 36a2 Tính thể tích V lăng trụ lục giác nội tiếp hình trụ
(101)Câu (ChuyênKHTN2019) Cho hình trụ T chiều cao 2a, hai đường tròn đáy T có tâm O O1, bán kính a Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O1 lấy điểm B cho AB 5a Thể tích khối tứ diệnOO AB1
A 3 12
a
B
3
4
a
C
3
6
a
D
3
3
a
Câu (THPTBaĐình2019) Cho khối trụ có đáy đường trịn tâm O , O có bán kính R chiều cao hR Gọi A, B điểm thuộc O O cho OA vng góc với O B Tỉ số thể tích khối tứ diện OO AB với thể tích khối trụ là:
A
3 B
1
3 C
1
6 D
1 4
Câu (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao a Một hình vng ABCD có đáy AB CD, hai dây cung hai đường trịn đáy ABCD
khơng vng góc với đáy Diện tích hình vng
A
4
a
B 5a2 C
2
5
2
a
D
2
2
a
Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C , biết góc hai mặt phẳng A BC ABC 45, diện tích tam giác A BC a2 6 Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C
A
4
3
a
B 2a2 C 4a2 D
8
3
a
Câu (THPTĐồnThượng-HảiDương-2019) Cho hình trụ có bán kính R chiều cao 3R Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục d hình trụ 30 Tính khoảng cách AB trục hình trụ:
A ,
R
d AB d B d AB d , R C d AB d , R D ,
R
d AB d
Câu 10 (THPTKiếnAn-HảiPhịng-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C , biết góc hai mặt phẳng A BC ABC 45, diện tích tam giác A BC a2 6 Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C
A
4
3
a
B 2a2 C 4a2 D
8
3
a
Câu 11 (Trần Phú-HàTĩnh-2018) Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh 36a2 Tính thể tích V lăng trụ lục giác nội tiếp hình trụ
A V 27 3a3 B V 81 3a3 C V 24 3a3 D V 36 3a3
(102)A. a3 B. 2a3 C. 4a3 D. 3a3
Câu 13 (ChunLươngVănChánh-Phún-2018) Cho hình trụ T có C C hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Biết rằng, tam giác cong tạo đường tròn C hình vng ngoại tiếp C có hình chữ nhật kích thước a2a (như hình vẽ đây) Tính thể tích V khối trụ T theo a
A.
3 100
3
a
B. 250a3 C.
3 250
3
a
D.100a3
Câu 14 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD
cạnh 2 cm với AB đường kính đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB đường tròn đáy cho ABM 60 Thể tích khối tứ diện ACDM
là:
A. V 3 cm 3 B.V 4 cm 3 C. V 6 cm 3 D. V 7 cm 3
Câu 15 (THPTLụcNgạn-2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh đáy
a, chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ
A
2
9
a h
V B
2
3
a h
V C. V 3a h2 D. V a h2
Câu 16 (THPT YênLạc-2018) Cho hình trụ có hai đáy hình trịn O , O bán kính a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy Các điểm A, B tương ứng nằm hai đường tròn
O , O cho ABa Tính thể tích khối tứ diện ABOO theo a
A
a
B
5
a
C.
3
a
D.
2
a
C' B'
B
A
C
(103)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số cơng thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ hình bên
Đường cao: hOO
Đường sinh: lADBC Ta có: lh
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D Trục (∆) đường thẳng qua
hai điểm ,O O
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD
Chu vi đáy: p2r Diện tích đáy:
đ
S r
Thể tích khối trụ: V h S. h r.
đ Diện tích xung quanh: Sxq 2r h Diện tích tồn
phần:
đ
2 2
tp xq
S S S r h r
MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI TRỤ (CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - CỰC TRỊ)
Câu (Mã104 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy m 1,5 m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao thể trích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gầnnhất với kết đây?
A 1,8 m B 2,1 m C 1,6 m D 2,5 m
Câu (Mã1012019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây?
A 2, 2m B 1, 6m C 1,8m D 1, 4m
Câu (Mã102 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 4m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gầnnhất với kết đây?
A 1, 7m B 1,5m C 1,9m D 2, 4m
Câu (Mã103 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1mvà 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây?
A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m
Câu (Mã 102 2018) Một bút chì có dạng khối trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định m3 gỗ có giá a triệu đồng, m3 than chì có giá
6a triệu đồng Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 8, 45.a đồng B 7,82.a đồng C 84, 5.a đồng D 78, 2.a đồng KHỐI TRỤ
(104)Câu (Mã101 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính đáy mm Giả định 1m gỗ có giá a (triệu đồng), 1m than chì có giá 8a (triệu đồng) Khi giá nguyên liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 9, 07a(đồng) B 97, 03a(đồng) C 90, 7a(đồng) D 9, 7a(đồng)
Câu (Đề MinhHọa2017) Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):
Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng
Cách 2: Cắt tơn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng
Kí hiệuV1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số
2 V V
A
1
V
V B
1
1
V
V C
1
2
V
V D
1
4
V V
Câu (Mã1042018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn có bán kính mm Giã định
3
1 m gỗ có giá a (triệu đồng),
1 m than chì có giá 7a(triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 85, 5.a(đồng) B 9, 07.a(đồng) C 8, 45.a(đồng) D 90, 07.a(đồng)
Câu (Mã 1032018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định
1m gỗ có giá a (triệu đồng)
1m than chì có giá 9a(triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 103,3ađồng B 97, 03ađồng C 10,33ađồng D 9, 7ađồng
(105)A 108 B 6480 C 502 D 504
Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kínhMN, PQ hai đáy choMN PQ Người thợ cắt khối đá theo mặt qua 3
trong điểm M N P Q, , , để khối đá có hình tứ diệnMNPQ Biết MN60 cm thể tích khối tứ diện MNPQ30dm Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm trịn đến chữ số thập phân sau 3 dấu phẩy)
A 101,3dm B 111, 4dm C 121,3dm D 141, 3dm
Câu 12 (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Cơng ty X định làm téc nước hình trụ inox (gồm nắp) có dung tích 1m3 Để tiết kiệm chi phí cơng ty
X chọn loại téc nước có diện tích tồn phần nhỏ Hỏi diện tích tồn phần téc nước nhỏ (kết làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy)?
A 5, 59 m2 B 5, 54 m2 C 5, 57 m2 D 5, 52 m2
Câu 13 (Trường VINSCHOOL - 2020) Một tạ tay có hình dạng gồm khối trụ, hai khối trụ hai đầu khối trụ làm tay cầm Gọi khối trụ làm đầu tạ T1 khối trụ làm tay cầm T2 có bán kính chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn
1
r r , 1 2
h h (tham khảo hình vẽ)
Biết thể tích khối trụ tay cầm T2 30 cm3 tạ làm inox có khối lượng riêng
7, /
D g cm Khối lượng tạ tay
A 3,927 kg B 2,927 kg C 3, 279 kg D 2, 279 kg
Câu 14 (Thi thử hội trường chuyên 2019) Một cơng ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác có chiều cao 18 cm đáy hình lục giác nội tiếp đường trịn đường kính 1cm Bút chì cấu tạo từ hai thành phần than chì bột gỗ ép, than chì khối trụ trung tâm có đường kính 1cm
4 , giá thành 540 đồng
/ cm Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng/ cm Tính giá bút chì cơng ty bán biết giá nguyên vật liệu chiếm 15, 58 % giá thành sản phẩm
A 10000 đồng B 8000 đồng C 5000 đồng D 3000 đồng
(106)A L24344cm B L97377cm C. L848cm D L7749cm
Câu 16 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh -1819) Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng không song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ (giả sử khúc gỗ không thấm nước kết làm tròn đến phần hàng chục)
A R5, 2cm B R4,8cm C R6, 4cm D R8, 2cm
Câu 17 (Ngơ Quyền - Hải Phịng 2019) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba bóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có kích thước Thể tích phần khơng gian cịn trống chiếm tỉ lệ a% so với hộp đựng bóng tennis Số agần với số sau đây?
A 50 B 66 C 30 D 33
Câu 18 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích 1m cạnh BCx m để làm thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM BCNM , phần hình chữ nhật ADNM gị thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao AM ; phần hình chữ nhật BCNM cắt hình trịn để làm đáy hình trụ (phần inox cịn thừa bỏ đi) Tính gần giá trị x để thùng nước tích lớn (coi mép nối khơng đáng kể)
A 1, 37 m B 1, 02 m C 0,97 m D 1m
(107)A 0,8 m B 1,2 m C 2 m D 2,4 m
Câu 20 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Anh H dự định làm thùng đựng dầu hình trụ sắt có nắp đậy thể tích 12m3 Chi phí làm m2 đáy 400 ngàn đồng, m2 nắp 200 ngàn đồng, m2 mặt xung quanh 300 ngàn đồng Để chi phí làm thùng anh H cần chọn chiều cao thùng gần với số sau đây? (Xem độ dày sắt làm thùng không đáng kể)
A 1, 24m B 1, 25m C 2, 50m D 2, 48m
Câu 21 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa có giá trị nhỏ
A R
B R
C
2 R
D 3
2 R
Câu 22 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 Giá trị lớn thể tích khối trụ
A 16 B 32 C 8 D 64
Câu 23 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích
V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải A 3
2 V
B
3 V
C 3V
D
3
V
Câu 24 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Trong hình trụ có diện tích tồn phần 1000cm2 hình trụ tích lớn cm3
A 2428 B 2532 C 2612 D 2740
Câu 25 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng?
A tan B tan 1 C tan
D tan
2
Câu 26 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O
lấy điểm B Đặt góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn
A tan
B tan
2
C tan 1 D tan
Câu 27 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Một xí nghiệp chế biến sữa bị muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng hình trụ thiếc tích khơng đổi Để giảm giá lon sữa bán thị trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước cho tốn vật liệu Để thỏa mãn yêu cầu đặt (diện tích toàn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện điều kiện sau:
A Chiều cao đường kính đáy B Chiều cao bán kính đáy C Chiều cao lần bán kính đáy
D Chiều cao bình phương bán kính đáy
Câu 28 (SGD Nam Định 2019) Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) tích V
(108)với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tính tỉ số h
r cho chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất?
A h
r B
h
r C
h
r D
h r
Câu 29 (Chun Vĩnh Phúc2019) Một hình trụ có độ dài đường cao 3, đường tròn đáy O;1 O';1 Giả sử AB đường kính cố định O;1và CD đường kính thay đổi O';1 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ diện ABCD
A Vmax2 B Vmax 6 C max
V D Vmax 1
Câu 30 (Chuyên NguyễnTrãi Hải Dương2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải
A 3
V
B
3 V
C 3V
D
3
V
Câu 31 Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ là:
A 64 cm B 16 cm C 8 cm D 32 cm
Câu 32 (Chuyên Thái Ngun 2019) Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình tròn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh đất x m Giả sử chiều sâu ao x m Tính thể tích lớn V ao
A V 13, 5 m3 B V 27 m3 C V 36 m3 D V 72 m3
Câu 33 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O
(109)A tan B tan
C tan
2
D tan 1
Câu 34 (Chuyên VĩnhPhúc2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, D cho AD2 3a; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa đường trịn O' ; đường tròn tâm O lấy điểm B (AB chéo với CD) Đặt góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn
A tan B tan
C tan1 D tan
3
Câu 35 (Chun VĩnhPhúc2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, D đường tròn tâm O lấy điểm B, C cho AB CD// AB khơng cắt OO' Tính AD để thể tích khối chóp
'
O ABCD đạt giá trị lớn
A. AD2 2a B. AD4a C. 3
(110)
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ như hình bên.
Đường cao: hOO.
Đường sinh: l ADBC. Ta có: lh.
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D
Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai điểm ,O O.
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD.
Chu vi đáy: p2r.
Diện tích đáy: Sđ r2.
Thể tích khối trụ: V h S. h r.
đ
Diện tích xung quanh: Sxq 2r h .
Diện tích tồn phần:
đ
2 2 tp xq
S S S r h r
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
A 4rl B rl C 1
3rl D 2rl Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ S2rl
Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy R8 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
A 24 B 192. C 48. D 64.
Lời giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq 2rl48
Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy và độ dài đường sinh Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A B C D
Lời giải Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy r5 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 15 B 25 C 30 D 75
Lời giải
Chọn C
Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình trụ ta được: Sxq 2rl30
KHỐI TRỤ
Chuyên đề 22
4
r l3
48 12 16 24
2 4.3 24
(111)Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán r7 và độ dài đường sinh l3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 42 B 147. C 49 D 21
Lời giải Chọn A
2 42
xq
S rl .
Câu 6. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 18 B 36. C 54 D 27.
Lời giải
Chọn B
Giả sử thiết diện qua trục của hình trụ là hình vng ABCD.
Theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ r3hADDC2r6l. Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2rl2 3.6 36
Câu 7. (Đề Minh Họa 2017) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 vàAD2. Gọi ,
M N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn phần Stp của hình trụ đó
A Stp 10 B Stp 2 C Stp 6 D Stp 4
Lời giải Chọn D
Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN nên hình trụ có bán kính
2
AD
r AM
Vậy diện tích tồn phần của hình trụ Stp2r AB 2r22 2 4
Câu 8. (Mã 105 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường trịn đáy. Tính bán kính r của đường trịn đáy
A r5 B r5 C 2
2
r D
2
r
(112)THPTQG 2021
Diện tích xung quanh của hình trụ: 2rl (l: độ dài đường sinh) Có l2r
2 xq
S rl 2 rl 50 2 2r r50
2
r
Câu 9. (Chun Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối trụ T có bán kính đáy R1, thể tích V5. Tính diện tích tồn phần của hình trụ tương ứng
A S12 B S11 C S10 D S7
Lời giải Chọn A
Ta có V S h với Sr2 nên h V
S
Diện tích tồn phần của trụ tương ứng là: Stp2Rh2R2
2 1.5 1 12
Câu 10. (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy là a và đường cao là a 3.
A 2 a2
B a2
C a2 3 D 2a2 3
Lời giải Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq2rl2rh2 a a 32a2 3.
Câu 11. (THPT - N Định Thanh Hóa 2019) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng3a. Tính diện tích tồn phần của khối trụ.
A
2 13
6 tp
a
S B Stp a2 3. C
2 tp
a
S D
2 27
2 tp
a
S
Lời giải
Thiết diện qua trục là một hình vng có cạnh bằng 3a nên ta có độ dài đường sinh l3a và bán
kính đường trịn đáy là
2
a r
Từ đó ta tính được
2
2 3 27
2 2
2 2
tp
a a a
S rl r a
.
Câu 12. (Chun Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4a và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.
A a. B 2a. C 3a. D 4a.
(113)Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy a và chiều cao h là
xq xq
S
S 2
2
a
ah h a
a a
Vậy độ dài đường cao của hình trụ đó là h2a.
Câu 13. (Chun Thái Ngun 2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A 8pcm3 B 4pcm3 C 32pcm3 D 16pcm3 Lời giải
Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h là Sxq= 2prh Cơng thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h là V= pR h2
Vì thiết diện qua trục là hình vng nên ta có h= 2r= 4cm.Sxq= 2prh= 2.4p =16pcm3 Câu 14. (THPT Gia Lộc Hải Dương Năm 2019) Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta
được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng 3a. Tính diện tích tồn phần của hình trụ đã cho.
A
2 13
6
a
. B
2 27
2
a
. C 9a2. D
2
2
a
.
Lời giải
Gọi thiết diện qua trục là hình vng ABCD. Theo đề thì AB AD3a.
Bán kính đáy của hình trụ là
2
AB a
R
Đường sinh của hình trụ là l AD3a.
Áp dụng cơng thức diện tích tồn phần của hình trụ, ta có
2
2 3 27
2 2
2 2
tp
a a a
S Rl R a
(114)THPTQG 2021 Câu 15. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD cóAB1,AD2. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD vàBC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn phần Stp của hình trụ đó.
A Stp 4 B Stp 6 C Stp 2 D Stp 10
Lời giải
Hình trụ đã cho có chiều cao là AB và đáy là hình trịn tâm N bán kínhBN.
Do đó: 2 .2 2 1.2 12 4
đá p xq y
t S
S S AB BN BN
Câu 16. (Đồng Tháp - 2018) Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng a 3. Khi đó diện tích tồn phần của hình trụ bằng
A 2a2 1 B a21 3 C a2 D 2a21 3.
Lời giải
Ta có: Diện tích tồn phần của hình trụ = Diện tích xung quanh + 2 lần diện tích đáy. Suy ra Stp 2rh2r2 2 a a 32a22 a2 1 .
Câu 17. (THPT Kinh Mơn - HD - 2018) Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích mặt của hình lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số
1
S S A
1
1 S
S B
2
S S
C
1
S
S D
2
S S
Lời giải
Ta có S16a2, S22rh a2 Vậy
2
2
6
S a
S a
2
S S
Câu 18. (Chun Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy r5cm, chiều cao 7cm
h Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A S35π cm 2. B S70π cm 2. C 70π cm 2
S D 35π cm 2
S
Lời giải
Theo cơng thức tính diện tích xung quanh ta có Sxq 2rh70cm2.
(115)A 2a2. B 8a2. C 4a2. D 16a2.
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là a và 2a. Do đó, Sxq 2Rh2 2a a4a2.
Câu 20. (THPT Kiến An - Hải Phịng - 2018) Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m, chu vi đáy bằng 5 m.
A 50 m 2 B 50 m 2. C 100 m 2. D 100 m 2
Lời giải Ta có chu vi đáy C2R5
Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq 2Rl5.20100 m2.
Câu 21. (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - 2018) Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng
8a và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình trụ bằng:
A 4a B 8a C 2a D 6a.
Lời giải
Ta có: Sxq 2πRl
2π xq
S l
R
2 8π
2π
a a
4a.
Câu 22. (Chun Biên Hịa - Hà Nam - 2018) Tính diện tích tồn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a
A 2a2 1 . B a2 3. C a2 1 . D 2a2 1 .
Lời giải
Ta có diện tích tồn phần của hình trụ là:
tp xq đáy
S S S 2Rh2R22a2 32a2 2
2a
Câu 23. (Xn Trường - Nam Định - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vng. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.
A a2. B 2a2. C 3a2. D 4a2.
Lời giải
(116)THPTQG 2021 Câu 24. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vng, diện
tích mỗi mặt đáy bằng S9cm2. Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.
A Sxq 36cm2. B Sxq 18cm2. C Sxq 72cm2. D Sxq 9cm2.
Lời giải Thiết diện qua trục là một hình vng nên h2r.
Diện tích đáy S9cm2r2 9 r3 cm h6 cm . Vậy diện tích xung quanh Sxq 2r h 36cm2.
Câu 25. (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho hình trụ có diện tích xung quanh 16a2 độ dài đường sinh 2a Tính bán kính r đường trịn đáy hình trụ cho.
A r4a B r6a C r4 D r8a.
Lời giải
Theo giả thiết ta có
2 16
2
2 2
xq xq
S a
S rl r a
l a
Câu 26. (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vng có cạnh bằng a. Tính diện tích tồn phần S của hình trụ.
A
2
2
a
S B
2
a
S C a2
D
4a
Lời giải
Theo bài ra: ABCD là hình vng cạnh bằng a.
Vậy hình trụ T có bán kính
a
R , chiều cao ha.
Diện tích tồn phần S của hình trụ là:
2 2
2
2 2
2 2
a a a
S Rh R a
Câu 27. Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có ABa và AD2a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK, ta được một hình trụ. Diện tích tồn phần của hình trụ là:
A Stp 8. B 8 tp
S a C 4
tp
S a D Stp4 Lời giải
C
A B
(117)
Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta được hình trụ có đường cao là hABa, bán
kính đường trịn đáy là
2
RBK BCa.
Vậy diện tích tồn phần của hình trụ là: Stp2Rh2R2 4a2.
Câu 28. (Lê Q Đơn - Hải Phịng -2018) Cho hình chữ nhật ABCD có ABa, AD2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Khi quay hình chữ nhật trên (kể cả các điểm bên trong của nó) quanh đường thẳng MN ta nhận được một khối trịn xoay T Tính thể tích của
T theo a.
A
3
3
a
. B
3
3
a
. C a3. D 4a3.
Lời giải
Thể tích khối trịn xoay T là: V a a2 a3.
Câu 29. (Chun Vinh - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Rh. B R2h. C h2R. D h 2R.
Lời giải
Ta có: Stp2Sxq
2
2R 2Rh 2.2Rh
Rh.
Câu 30. (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3
R Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2 R
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
A
2
2 3 R
. B
2
3 R
. C
2
3 2 R
. D
2
2 R
.
Lời giải
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là hình chữ nhật ABCD với
R
BC
M N
A D
(118)THPTQG 2021
Gọi H là trung điểm AB, ta có
2 R
AH AB2HB2 R2AH2 R 3.
Vậy diện tích thiết diện là:
2
3 3
2
R R
S AB CD R
Câu 31. (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 20 cm và chu vi bằng 2 18cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ T Diện tích tồn phần của hình trụ là:
A 30cm2. B 28cm2. C 24cm2. D 26cm2.
Lời giải
Gọi h và r là chiều cao và bán kính của hình trụ h2r. Ta có 20
2
rh
r h
5
h r
.
2
tp
S rh r 20 8 28
Câu 32. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 1. Diện tích xung quanh của T bằng.
A . B
2
. C 2 D
4
.
Lời giải Chọn A
Thiết diện qua trục là hình vng ABCD cạnh a
r
(119)Do đó hình trụ có đường cao h1 và bán kính đáy
2
CD
r
Diện tích xung quanh hình trụ: 2 1.1
2 xq
S rh
Câu 33. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 3. Diện tích xung quanh của T bằng
A 9
B 18 C 9 D 9
2
.
Lời giải
Chọn C
Vì thiết diện qua trục của hình trụ T là một hình vng cạnh bằng 3 nên hình trụ T có đường
sinh l3, bán kính
2 l
r
Diện tích xung quanh của hình trụ T là 2 93 xq
S rl
Câu 34. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng 7. Diện tích xung quanh của T bằng
A 49π
4 B
49π
2 C 49π. D 98π.
Lời giải Chọn C
Bán kính đáy của hình trụ là 7 2 r Đường cao của hình trụ là h7.
Diện tích xung quanh của hình trụ là 2π 2π .77 49π
2
S r h
Câu 35. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng cạnh bằng Diện tích xung quanh của T bằng
A 25
2
B 25 C 50 D 25
4
.
Lời giải Chọn B
Bán kính của hình trụ T bằng 5
(120)THPTQG 2021
Diện tích xung quanh của : 55 25
2 xq
T S r l
Dạng Thể tích
Câu 1. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r 5 và chiều cao h3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 5. B 30 C 25 D 75.
Lời giải Chọn D
Thể tích khối trụ là V r h2 75.
Câu 2. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính r3và chiều caoh4. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A 4 B 12 C 36 D 24
Lời giải Chọn C
Ta có: V r h2 .3 42 36
Câu 3. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy r4 và chiều cao h3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 48. B 4 C 16. D 24
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ là 2
.4 48
V r h .
Câu 4. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho khối trụ có bán kính đáy r3 và chiều cao h5. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 45. B 5. C 15. D 30.
Lời giải Chọn A
Thể tích của khối trụ đã cho là: 2
.3 45
V B h r h .
Câu 5. (Mã 103 2018) Thể tích của khối trụ trịn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng
A 4
3r h B
2
r h
C 1
3r h D 2rh
Lời giải Chọn B
2 tru
V r h
Câu 6. (Mã 123 2017) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính r4 và chiều cao h4
A V 32 B V 64 2 C V 128 D V 32 2
Lời giải Chọn B
16.4 2 64 2
V r h
Câu 7. (Chun Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối trụ có bán kính đáy ra và chiều cao ha 2 bằng
A 4a3 2. B a3 2. C 2a3. D
3
a
.
(121)Thể tích khối trụ là: V r h2 .a a2 2
a3 2
Câu 8. (Chun Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vng có cạnh bằng 2a. Tính theo a thể tích khối trụ đó.
A a3. B 2a3. C 4a3. D 2
3a
Lời giải
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ lần lượt là h r,
Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng có cạnh bằng 2a nên h2 ,a ra.
Thể tích của khối trụ đó là 2
.2
V r h a a a
Câu 9. (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC2 a Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AD.
A
4a B
2a C
8a D a
Lời giải
Khối trịn xoay tạo thành là khối trụ có bán kính đáy là AB2a và đường cao ADBCa có
thể tích bằng
4 V AB AD a
Câu 10. (Chun Bắc Giang 2019) Cho hình trụ có diện tích tồn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng. Tính thể tích khối trụ?
A
12
B
9
C 4
9
D 4
9
Lời giải Chọn D
Hình trụ có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng suy ra: l h2r Hình trụ có diện tích tồn phần là 4 suy ra:
2 2
2 2 2
tp
S rl r r r r
Nên 6,
3
r lh
Thể tích khối trụ:
9 V r h
Câu 11. (Hồng Lĩnh - Hà Tĩnh - 2018)Cho hình chữ nhật ABCD có ABa, AD2a. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng
A 4a3. B a3. C 2a3. D a3.
Lời giải
(122)THPTQG 2021
2
2
V r h a a 4a
Câu 12. (Chun Bắc Ninh - 2018) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 và AD2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
A
. B . C 2 D 4
Lời giải
Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta được hình trụ có bán kính đáy
2
r AM , chiều
cao hAD2. Thể tích khối trụ tương ứng bằng
2 . .2
2 V r h
Câu 13. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4a và độ dài đường cao bằng a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A a2. B 4
3a C
3
4a D 16a3.
Lời giải
Gọi chu vi đáy là P. Ta có: P2R 4a2R R2a. Khi đó thể tích khối trụ: V R h2 2a 2.a4a3.
Câu 14. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Cho một khối trụ có diện tích xung quanh của khối trụ bằng 80. Tính thể tích của khối trụ biết khoảng cách giữa hai đáy bằng 10.
A 160. B 400. C 40. D 64.
Lời giải
M
N
A
D
B
C r
(123)Ta có: khoảng cách giữa hai đáy bằng 10 nên hl 10. 80
xq
S 2rl80 r 4. Vậy thể tích của khối trụ bằng V .4 102
160.
Câu 15. (Hà Nội - 2018) Cho khối trụ có bán kính hình trịn đáy bằng r và chiều cao bằng h. Hỏi nếu tăng chiều cao lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A 18 lần. B 6 lần. C 36 lần. D 12 lần
Lời giải
2 2
1 18 18
V h r h r V
Câu 16. (THPT Lương Thế Vinh 2018). Cho hình trụ có diện tích tồn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng. Tính thể tích khối trụ?
A
9
. B 4
9
. C
12
. D 4
9
.
Lời giải
Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng nên khối trụ có chiều cao bằng 2r. Ta có: Stp 4 2r22rl 4 6r2 4.
2 r
Tính thể tích khối trụ là: V r h2 2r3 2 3
9
Câu 17. (Chun Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng cạnh a. Thể tích khối trụ đó bằng
A a3. B
3
2 a
. C
3
3 a
. D
3
4 a
.
Lời giải
Ta có bán kính đáy
2
a
(124)2
2
4
a a
V r h a
Câu 18. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vng có cạnh là 2a.Thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ này là:
A.
2a . B.
3
3
a
. C.
8a . D.
3
3
a
. Lời giải
Ta có: Ra, h2a nên thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ này là:
V R h
.2a a
2 a 3.
Câu 19. (THPT Kinh Mơn - Hải Dương - 2018) Cho một khối trụ S có bán kính đáy bằng a. Biết thiết diện của hình trụ qua trục là hình vng có chu vi bằng 8. Thể tích của khối trụ sẽ bằng
A. 8 B. 4 C. 2 D. 16
Lời giải
* Ta có chiều cao của khối trụ: h2r2a * Theo giả thiết ta có:4.2a 8 a1
* Thể tích khối trụ: 2
.2
V r h a a
Câu 20. (THPT Gang Thép - 2018)Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB vàCD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB4a, AC 5a. Tính thể tích của khối trụ:
A.V 12a3 B.V 16a3 C.V 4a3 D. V 8a3
Lời giải
Ta có bán kính khối trụ:
2 AB
R a
Xét ADC vng tại D: AD AC2DC2 5a 24a2 3a
Thể tích khối trụ là: V R h2 2
2a 3a 12 a
(125)
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung
MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ như hình bên.
Đường cao: hOO.
Đường sinh: l ADBC. Ta có: lh.
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D Trục (∆) là đường thẳng đi qua
hai điểm ,O O.
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD.
Chu vi đáy: p2r. Diện tích đáy: Sđ r2.
Thể tích khối trụ: V h S. h r.
đ
Diện tích xung quanh: Sxq 2r h . Diện tích tồn
phần:
đ
2
2
tp xq
S S S r h r
Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu 1. (Mã 103 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 6 10 B 6 34 C 3 10 D 3 34.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
12
2
5 10
ABCD
xq
S CD
CD CI
CO CI IO r
S rl
Câu 2. (Mã 101 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 10 3 B 5 39 C 20 3 D 10 39.
KHỐI TRỤ
Chuyên đề 22
1 I O'
O B
A
C
(126)Lời giải
Chọn C
Gọi O O, lần lượt là tâm của hai đáy và ABCD là thiết diện song song với trục với A B, O ;
,
C D O Gọi H là trung điểm của ABOH d OO ,ABCD1.
Vì 30 30 30 3
5
ABCD
S AB BC AB HA HB
Bán kính của đáy là r OH2HA2 1 2.
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Sxq 2rh2 2.5 3 20 3
Câu 3. (Mã 102 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2. Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2, thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A 16 2 B 8 2 C 12 2 D 24 2.
Lời giải
Chọn A
Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD (vớiAB là dây cung của hình trịn đáy tâm O).
Do hình trụ có chiều cao là h OO 4 2 hình trụ có độ dài đường sinh lAD4 2. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng AB CD 16 16 16 2
4 AB
AD
(127)Xét tam giác vuông AOK
2
2 2
2 2
2 AB
ROA OK AK OK
Diện tích xung quanh của hình trụ là S2R l 2 2.4 16
Câu 4. Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 và chu vi bằng 26 cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ T Diện tích tồn phần của T là:
A 23 2 cm
B 23 2
2 cm
. C 69 2
2 cm
. D 69cm2.
Lời giải
Chọn C
Gọi ,h r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ T Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ T là hình chữ nhật ABCD. Khi đó theo giả thiết ta có
2
2 2
.2 30 15 13 13
2 13
2( ) 26 15 15 3( )
3
10( )
ABCD
ABCD
h r h r h r h r
S h r hr h r h r
h r
C h r r r r h l
r h TM
Vậy
Câu 5. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
A d50cm B d 50 3cm C d25cm D d25 3cm
(128)
Qua B kẻ đường thẳng song song với OO cắt đường tròn đáy tại C.
// // , , ,
OO BCOO ABC d OO AB d OO ABC d O ABC OH d. (H là trung điểm của đoạn thẳng AC).
2
50 AC AB BC cm. Vậy dOH OC2HC2 25cm
Câu 6. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Một hình trụ trịn xoay có hai đáy là hai đường tròn
O R, và O R, . Biết rằng tồn tại dây
cung AB của đường tròn O R, sao cho tam giác O AB đều và góc giữa hai mặt phẳng
O AB và mặt phẳng chứa đường trịn O R, bằng 60. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
A 4R2 B
2 3R C 3
7 R D
2
7 R
Lời giải Chọn D
Gọi K là trung điểm AB, đặt AB2a.
Ta có : ABOK và ABOO nên OKO 60 O K 2OK O K 4OK2
2 2
3a R a
2
7 R a
Mặt khác :
2
2 2 2
4
7
R R
OO O B OB a R R 7
R
O O
Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là :
2
7 xq
R
S Rl
(129)A, B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60 như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của
hình trụ cắt bởi mặt phẳng P
A 2
8 3
3 cm
. B 2
4
3 cm
.
C 2
4 3
3 cm
. D 2
8
3 cm
.
Lời giải
Gọi S là diện tích thiết diện, S là diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt phẳng đáy. Khi đó S S.cos 60.
Ta có
2 2
1
4 cos 120
2
OA OB AB
AB AOB AOB
OA OB
2
.sin120 4 4 3 3
2
1 16
3
OAB
OAmB OAB
OAmB
S OA OB
S S S
S OA
8 3 cos 60
S S
Câu 8. (Tốn Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình trụ. Tính S S1S2 cm2.
A S 4 2400 . B S2400 4 . C S 2400 3 . D S 4 2400 3 .
Lời giải
m B A
(130)Ta có: S16.4029600.
Bán kính đường trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là: r20 cm; hình trụ có đường sinh h40 cm
Diện tích tồn phần của hình trụ là: S22 .20 22 20.40 2400. Vậy: S S1S 29600 2400 2400 4 .
Câu 9. (Chun Quốc Học Huế 2018) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , thiết diện qua trục là hình vng. Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB A , biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung 120. Tính diện tích thiết diện ABB A .
A 3 2. B C 2 D 2 2.
Lời giải
Gọi R, h, l lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ. Ta có Sxq 4 2 R l4 R l 2.
Giả sử AB là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung 120. Ta có ABB A là hình chữ nhật có AA hl.
Xét tam giác OAB cân tại O, OAOBR, AOB120ABR 3.
ABB A
S AB AAR 3.l R l 32 3.
Câu 10. (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đơi bình I và trong bình III gấp đơi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1, r2, r3 của ba bình I, Ox, III.
A r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội 2. O
C' D'
B A
B' A'
C D
O'
O
O
A
B A
B
(131)B r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 1 2.
C r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
D r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
Lời giải
Gọi V1, V2, V3 lần lượt là thể tích của bình I, II, III. Ta có V1V2 2
1 2 r h r h
2
1 2 r h r h
2
2 r r
2
V V r h22 2 r h32 3r h22 2r322h2
3
2 r r
Từ 1 và 2 ta có r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội
Câu 11. (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3
R Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2 R
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
A
2
2
3 R
. B
2
3
2 R
. C
2
3
2 R
. D
2
2
3 R
.
Lời giải
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là hình chữ nhật ABCD với
R
BC
Gọi H là trung điểm AB, ta có
2
R
AH AB2HB2 R2AH2 R 3.
Vậy diện tích thiết diện là:
2
3 3
2
R R
S AB CD R
Câu 12. (THPT Hải An - Hải Phịng - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Tính diện tích Scủa thiết diện được tạo thành
A 55 cm B 56 cm C 53cm D 46 cm 2
Lời giải
5cm
7cm
H C
D
O' O
A
(132)Gọi thiết diện là hình chữ nhậtABCD,H là trung điểm CD. Ta có: OH CD OH (ABCD)
OH BC
;( ) ;( )
d OO ABCD d O ABCD OH cm
2 2
5 cm
HC HD OC OH
8cm AB CD
2 8.7 56 cm ABCD
S AB BC
Câu 13. (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2cm. Biết rằng một mặt phẳng khơng vng góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A B mà
6
AB A B cm, diện tích tứ giác ABB A bằng 60cm2. Tính bán kính đáy của hình trụ.
A 5cm. B 3 2cm. C 4cm. D 5 2cm.
Lời giải
Gọi O, O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ).
Vì ABA B nên ABB A đi qua trung điểm của đoạn OO và ABB A là hình chữ nhật Ta có SABB A AB AA 606.AA AA10cm.
Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt đáy chứa A và B 1
A B B A
là hình chữ nhật có A B 6cm,
2
1
B B BB BB
2
10
2 7cm
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2R A B 1 B B1 2A B 2 8 R4cm.
Câu 14. (Chun Thái Bình - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy r5cm và khoảng cách giữa hai đáy h7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A S56 cm 2. B S55 cm 2. C S53 cm 2. D S46 cm 2.
Lời giải
Gọi O O, là tâm của hai đáy của hình trụ và P là mặt phẳng song song với trục và cách trục OO một khoảng 3cm
(133)
Gọi H là trung điểm của AB. Ta có OHAB OH; ADOHABCD
, , 3cm
d O O P d O ABCD OH
Khi đó: AB2AH 2 OA2OH2 2 5232 8; ADO O'h7cm. Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD AB AD 56cm2.
Câu 15. (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình trịn O và O , chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc
30. Hỏi cắt đường trịn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A 2
3 R
. B
3 R
. C 2
3 R
. D 2
3 R
.
Lời giải
Gọi M là trung điểm của OO. Gọi A, B là giao điểm của mặt phẳng và đường tròn
O
và H là hình chiếu của O trên AB ABMHO.
Trong mặt phẳng MHO kẻ OK MH, KMH khi đó góc giữa OO và mặt phẳng là góc OMK30.
Xét tam giác vng MHO ta có HOOM tan 30Rtan 30
3 R
H
M O'
O A
D C
B K
A B
O
O D
(134)Xét tam giác vng AHO ta có AH OA2OH2
2
3 R R
3 R
Do H là trung điểm của AB nên 2 R
AB
Câu 16. (THPT Lê Xoay - 2018) Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0,2 cm. Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A 3,67 cm . B 3,08 cm . C 2, 28 cm . D 2, 62 cm .
Lời giải
Thể tích của cốc nước là: V 2,8 8 2 62, 72cm3. Thể tích của viên bi là:
1 .1
3
V 20. cm3
Thể tích cịn lại sau khi đổ vào cốc 120 ml nước và thả vào cốc viên bi là:
2 120
V V V 62, 72 20 120
56,10 cm 3. Chiều cao phần còn lại là:
2 (2,8)
V h
56,102
.(2,8)
2, 28 cm .
Câu 17. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3
2 R
. Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2 R
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là:
A
2
3 2 R
. B
2
3 R
. C
2
2 3 R
. D
2
2 R
.
Lời giải
Chọn B
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm của BCsuy ra OH BC suy ra ;
2 R d O BC
Khi đó
2
2 2
2 2
2 R
BC HB OB OH R R
(135)Suy ra
2 3
2
ABCD
R R
S BC ABR
Câu 18. (Sở Bình Phước - 2020) Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4, thiết diện qua trục là một hình vng. Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB A , biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung 120 Diện tích 0 của thiết diện ABB A bằng
A 2 B 2 C 3 D
Lời giải Chọn A
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là ,r h. Theo đề ra ta có: 2rh4rh2(1).
Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử AB là dây của đường trịn đáy của hình trụ. GọiO là tâm của đáy trên của hình trụ. Theo bài ra ta có: AOB1200.
Áp dụng định lý cơsin trong tam giác OAB, ta có: AB2OA2OB22OA OB. .cosAOB
2 2 2
2 cos 120 3
AB r r r r AB r
(2).
Mặt khác, do mặt phẳng song song với trục nên ABB A là hình chữ nhật và AA h(3). Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: SABB A AB AA r 3.hrh 32 3.
Câu 19. (Liên trường Nghệ An - 2020) Một sợi dây (khơng co giản) được quấn đối xứng đúng 10 vịng quanh một ống trụ trịn đều có bán kính R 2cm
(Như hình vẽ)
Biết rằng sợi dây dài50cm. Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.
A
80cm B
100cm C
60cm D
120cm
Lời giải
Khi trải phẳng ống trụ trịn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy cịn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vịng quấn của dây dài 5cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và
10 chiều dài trụ(hình vẽ).
Gọi chiều dài trụ là l cm ,theo định lí Pitago ta có
2
2
5 30
10 l
l
(cm).
Vậy diện tích xung quanh của trụ là: 2 .30 120 xq
S cm
(136)Câu 20. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa).
A 750, 25cm2. B 756, 25cm2. C 700cm2. D 700cm2.
Lời giải Chọn B
Bán kính hình trụ của cái mũ là 35 10 10 15
2
r cm
Đường cao hình trụ của cái mũ là 30cm.
Diện tích xung hình trụ là: 15 2 2 .30 450
2 xq
S rl cm
Diện tích vành mũ là:
2 35
2
v d
S S cm
Vậy tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa) là:
2
2 35
450 756, 25
xq d v
S S S S cm
Câu 21. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Một khối trụ có bán kính đáy r2a O O, tâm đường tròn đáy Một
mặt phẳng song song với trục cách trục 15 a
, cắt đường tròn O hai điểm A B, Biết thể tích khối
tứ diện OO AB 15
4 a
Độ dài đường cao hình trụ
A a B 6a C 3a D 2a
Lời giải Chọn C
Vẽ đường sinh AC, khi đó mặt phẳng ABC song song với OO và cách OOmột khoảng 15
2 a
(137)Gọi I là trung điểm AB, ta có , , 15 a
d OO ABC d O ABC O I
Bán kính O A 2a suy ra
2
2 2 15
2 2
4 a
BA IA O A O I a a.
Thể tích tứ diện OO AB bằng 15
4 a
nên ta
có :
3
1 15 15 15
6
a a a
OO IO AB OO a OO a.
Vậy hình trụ có chiều cao OO 3a.
Dạng Thể tích
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A 216a3 B 150a3 C 54a3 D 108a3
Lời giải
Chọn D
Lấy 2 điểm M , N lần lượt nằm trên đường tron tâm O sao cho MN6a.
Từ M , N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO', cắt đường tròn tâm O' tại Q, P.
Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQcó cạnh bằng 6a. Gọi H là trung điểm của PQ. Suy ra OHPQ.
Vì OO'MNPQ nên ta có d OO ',MNPQd O ',MNPQO H' Từ giả thiết, ta có O H' 3a. Do đó O HP' là tam giác vng cân tại H Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình trụ là O P' O H' 2HP2 3a 2. Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:
2
3 108 V a a a
Câu 2. (Đề Tham Khảo 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1 , H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r h r h1, , ,1 2 2 thỏa mãn 2 1, 2 1
2
r r h h (tham khảo
hình vẽ). Biết rằng thể tích của tồn bộ khối đồ chơi bằng 30cm3, thể tích khối trụ
H bằng
H P
Q O
O' C
B
D A
M
(138)A 24cm3 B 15cm3 C
20cm D 10cm3
Lời giải Chọn C
Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích khối trụ H1 , H2
2
2 2 1
1
2
V
V r h r h
1 2
V V
mà V1V2 30V120
Câu 3. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a. Biết hai điểm ,
A Clần lượt nằm trên hai đáy thỏa AC10a, khoảng cách giữa ACvà trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là
A 128a3. B 320a3. C 80a3. D 200a3.
Lời giải
Chọn D
Gọi O , O lần lượt là hai đường tròn đáy. A O C, O
Dựng AD CB, lần lượt song song với OO(D O ,B O Dễ dàng có ABCDlà hình chữ nhật.
Do AC10 ,a AD8aDC6a. Gọi H là trung điểm của DC.
O H DC
O H ABCD
O H AD
Ta có OO/ /ABCDd OO AC , d OO ,ABCDO H 4a.
4 ,
O H a CH a R O C a.
Vậy thể tích của khối trụ là 2 200
(139)Câu 4. (Sở Hà Nội 2019) Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên lần, bán kính của nó lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?
A 36. B 6. C 18. D 12
Lời giải
Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao h1 và bán kính r1. Khi đó, khối trụ có thể tích là
1
V r h.
Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên lần, bán kính của nó lên 3 lần thì khối trụ có chiều cao
2h và bán kính 3r1. Khi đó, khối trụ mới có thể tích là V23r12.2h118r h1 1. Do vậy
1 18 V
V
Câu 5. (Chun ĐHSPHN - 2018) Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vng thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là
A 30% B 50% C 21% D 11%
Lời giải
Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng.
Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ.
Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất). Suy ra
2 a R
Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy lớn nhất.
Ta có: V1a h2 và
2
2
4 a
V R h h.
Suy ra:
2
2
4 78,54%
a h V
V a h
Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng 21, 46%.
Câu 6. Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m và chiều cao 1 m Người ta đã cắt khối gỗ, phần cịn lại như hình vẽ bên có thể tích là V Tính V
h
R
(140)A 3
16
3
m B 5
64
3
m C 3
64
3
m D
16
3 m
Lời giải
Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối gỗ ban đầu và thể tích khối gỗ bị cắt.
Thể tích của khối gỗ ban đầu là
2
1
0,
2 16
V
3 m
Thể tích phần gỗ đã bị cắt đi là
2
2
1 0,5 0,5
2 64
V
3 m
Thể tích khối gỗ cịn lại và 1 2 16 64 64
V V V m3
Câu 7. (Sở Hưng n - 2020) Cho hình trụ có ,O O là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có ,A B cùng thuộc O và ,C D cùng thuộc O sao cho ABa 3, BC2a đồng thời ABCD tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60. Thể tích khối trụ bằng
A a3 3. B
3
3 a
. C
3
3 a
. D 2a3 3.
Lời giải
Chọn A
Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD AB, và I là trung điểm của OO. Suy ra góc giữa mặt phẳng ABCD và mặt phẳng đáy là IMO 60. Ta có 1
2
IM MN BCa.
Xét IO M vng tại O, ta có sin 3
a
(141) cos
2 a O M IM IMO
Xét O MD vng tại M, có , 1
2 2
a a
O M MD CD AB
2
2
2
a a
r O D O M MD r a
Vậy V r h2 a3 3.
Câu 8. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho khối trụ có hai đáy là O và O AB CD, lần lượt là hai đường kính của O và O , góc giữa AB và CD bằng 30, AB6. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
30. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A 180 B 90 C 30 D 45
Lời giải
Chọn B
Ta chứng minh: , .sin ,
ABCD
V AB CD d AB CD AB CD
Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.
Khi đó AB CD, AB BE, sinAB CD, sinAB BE, .
, ,
d D ABE d AB CD
1
, , sin ,
3
ABCD ABDE ABE
V V d D ABE S AB CD d AB CD AB CD
D
C B A
E D
C B
(142)
1 180
, sin , , 10
1
6 sin 30 6.6.
2 ABCD
ABCD
V
V AB CD d AB CD AB CD d AB CD
AB CD
Chiều cao của lăng trụ bằng hd AB CD , 10. Thể tích lăng trụ:
.3 10 90
V S h
Câu 9. (Lý Nhân Tơng - Bắc Ninh - 2020) Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50cmx240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
• Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tơn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gị mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gị được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gị được theo cách 2. Tính tỉ số
2 V
V
A
1 V
V B
1
2 V
V C
1
2 V
V D
1
2 V
V
Lời giải
Chọn C
Ở cách 1, thùng hình trụ có chiều cao h50 cm, chu vi đáy C1240 cm nên bán kính đáy 1 120 cm C R
Do đó thể tích của thùng là
1
V R h.
Ở cách 2, hai thùng đều có có chiều cao h50 cm, chu vi đáy C2120 cm nên bán kính đáy 60 cm C R
Do đó tổng thể tích của hai thùng là 2 2
V R h.
Vậy
2
2
1 1
2
2 2
120
1
60
2 2
V R h R
V R h R
Câu 10. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình trụ có hai đáy là hình trịn tâm O và O, chiều cao
ha Mặt phẳng đi qua tâm O và tạo với OO một góc 30, cắt hai đường trịn tâm O và O tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ và diện tích bằng
2
3a Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A 3 a
B 3a3 C
(143)Chọn B
Giả sử ABCDlà hình thang mà đề bài đề cập (BCđáy lớn, ADđáy nhỏ) và r
là bán kính đáy của hình trụ
Theo đề: 2
BC r
AD r
BC AD
Kẻ O I AD
AD OO I
ABCD OO J
Suy ra góc giữa OO và ABCDlà góc O OI Theo đề O OI 30
cos
cos 30
OO OO a
O OI OI a
OI
Ta có: .2
3
2
ABCD
AD BC IO r r a
S a ra
Thể tích của khối trụ là V r h2 a a2. 3 a3 3
Câu 11. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hình trụ và hình vng ABCD có cạnh a. Hai đỉnh liên tiếp A B, nằm trên đường trịn đáy thứ nhất và hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy thức hai, mặt phẳng ABCD tạo với đáy một góc 45. Khi đó thể tích khối trụ là
A
3 2 a
. B
3
3
8 a
. C
3 2 16 a
. D
3
3
16 a
.
Lời giải
Gọi I I, lần lượt là trung điểm của AB CD, ; O O, lần lượt là tâm đường trịn đáy của hình trụ (như hình vẽ); H là trung điểm của II.
Khi đó H là trung điểm của OO và góc giữa ABCD tạo với đáy là HI O 45. Do
2 a
I H
4 a O H O I
Khi đó
2 a hOO
D C
I' H
O' O I
B
(144)Ta có: 2 a rO C O I I C
Thể tích khối trụ là
3
2
16 a V r h
Dạng Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diệnABCD
A Sxq 8 3 B Sxq 8 2 C 16
3 xq
S D 16
3 xq
S
Lời giải Chọn D
Bán kính đường trịn đáy hình trụ bằng một phần ba đường cao tam giác BCD nên 3
3
r
Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình chóp:
2
2 16.3
4 16
3
h
2 16
2
3 3
xq
S rh
Câu 2. (Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a
A
3
6 a
V B
3
2 a
V C
3
4 a
V D V a3
Lời giải Chọn B
Bán kính đường trịn đáy là
2
AC a
R ; chiều cao ha.
Vậy thể tích khối trụ là:
2
2
2
a a
V R h a
Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho
A V 3a h2 B V a h2 C
2
9
a h
V D
2
3
a h
V
(145)
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình trịn đáy là hình trịn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 3 a
.
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là
2
3
a
V h S h a h(đvtt)
Câu 4. (Sở Quảng Ninh 2019) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung quanh bằng 36a2. Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A 27 3a3. B 24 3a3. C 36 3a3. D 81 3a3.
Lời giải
Ta có Sxq 36a2 2Rh.
Do thiết diện qua trục là hình vng nên ta có 2Rh. Khi đó h2 36a2 hay h6a; R3a.
Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là
2
3 27
4
R a
B
Thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là V B h 81a3 3.
Câu 5. (Chun KHTN 2019) Cho hình trụ T chiều cao bằng 2a, hai đường trịn đáy của T có tâm lần lượt là O và O1, bán kính bằng a. Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O1 lấy điểm B sao cho AB 5a. Thể tích khối tứ diệnOO AB1 bằng
A
3 12
a
. B
3
4 a
. C
3
6 a
. D
3
3 a
(146)
Kẻ đường sinh BB' và gọi H là trung điểm OB.
Trong tam giác vng ABB có BB OO12a vàABa 5 nên 2
AB AB BB a.
Tam giác OAB có OBOA ABa nên OAB là tam giác đều AH OB, a
AH Ta
có 1
1
AH OB
AH O OB
AH OO
Thể tích khối tứ diện A O OB 1 là
1
3
1
1 1 3
.2
3 6
O OAB O OB
a a
V AH S AH O O O B a a
Câu 6. (THPT Ba Đình 2019) Cho khối trụ có đáy là các đường trịn tâm O , O có bán kính là R và chiều cao hR 2. Gọi A, B lần lượt là các điểm thuộc O và O sao cho OA vng góc với O B Tỉ số thể tích của khối tứ diện OO AB với thể tích khối trụ là:
A
3 B
1
3 C
1
6. D
1 4.
Lời giải
Thể tích khối trụ V1R h2 R2.R R3
Khối tứ diện BO OA có BO là đường cao và đáy là tam giác vng O OA , do đó thể tích khối tứ
diện là 2 1 2
2 6
1
3 O OA OA OO O B R R R R
V S O B
H
B'
A O
(147)Vậy
3
3
2
1
1
V R
R
V
Câu 7. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình vng ABCD có đáy AB CD, là hai dây cung của hai đường trịn đáy và ABCD khơng vng góc với đáy. Diện tích hình vng đó bằng
A
2
4 a
. B 5a2. C
2
2 a
. D
2
2 a
.
Lời giải
+ Gọi ,O O' là tâm của 2 đường trịn đáy, I là trung điểm của OO'. Do tính đối xứng nên I là trung điểm của AC BD,
Kẻ đường kính CC' AC'a CC; '2a AC C A' 2C C' a 5.
+ Do đó
2
1
2
ABCD
a
S AC
Câu 8. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C , biết góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 45, diện tích tam giác A BC bằng a2 6. Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C .
A
2
4
3 a
. B 2a2. C 4a2. D
2
8
3 a
.
Lời giải
C'
C I
O' O A
B
D
45
M
C'
B' A'
C
(148)Gọi M là trung điểm BC, khi đó BC AM BC A M
BC AA
, do đó góc giữa A BC và ABC là A MA 45.
Tam giác A AM vuông cân tại A nên
2
BC BC
A M AM
Diện tích
2
1 6
2 2
A BC
BC BC
S A M BC BC
Theo đề
2
6
4 BC
a BC a
Hình trụ có đáy là đường trịn ngoại tiếp ABC có bán kính 3
3
BC a
r , đường cao
3
BC
hAA AM a
Diện tích xung quanh 2 3
a
S πrh π a πa
Câu 9. (THPT Đồn Thượng - Hải Dương - 2019) Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3R. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng 30. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ:
A ,
2 R
d AB d B d AB d , R. C d AB d , R 3. D , R
d AB d
Lời giải
Gọi I, J là tâm của hai đáy (hình vẽ).
Từ B kẻ đường thẳng song song với trục d của hình trụ, cắt đường trịn đáy kia tại C. Khi đó,
AB d, AB BC, ABC. Suy ra ABC30. Xét tam giác ABC vng tại C, ta có:
tanABC AC
CB
AC CB.tanABC R 3.tan 30 3
R R.
Lại có d//ABC và ABCAB nên d d AB , d d ABC , d J ,ABC.
R 3
R 300
H C
J
I A
(149)Kẻ JH AC, HAC. Vì BCJH nên JH ABC. Suy ra d J ,ABCJH.
Xét tam giác JAC ta thấy JAJCACR nên JAC là tam giác đều cạnh R. Khi đó chiều cao là
2 R
JH Vậy , R d d AB
Câu 10. (THPT Kiến An - Hải Phịng - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C , biết góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 45, diện tích tam giác A BC bằng a2 6. Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C .
A
2
4
3 a
. B 2a2. C 4a2. D
2
8
3 a
.
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta có BC AM , BCA M
Suy ra: A BC , ABCA MA 45A A AM Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Đặt BCx, x0. Ta có
2 x
AM A A
2 x A M
Nên
2
2
1
2
A BC
x
S A M BC a x2a.
Khi đó: 2 3
3 3
a a
AO AM và A A a 3.
Suy ra diện tích xung quang khối trụ là: Sxq 2 OA A A
2
2
a
a a
Câu 11. (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung quanh bằng 36a2. Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A V 27 3a3. B V 81 3a3. C V 24 3a3. D V 36 3a3.
Lời giải 45°
C'
B'
O
M
A C
(150)Diện tích xung quanh hình trụ Sxq 2rl
2r r.2 36a
r3a Lăng trụ lục giác đều có đường cao h l 6a
Lục giác đều nội tiếp đường trịn có cạnh bằng bán kính của đường trịn Suy ra diện tích lục giác đều
2
3
6 a
S
2 27
2 a
Vậy thể tích V S h 81 3a3.
Câu 12. (Phú Thọ - 2018) Cho lăng trụ đứngABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáyABC là tam giác vng cân tại A, góc giữaAC và mặt phẳngBCC B bằng 30 (tham khảo hình vẽ). Thể
tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụABC A B C bằng
A
a
B
2a C
4a D 3a
Lời giải
C' B'
B
A
C
(151)Gọi bán kính của hình trụ làR.
Ta có: CC ABCCCAI.
Lại có tam giác ABC là tam giác vng cân tại A nên AIBC do đó AI BCC B hay góc giữa AC và mặt phẳng BCC B là IC A
Xét tam giác AIC ta có: tan
AI IC
IC A
R 3.
Xét tam giác CIC ta có: IC2 IC2CC2 3R2 R24a2Ra 2. Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C là: V R h2.
4 a3
Câu 13. (Chun Lương Văn Chánh - Phú n - 2018) Cho hình trụ T có C và C là hai đường trịn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường trịn C và hình vng ngoại tiếp của C có một hình chữ nhật kích thước a2a (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích V của khối trụ T theo a.
A
3 100
3 a
. B 250a3. C
3 250
3 a
. D 100a3.
Lời giải I
C' B'
B
A
C
A'
C D
A B
(152)Ta có BK 2a, KIa nên BI a cos KBI
và sin
5
KBI
Khi đó cosOBI cos KBIKBOcosKBI.cos 45 sinKBI.sin 45
1 2
2
5 5
Kí hiệu AB2x thì OI x OB, x 2.
Ta có OI2BO2BI22.BO BI .cosOBI 2 2 5.3 2
x a x a
2x25a26xa
2 2 5 6
x x a xa
x26xa5a20
5 x a
x a
. Vì xa nên x5a hay rOI 5a.
Vậy thể tích khối trụ T là V 5a 2.10a250a3.
Câu 14. (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng ABCD cạnh bằng 2 cm với AB là đường kính của đường trịn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường trịn đáy sao cho ABM 60. Thể tích của khối tứ diện ACDM là:
A V 3 cm 3 B V 4 cm 3 C V 6 cm 3 D V 7 cm 3
Lời giải
Ta có: MAB vng tại M có B 60 nên MB 3;MA3.
Gọi H là hình chiếu của M lên AB, suy ra MH ACD và MB MA MH
AB
Vậy 3
1
.6 cm
3
M ACD ACD
V MH S
Câu 15. (THPT Lục Ngạn - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a, chiều cao là h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
A
2
9 a h
V B
2
3 a h
V C V 3a h2 D V a h2
Lời giải
C O
O D
A
H
(153)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do ABC là tam giác đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có
2
AG AM 3
a
3 a
.
Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là V R h2
3 a h
.
Câu 16. (THPT n Lạc - 2018) Cho hình trụ có hai đáy là các hình trịn O , O bán kính bằng a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy. Các điểm A, B tương ứng nằm trên hai đường trịn
O , O sao cho ABa Tính thể tích khối tứ diện ABOO theo a
A
3 a
B
3
a
C.
3
3 a
D.
3
a
Lời giải
Ta có OO 2a, A B AB2AA2 6a24a2 a 2.
Do đó 2 2
2
A B O B O A a nên tam giác O A B vuông cân tại O hay O A O B OAO B
Khi đó , .sin ,
OO AB
V OA O B d OA O B OA O B
3
.2 sin 90
6
a a a a
A' C'
B' G B
C A
M
A O
A
(154)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số cơng thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO, ta có mặt trụ hình bên
Đường cao: hOO
Đường sinh: lADBC Ta có: lh
Bán kính đáy:
rOAOBO C O D
Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm ,O O
Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD
Chu vi đáy: p2r
Diện tích đáy:
đ
S r
Thể tích khối trụ: V h S. h r. đ
Diện tích xung quanh: Sxq 2r h
Diện tích tồn phần:
đ
2
2
tp xq
S S S r h r
MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI TRỤ (CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - CỰC TRỊ)
Câu 1. (Mã104 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy m 1,5 m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao thể trích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm
gầnnhất với kết đây?
A 1,8 m B 2,1 m C 1,6 m D 2,5 m
Lờigiải ChọnA
Gọi h chiều cao bể nước r bán kính đáy bể nước dự định làm
Theo giả thiết, ta có 2 1, 2 13
4
r h h hr
Suy 13 1,8
2
r
Câu 2. (Mã1012019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây?
A 2, 2m B 1, 6m C 1,8m D 1, 4m
Lờigiải ChọnB
Gọi R R R1; 2; bán kính trụ thứ nhất, thứ hai dự kiến làm,ta có:
2 2 2
1 2
2
2 2
1
1 1, 1,56( )
V V V R h R h R h R R R
R R R m
Vậy: Giá trị cần tìm là: 1, m
KHỐI TRỤ
(155)Câu 3. (Mã 102 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 4m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm
gầnnhất với kết đây?
A 1, 7m B 1,5m C 1,9m D 2, 4m
Lờigiải ChọnA
Ta có: V V1V2 2
1
h R h r h r
2
1 1, 72
R r r m
Câu 4. (Mã 103 -2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1mvà 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây?
A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m
Lờigiải ChọnC
Gọi hai bể nước hìnhtrụ ban đầu có chiều cao h, bán kính r r1, 2, thể tích V V1, 2 Ta có bể nước có chiều cao h, V V1V2
2 2 2
1
106
.1 1,8 2,1m
25
r h r h r h r h h h r
Câu 5. (Mã 102 2018) Một bút chì có dạng khối trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định m3 gỗ có giá a triệu đồng, m3 than chì có giá 6a triệu đồng Khi
giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 8, 45.a đồng B 7,82.a đồng C 84, 5.a đồng D 78, 2.a đồng
(156)1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy 1mm3 gỗ có giá
1000
a
đồng
m than chì có giá 6a triệu đồng suy
mm than chì có giá 1000
a
đồng
Phần chì bút tích 3
1 200 .1 200
V mm
Phần gỗ của bút chì tích
2
3
3
200.6 200 2700 200
4
V mm
Số tiền làm bút chì 7,82
1000
a V a V
a
đồng
Câu 6. (Mã1012018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính đáy mm Giả định 1m gỗ có giá a (triệu đồng), 1m than chì có giá 8a (triệu đồng) Khi giá nguyên liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 9, 07a(đồng) B 97, 03a(đồng) C 90, 7a(đồng) D 9, 7a(đồng)
Lờigiải Chọn
D
Diện tích khối lăng trụ lục giác 6. 3.10 32.
4
S
(m ) 2
Thể tích bút chì là: . 6. 3.10 32. .200.10 27 3.10
4
V S h
(m )
Thể tích phần lõi bút chì 32
1 10 200.10 10
V r h (
m )
Suy thể tích phần thân bút chì
2 27 10
V VV (
m ) Giá nguyên liệu làm bút chì là:
6
2 .10 1.8 10
V a V a 27 2.10 107a 10 10 7 a
2, 1, 4 a 9, 07a
(157)Câu 7. (Đề MinhHọa2017) Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):
Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng
Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng
Kí hiệuV1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số
2
V V
A
1
V
V B
1
1
V
V C
1
2
V
V D
1
4
V V
Lờigiải ChọnC
Ban đầu bán kính đáy R, sau cắt tơn bán kính đáy
2 R
Đường cao khối trụ khơng đổi Ta có V1 h R2,
2
2 2 2
R R
V h h
Vậy tỉ số
2
V
V
Câu 8. (Mã1042018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn có bán kính mm Giã định
3
1 m gỗ có giá a (triệu đồng),
1 m than chì có giá 7a(triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 85, 5.a(đồng) B 9, 07.a(đồng) C 8, 45.a(đồng) D 90, 07.a(đồng)
Lờigiải ChọnC
Thể tích phần lõi than chì:
1 0, 001 0, 2 10
V m
Số tiền làm lõi than chì
1 (2 10 )7 10 1,
T a a
(đồng)
Thể tích phần thân gỗ bút
2
7 7
2
(0, 003)
6 .0, 2 10 3.27.10 10
4
V m
Số tiền làm phần thân gỗ bút
7
2 27 3.10 2.10 10 2, 0,
T a a
(đồng)
(158)Câu 9. (Mã103 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định
1m gỗ có giá a
(triệu đồng)
1m than chì có giá 9a(triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây?
A 103,3ađồng B 97, 03ađồng C 10,33ađồng D 9, 7ađồng
Lờigiải ChọnD
3mm0, 003 ; 200m mm0, ;1m mm0, 001m
Diện tích đáy phần than chì:
1 10 ( )
S r m
Diện tích đáy phần bút gỗ:
2
6
2
3 27
6 .10 10 ( )
4
OAB
S S S m
Thể tích than chì cần dùng:
1 0, 0, 10 ( )
V S h r m
Thể tích gỗ làm bút chì:
2
27
.0, 2.10 ( )
2
V S h m
Tiền làm bút:
6
1 2
27
.9 9.0, 10 0, 2.10 9,
2
V a V a V V a a a
(đồng)
Câu 10. (Chuyên LêQuýĐôn QuảngTrị2019) Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu hai khối trụ đường kính đáy 12 , chiều cao 6, chiều dài tạ 30 bán kính tay cầm Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay
A 108 B 6480 C 502 D 504
Lờigiải
Gọi h1, R1, V1 chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ đầu
2
1 .6 216
V h R
Gọi h2, R2, V2 chiều cao, bán kính đáy, thể tích tay cầm
2
2 30 2.6 72
V h R
Thể tích vật liệu làm nên tạ tay bằngV 2V1V2504
Câu 11. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kínhMN, PQ hai đáy choMN PQ Người thợ cắt khối đá theo mặt qua 3
trong điểm M N P Q, , , để khối đá có hình tứ diệnMNPQ Biết MN60 cm thể tích khối tứ diện MNPQ30dm Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy)
A 101,3dm 3 B 111, 4dm 3 C 121,3dm 3 D 141, 3dm 3
(159)ChọnB
Gọi O O trung điểm MN vàPQ
Khi OO' trục hình trụ OO MNMNOPQ
2
1
3
MNPQ OPQ
OO
V MN S OO 3
dm Theo ta có VMNPQ30dm3OO5dm Thể tích khối trụ .3 52 141, 4dm3
tru
V Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ
3
111, 4dm
tru MNPQ
V V V
Câu 12. (Chun Trần Phú Hải Phịng 2019) Cơng ty X định làm téc nước hình trụ inox (gồm nắp) có dung tích 1m3 Để tiết kiệm chi phí cơng ty X chọn loại téc nước có diện tích tồn phần nhỏ Hỏi diện tích toàn phần téc nước nhỏ (kết làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy)?
A 5, 59 m2 B 5, 54 m2 C 5, 57 m2 D 5, 52 m2
Lờigiải
Ta có:
2
1
1
Rh R V R h
R h
Diện tích tồn phần téc nước: Stp 2Rh2R2 22R2 R
Xét
2
2
4
2
S R R
R
Lập bảng biến thiên ta có Stp đạt giá trị nhỏ
2
R
3
min 3 2
2
2 5, 54
4 tp
S
Câu 13. (Trường VINSCHOOL - 2020) Một tạ tay có hình dạng gồm khối trụ, hai khối trụ hai đầu khối trụ làm tay cầm Gọi khối trụ làm đầu tạ T1 khối trụ làm tay cầm T2 có bán kính chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn
1 42
r r , 1 2
(160)Biết thể tích khối trụ tay cầm T2 30 cm3 tạ làm inox có khối lượng riêng
3
7, /
D g cm Khối lượng tạ tay
A 3,927 kg B 2,927 kg C 3, 279 kg D 2, 279 kg
Lời giải Chọn A
Thể tích hai khối trụ làm đầu tạ T1 :
2
2
1 1 2 2
1
2 16 16.30 480
2
V r h r h r h cm Tổng thể tích tạ tay: V V1V2 480 30 510cm3 Khối lượng tạ: mDV 7, 7.5103927 g 3,927 kg
Câu 14. (Thi thử hội trường chuyên 2019) Một công ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác có chiều cao 18 cm đáy hình lục giác nội tiếp đường trịn đường kính 1cm Bút chì cấu tạo từ hai thành phần than chì bột gỗ ép, than chì khối trụ trung tâm có đường kính 1cm
4 , giá thành 540 đồng
3
/ cm Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng/ cm3
Tính giá bút chì cơng ty bán biết giá nguyên vật liệu chiếm 15, 58 % giá thành sản phẩm
A 10000 đồng B 8000 đồng C 5000 đồng D 3000 đồng
Lời giải Chọn A
Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp lục giác bán kính lõi than chì
Ta có 1cm
2
R 1cm
r
Suy diện tích lục giác 6 .1 3
4 4
S R
(161)Ta có . 3.18 27 3cm3
8
V S h ; 3
1
1
.18 cm
8 32
V r h
3
2
27
cm
4 32
V V V
Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm bút chì 540V1100V2 (đồng) Vậy giá bán bút chì
2
100 27 100
540 100 540 100 10000
15, 58 32 32 15,58
V V
(đồng)
Câu 15. (THPT Hậu Lộc 2019) Một cuộn đề can hình trụ có đường kính 44,9 cm Trong thời gian diễn AFF cup 2018, người ta sử dụng để in băng rôn, hiệu cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam, đường kính cuộn đề can cịn lại 12,5 cm Biết độ dày đề can 0,06 cm, tính chiều dài L đề can sử dụng?(Làm tròn đến hàng đơn vị)
A L24344cm B L97377cm C L848cm D L7749cm
Lời giải Chọn A
Ta có lần bán vịng đề can bán kính cuộn đề can giảm số cm là: 0, 06cm
Bán kính lúc đầu 22,45 cm, bán kính lúc sau 6,25 cm Số vòng đề can bán là:
22, 45 6, 25 ; 0, 06 270
Chu vi vòng đề can bán kính r chiều dài vịng đề can Nó bằng:
r
L r
Chiều dài L đề can bán LL1L2 L270 với L1 độ dài vòng cuộn đề can, bán kính r122, 45cm L1cũng chu vi đường trịn bán
kínhr122, 45cmL12 r1 Vịng thứ 2, bán kính giảm 0,06cm có bán kính r222, 45 0, 06 22,39cm, L2cũng chu vi đường trịn bán
kínhr222,39cmL12 r1
Suy L2r12r2 2 r2702r1r2 r270
Trong r r1, , ,2 r270 cấp số cộng có u122, 45;d 0, 06, suy
270 269 22, 45 269.0, 06 6, 25 0, 06 6,31
u u d cm
Tổng 1 2 270 1 270 270 22, 45 6,31 270 3882,
2
r r
rr r cm
Suy L=2 3882.6 24382cm
(162)mặt đáy 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ (giả sử khúc gỗ không thấm nước kết làm tròn đến phần hàng chục)
A R5, 2cm B R4,8cm C R6, 4cm D R8, 2cm
Lời giải Chọn D
Gọi bán kính đáy hình trụ R
Gọi V V1, 2lần lượt thể tich hình hộp chữ nhật khối gỗ
Ta có 2
1 4R 20 80R
V B h
Chia khối gỗ làm hai phần mặt phẳng qua A song song đáy
Ta có 2 1
1
R R 16 R
2
V h hh
h khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy, h khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy Thể tích nước cịn lại
1
2
R 200
16 8,
VV V R
Câu 17. (Ngơ Quyền - Hải Phịng 2019) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba bóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có kích thước Thể tích phần khơng gian cịn trống chiếm tỉ lệ a% so với hộp đựng bóng tennis Số agần với số sau đây?
A 50 B 66 C 30 D 33
(163)Đặt ,h R đường cao bán kính hình trịn đáy hộp đựng bóng tennis
Dễ thấy bóng tennis có bán kính R với hình trịn đáy hộp đựng bóng tennis
h R Do ta có:
Tổng thể tích ba bóng 1 3.4
3
V R R ;
Thể tích hình trụ (hộp đựng bóng)
0
V R h R ;
Thể tích phần cịn trống hộp đựng bóng
2
V V V R Khi tỉ lệ phần khơng gian cịn trống so với hộp đựng bóng
0
1 0,33
V
V
Suy a33
Câu 18. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích 1m cạnh BCx m để làm thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM BCNM , phần hình chữ nhật ADNM gị thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao AM ; phần hình chữ nhật BCNM cắt hình trịn để làm đáy hình trụ (phần inox cịn thừa bỏ đi) Tính gần giá trị x để thùng nước tích lớn (coi mép nối không đáng kể)
A 1, 37 m B 1, 02 m C 0,97 m D 1m
Lời giải Chọn B
Ta có AB BC 1 AB 1
BC x
m
Gọi R m bán kính đáy hình trụ inox gị được, ta có chu vi hình trịn đáy BCx m Do 2Rx
2
x R
m ; BM 2R x
AM AB BM x
(164)Thể tích khối trụ inox gị 2 2 1 x x
V R h x x
x
Xét hàm số 2
f x x x x0 f x 3x2
f x
3
x ; f x 0 0;
x
f x 0 ;
3
x
Vậy f x đồng biến khoảng 0;
nghịch biến khoảng ; Suy
0;
2
max
3
f x f
Từ ta tích V lớn f x lớn 1, 02
x m
Câu 19. Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16 (m3) Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu
A 0,8 m B 1,2 m C 2 m D 2,4 m
Lời giải Chọn C
Để tốn nguyên vật liệu diện tích tồn phần Stp phải nhỏ Gọi h h0 chiều cao bồn dầu Ta có: Stp 2r22rh
Mặt khác, theo giả thiết:
2
16
16 16
V r h h
r
2 2
tp
16 16 8
2 2
S r r r r
r r r r
Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương: r2,
r,
8
r, ta được:
2 8 3 8
3 12
r r
r r r r
tp 24
S
Đẳng thức xảy
8
r r r
r
tp
min S 24
Vậy để tốn nguyên vật liệu r2 (m)
Câu 20. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Anh H dự định làm thùng đựng dầu hình trụ sắt có nắp đậy thể tích 12m3 Chi phí làm m2 đáy 400 ngàn đồng, m2 nắp 200 ngàn
đồng,
m mặt xung quanh 300 ngàn đồng Để chi phí làm thùng anh H cần chọn chiều cao thùng gần với số sau đây? (Xem độ dày sắt làm thùng không đáng kể)
A 1, 24m B 1, 25m C 2, 50m D 2, 48m
(165)Gọi bán kính đáy hình trụ R Ta có
2
2
12
V R h h R
Suy chi phí (đơn vị ngàn đồng) làm thùng
2
2
2 3
.400 200 300
12 600
6 6
600 600.3 1800 36
C R R Rh
R R
R R
R R R R
Dẫn dến
2
3 3
minC 1800 36 R R
R
Vậy để chi phí nhỏ chiều cao hình trụ
3
12
2, 48 36
h m
Câu 21. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa có giá trị nhỏ
A R
B R
C
2
R
D 3
2
R
Lời giải Chọn C
Ta có 1000 lít = 1m3
Gọi h chiều cao hình trụ ta có V R h2 h 12 R
Diện tích tồn phần là: Stp R2 Rh R2 R 12 R2
R R
2 1 3 1 3
2 2.3
2 2
R R
R R R R
Dấu "=" xảy
2
R R
R
Câu 22. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 Giá trị lớn thể tích khối trụ
A 16 B 32 C 8 D 64
(166)Từ hình vẽ ta có ABCD hình chữ nhật, gọi chiều cao hình trụ h bán kính đáy hình trụ r, theo giả thiết ta có 2(h2 ) 12r h 2r6
Thể tích khối trụ tương ứng
V r h, theo bất đẳng thức Cơ si ta có
3
3 2
3
3
r h r r h r hV r h
Dấu xảy rh2 Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8
Câu 23. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích
V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải
A 3
2
V
B
3
2
V
C 3V
D
3
3
V
Lời giải Chọn A
Gọi h r, chiều cao bán kính đường trịn đáy hình trụ
Ta có V r h2 h V2
r
Để tiết kiệm vật liệu diện tích tồn phần nhỏ
Ta có 2 2
tp
S r rh
2
2 r r V
r
2 r2 2V
r
2 r2 V V
r r
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số r2, V V,
r r
ta có
2
2 3
3
3
tp
V V V
S r
r r r
không đổi
Dấu xảy 2
2
V V
r r
r
ta có
Câu 24. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Trong hình trụ có diện tích tồn phần 1000cm2 hình trụ tích lớn cm3
A 2428 B 2532 C 2612 D 2740
Lời giải Chọn A
Ta có 2 2 2
2 tp
S S Rh R Rh R
(167)Vậy thể tích khối trụ 2
2
S S
V R h R R R R F R
Ta có: 3 0
2
S S
F R R R
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
3
max
1000 1000 1000
2428
2 6
S
V R R
Câu 25. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm
O lấy điểm B Đặt góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng?
A tan B tan 1 C tan
D tan
2
Lời giải Chọn C
Gọi B hình chiếu B mặt phẳng chứa đường trịn O , AB hình chiếu
AB mặt phẳng chứa đường tròn O
Suy AB OAB, AB AB, BAB , 0;
Xét tam giác vng ABB vng B có tanBAB BB AB
2
tan tan
BB a
AB
(168)2
2 2
2
1
4
4 tan tan
AB a
OH OA AH R a a
Lại có ,
2
OAB
S OH AB OB d A OB
2
1
4
tan tan
,
2 tan tan
a a
OH AB a
d A OB
OB a
d A OO BB ,
Vậy . ,
3
A OO B OO B
V d A OO BB S
3
2
1 1 1
2
3 tan tan tan tan
a a
a a
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có 12
tan tan
2
1
4
tan tan 2
2 3 3
A OO B
a a
V
Dấu “=” xảy 12
tan tan 2
1
4
tan tan
2 tan tan
tan
2
0;
Câu 26. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, đường trịn tâm O
lấy điểm B Đặt góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn
A tan
B tan
2
C tan1 D tan
Lời giải Chọn B
Gọi A' hình chiếu A đường trịn tâm O' ta có
' ' ' ' ' 1 , ' '
OO AB B OO A A OO A A
V V S d B OO A A với d B OO A A , ' ' OB.sinBO A' ' Do SOO A A' ' số nên để thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn
, ' '
d B OO A A lớn hay BO A' '900
Khi ta có tan tan' ' 2
' 2
AA a
ABA
A B a
(169)trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước cho tốn vật liệu Để thỏa mãn yêu cầu đặt (diện tích tồn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện điều kiện sau:
A Chiều cao đường kính đáy
B Chiều cao bán kính đáy
C Chiều cao lần bán kính đáy
D Chiều cao bình phương bán kính đáy
Lời giải Chọn A
Gọi V, r, h, l thể tích, bán kính đáy, đường cao, đường sinh lon sữa
Ta có:
2
V V r h h
r
hl
Mặt khác:
2
V V r h h
r
2 2
2
2
2 2 2
tp
V V V V
S rl r r r r r
r r r r
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta được:
3
2
3
3
tp
V V
S r V
r r
Đẳng thức xảy V r2 V 2r3
r Do
V h
r
nên 2rh
Câu 28. (SGD Nam Định 2019) Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) tích V
nhất định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp ba lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tính tỉ số h
r cho chi phí vật liệu sản xuất thùng
nhỏ nhất?
A h
r B
h
r C
h
r D
h r
Lời giải Chọn C
Gọi x giá vật liệu làm mặt xung quanh (cho đơn vị diện tích) Thể tích thùng V r h2 khơng đổi Suy h V2
r
(170)Khi đó, chi phí để làm thùng PSxq.x2Sđ.3x2rh x 2r2.3x2x3r2rh
2
2 3
2
3
2 3
2
V V V V
P x r x r x
r r r
2
2
3
3
6
4
V V V
P x r r
r
Từ (*) suy 3
6
h V V
V r r
Câu 29. (Chun Vĩnh Phúc2019) Một hình trụ có độ dài đường cao 3, đường tròn đáy O;1 O';1 Giả sử AB đường kính cố định O;1và CD đường kính thay đổi O';1 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ diện ABCD
A Vmax 2 B Vmax6 C max
V D Vmax1
Lờigiải ChọnA
Gọi số đo góc AB CD
Ta có ; .sin 1.2.2.3.sin 2sin
6
ABCD
V AB CD d AB CD Do VABCD đạt giá trị lớn , đạt ABCD
Câu 30. (Chuyên Nguyễn TrãiHải Dương2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V
cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải
A 3
2
V
B
3
2
V
C 3V
D
3
3
V
Lờigiải
Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy R, chiều cao h ( ,R h0) Vì thể tích vỏ hộp V nên ta có
2
V V R h h
R
Để tiết kiệm vật liệu hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích tồn phần
2 2
2 2
tp
V
S Rh R R
R
nhỏ
Cách1:
D
O O'
A B
(171)Ta có 2
2
tp
V V V
S R R V
R R R
tp
S đạt giá trị nhỏ 2
2
V V
R R
R Cách2:
Xét hàm số 2
2
V
f R R
R
khoảng 0;
Ta có
3
2
2
4
V R V
f R R
R R
0
2
V
f R R
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta thấy f R đạt nhỏ
2
V R
Vậy để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy vỏ hộp phải
2
V
Câu 31. Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ là:
A 64 cm B 16 cm C 8 cm D 32 cm
Lờigiải
Gọi chiều cao bán kính đáy hình trụ x, y x y, 0
Khi ta có thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có kích thước x, 2y
Theo giả thiết ta có 2.x2y12 x2y6
Cách1.
Thể tích khối trụ: V y x2 y26 2 y2y33y2
Vì x2y6 02y60 y3
Xét hàm số f y y33y2 khoảng 0;3
Ta có f y 3y26y 0
2
y f y
y
(172)Suy
0;3
max f y f 4
Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 4 8 cm3
Cách2.
Thể tích khối trụ:
3 3
2
3 3
x y y x y
V y x x y y
Dấu “=” xảy x y2
Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ V8 cm
Câu 32. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh đất x m Giả sử chiều sâu ao x m Tính thể tích lớn V ao
A V 13, 5 m3 B V 27 m3 C V 36 m3 D V 72 m3
Lờigiải Chọn A
Phươngpháp
Xác định bán kính đáy chiều cao hình trụ, sử dụng cơng thức V R h2 tính thể tích hình trụ
+) Lập BBT tìm GTLN hàm thể tích
Cáchgiải
Ta có: Đường kính đáy hình trụ 2 x Bán kính đáy hình trụ 2
x
Khi ta tích ao
2
2
9
9
2 4
x
V x x x f x
Xét hàm số 2
9 36 81
f x x x x x x với
2
x
ta có:
9
' 12 72 81
3
x
f x x x
x
(173)Dựa vào BBT ta thấy max 54
f x x Khi max 54 27 13, 3
4
V m
Câu 33. (Chun Vĩnh Phúc 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O
lấy điểm B Đặt góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn
A tan B tan
C tan
D tan1
Lờigiải Cách1:
Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng O Kẻ AH OD, HOD
Ta tích khối chóp OO AB :
3
OO AB OO B
V AH S
2
a AH
2
2
a AO
3
4
a
VOO AB max H O Suy AD2 2a
Suy ra: tantanBAD
2
Nhậnxét: Nên thêm giả thiết AB chéo với OO để tứ diện ' OO AB tồn
α H
D B
A
(174)Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường trịn O Gọi C hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường tròn O' Ta có O CB OAD' hình lăng trụ đứng
Ta tích khối chóp OO AB :
'
1 1
2 2 sin
3 3
OO AB O BC OAD OAD
a V V a S a a a AOD
' max 90 2
O ABCD
V AOD AD a
Suy ra: tantanBAD
2
Câu 34. (Chun VĩnhPhúc2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, D cho AD2 3a; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa đường tròn O' ; đường tròn tâm
O lấy điểm B (AB chéo với CD) Đặt góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn
A tan B tan
C tan 1 D tan 3
Lờigiải
Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường tròn O
C
α
D B
A
O O'
K
α
H O
C
D B
A
(175)Gọi K hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường trịn O' Ta có HAD BKC hình lăng trụ đứng
Ta tích tứ diện CDAB
1 1 1
.2 ; ;
3 3
ABCD HAD BKC HAD
V V a S a AD d H AD a a d H AD
VABCDmaxd H AD ; max H điểm cung lớn
AD đường tròn O (1).
Theo định lý sin ta có
2 3
2.2 sin
4
sin
AD AD a
a AHD
a a
AHD
nên AHD600
Do (1) xảy AHD AH AD2 3a
Suy ra: tan tan
3
2
BH a
BAH
AH a
Câu 35. (Chun Vĩnh Phúc2019) Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A, D đường tròn tâm
O lấy điểm B, C cho AB CD// AB khơng cắt OO' Tính AD để thể tích khối chóp '
O ABCD đạt giá trị lớn
A. AD2 2a B. AD4a C.
3
AD a D. AD 2a
Lờigiải
Kẻ đường thẳng qua O' song song với AB cắt mặt phẳng chứa đường tròn ( )O O1 Lúc AO D BO C1 ' hình lăng trụ chiều cao 2a
Vì ADBC nên SBO C' SOAD
Ta tích khối chóp O ABCD' :
1
3
' ' '
1 2
.2 2 sin
3 3 3
O ABCD AO D BO C BO C OAD
a V V a S a S a a a AOD
' max 90 2
O ABCD
V AOD AD a
O1
O
C
D B
A
(176)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung
MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện
Hình thành: Quay đường trịn tâm I, bán kính
2
AB R quanh trục AB, ta có mặt cầu hình vẽ
Tâm ,I bán kính
RIAIBIM
Đường kính AB2R
Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I, bán kính R
Diện tích mặt cầu:
S R
Thể tích khối cầu:
3
4
R V
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện
Dạng Diện tích xung quanh, bán kính
Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R2 Diện tích mặt cầu cho
A 32
3
B 8 C 16 D 4
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r5 Diện tích mặt cầu cho
A 25 B 500
3
C 100 D 100
3
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r 4 Diện tích mặt cầu cho
A 16 B 64 C 64
3
D 256
3
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r5 Diện tích mặt cầu cho
A 500 3
B 25 C 100 3
D 100
Câu (Mã1012018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng:
A R2
B 4
3R C
2R D 4 R2
Câu (THPT ThiệuHóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích 16a2 Khi đó, bán kính mặt cầu
A 2 2a B 2a C 2a D
2
a Câu (ChuyênĐhspHàNội2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a
A 4 a2
B 16 a2
C 16a2 D
2
4
a
MẶT CẦU - KHỐI CẦU
(177)Câu (THPT NghĩaHưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu 2
16 cm Bán kính mặt cầu
A 8cm B 2cm C 4cm D 6cm
Câu (BìnhPhước2019) Tính diện tích mặt cầu biết chu vi đường trịn lớn 4
A S32 B S16 C S64 D S8
Câu 10 (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh có bán kính
A
2 B C
1
2 D 1
Câu 11 (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a
A 16 a2
B a2
C
3
3
a
D 4 a2
Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích
3
a
Bán kính mặt cầu
A
3
a
B
3
a
C
3
a
D
2
a
Câu 13 (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện tích bề mặt bóng rổ (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị)
A 629 cm2 B 1886 cm2
C 8171 cm2 D 7700 cm2
Câu 14 (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu biết chu vi đường trịn lớn 4
A S32 B S16 C S64 D S8
Dạng Thể tích
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r4 Thể tích khối cầu cho bằng:
A 256
3
B 64 C 64
3
D 256
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính Thể tích khối cầu cho
A B C D
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r2 Thể tích khối cầu cho
A 16 B 32
3
C 32 D 8
3
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu
A 32
3
B 16 C 32 D 8
3
Câu (Mã1022018) Thể tích khối cầu bán kính R
A 3
4R B
3R C
4R D 2R3 Câu (ĐềThamKhảo2019) Thể tích khối cầu bán kính a :
A
3
3
a
B 2 a3
C a
D 4 a3
Câu (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng:
S
S
4
r
64 64
3
256 256
3
(178)A 2 B
3
C 4
3
D 4
Câu (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a
A a
B 4a3 C
3
3
a
D 2a3
Câu (THPTĐơngSơnThanhHóa2019) Thể tích khối cầu bán kính cm
A 36 cm3.
B 108 cm3.
C 9 cm3.
D 54 cm3.
Câu 10 (THPTLêXoay Vĩnh Phúc2019) Cho mặt cầu S có diện tích 2 2
4 a cm Khi đó, thể tích khối cầu S
A
3 a cm
B
3 a cm
C
3 64 a cm
D
3 16 a cm
Câu 11 (ChuyenPhanBộiChâu NghệAn2019) Cho mặt cầu có diện tích 36a2 Thể tich khối cầu
A 18a3 B 12a3 C 36a3 D 9a3
Câu 12 (THPT Đồn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính 3cm
A S 36 2
cm V 36 3
cm B S 18 2
cm V 108 3 cm
C S 36 cm2 V 108 cm3 D S 18 cm2 V 36 cm3
Câu 13 (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3alà
A 4a3 B 12a3 C 36a2 D 36a3
Câu 14 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36a2 Thể tich khối cầu
A 18a3. B 12a3. C 36a3 D 9a3
Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ
Câu (Mã1232017) Tìm bán kínhR mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a
A R 3a B R a C 100 D R2 3a
Câu (Mã110 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề đúng?
A
3
R
a B
3
R
a C a2R D a2 3R
Câu (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa,
'
ADAA a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho
A 9a2 B
2 a C a
D 3a2
Câu (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước 1, 2,
A 36 B 9
2
C 7 14
3
D 9
8
Câu (THPTHồngHoaThámHưngn2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh
3 cm
A 27
2
cm3 B 9
2
cm3 C 9 cm3 D 27
8
(179)Câu (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a, a 3, 2a
A.
8a B.
4a C.
16a D. 8a
Câu (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng n 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh cm là:
A. 27 cm3
2 B.
3
9
cm
C. 9 cm3 D. 27 cm3
8
Câu (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a
A. 3a B. a C. 6a D.
2
a
Câu Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a
A
3
6 a
V B
3
4
a
V C
3
3 a
V D
3
2 a V
Câu 10 Cho khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Gọi V1; V2 thể tích khối cầu khối lập phương Tính
2
V k
V
A
3
k B
6
k C
3
k D
3
k
Câu 11 Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh
A
12
B
3
C
6
D 2
3
(180)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện
Hình thành: Quay đường trịn tâm I, bán kính
2
AB
R
quanh trục AB, ta có mặt cầu hình vẽ
Tâm ,I bán kính
RIAIBIM Đường kính AB2R Thiết diện qua tâm mặt cầu:
Là đường trịn tâm I, bán kính R
Diện tích mặt cầu:
4
S R
Thể tích khối cầu:
3
4
R V
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện
CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP
1 Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh
một góc vng 2 Hình chóp
Xét hình chóp có ( )
SA ABC
90
ABC Ta có
90
SACSBC
nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm
I trung điểm SC, bán kính
2
SC R
Xét hình chóp có
( )
SA ABCD
ABCD hình chữ nhật hình vng Ta có: SACSBC
90
SDC
Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC, bán kính
2
SC R
Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao
SH h
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2
2
b R
h
Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SOh
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2
2
b R
h
3 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt
phẳng đáy 4 Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
MẶT CẦU - KHỐI CẦU
(181)Xét hình chóp có
SA (đáy)
SAh; bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy rđ
Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính
2 2 ñ h R r
Nếu đáy tam giác cạnh a
3 đ
a r
Nếu đáy hình vng cạnh a
2 đ
a r Nếu đáy hình chữ
nhật cạnh a b,
2
2 đ
a b r
Xét hình chóp có mặt bên (SAB)(đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ, bán kính ngoại tiếp SAB rb,
( )
d AB SAB (đáy) (đoạn giao tuyến) Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2 2
4
đ b
d
R r r
Dạng Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ
Câu (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a b c, , nội tiếp mặt cầu Tính diện tích S mặt cầu
A S16a2b2c2 B S a2b2c2
C S4a2b2c2 D S8a2b2c2
Câu (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích khối cầu qua đỉnh lăng trụ
A 4 3 23.
18 a b B
3
2
4
18 a b
C 4 23 18 a b
D 4 23
18 a b
Câu Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có kích thước Mặt cầu có bán kính bao nhiêu?
A B C D
Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chữ nhật có ba kích thước 1, 2,
A 9
8
B 9
2
C 36 D 7 14
3
Câu (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a
A
3
a
R B Ra C R2a D Ra
Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a, a 3 2a
A 8a2 B 4a2 C 16a2 D 8a2
' ' ' '
ABCD A B C D AB4 ,a
5 , '
AD a AA a
5 2
a
6a 3a
2
(182)Câu (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ABa,
2
ADAA a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp cho
A 9a2 B
2 a C a
D 3a2
Câu Cho hình lập phương có cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương
A 3
3
V a B V4 3a3 C
3
3
a
V D
3
3
a
V
Câu (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D
A 3a2 B a2 C
2 a D a
Câu 10 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C
A Ra B
4
a
R C
2
a
R D R2a
Câu 11 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác ABC vng cân A, ABa, AA a Tính bán kính R mặt cầu qua tất đỉnh hình lăng trụ theo a
A
2
a
R B
2
a
R C R2a D
2
a
R
Câu 12 Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a
A a B a
C
a
D
2 a
Câu 13 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình lập phương có cạnh Thể tích mặt cầu qua đỉnh hình lập phương
A 2
3
B
2
C 3
2
D 3
2
Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
A a 3 B a C
2
a
D
2
a
Câu 15 Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương
A
2
B 2
3 C
3
2 D
2
Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa, AD2a, AA'3a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' '
A 28 14 a
B 6a3 C
3
7 14
a
D 4 6a3
Câu 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A, ABa 3,
(183)A
24
S a B
6
S a C
4
S a D
3
S a
Câu 18 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AA 2a, BCa Gọi M trung điểm BB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M A B C
A 3
8
a
B 13
2
a
C 21
6
a
D 2
3
a
Câu 19 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có chiều cao 4, đáy ABC tam giác cân A với ABAC2; BAC120 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
A 64
3
B 16 C 32 D 32
3
Câu 20 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ
A
2
7 3
a
S B
2
7 3
a
S C
2
49 144
a
S D
2
49 114
a
S
Dạng Khối cầu ngoại tiếp khối chóp
Dạng 2.1 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng SBC mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 172 a
B
2
76
a
C 84a2 D
2
172
a
Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng mặt phẳng đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A B C D
Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt (SBC) mặt phẳng đáy 60o Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 43 a B 19 a C 43 a
D 21a2
Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng SBC mặt phẳng đáy 300 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
S ABC 4a SA
SBC 30
S ABC
2
52a
2
172
a
76
9
a
76
3
a
(184)A 43 a
B
2
19
a
C
2
19
a
D 13a2
Câu (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp ABCD có đáy hình thang vng A D Biết SAvng góc với ABCD, ABBCa, AD2 ,a SAa Gọi Elà trung điểm AD Bán kính mặt cầu qua điểm S A B C E, , , ,
A
2
a
B 30
6
a
C
3
a
D a
Câu (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có đường chéo a 2, cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A
2
a
B
12
a
C
4
a
D 2
3
a
Câu (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp , có đáy hình vng cạnh Cạnh bên vng góc với mặt phẳng Tính theo diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
A B C D
Câu (Chuyên NguyễnTất Thành Yên Bái 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SAa vng góc với đáy ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD.
A 8a2 B a2 C 2a2 D 2a2
Câu (ChunTháiNgun2019) Trong khơng gian, cho hình chóp S ABC có SA AB BC, , đơi vng góc với SAa AB, b BC, c Mặt cầu qua , , ,S A B C có bán kính
A 2( )
3
a b c
B a2b2c2 C 2 a2b2c2 D 1 2 2 a b c
Câu 10 (Mã 105 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng C, AB vng góc với mặt phẳng BCD, AB5a, BC3a CD4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
A 5
3 a
R B 5 3 a
R C 2 a
R D a R
Câu 11 (Mã 104 2017) Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình chữ nhật với AB3a, BC4a,
12
SA a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
A 13
2
a
R B R 6a C
2
a
R D 17
2
a
R
Câu 12 (KTNLGV ThuậnThành2 BắcNinh2019) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng B, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA5, AB3, BC4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2
R B R5 C
2
R D R5
Câu 13 (KTNLGia Bình2019) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB8,
6
BC Biết SA6 SA(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên
trong hình chóp tiếp xúc với tất mặt phẳng hình chóp SABC
S ABCD x
6
SAx ABCD x
S ABCD
2
(185)A 16
9
B 625
81
C 256
81
D 25
9
Câu 14 (THPT An Lão Hải Phịng2019) Cho hình chóp S ABC có đường cao SA, đáy ABC tam giác vng A Biết SA6 ,a AB2 ,a AC4a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC ?
A R2a B Ra 14 C R2a D r2a
Câu 15 (THPTGiaLộc HảiDương2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có đường chéo 2a, cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD?
A
2
a
. B
4
a
C 2
3
a
D
12
a
Câu 16 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCcó BAC60, BCa, SAABC Gọi M,N hình chiếu vng góc A lên SB SC Bán kính mặt cầu qua điểm
, , , ,
A B C M N
A
3
a
B 2
3
a
C a D 2a
Câu 17 Hình chóp S ABCDcó đáy hình chữ nhật, ABa SA, ABCD, SC tạo với mặt đáy góc
0
45 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD có bán kính a Thể tích khối chóp
S ABCD
A 2a3. B 2a3 3. C
3 3 a . D 3 a
Câu 18 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a
( ),
SA ABCD SAa Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
A
a
B 2 a C a D a
Câu 19 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vng cân B, BC2a, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H, K hình chiếu A lên SB SC, thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB
A 2a3 B
3
3
a
C
3
2
a
D
3 a
Câu 20 (THPTnKhánh-NinhBình-2019) Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác cạnh
;
a SA ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A SB SC; Diện tích mặt cầu qua điểm A B C K H, , , ,
A a
B 3a2 C
2 a D a
Câu 21 (Lương ThếVinhHàNội2019) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B ABa Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SC tạo với đáy góc
60 Tính diện tích mặt cầu qua bốn đỉnh hình chóp SABC
A 8a2
B
2
32
a
C
2
8
a
D 4a2
(186)Câu 22 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, tam giác ABC vuông B Biết SA2 ,a ABa BC, a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A a B 2a C a D ;
2
x y
Câu 23 (THPTYênPhongSố1 BắcNinh2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên
, ,
SA SB SC vng góc với đơi Biết thể tích khối chóp
3
6
a
Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC
A
3
a r
B r 2a C 3 3
a r
D
2 3
a r
Câu 24 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD,
,
E F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S A E M F, , , , nhận giá trị sau đây?
A a B
2
a
C
2
a
D a
Câu 25 (ViệtĐứcHàNội2019) Trong không gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang
vuông A B với ABBC1,AD2, cạnh bên SA1 SA vng góc với đáy Gọi E trung điểm AD Tính diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE
A Smc11 B Smc5 C Smc2 D Smc3
Câu 26 (SởBắcNinh2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng tạiA, SA vng góc với mặt phẳng ABC AB2, AC4, SA Mặt cầu qua đỉnh hình chóp
S ABC có bán kính là:
A 25
2
R B
2
R C R5 D 10
3
R
Dạng 2.2 Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy
Câu (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2; hai mặt phẳng ABD ACD vng góc với Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 2 2. B 2. C 2
3 . D
6
Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1,
mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 15
18
V B 15
54
V C
27
V D
3
V
Câu (THPTAnLão HảiPhịng2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang cân, AB2a, CDa, ABC600 Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với
(187)A
3
a
R B Ra C
3
a
R D
3
a
R
Câu (THPT LươngThế Vinh HàNội 2019) Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình thang vng A B, ABBCa AD, 2a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a
A 6a2 B 10a2 C 3a2 D 5a2
Câu Cho hình chóp S ABC có
, 30
ABa ACB Biết SAB tam giác nằm mặt phẳng
vng góc với đáy ABC Tính diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S ABC
A mc a
S B
2
13 mc
a
S C
2
7 12 mc
a
S D 4
mc
S a
Câu (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A S 3 a2
B
3
a
S C
3
a
S D S 7 a2
Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A
3
7 21 54
a
V B
3
7 21 18
a
V C
3
4 81
a
V D
3
4 27
a
V
Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho tứ diện ABCD có ABBC ACBD2 ,a ADa 3; hai mặt phẳng ACD BCD vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 64 27 a B 27 a C 16 a D 64 a
Câu (THPTNghĩaHưngNĐ-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ABa AD, a ASB60 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A
2
13
a
S B
2
13
a
S C
2
11
a
S D
2
11
a S
Câu 10 (Thi thử hội trường chuyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB2 ,a ADa Tam giácSAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A 57
a
B 19
a
C 2 15
a
D 13
a
Câu 11 (Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2
5a 12
B
2
5a
C
2
5a
3 D
2
5a 12
Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ABBCa,
2
AD a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 6 a2
B 10 a2
C 3 a2
D 5 a2
(188)Dạng 2.3 Khối chóp
Câu (THCS-THPTNguyễnKhuyến2019) Nếu tứ diện có cạnh a mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng:
A
6
a
B
4
a
C
4
a
D
6
a
Câu (ĐềTham Khảo2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy ,a cạnh bên a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A R 3a B R 2a C 25
8
a
R D R2a
Câu Hình chóp S ABCD tất cạnh a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A 4a2 B a2 C 2a2 D 2a2
Câu (ChunVĩnhPhúc2019) Cho hình chóp tứ giác có góc mặt bên mặt đáy 60 Biết mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính Ra Tính độ dài cạnh đáy hình chóp tứ giác nói
A 12
5 a B 2a C
3
2a D
9 4a
Câu (LươngThếVinhHàNội 2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC tam giác cạnh ABa, góc mặt bên với mặt phẳng đáy 60 Tính bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh hình chóp S ABC.
A
2
a
B 7
12 a
C 7
16
a
D
2
a
Câu (ChunVĩnhPhúc2019) Cho hình chóp tứ giác có góc mặt bên mặt đáy 60 Biết mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính Ra Tính độ dài cạnh đáy hình chóp tứ giác nói
A 12
5 a B 2a C
2a D 4a
Câu (Gia Lai 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60(tham khảo hình vẽ) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A
2
8
a
B
2
5
a
C
2
6
a
D
2
7
a
(189)
A 2a2 B a2 C 2
3a D
2
1 2a
Câu Cho tứ diện tích
3 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A
2
R B
3
R C
4
R D
2
R
Câu 10 Cho khối chóp S ABCD có tất cạnh a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp
A V 3a3 B V a3 C
3
6
a
V D
3
3
8
a
V
Câu 11 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a góc mặt bên mặt phẳng đáy 45 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
là A a B a C 2 a D a
Dạng 2.4 Khối chóp khác
Câu (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Cho mặt cầu tâm O tam giác ABC có ba đỉnh nằm mặt cầu với góc BAC300 BCa Gọi S điểm nằm mặt cầu, không thuộc mặt phẳng
ABC thỏa mãn SASBSC, góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 600 Tính thể tích V khối cầu tâm O theo a
A 3
9
V a B 32 3
27
V a C 3
27
V a D 15 3
27
V a
Câu (Chuyên Bắc Giang2019) Cho hình chóp S.ABC có
a
SA , cạnh lại a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
A 13
2
a
R B
3
a
R C 13
3
a
R D 13
6
a
R
Câu Cho hình chóp S ABC có SASBSCa, ASB ASC90, BSC60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A 18 a B 12 a C a D a
Câu (SởVĩnhPhúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD điểm Hthuộc đoạn AC thoả mãn
4
AC AH SHa Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD (mặt cầu tiếp xúc với tất mặt bên hình chóp)
A
9 13
a
B
4 17
a
C
4 13
a
D
4 17
a
Câu (Chuyên Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB3,AD4 cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A 250
3
V B 125
6
V C 50
3
V D 500
27
(190)Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An2019) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB tam giác SCD vng cân S Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A
2
7
a
B
2
8
a
C
2
5
a
D a2
Câu (Chun Hưng n 2019) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I cạnh
AB a, BC4a Hình chiếu S mặt phẳng ABCD trung điểm ID Biết
SB tạo với mặt phẳng ABCD góc 45 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABCD
A 25
2 a
B 125
4 a
C 125
2 a
D 4a2
Câu (Chuyên HạLong -2019) Cho tứ diện ABCD có ABCD3, ADBC5, AC BD6 Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 35 ( đvtt) B 35 ( đvtt) C 35 35
6 ( đvtt) D 35 35 ( đvtt)
Câu (THPTnPhongSố1BắcNinh2019) Cho đường trịn tâm O có đường kính AB2a nằm mặt phẳng P Gọi I điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S cho SI vng góc với mặt phẳng P SI 2a Tính bán kính R mặt cầu qua đường tròn tâm O điểm S
A 65
4
a
R B 65
16
a
R C Ra D
4
a R
Câu 10 (LiênTrườngThptTpVinhNghệAn 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABBC 3a 2, SABSCB 900 Biết khoảng cách từ
A đến mặt phẳng
(SBC) 2a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 72 18a3 B 18 18a3 C 6 18a3 D 24 18a3
Câu 11 (Chuyên ĐHSPHàNội 2019) Cho hình chóp O ABC có OA OB OC a,AOB60,
90
BOC , AOC120 Gọi S trung điểm cạnh OB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC
A
4
a
B
4
a
C
2
a
D
2
a
Câu 12 ( Hsg Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện ABCDcó AB6a, CD8a cạnh cịn lại 74
a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A S 25 a B S 100 a C S 100 a
D S 96 a
Câu 13 (SởBắcNinh2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A,
AB a , BC2a, đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho bằng:
A 3
a B 6
a C 4
a D 24
a
Câu 14 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với ABC, ABa AC, a ,BAC450 Gọi
1,
B C hình chiếu vng góc A lên SB SC, Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
1
(191)
A 3 a B a .
C a3 D 4
3a
Câu 15 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có ABa, góc hai mặt phẳng A BC ABC 60 Gọi G trọng tâm tam giác A BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
G ABC
A 3
12
a
B a C 7
12
a
D a 3
Câu 16 (Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có SAABC, ABa, ACa 2, BAC45 Gọi
1
B, C1 hình chiếu vng góc A lên SB, SC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B 1 1
A
3
2
a
B a3 C 4
3a D
3 a
Câu 17 (Thi thử Lơmơnơxốp - Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vng cân A ABACa 2, AA 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện
AA B C là:
A a
B
3
8
a
C
3
4
a
D
3 a
Câu 18 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác với AB2cm,AC3cm, BAC600,
SA ABC Gọi B C1, 1 hình chiếu vng góc A lên SB SC, Tính thể tích khối cầu qua năm điểm A B C B C, , , 1, 1
A 28 21 cm3 27
B 76 57 cm3 27
C 7 cm3
D 27 cm3
6
Câu 19 (Trường THPT Thăng Long 2019) Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng ABD ACDvng góc với Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 2 B C 2
3 D
6
Câu 20 (Cụm liên trường Hải Phòng -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SAa vng góc với đáy (ABCD) Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD,
,
E F Bán kính mặt cầu qua năm điểm , ,S A E M F, , nhận giá trị sau đây?
A a B
2
a
C
2
a
D a
Câu 21 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB3,AD4 cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A 250
3
V B 125
6
V C 50
3
V D 500
27
(192)Câu 22 (Chun Hưng n - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác cạnh Mặt bên
(SAC)là tam giác cân Svà nằm mặt phẳng vng góc với đáy,
2
SASC Gọi D điểm đối xứng với B qua C Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABD
A 34
8 B
3 34
4 C
3 34
16 D
3 34
8
Câu 23 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, đáy tam giác đều, SAa góc đường thẳng SB đáy 600 Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B, H, K
A
2
a
B.
6
a
C.
2
a
D.
3
a
Câu 24 (Chun Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B
BC a Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A lên SB SC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB
A 2a3 B
3
2
a
C
3
6
a
D
3
2
a
Câu 25 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB 3, AC 2
30
BAC Gọi M N, hình chiếu A SB, SC Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM
A R2 B R 13 C R1 D R
Câu 26 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng
ABC, ABa AC, a 2,BAC45 Gọi B C1, 1 hình chiếu vng góc A lên ,
SB SC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC B1 1
A
3
2
a
B a3 C
3 2
3
a
D.
(193)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ - CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu Cho bán cầu đựng đầy nước với bán kính R2 Người ta bỏ vào cầu có bán kính 2R Tính lượng nước cịn lại bán cầu ban đầu
A 24 112
3
V
B
16
V C
3
V D V 24 340
Câu Cho khối cầu S tâm I , bán kính R khơng đổi Một khối trụ thay đổi có chiều cao h bán kính đáy r nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn
A
2
R
h B
3
R
h C hR D
3
R
h
Câu (HSGBắcNinh2019) Một sở sản suất đồ gia dụng đặt hàng làm hộp kín hình trụ nhơm đề đựng rượu tích V 28 a3
a0 Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất hộp hình trụ có bán kính R cho diện tích nhơm cần dùng Tìm R
A Ra37 B R2a37 C
2 14
R a D
14
Ra
Câu (Mã1042017) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 9, tính thể tích Vcủa khối chóp tích lớn
A V 576 B V 144 C V144 D V576
Câu (SởVĩnh Phúc2019) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính
9, khối chóp tích lớn ?
A 576 B 144 C 576 D 144
Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Trong không gian Oxyz, lấy điểm Ctrên tia Oz cho OC1 Trên hai tia Ox Oy, lấy hai điểm ,A B thay đổi cho OA OB OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC ?
A
4 B C
6
3 D
6 MẶT CẦU - KHỐI CẦU
(194)Câu (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên hình chóp cm, AB4cm Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD
A 12 cm2 B 4 cm2 C 9 cm2 D 36 cm2
Câu Cho mặt cầu ( )S có bán kính R5 Khối tứ diện ABCD có tất đỉnh thay đổi thuộc mặt cầu ( )S cho tam giác ABCvuông cân B vàDADBDC Biết thể tích lớn khối tứ diện ABCD a
b (a,b số nguyên dương a
b phân số tối giản),
tínha b
A a b 1173 B a b 4081 C a b 128 D a b 5035
Câu Trong không gian cho tam giác ABC có AB2 ,R ACR CAB,1200 Gọi M điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B, bán kính R Giá trị nhỏ MA2MC
A 4R B 6R C R 19 D 2R
Câu 10 Cho mặt cầu S có bán kính 3 m , đường kính AB Qua A B dựng tia At Bt1, 2 tiếp xúc với mặt cầu vng góc với M N hai điểm di chuyển
1,
At Bt cho MN tiếp xúc với S Biết khối tứ diện ABMN tích V m 3
không đổi V thuộc khoảng sau đây?
A 17; 21 B 15;17 C 25; 28 D 23; 25
Câu 11 Trên mặt phẳng P cho góc xOy60 Đoạn SOa vng góc với mặt phẳng Các điểm M N; chuyển động Ox Oy, cho ta ln có: OMON a Tính diện tích mặt cầu S có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN
A
2
3
a
B
2
3
a
C
2
3
a
D
2 16
3
a
Câu 12 Cho tứ diện ABCD có hình chiếu Alên mặt phẳng BCD Hnằm tam giác BCD
Biết H tâm mặt cầu bán kính 3và tiếp xúc cạnh AB AC AD, , Dựng hình bình hành AHBS Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD
A 3 B 3 C 3
2 D
3
Câu 13 (SGD Điện Biên - 2019) Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương khơng có nắp Khi thả khối cầu kim loại đặc vào hình lập phương thấy khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Tính bán kính khối cầu, biết thể tích nước cịn lại hình lập phương 10 Giả sử mặt hình lập phương có độ dày không đáng kể
A
3 15
12 B
3
24 C
3 15
24 D
3
12
Câu 14 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào khối cầu có đường kính
2chiều cao thùng nước đo thể tích nước tràn
(195)A 46 3
5 dm B
3
18 3 dm C 46 3
3 dm D
3
18 dm
Câu 15 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho tứ diện OABC có OA a OB , b OC, c đơi vng góc với Gọi r bán kính mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện Giả sử a b a , c Giá trị nhỏ a
r
A 1 B 2 C D 3
Câu 16 Cho hai mặt cầu S1 S2 đồng tâm O, có bán kình R12 R2 10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A B, nằm S1 hai đỉnh C D, nằm S2 Thể tích lớn khối tứ diện ABCD
A 3 B 7 C 4 D 6
Câu 17 Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp S1 mặt cầu ngoại tiếp S2 , hình lập phương ngoại tiếp S2 nội tiếp mặt cầu S3 Gọi r1, r2, r3 bán kính mặt cầu S1 , S2 , S3 Khẳng định sau đúng?
(Mặt cầu nội tiếp tứ diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện, mặt cầu nội tiếp hình lập phương mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương)
A
1
r
r
2
1 3
r
r B
1
2
r
r
2
1
r
r C
1
1
r
r
2
1
r
r D
1
2
r
r
2
1
r
r
Câu 18 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có ABCADC90, cạnh bên SA vng góc với ABCD, góc tạo SC đáy ABCD 60, CDa tam giác ADC có diện tích
2
3
a
Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A Smc 16a2 B
2
4 mc
S a C Smc 32a2 D
2
8 mc
S a
Câu 19 (Yên Phong - 2018) Cho mặt cầu tâm O bán kính 2a, mặt phẳng (α) cố định cách O đoạn a, (α) cắt mặt cầu theo đường tròn (T) Trên (T) lấy điểm A cố định, đường thẳng qua A
vng góc với (α) cắt mặt cầu điểm B khác A Trong (α) góc vng xAy quay quanh A cắt (T) điểm phân biệt C, D không trùng với A Khi chọn khẳng định đúng:
A Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ a2 21 B Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn a2 21 C Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ 2a2 21
D Do (α) không qua O nên không tồn giá trị lớn hay nhỏ diện tích tam giác
(196)A. V 144 B.V 576 C. V 576 D. V 144
Câu 21 (THPT Yên Khánh A - 2018) Cho hình chóp tứ giác chiều cao h nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm h theo R để thể tích khối chóp lớn
A. h 3R B. h 2R C.
3
R
V D.
2
R
(197)TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung
MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện
Hình thành: Quay đường
trịn tâm I, bán kính
AB R quanh trục AB, ta có mặt cầu hình vẽ
Tâm ,I bán kính
RIAIBIM
Đường kính AB2R
Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là
đường trịn tâm I, bán kính R
Diện tích mặt cầu:
4
S R
Thể tích khối cầu:
3
4
R V
Mặt cầu ngoại
tiếp đa diện mặt
cầu qua tất đỉnh đa diện
Mặt cầu nội tiếp
đa diện mặt cầu
tiếp xúc với tất mặt đa diện
Dạng Diện tích xung quanh, bán kính
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R2 Diện tích mặt cầu cho
bằng
A 32
3
B 8 C 16 D 4
Lời giải Chọn C
2
4 16
S R
Câu 2. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r5 Diện tích mặt cầu cho
A 25 B 500
3
C 100 D 100
3
Lời giải Chọn C
Diện tích mặt cầu S4r2 4 5 2100
Câu 3. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r 4 Diện tích mặt cầu cho
A 16 B 64 C 64
3
D 256
3
Lời giải Chọn B
Diện tích mặt cầu 2
4r 4 .4 64
Câu 4. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r5 Diện tích mặt cầu cho
A 500
3
B 25 C 100
3
D 100
Lời giải
MẶT CẦU - KHỐI CẦU
(198)Chọn D
Diện tích mặt cầu có bán kính r5 là: S4r2 4 5 2100
Câu 5. (Mã1012018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng:
A R2 B 4
3R C
2
2R D 4R2
Lờigiải
ChọnD
Câu 6. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích
16a Khi đó, bán kính mặt cầu
A 2 2a B 2a C 2a D
2
a
Lờigiải
ChọnC
Ta có: S 4R216a2 R2a
Câu 7. (ChuyênĐhspHàNội2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a
A 4 a2
B 16 a2
C 16a2 D
2
3
a
Lờigiải
Ta có: S 4R242a2 16a2
Câu 8. (THPT NghĩaHưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu 16 cm2
Bán kính mặt cầu
A 8cm B 2cm C 4cm D 6cm
Lờigiải
Ta có: 4 R2 16 R2 4 R 2(cm).
Câu 9. (BìnhPhước2019) Tính diện tích mặt cầu biết chu vi đường trịn lớn 4
A S32 B S16 C S64 D S8
Lờigiải
ChọnB
Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu S đường tròn qua tâm mặt cầu S nên bán kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu S
Chu vi đường tròn lớn mặt cầu S 4 2R4R2 Vậy diện tích mặt cầu S
4 16
S R
Câu 10. (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh có bán kính
bằng
A
2 B C
1
2 D 1
Lời giải Chọn C
2
4
2
mc
S R R
(199)Câu 11. (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a
A 16a2 B a2 C
3
4
a
D 4a2
Lời giải Chọn D
Bán kính mặt cầu Ra Diện tích mặt cầu S 4 R2 4 a2
Câu 12. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích
2
8
a
Bán kính mặt cầu
A
3
a
B
3
a
C
3
a
D
2
a
Lời giải Chọn A
Ta có diện tích mặt cầu
2
2
4
4 3.4
S a a S r r
Câu 13. (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện
tích bề mặt bóng rổ (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị)
A 629 cm2 B 1886 cm2 C 8171 cm2 D 7700 cm2
Lời giải Chọn B
Ta có bán kính bóng rổ 24.5 12.25 (cm)
r
Vậy diện tích bề mặt bóng rổ S4r2 4 (12.25) 1886 (cm )2
Câu 14. (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu biết chu vi đường trịn lớn
bằng 4
A S32 B S16 C S64 D S8
Lời giải Chọn B
Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu S đường tròn qua tâm mặt cầu S nên bán kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu S
Chu vi đường tròn lớn mặt cầu S 4 2R4R2 Vậy diện tích mặt cầu S S 4R2 16
Dạng Thể tích
Câu 1. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r4 Thể tích khối cầu cho bằng:
A 256
3
B 64 C 64
3
D 256
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối cầu 256
3
V r
(200)Câu 2. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính Thể tích khối cầu cho
A B C D
Lời giải Chọn D
Thể tích khối cầu cho
Câu 3. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r2 Thể tích khối cầu cho
A 16 B 32
3
C 32 D 8
3
Lời giải
Chọn B
Thể tích khối cầu cho : 4 23 32
3 3
V r
Câu 4. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu
A 32
3
B 16 C 32 D 8
3
Lời giải Chọn A
Ta có: 4 32
2
3 3
V r
Câu 5. (Mã1022018) Thể tích khối cầu bán kính R
A 3
4R B
3
4
3R C
3
4R D
2R
Lờigiải
ChọnB
Câu 6. (ĐềThamKhảo2019) Thể tích khối cầu bán kính a :
A
3
a
B 2a3 C
3
4
a
D 4a3
Lờigiải
ChọnC
Câu 7. (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng:
A 2 B
3
C 4
3
D 4
Lời giải Chọn C
Thể tích khối cầu: 4
3
V R
Câu 8. (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a
A
4
a
B 4a3 C
3
3
a
D 2a3
Lời giải
4
r
64 64
3
256 256
3
3
4 256
.4
3 3