Chuyên đề mặt nón trong thi THPT QG

Nhóm Tài liệu dạy thêm MẶT NĨN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng  P  , cho hai đường thẳng d  cắt O chúng tạo thành góc  với 0    90 Khi quay  P O xung quanh trục  với góc  khơng thay đổi gọi  mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón) đỉnh O (hình 1) Đường thẳng  gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc  gọi góc đỉnh Hình nón tròn xoay Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón O Hình O d tròn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2)  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r  IM đáy hình nón I  Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM M quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón Hình Khối nón tròn xoay (gọi tắt khối nón) phần khơng gian giới hạn hình nón tròn xoay, kể hình nón Một số tính chất a) Nếu cắt hình nón mặt phẳng  P  qua đỉnh có trường hợp sau:   P  cắt hình nón theo hai đường sinh  giao tuyến tam giác cân   P  tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh (  P  mặt phẳng tiếp diện hình nón) b) Nếu cắt hình nón mặt phẳng  P  khơng qua đỉnh có trường hợp sau:  Nếu  P  vng góc với trục hình nón  giao tuyến đường tròn  Nếu  P  song song với đường sinh hình nón  giao tuyến nhánh hypebol  Nếu  P  song song với đường sinh hình nón  giao tuyến đường parabol Cơng thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l có:  Diện tích xung quanh: Sxq   rl  Diện tích tồn phần hình nón: Stp  Sxq  Sđáy   rl   r CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm 1  Thể tích khối nón: Vnón  Sđáy h   r h 3 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1: Cho tam giác vng OIM quanh cạnh góc vng OI tạo thành hình nón tròn   30 cạnh IM  a Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay xoay Biết góc IOM thể tích khối nón tròn xoay tạo nên hình nón tròn xoay Giải: O Ta có: r  IM  a l  OM  IM  a , h  OI  OM  IM  a  sin IOM 30 I Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   rl   a.2 a  2 a M 1 a Thể tích khối nón: V   r h   a a  3 Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy 2a , góc đỉnh 1200 Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón Giải: O   60 nên Ta có r  IA  a , IOA 120 IA a l  OA    2a , h  OI  OA2  IA2  4a  3a  a sin 60 A B I Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   rl   a 3.2a  2 a Diện tích đáy hình nón: Sđáy   r  3 a2   Diện tích tồn phần hình nón: Stp  Sxq  Sđáy  2 a  3 a    a 1 Thể tích khối nón: V  Sđáy h  3 a a   a 3 Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao h  20 cm, bán kính đáy r  25 cm Mặt phẳng   qua đỉnh cắt hai đường sinh hình nón Biết khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng   12 cm Tính diện tích thiết diện Giải: O Ta có   cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân OAB với A, B hai điểm nằm đường tròn đáy Gọi H trung điểm AB IH  AB Mà OI  AB suy AB   OIH   1 Kẻ IK  OH , K nằm OH CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU h K B I r H A Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Từ  1 suy IK  AB Do IK   OAB  Theo giả thiết IK  12 cm Tam giác OIH vuông I nên 1 OI IK 20.12    IH    15 cm 2 IK IH OI OI  IK 202  12 OH  OI  IH  20  152  25 cm AH  IA2  IH  252  152  20 cm  AB  40 cm 1 Diện tích thiết diện: S  OH AB  25.40  500 cm2 2 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục tam giác vng cân SAB có cạnh huyền a Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng Đáp án: Stp   a (1  2) ;V   a3 12 Bài Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S có O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích khối nón tương ứng Đáp án: Sxq   a2 ; V   a3 12 Bài Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có diện tích 2a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tướng ứng Đáp án: Sxq  2 a 2; V  2 a Bài Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD ABC D có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết O tâm ABC D  C  đường tròn nội tiếp đáy ABCD Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O đáy  C  Đáp án: Sxq  Bài Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có 3 a O đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón h để thể tích lớn nhất, biết  x  h h Đáp án: x  x D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Câu 1: [2H2-1] (Chuyên Thái Bình, lần năm 2017) Cho hình nón có bán kính đáy 4a , chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón A 24 a B 20 a C 40 a D 12 a Hướng dẫn giải: Chọn B S xq   rl ; l  (3a)  (4a)2  (5a)  l  5a  S xq  20 a Câu 2: [2H2-2] (Chuyên Nguyễn Quang Diệu, lần năm 2017) Một hình nón có đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy hình nón 9 Tính đường cao h hình nón A h  3 B h  C h  D h  Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có l  R S  9   R  9  R   h  AO  62  32  3 Câu 3: [2H2-2] (THPT Lê Hồng Phong, năm 2017): Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Thể tích khối nón a 3 12 Hướng dẫn giải: A B a 3 24 C a 2 24 D a 2 12 Chọn B Ta có tam giác SAB cạnh a , SO  a a , r  OB  2  a a  3a  Vậy thể tích khối nón V   r SO  12 24 Câu 4: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có chiều cao 3cm , góc trục đường sinh 60 Thể tích khối nón A 9 cm3 B 3 cm3 C 18 cm3 D 27 cm3 Hướng dẫn giải CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Chọn D 600 h  3cm r Hình nón có chiều cao h  3cm Bán kính đáy r  h.tan 600  3cm 1 Thể tích khối nón là: V   r h   3  27 cm3 3   Câu 5: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm , góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón A  cm B 2 cm2 C 3 cm2 D 6 cm Hướng dẫn giải: Chọn B 60 l h r Do góc đỉnh 60o suy thiết diện qua trục hình nón tam giác Ta có r  , l  r  2r  sin 300 Diện tích xung quanh hình nón S xq   rl  2 cm2 Câu 6: [2H2-1] (Chuyên Phan Bội Châu, lần năm 2017): Một hình nón có chiều cao a bán kính đáy a Tính diện tích xung quanh S xq hình nón A S xq  2 a B S xq  3 a C S xq   a D S xq  2a Hướng dẫn giải Chọn A Đường sinh: l  h  r  2a Diện tích xung quanh S xq   rl  2 a CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Câu 7: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bình Phước, lần năm 2017): Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích tồn phần thể tích khối nón tương ứng có giá trị A 2 a 1    a C 2 a B 2 a 12 D 1    a 2 2 a 2 a 2 a 12 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có đường kính đáy a  R  a , chiều cao hình nón  a  a a Stp  S xq  Sd   a         a a2  a2  2  1 2 1  a  a  a3 Ta có V  B.h      3   12 Câu 8: [2H2-2] (Chuyên Thải Bình, lần năm 2017) Một hình nón có góc đỉnh 600 , đường sinh 2a, diện tích xung quanh hình nón là: A S xq  4 a B S xq  2 a C S xq   a D S xq  3 a Hướng dẫn giải: Chọn B Góc  gọi góc đỉnh Ta tính r  2a sin 300  a  S xq   rl  2 a Câu 9: [2H2-1] (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần năm 2017) Cho khối tròn xoay có đường cao h  15cm đường sinh l  25cm Thể tích V khối nón là: A V  2000  cm3  B V  240  cm3  C V  500  cm3  D V  1500  cm3  Hướng dẫn giải: Chọn A CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Thể tích khối nón tròn xoay V  r h Trong r bán kính đáy, h chiều cao Mối quan hệ đại lượng h, r, l hình nón l  h  r Bán kính đáy hình nón r  l2  h  252  152  20 1 Thể tích khối tròn xoay V  r h  .202.15  2000 3 Câu 10: [2H2-3] (Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần năm 2017): Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a Gọi BC dây cung đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính diện tích tam giác SBC a2 3 Hướng dẫn giải: Đáp án B A S  B S  a2 C S  a2 D S  a2 2 S B O I A C SAB vuông cân S, AB  a 2,SA  SB  a suy OB  a  SO Gọi I trung điểm BC, SBC cân S suy SI  BC Góc (SBC, đáy)=góc SIO  600   SO  sin 600  SI  a sin SIO SI a BC  2BI  SB2  SI2  a  SSBC  SI.BC  Câu 11: [2H2-2] Bán kính đáy hình nón a , diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy Tính thể tích V khối nón a3 a3 4 a   B V  a 3 C V  D V  Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi h, l , R chiều cao, đường sinh bán kính đáy hình nón A V  CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Ta có diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy  l  2r  2a a3 V   r h= π h  l  r  a Vậy thể tích khối nón là: 3 Câu 12: [2H2-1] (THPT Hậu Lộc 4, lần năm 2017): Cho hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Diện tích xung quanh hình nón là: A 125π 41 cm B 120π 41 cm C 480π 41 cm D 768π 41 cm Hướng dẫn giải Đáp án A Độ dài đường sinh là: l  202  252  41 Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq  πRl  π.25.5 41  125π 41  cm  hình tròn bán kính OA, OB ghép bán kính lại cho thành hình Câu 13: [2H2-3] (THPT Hậu Lộc 4, lần năm 2017): Cho hình tròn có bán kính Cắt bỏ nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng là: 81π Hướng dẫn giải: Đáp án A A B 9π C 81π D 9π Độ dài đường sinh l hình nón bán kính hình tròn  l  Chu vi đáy hình nón sau bỏ phần tam giác OAB độ dài cung lớn AB: lAB   2π.6   9π 9π  Bán kính đáy hình nón sau ghép là: R N  2π 2 9 Độ dài đường cao hình nón là: h  l  R      2 2 2 1   81 7π Thể tích khối nón là: V  S.h  πR h  π    3 2 Câu 14: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa, lần năm 2017): Cho khối nón   tích 4 chiều cao Tính bán kính đường tròn đáy khối nón   A B CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU C D Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Hướng dẫn giải Chọn A 3V 3.4 r2   4r 2 h 3 Câu 15: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Tun Quang, năm 2017): Một hình nón có bán kính đáy 4R R , đường cao Khi góc đỉnh hình nón 2 thỏa mãn đẳng thức: A sin   3 B cos   C tan   D cot   Hướng dẫn giải: Chọn A 4  Độ dài đường sinh hình nón là: l  R   R   R Vậy: 3  sin   R  R Câu 16: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Kiên Giang, năm 2017) Tính thể tích khối nón, biết khối nón có chu vi đáy 6 chiều cao A V  30 B V  45 C V  15 D V  10 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có chu vi đáy C  2 R  6  R  1 Vậy thể tích khối nón V   R h   32.5  15 3 Câu 17: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Long An, năm 2017) Cho hình nón ( N ) có diện tích tồn phần 24 cm bán kính mặt đáy cm Tính thể tích V khối nón ( N )   A V  6 cm3   B V  24 cm3   C V  12 cm3   D V  36 cm3 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có Stp  S xq  Sd   R   Rl   32   3.l  24  l   cm  Vậy chiều cao h  4cm 1 Vậy thể tích khối nón là: V   R h   32.4  12 3 Câu 18: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Giang, lần năm 2017): Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác vng có diện tích Tính diện tích tồn phần hình nón A 9 B 6(1  2) C 9(1  2) D 9 Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện với hình nón qua trục tam giác cân nên theo giả thiết thiết diện tam giác vuông cân có cạnh đường sinh l nên ta có S  l   l  CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Khi bán kính đường tròn đáy chiều cao hình nón h  R   Vậy diện tích tồn phần hình nón là: Stp   R   Rl  9  l 3  Câu 19: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam, năm 2017): Cho khối nón (N) có bán kính đáy thể tích 12 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón (N)? A S xq  18 B S xq  16 C S xq  24 D S xq  15 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 Ta có V   R h   32.h  12  h  Vậy độ dài đường sinh l  3 Vậy S xq   Rl   3.5  15 Câu 20: [2H2-2] Một hình nón có độ dài đường sinh 2a mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng Tính thể tích V khối nón 2 a 3 a 3 a 2 a B V  C V  D V  3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Thiết diện qua trục tam giác vuông cân cạnh 2a nên bán kính qua trục đường cao A V  a thể tích V   a    2 a Câu 21: [2H2-1] Một hình nón tích 4 a bán kính đường tròn đáy 2a Khi đó, đường cao hình nón là: A a B 2a C a D 3a Hướng dẫn giải: Chọn A 1 4 a Ta có Vn  S h   r h    2a  h  ha 3 3 Câu 22: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO  300 ; SAB  600 Tính diện tích xung quanh hình nón CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 10 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Câu 38: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Thái Bình, năm 2017) Trong khơng gian, cho tam giác ABC vng tại A có AB  2, AC  quay xung quanh cạnh AC tạo thành hình nón tròn xoay Tính diện tích xung quanh S xq hình nón A S xq  5 B S xq  12 C S xq  6 D S xq  5 Hướng dẫn giải: Chọn C Theo giả thiết hình nón cho có R  AB  2, h  AC   l  BC  Vậy diện tích xung quanh hình nón là: S xq   Rl   2.3  6 Câu 39: [2H2-3] (THPT Kim Liên, lần năm 2017): Cho tam giác ABC có AB  13  cm  , BC   cm  AC   cm  Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay tam giác ABC quanh trục AC 10 16 A V  B V  8  cm3  C V  cm3    cm3  3 Hướng dẫn giải Chọn D D V  8  cm3  A C B H Theo Hê rơng, diện tích tam giác ABC là: S  Mặt khác S  BH AC  BH  2 Vậy AH  AB  BH   CH  Vậy thể tích khối nón sinh là: 1 V   BH AH   BH CH   3 Câu 40: [2H2-2] (THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp, năm 2017) Cho tam giác AOB vuông O,   30o AB = a Quay tam giác AOB quanh trục AO ta hình nón có có A diện tích xung quanh bằng: a 2 Hướng dẫn giải: Chọn A A B CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU a C a D a Trang 17 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Ta có sin A  OB  OB  sin A AB  a  R AB 1 Vậy diện tích xung quanh hình nón là: S xq   Rl   a.a   a 2 Câu 41: Quay tam giác [2H2-3] Cho tam giác ABC có  ABC  45,  ACB  30, AB  quanh cạnh BC , ta khối tròn xoay tích A V    1 24    1 B V  72  C V    1 3  D V    1  Hướng dẫn giải: Chọn A A 2 450 B C H Từ A kẻ AH  BC Khi tam giác ABH vng cân H , có AB  nên AH  BH  2 nên HC  2 Thể tích khối tròn xoay tính tổng thể tích hai khối nón sinh quay tam giác ABH , ACH Tam giác AHC vuông H có góc C  300 , AH    1 1 V  BH  AH  CH  AH  3 24 Câu 42:  [2H2-2] Cho tam giác ABC cạnh cm quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Thể tích khối nón là:   cm3  Hướng dẫn giải: Chọn C A B 32   cm3  C   cm3  D 16   cm3  A B C H Theo giả thiết ta có h  AH  BC    r  2 CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 18 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm 1  Thể tích khối nón V   r h   22.2  3 Câu 43: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Tam giác ABC vuông B có AB  3a , BC  a Khi quay hình tam giác quanh đường thẳng AB góc 360 ta khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay là: A  a B  a3 C  a3 D 3 a3 Hướng dẫn giải Chọn A Theo đề ta thu hình nón có h  AB  3a , R  BC  a 1 V   R h   a 3a   a 3 Câu 44: [2H2-2] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần năm 2017) Tam giác ABC vuông A cạnh AB  , cạnh AC  , M trung điểm cạnh AC Tính thể tích khối xoay tam giác BMC qua vòng quanh cạnh AB là: A 98 B 108 C 96 D 86 Hướng dẫn giải: Chọn C Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta thấy khối tròn xoay tạo hình tích thể tích hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh BC trừ hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh huyền BM tam giác ABM Khi thể tích khối tròn xoay tạo V  Câu 45: 1 AB. AC  AB. AM  96 3 [2H2-3] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần năm 2017) Tam giác ABC vuông B , AB  10, BC  Gọi M , N trung điểm AB, AC Thể tích khối tròn xoay hình thang vng BMNC quay vòng quanh MB là: 40 20 102 A B C 3 Hướng dẫn giải: D 140 Chọn D CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 19 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Thể tích hình cần tính hiệu thể tích hình nón có bán kính đáy BC, chiều cao AB hình nón có bán kính đáy MN, chiều cao AM 140 V   10.42  5.22   3 Câu 46: [2H2-2] (Chuyên Vĩnh Phúc, lần năm 2017): Cho hình tam giác ABC vng A có   300 cạnh góc vng AC  2a quay quanh cạnh AC tạo thành hình nón tròn ABC xoay có diện tích xung quanh bằng: A 16a B 8a C 2a D a 3 Hướng dẫn giải: Đáp án B AC  2a ; Suy AB  3a; BC  4a Khi quay quanh cạnh AC ta hình nón Có đường sinh  4a bán kính đáy 3a Diện tích xung quanh: S   rl   3a.4 a  8 a Câu 47: [2H2-2] Một tam giác ABC vuông A với AB  6, AC  Cho hình tam giác ABC quay quanh cạnh AC ta hình nón có diện tích xung quanh diện tích tồn phần S1 , S2 Khi A S1  S2 B S1  S2 C S1  S 13 D S1  S2 Hướng dẫn giải: Chọn D Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối nón có đường cao AC, bán kính đường tròn đáy AB độ dài đường sinh BC S  rl l 10 Khi     S  rl   r r  l 10  Câu 48: [2H2-3] Tam giác ABC vuông B AB  2a, BC  a Cho tam giác ABC quay vòng quanh cạnh huyền AC Gọi V1 thể tích khối nón có đường sinh AB, V2 thể tích khối nón có đường sinh BC Khi tỉ số A B V1 V2 C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn B CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 20 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC hình nón có đường sinh AB nhận BH bán kính hình tròn đáy, hình nón nhận BC đường sinh nhận BH bán kính hình tròn đáy (với H chân đường cao từ B xuống AC) Ta có HB  Ta có 5 a  AH  , CH  5 V1 AH  4 V2 CH Câu 49: [2H2-2] Cho tam giác ABO vuông O, có góc BAO  300 , AB  a Quay tam giác ABO quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng: A  a B 2 a C  a2 D  a2 Hướng dẫn giải: Chọn C Hình nón thu có đường sinh l  AB  a; bán kính đáy xung quanh Sxq   rl  r  OB  AB.sin30  a diện tích  a2 Câu 50: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SC  a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón tròn xoay Thể tích khối nón tròn xoay là: 4 a 3 Hướng dẫn giải: Chọn A A B a 3 C  a3 3 D  a3 Ta có AC  a  SA  SC  AC  6a  2a  2a 1 4 a V   R h   AC SA   2a 2a  3 3 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 21 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Câu 51: [2H2-2] Trong không gian, cho tam giác ABC vng C có đường cao kẻ từ C a , CA  a Khi đường sinh l hình nón nhận quay tam giác ABC qua trục CA là? h A l  a B l  2a C l  3a D l  2a Hướng dẫn giải: Chọn D Đường sinh hình nón quay thực chất cạnh huyền AB tam giác vuông ABC Mà tam giác vng có cạnh bên đường cao, ta cần áp dụng công thức hệ thức lượng tam giác: 1 1     2 2 h CA CB 3a a CB  CB  a  AB  2a (theo định lý Pytago) Câu 52: [2H2-2] (Chuyên Phan Bội Châu, lần năm 2017): Trong không gian, cho tam giác ABC tam giác vuông cân A , gọi I trung điểm BC , BC  Tính diện tích xung quanh hình nón nhận quay tam giác ABC quanh trục AI A S xq  2 B S xq  2 D S xq  4 C S xq  2 Hướng dẫn giải Chọn A A B I C 2cm Hình nón nhận quay ABC quanh trục AI có bán kính IB đường sinh AB ABC vuông cân A nên: AI  BI  1cm AB  AI  S xq   r.l    2 Câu 53: [2H2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3, năm 2017) Cho tam giác ABC nội tiếp   75,  đường tròn tâm O, bán kính R có BAC ACB  60 Kẻ BH  AC Quay ABC quanh AC BHC tạo thành hình nón xoay  N  Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay  N  theo R 3 2  R2 Hướng dẫn giải: Chọn B A B CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU 3  R2 C  R 1 D  R 1 Trang 22 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm B O 60° 75° A C H Hình nón  N  có đường sinh đoạn l  BC , đường cao h  CH bán kính r  BH Trong ABC ta có BC  R sin 750 Trong BHC ta có BH  BC.sin 600  BC Diện tích xung quanh hình nón (N): S xq   rl   BC.BH   3 BC   R 2 Câu 54: [2H2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, lần 1, năm 2017) Cho tam giác ABC vuông A , AB  3a , AC  4a Gọi M trung điểm AC Khi qua quanh AB, đường gấp khúc AMB , ACB sinh hình nón có diện tích xung quanh S1 , S Tính tỉ số A S1 13  S2 10 B S1  S2 S1 S2 C S1  S2 D S1  S2 Hướng dẫn giải: Chọn A S1   rl 1   Do AC  AC  2 AB     2 13 ; S2   r2l2   AC AB  AC  20 2   S1 13  S2 10 Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện Câu 55: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính diện tích xung quanh mặt nón thể tích khối nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 23 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm A S xq   a ;V  C S xq  6 a B S xq   a ;V  3 a  a3 ;V  12 D S xq   a3 12 3 a 2 6 a ;V  Hướng dẫn giải: Chọn D S 2a a 300 A D a O B C 2a a 2a ; SD  3 3 a 6 a S xq  SD. OC  ;V  SO. OC  3 Tính OD=OC  a 2, SO  Câu 56: [2H2-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Hình nón có đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh A S  2 a B S  7 a C S   a D S   a2 Hướng dẫn giải: Chọn C Hình chóp tứ giác hình chóp có đáy hình vng đường cao hình chóp qua tâm O đáy Gọi O tâm đáy ABCD Ta có SO   ABCD   SO  OD Từ ta có góc cạnh bên đáy góc SDO  600  SO  OD tan 600  a a tan 600  2  l  SD  SO  OD  a Diện tích xung quanh hình nón cần tính S xq   rl   OD.SD   a Câu 57: [2H2-3] Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: A S xq   a2 B S xq   a2 C S xq   a2 3 D S xq   a2 Hướng dẫn giải: Chọn C CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 24 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm S a A C O H B Kẻ SO   ABC  ,SH  BC  OH  BC 2 a a AH   3 3 a a S xq   OA.SA   a  3 Ta có OA  Câu 58: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy hình nón có AB  BC  10a, AC  12a , góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 450 Tính thể tích khối nón cho A 9 a B 12 a C 27 a D 3 a Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đường tròn đáy hình nón Gọi E trung điểm AC BE  AB  AE  8a S AB  BC  CA P  16a  r  ABC  p   450 Dựng IM  AB  AB   SMI   SMI Mặt khác IM  r  3a  SI  IM tan 450  3a Vậy V N   SI  r  9 a 3 Câu 59: [2H2-3] Cho hình lập phương cạnh a Gọi O tâm hình vng ABCD Khi thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình tròn nội tiếp hình vng A ' B ' C ' D ' bằng: A  a (đvtt) Hướng dẫn giải: B CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU  a (đvtt) C  a3 (đvtt) 12 D  a (đvtt) Trang 25 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Chọn C Do đường tròn đáy hình nón nội tiếp hình vng A ' B ' C ' D ' nên độ dài đường kính hình a a a3 tròn d  a  R  Khi V  a      2 12 Câu 60: [2H2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, lần 1, năm 2017) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S , có đáy hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq   a2 3 B S xq   a 10 C S xq   a2 D S xq   a2 Hướng dẫn giải: Chọn D S A C 60° G N B Hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có: Bán kính đường tròn đáy r  AG  Đường sinh l  SA  SG  AG  2 a AN  3  GN tan 60   AG 2 a  a 3      a   12     Diện tích xung quanh: S xq   rl   a2 Câu 61: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD A Sxq  a ; V  a 12 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU B Sxq  a ; V  a 3 12 Trang 26 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm C Sxq  2a ; V  a 3 12 D Sxq  2a ; V  a 6 Hướng dẫn giải: Đáp án B Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SO   ACBD  Suy ra, OB hình chiếu vng góc SB lên mp(ABCD)   600 Kết hợp r  OB  a ta suy : Do đó, SBO a a h  SO  OB.tan 600  3 2 1 a a a Thể tích hình nón: V  .r h    3 2 12 Câu 62: [2H2-3] Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là: A Sxq  2a B Sxq  a C Sxq  a 2 D Sxq  a Hướng dẫn giải: Đáp án C Hình tròn xoay hình nón Kẻ SO   ABCD  O tâm hình vng ABCD Do SOA vuông cân O nên a SA  OA  a AB a a Sxq   SA   .a  2 Vận dụng cao Câu 63: [2H2-4] Hoàn có bìa hình tròn hình vẽ, Hồn muốn biến hình tròn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 27 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm r A, B h R xO R B A A  O  B  C D  Hướng dẫn giải: Đáp án A l AB  Rx ; r = Rx 2 1 2 2 2 V  R h  R x (4  x )  R x x (8  x ) 2 24 24 2 2 Để V lớn x  8  x  x  6 Câu 64: [2H2-4] Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S đáy đường tròn C (O; R ) với R  a (a  0), SO  2a,O '  SO thỏa mãn OO   x (  x  2a ), mặt phẳng   vng góc với SO O  cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến đường tròn C   Thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn C   đạt giá trị lớn a Hướng dẫn giải: Đáp án D A x  B x  a a C x  D x  2a R 2a  x R  Suy R  (2a  x) R 2a 2a Khi thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn C   Theo Định lý Ta-lét R  R2  V   x  (2a  x)   x (2a  x)2  2a  12a Xét f ( x)  x(2a  x)2 (0; 2a) ta có f ( x) đạt giá trị lớn x  2a Câu 65: [2H2-4] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r  36 2 B r  38 2 C r  38 2 D r  36 2 Hướng dẫn giải: Đáp án B 81 81 Thể tích cốc: V  r h  27  r h   h     r CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 28 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ Sxq  2rl  2r r  h  2r r  812 812 812 812 r4    2 r 2 r 2 r 2 r  2 r   3 812 812   r  2 r 2 r 814 (theo BĐT Cauchy) 4 Sxq nhỏ  r  812 38 38 6  r   r  2 r 22 2 Câu 66: [2H2-4] (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng, lần 1, năm 2017) Cho khối nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác co đỉnh tâm I đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu? h Hướng dẫn giải: Đáp án D A B h 3 C 2h D h - Phương pháp +Cơng thức tính thể tích khối nón V  .r h 2 + V1  .n.h 1  n  r (ĐK:  n  ) +Từ ta thấy V1  f  n  V  V1max f  n max +Khảo sát f(n) để tìm n cho f(n) max - Cách giải: Ta có: f  n   n 1  n   n  2n  n (đk:  n  ) y '  3n  4n   n  1 L  y'     n   TM   h 2r + n  h1   r1   VI  .h 3 3 81 Câu 67: [2H2-4] (Chuyên Đại học Vinh, lần 3, năm 2017) Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy hình nón có AB  BC  10a, AC  12a , góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 450 Tính thể tích khối nón cho A 9a B 12a C 27a D 3a Hướng dẫn giải: Đáp án A CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 29 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đường tròn đáy hình nón Gọi E trung điểm AC BE  AB2  AE  8a S AB  BC  CA P  16a  r  ABC  p   450 Dựng IM  AB  AB   SMI   SMI Mặt khác IM  r  3a  SI  IM tan 450  3a Vậy V N   SI.r  9a 3 CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 30 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm MỤC LỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B BÀI TẬP MẪU C BÀI TẬP TỰ LUYỆN D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn Quay tam giác 16 Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện 23 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 31 | LTTN ... [2H2-2] Thi t diện qua trục hình nón tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền 2a Thể tích hình nón là: A  a3 B 2 a C  a D  a3 Hướng dẫn giải: Chọn D Thi t diện hình nón với mặt phẳng qua đỉnh nón. .. [2H2-4] (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng, lần 1, năm 2017) Cho khối nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác co đỉnh tâm I đáy đáy thi t diện song song với đáy hình nón cho Để thể tích khối nón. .. đáy hình nón r  h CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 12 | LTTN Nhóm Tài liệu dạy thêm  h3 Thể tích khối nón : V   r h  3 Câu 28: [2H2-2] Cho hình nón đỉnh S, đáy hình tròn tâm O, thi t diện