Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng.. 2 a..[r]
(1)MỤC LỤC
Bài 1: MẶT NĨN TRỊN XOAY
DẠNG 1: DẠNG CƠ BẢN (CHO CÁC THÔNG SỐ r h l, , )
DẠNG 2: THIẾT DIỆN QUA TRỤC SO
DẠNG 3: KHỐI NÓN SINH BỞI TAM GIÁC QUAY QUANH CÁC TRỤC
DẠNG 4: BÀI TOÁN THIẾT DIỆN QUA ĐỈNH VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI GÓC HOẶC KHOẢNG CÁCH
Bài 2: MẶT TRỤ TRÒN XOAY 13
DẠNG 1: DẠNG CƠ BẢN (CHO CÁC THÔNG SỐ r l h, , ) 13
DẠNG 2: SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỤ TRÒN XOAY 15
DẠNG 3: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRỤ VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG 17
BẢNG ĐÁP ÁN 20
Bài 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU 21
DẠNG 1: CƠNG THỨC LÍ THUYẾT CƠ BẢN 21
DẠNG 2: KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 23
Bài 4: BÀI TOÁN NỘI TIẾP - NGOẠI TIẾP 32
DẠNG 1: NÓN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP, TRỤ, CẦU 32
(2)Bài 1: MẶT NĨN TRỊN XOAY
DẠNG 1: DẠNG CƠ BẢN (CHO CÁC THÔNG SỐ r h l, , ) PHƯƠNG PHÁP:
① Các thông số:
r bán kính
l đường sinh
h chiều cao
Góc l h
② Cơng thức tính tốn:
Diện tích đáy:Sđ =r2
Chu vi đáy:CVđ =2πr
Diện tích xung quanh: Sxq =rl
Diện tích tồn phần: Stp =Sxq+Sđ
Thể tích khối nón: =1
3
nón
V r h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình nón có bán kính đáy đường cao r=3cm h, =4cm Tính diện tích xung
quanh hình nón
Lời giải
Ta có
( )
2 2
4
l = h +r = + = cm
( )2
.3.5 15 xq
S πrl π π cm
= = =
Ví dụ Cho khối nón có bán kính đáy đường sinh r=3cm l, =5cm Tính thể tích khối nón
Lời giải
Ta có
( )
2 2
5
h= l −r = − = cm
( )
2
1
.3 12
3
V πr h π π cm
= = =
Ví dụ Cho hình nón có đường cao 2a đường sinh a Tính diện tích tồn phần
hình nón
Lời giải
Ta có
( )2 ( )2
2
5
(3)( )
2 2
TP
S πrl πr π a a π a πa
= + = + = +
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Gọi l h r, , độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Diện tích xung
quanh Sxq hình nón bằng:
A Sxq =rl B Sxq =rh C Sxq =2rl D Sxq =r h2
Câu 2. Gọi l h r, , độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Diện tích tồn
phầnStpcủa hình nón bằng:
A Stp =rh+r2 B Stp =2rl+2r2 C Stp =rl+2r2 D Stp =rl+r2
Câu 3. Gọi l h r, , độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Thể tích
khối nón bằng:
A
V =r h B
3
V = r h C
V =r l D
3
V = r l
Câu 4. Gọi l h r, , độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức
sau đúng?
A r2 =h2+l2 B l2 =h2+r2 C 12 12 12
l =h +r D
l =hr
Câu 5. Một hình nón có đường sinh l gấp đơi bán kính r mặt đáy Diện tích xung quanh hình
nón là:
A Sxq =2r2 B Sxq =2rl C
2
1
xq
S = r D
2
xq
S = rl
Câu 6. Một khối nón có đường cao a cm( ), bán kính r cm( )thì tích bằng:
A =1
3
noùn
V ra B = 1 3
noùn
V r C =1
noùn
V r a D =1
noùn
V a r
Câu 7. Một khối nón tích 4π chiều cao Bán kính đường trịn đáy bằng:
A 2 B 2
3 C
4
3 D 1
Câu 8. Một khối nón có diện tích xung quanh cm2 bán kính đáy
2
r = cm Khi độ dài
đường sinh khối nón là:
A 3 B 4 C 2 D 1
Câu 9. Thể tích khối nón thay đổi tăng độ dài bán kính đáy lên hai lần mà
giữ nguyên chiều cao khối nón?
A Tăng lần B Giảm lần C Tăng lần D Khơng đổi
Câu 10. Hình nón có diện tích xung quanh 24 bán kính đường trịn đáy Chiều cao
khối nón là:
A 8 B 89 C 3 D 55
(4)❶ Thiết diện qua trục tam giác vuông cân SAB
l r
h r
=
=
Sxq =r2
Stp =r2 2+r2 =r2( 1)+
Diện tích thiết diện STD =r2=h2
Thể tích 3
3
V = r = h
❷ Thiết diện qua trục tam giác SAB
2
l r
l h
=
=
Sxq =2r2
Stp =2r2+r2 =3r2
Diện tích thiết diện:
2
2
3
3
TD l
S = =r
Thể tích:
3
1
3 24
l V = r h=
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh
diện tích tồn phần hình nón
Lời giải
Ta có thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh 2a nên
2 2 ;
l= r= a =l a r=a
2
2
xq
S =πrl= πa
2
3
tp
S =πrl πr+ = πa
Ví dụ 2. Một khối nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Tính thể tích khối nón
Lời giải
Ta có thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh a nên ;
2
a l = r= =a l a r =
2
2
a h l r
= − =
2 3
2
1 3
3 2 24
a a πa
V πr h π
= = =
Ví dụ Một khối nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân cạnh có cạnh huyền 2a Tính
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện thể tích khối nón
Lời giải
(5)2r=2a = =r h a
2
2
xq
S =πr =πa
( )
2 2
2
tp
S =πr +πr =πa +
Diện tích thiết diện STD=r2=a2
Thể tích 3
3
V = πr = πa
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh huyền 2a Thể tích khối
nón giới hạn hình nón
A 2 a
B
3
2
3
a
C
3
4
3
a
D 2a3
Câu 12. Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài 2a Thể tích khối
nón A 3 a B 3 a C 3 a D 3 12 a
Câu 13. Cho hình nón trịn xoay có đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy
60 Diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích V khối nón
A
xq
S =a
24
V = a B
2 xq
S = a
12
V = a
C 3
xq
S = a
4
V = a D
2
2 xq
a
S =
8
V = a
Câu 14. Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng
cân có cạnh góc vng a Tính thể tích V khối nón tạo nên hình nón cho
A
3
2 10
a
V B
3
2 12
a
V C
3
2
a
V D
3
2
a
V
Câu 15. Cắt hình nón mặt phẳng qua trục thiết diện tam giác cạnh
a Tính thể tích V khối nón theo a A
3
3 24
a
V = B
3
3
a
V = C
3
3
a
V = D
3
3 12
a V =
Câu 16. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng có cạnh huyền a Tính diện tích
xung quanh Sxq hình nón
A 2 xq a
S = B
2
2 xq
a
S = C
2
2 xq
a
S = D
2
3 xq
a S =
Câu 17. Một hình nón trịn xoay có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh a Tính
diện tích Stp tồn phần hình nón đó:
A ( )
2 tp a S +
= B
2
2 tp
(6)C ( )
2
tp
a
S
+
= D ( )
2
2
2
tp
a
S
+
=
Câu 18. Cho hình nón đỉnh S biết cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta tam
giác vng cân có cạnh huyền a Diện tích xung quanh hình nón là:
A
2
2
xq
a
S = B
2
2
xq
a
S = C
xq
S =a D Sxq= 2a2
Câu 19. Hình nón ( )N có đỉnh S, tâm đường trịn đáy O, góc đỉnh 120 Một mặt phẳng qua
S cắt hình nón ( )N theo thiết diện tam giác vuông SAB Biết khoảng cách hai đường thẳngABvà SO Tính diện tích xung quanh Sxqcủa hình nón ( )N
A Sxq =27 3 B Sxq =18 3 C Sxq =9 3 D Sxq =36 3
Câu 20. Cho tam giác ABCvuông cân A biết BC=a Gọi I trung điểm BC Tính diện
tích tồn phần khối nón trịn xoay sinh cho ABC quay quanh AI góc 360
A (2 1+ )a2 B ( )
2
2 2
a
+
C
2
2
a
D ( )
2
2
a
+
DẠNG 3: KHỐI NÓN SINH BỞI TAM GIÁC QUAY QUANH CÁC TRỤC
PHƯƠNG PHÁP:
① Quay tam giác SOA vuông O quanh
trục SO
r OA= bán kính
h SO= chiều cao
l SA= đường sinh
② Quay tam giác SOA vuông O quanh
trục OA
r SO= bán kính
h OA= chiều cao
l SA= đường sinh
A- VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Tính diện tích xung quanh hình nón
được tạo thành quay tam giác ABC quanh AH
Lời giải
Khi quay tam giác ABC quanh AH ta hình nón có: Trục AH
Bán kính đáy
2 a r
O A
S
O S
(7)Đường sinh l AB AC a
Suy diện tích xung quanh hình nón
2
2
xq
a S rl
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vng C có các cạnh AC ;a BC a Tính thể tích khối nón
tạo thành quay tam giác ABC quanh AC
Lời giải
Khi quay tam giác ABC quanh AC ta hình nón có: Trục AC nên h AC 2a
Bán kính đáy r BC a
Suy thể tích khối nón
3
1
3
a V r h
Ví dụ Cho tam giác ABC vng C có các cạnh AC ;a BC a Tính thể tích vật thể trịn xoay
được tạo thành quay tam giác ABC quanh AB Lời giải
Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB, ta có:
2
5
AC BC a
CH
AC BC
2
5
AB AC BC a
Khi quay tam giác ABC quanh AC ta vật thể tròn xoay gồm hình nón có: Hình nón thứ có trục AH nên
1 & h AH r CH
2
1 1
1
(1)
3
V r h CH AH
Hình nón thứ có trục BH nên
2 & h BH r CH
2
2 2
1
(2)
3
V r h CH BH
Suy thể tích vật thể trịn xoay
2
1
3
1
.( )
3
4
15
V V V CH AH BH CH AB
a
B– BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 21. Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SC=a
Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SACtạo thành hình nón trịn xoay Thể tích khối nón trịn xoay
A
4
a
B
3
2
a
C
3
3
a
D
3
3
a
Câu 22. Cho tam giác ABCcạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện
(8)A a2 B 2a2 C 1
2a D
2
3 4a
Câu 23. Hình ABCD quay quanh BC tạo
A Một hình trụ B Một hình nón
C Một hình nón cụt D Hai hình nón
Câu 24. Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh
bởi đoạn thẳng AC hình lập phương ABCD A B C D có cạnh
b quay xung quang trục AA Diện tích S là
A
b
B b2
C b2 D b2 6
Câu 25. Trong không gian, cho tam giácABC cân A,AB=a 10,BC=2a Gọi H trung điểm
BC Tính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABCxung quanh trục AH
A V =2a3 B V =3a3 C V =9a3 D V =a3
Câu 26. Cho tứ diện đềuABCD Khi quay tứ diện quanh trụcAB có hình nón khác
được tạo thành?
A Một B Hai
C Ba D Khơng có hình nón
Câu 27. Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ
4 hình trịn hai bán kínhOA OB, ghép hai bán kính lại cho thành hình
nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng
A 81
8
B 9
8
C 81
4
D 9
2
Câu 28. Cho hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu
mặt phẳng cho thiết diện tạo thành đường kính 4cm Tính thể tích khối nón có đáy thiết diện vừa tạo đỉnh tâm hình cầu cho (lấy 3,14, kết làm tròn tới hàng phần trăm)
A 50, 24 (ml) B 19,19 (ml) C 12,56 (ml) D 76, 74 (ml)
Câu 29. Hình chữ nhật ABCD có AB=6, AD=4 GọiM N P Q, , , trung điểm bốn cạnh
, , ,
AB BC CD DA Cho hình chữ nhậtABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay tích
A V =8 B V =6 C V =4 D V =2
Câu 30. Cho hình thang cân ABCD có cạnh đáy AB=2 ,a CD=4 ,a cạnh bên AD=BC=3 a
Hãy tính thể tích khối trịn xoay sinh hình thang quay quanh trục đối xứng
A
14
a
B
3
56
a
C
3
14
a
D
3
28
(9)ThayTrongDGL- biên soạn sưu tầm Học để chung sống! 9 DẠNG 4: BÀI TOÁN THIẾT DIỆN QUA ĐỈNH VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI GÓC HOẶC
KHOẢNG CÁCH
PHƯƠNG PHÁP:
① Thiết diện qua đỉnh hình nón: mp P( )đi qua đỉnh
của hình nón cắt mặt nón theo đường sinh Thiết diện tam giác cânSAB
② Khoảng cách từ tâm đáy O đến thiết diện:
+ Casio:
( )
2
; ( )
1
1: 1:
d O SAB OK
OK
SO OH
=
=
+
③. Góc SO vá thiết diện SAB:
( ;( ))
tan
SO SAB SOH
OH SOH
SO
=
=
④ Góc (SAB) đáy:
( ;( ))
tan
SAB OAB SHO
SO SHO
OH
=
=
A- VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60 tam giác cạnh 4cm Thể
tích khối nón
A 9cm3 B 4 3cm3 C 3cm3 D 7cm3
Lời giải
(10)Góc (SAB) đáy:
( ) ( )
( ) ( )
( )
: :
O SAB AB
O OH AB H HA HB
SAB SH AB H
=
⊥ = =
⊥ =
Suy ((SAB);( )O ) (= OH SH; )=SHO=600
Giả thiết cho SAB cạnh 4 3
2
cmSH = =
0
: sin 60 sin 60 3
SO
SOH SO SH
SH
= = = = ; 0
tan 60
SO
OH = =
2
2
:
3
OAH OA OH AH
= + = + =
( )2 ( )2
2
1 1
.3 7
3 3
V = h r = SO OA = = cm
B– BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 31. Cho hình nón có độ dài đường cao 2a, bán kính đường trịn đáy a Tính thể tích khối
nón
A
4a B 2
3a C
3
a
D 4
3a
Câu 32. Cho hình nón có độ dài đường sinh 2, bán kính đường trịn đáy Tính diện tích
xung quanh hình nón
A 30 B 15 2 C 20 D 10
Câu 33. Cho hình nón có độ dài đường cao a 3, bán kính đường trịn đáy a Tính diện tích tồn
phần hình nón
A 5a2 B 4a2 C 3a2 D 2a2
Câu 34. Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10 Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình
nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Thể tích khối nón có chiều cao
A 8 B 24 C 200
9
D 96
Câu 35. Cho hình nón ( )N có bán kính đáy 10, mặt phẳng vng góc với trục hình nón cắt
hình nón theo đường trịn có bán kính 6, khoảng cách mặt phẳng với mặt phẳng chứa đáy hình nón ( )N Chiều cao hình nón ( )N
A 12,5 B 10 C 8, D 7,
Câu 36. Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Tính diện tích thiết diện
A
2
a
B
3a C
3
a
D
2
2 3
a
Câu 37. Một hình nón có chiều cao a Thiết diện qua trục tam giác vng Tính diện tích
tồn phần hình nón
A ( 1+ )a2 B 2a2 C ( 2+2)a2 D ( 1− )a2
Câu 38. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh huyền Thể tích
khối nón
a
(11)A
a
B
3
2
a
C
3
a
D
2a
Câu 39. Một hình nón có đường sinh l, thiết diện qua trục tam giác vng Tính thể tích
khối nón
A 2
2 l B
2
3
2 l C
2
3
12l D
2
2 12 l
Câu 40. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng
Diện tích xung quanh hình nón
A 2 a
B
2
2
a
C
2a D 2 a
Câu 41. Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết
,
B C thuộc đường trịn đáy Thể tích khối nón là:
A a3 B
3
2
a
C
3
3 24
a
D
2 a
Câu 42. Thiết diện qua trục hình nón trịn xoay tam giác vng cân có điện tích
2a
Khi thể tích khối nón
A
3
a
B
3
2
a
C
3
4
a
D
3 a
Câu 43. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy a Thiết diện qua trục hình nón tam
giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V
A
3
6
a
V = B
3
3
a
V = C
3
3
a
V = D
3
3
a V =
Câu 44. Khối nón có ciều cao Thiết diện song song cách mặt đáy đoạn , có diện
tích bằng64
9 a Khi đó, thể tích khối nón
A 16a3 B 25
3 a C
3
48a D 16
3 a
Câu 45. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, diện tích xung quanh S1
mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau
khẳng định đúng?
A 2S2 =3S1 B S1 =4S2 C S2 =2S1 D S1 =S2
Câu 46. Diện tích tồn phần hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh 3
thiết diện qua trục tam giác
A 8 B 9 C 10 D 12
Câu 47. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc
60 Diện tích thiết diện qua đỉnh
A
2
a
B
2
2
a
C 2a2 D
2
2
a
Câu 48. Cho hình nón có bán kính đáy 3cm có đường sinh l =5cm Một mặt phẳng ( )P qua
đỉnh tạo với trục góc
30 Diện tích thiết diện
a
a
3 a
(12)A 8 11
3 B
11
3 C
2 11
3 D
11 11
Câu 49. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h=a bán kính đáy r=2a Mặt phẳng ( )P qua S cắt
đường tròn đáy A B cho AB=2 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường trịn đáy đến ( )P
A
2
= a
d B d a= C
5
= a
d D
2
= a
d
Câu 50. Cho hình nón S, đường cao SO Gọi A B, hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón
cho khoảng cách từ O đến AB a SAO= 30 ,SAB= 60 Tính diện tích xung quanh hình nón
A
2
3
=
xq a
S B
2
2
=
xq a
S C
2
3
=
xq a
S D Sxq = a2 BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D
11.A 12.C 13.A 14.B 15.A 16.A 17.C 18.B 19.B 20.D
21.A 22.C 23.D 24.D 25.D 26.B 27.A 28.B 29.A 30.A
31.D 32.A 33.C 34.A 35.A 36.B 37.A 38.C 39.D 40.A
(13)Bài 2: MẶT TRỤ TRÒN XOAY
DẠNG 1: DẠNG CƠ BẢN (CHO CÁC THÔNG SỐ r l h, , ) PHƯƠNG PHÁP:
A- Các thơng số: r bán kính đáy
h= ABlà chiều cao trụ
l= =h CDlà đường sinh trụ
B- Công thức tính tốn: ① Diện tích đáy:
② Chu vi đáy:
2
ñ S =r
2 đ
CV = r
③ Diện tích xung quanh: Sxq =2rl
④ Diện tích tồn phần: Stp =Sxq+2Sđ
⑤ Thể tích khối nón:
Tru
V =r h A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy r=5 cm( ), chiều cao h=7 cm( ) Diện tích xung quanh hình
trụ là:
A 35( )cm2 B 70( )cm2 C 70 ( )cm2
3 D ( )
2
35 cm
3
Lời giải
ChọnB
Ta có: Sxq =2rh=2 5.7 =70( )cm2
Ví dụ Cho hình vuông ABCD cạnh cm Gọi ( ) M N, trung điểm AB CD Quay
hình vng ABCD xung quanh MN Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:
A 64( )cm2 B 32( )cm2 C 96( )cm2 D 126( )cm2
Lời giải Chọn A
Quay hình vng ABCD xung quanh MN ta hình trụ hình vẽ
Khi ( )2
4; 64 cm
2 xq d
AB
r= = h=AD= S =C h= rh=
Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a góc
30
BDC= Quay hình chữ nhật xung quanh
(14)A 3a2 B 2 3a2 C 2
3a D
2
a
Lời giải Chọn C
Khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD ta hình trụ hình vẽ Ta có:
0
; tan 30
r=AB=a h=BC=CD Suy
2
2
3 xq
a a
h= S = rh=
Ví dụ Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có chiều cao đường kính đáy Thể tích
khối trụ tương ứng
A 2 B C 3 D
4
Lời giải
Chọn A
Chiều cao đường kính đáy nên h=2r
2
4 2
1
xq
S rh r r r
r r h
= = = =
= = =
Ta có: 2
1
h
V r h
r
=
= =
=
B- BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình trụ ( )T có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Ký hiệu Sxq diện tích
xung quanh ( )T Cơng thức sau đúng?
A Sxq =rh B Sxq =2rl C Sxq =2r h2 D Sxq =rl
Câu 2. Cho hình trụ ( )T có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Ký hiệu Stp diện tích
tồn phần ( )T Cơng thức sau đúng?
A Stp =rl B Stp =rl+2r C Stp =rl+r2 D
2
2
tp
S = rl+ r
Câu 3. Cho hình trụ ( )T có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Ký hiệu V( )T thể tích
khối trụ ( )T Công thức sau đúng?
A ( )
3
T
V = rh B V( )T =r h2 C V( )N =rl2 D V( )N =2r h2
Câu 4. Một hình trụ có bán kính đáy r=a, đồ dài đường sinh l =2a Diện tích tồn phần hình trụ
này là:
(15)Câu 5. Hình chữ nhật ABCD có AB=3 cm( ), AD=5 cm( ) Thể tích khối trụ hình thành quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng:
A ( )3
25π cm B ( )3
75π cm C ( )3
50π cm D ( )3
45π cm
Câu 6. Thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh 2a Gọi S1 S2 diện tích
xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ Chọn kết luận đúng kết luận sau
A 4S1=3S2 B 3S1=2S2 C 2S1 =S2 D 2S1=3S2
Câu 7. Một hình trụ ( )T có diện tích tồn phần 120( )cm2 có bán kính đáy cm Chiều ( )
cao ( )T
A 6 cm ( ) B 5 cm ( ) C 4 cm ( ) D 3 cm ( )
Câu 8. Một khối trụ ( )T tích 81( )cm3 có đường sinh gấp ba lấn bán kính đáy Độ dài
đường sinh ( )T
A 12 cm ( ) B 3 cm ( ) C 6 cm ( ) D 9 cm ( )
Câu 9. Khối trụ có chiều cao h=3 cm( ) bán kính đáy r=2 cm( ) tích
A 12( )cm3 B 4( )cm3 C 6( )cm3 D 12( )cm3
Câu 10. Một hình trụ có diện tích đáy 4( )m2 Khoảng cách trục đường sinh mặt xung
quanh hình trụ
A 4 m ( ) B 3 m ( ) C 2 m ( ) D 1 m ( )
DẠNG 2: SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỤ TRÒN XOAY
LÝ THUYẾT CẦN NẮM:
Nắm tạo thành mặt trụ, hình trụ, khối trụ
Khi quay hình chữ nhạtABCD xung quanh đường thẳng chứa
một cạnh, chẳng hạn cạnhAB đường gấp khúcABCD taạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ
Đường thẳngAB gọi trục
Đoạn thẳngCD gọi độ dài đường sinh
Độ dài đoạn thẳng AB=CD=h gọi chiều cao hình trụ
Hình trịn tâm A, bán kính r =AD hình trịn tâm B, bán kính r=BC gọi đáy hình trụ
A– VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB=6, AD=4 quay quanh AB ta hình trụ có diện tích
xung quanh bằng:
A Sxq =8 B Sxq =48 C Sxq =50 D Sxq =32
(16)6 , Sxq .4.6 48
AB= =h AD= = →R = =
Ví dụ Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 AD=2 Gọi M , N trung
điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính
diện tích tồn phần Stp hình trụ
A Stq =4 B Stp =2 C Stp =6 D Stp =10
Lời giải Chọn A
2
1 , 1.1
2 tp
AD
AB= =h R= = →S = + =
Ví dụ Một hình thang vng ABCD có đường cao AD= , đáy nhỏ AB=, đáy lớn CD=2 Cho
hình thang quay quanh CD, ta khối trịn xoay tích
A
2
V = B 4
3
V = C
3
V = D
3
V =
Lời giải Chọn B
Khi quay hình thang quanh CD ta khối trịn xoay gồm phần, V1 khối trụ có bán kính đáy AD= chiều cao AB= nên V1 = = khối trụ V2 khối nón có đáy
BE = đường cao EC= nên 2
3
V = =
Vậy 4
3
V =
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Cho mặt phẳng ( )P điểm cố định mặt phẳng ( )P Gọi d đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng ( )P cách I khẳng k không đổi Tập hợp đường thẳng d
A một mặt phẳng B một mặt cầu C một mặt trụ D một mặt nón
Câu 12. Mệnh đề sau mệnh đề sai?
A Hình trụ ln chứa đường trịn B Hình nón ln chứa đường trịn
C Hình trụ ln chứa đường thẳng D Mặt trụ chứa đường thẳng
Câu 13. Cho hai điểm A, B cố định Tập hợp điểm M khơng gian cho diện tích tam giác
MAB khơng đổi
A mặt nón trịn xoay B mặt trụ tròn xoay
C mặt cầu D hai đường thẳng song song
Câu 14. Hình trụ( )T sinh quay hình chữ nhật ABCDquanh cạnh AB Biết AC=2a
0
45
(17)A Stp =16a2 B Stp =10a2 C Stp =12a2 D Stp =8a2
Câu 15. Trong khơng gian cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi H K, trung điểm
DC AB. Khi quay hình vng xung quanh trục HK ta hình trụ trịn xoay ( )H Gọi Sxq,V diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay ( )H khối trụ trịn xoay giới hạn hình trụ ( )H Tỉ số
xq
V
S
A
4
a
B
2
a
C
3
a
D 2
3
a
Câu 16. Cho hình chữ nhật ABCD cóAB=nAD Khi quay hình chữ nhậtABCD vịng quanh cạnh
CD ta khối trụ có diên tích tồn phần S1, quay hình chữ nhật ABCD vòng quanh cạnh AD ta khối trụ có diên tích tồn phần S2 Khẳng định sau đúng?
A nS1=S2 B S1 =nS2 C S1 =(n+1)S2 D S2 =(n+1)S1
Câu 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a góc BDC=300 Quay hình chữ nhật xung quanh
cạnh AD Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là:
A 3a2 B 2 3a2 C 2
3a D
2
a
Câu 18. Hình chữ nhật ABCD có AB=3 cm( ), AD=5 cm( ) Thể tích khối trụ hình thành quay
hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng:
A 25π cm( )3 B 75π cm( )3 C 50π cm( )3 D 45π cm( )3
Câu 19. Cho hình vng có cạnh Gọi trung điểm Khi
quay hình vng quanh thành hình trụ Gọi mặt cầu có diện tích
diện tích tồn phần hình trụ, ta có bán kính mặt cầu
A
3
a
B
2
a
C
4
a
D a
Câu 20. Trong khơng gian, cho hình chữ nhật có Quay hình chữ nhật
xung quanh trục ta hình trụ Tính diện tích tồn phần hình trụ
A Stp =12 B Stp =5 C Stp =6 D Stp =8
DẠNG 3: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRỤ VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
LÝ THUYẾT CẦN NẮM:
① Thiết diện qua trục là: Hình chữ nhật
Hình vng
② Biết xác định góc đường thẳng trục hình trụ
ABCD a M N, AB CD
ABCD MN ( )S
( )S
ABCD AB=1 AD=2
(18)A– VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a=2 cm( ) tích
A cm3 B 2cm3 C 3cm3 D 4cm3
Lời giải
ChọnB
Thiết diện qua trục khối trụ hình vng ABCD
như hình vẽ Hình vng cạnh a=2 cm( ) nên ( )
2 cm
AB= r= =r
( ) ( )3
2 cm cm
AD= =h =V r h=
Ví dụ Cho hình trụ có trục OO', thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng ( )P song
song với trục cách trục khoảng
a
Tính diện tích thiết diện trụ cắt ( )P
A a2 B a2 C 2a2 D a2
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng ( )P song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật có kích thước 2a Kích thước cịn lại
2
2 2
2
2
a r −d = a − =a
, r=a bán kính
đáy
a
d = khoảng cách từ trục đến mặt phẳng ( )P Diện tích thiết diện 2a2
Ví dụ Cho hình trụ có đường trịn đáy ( )O ( )O , bán kính đáy chiều cao a
Các điểm A B, thuộc đường tròn đáy ( )O ( )O cho AB= 3a Thể tích khối tứ diện ABOO :
A
2
a
B
3
3
a
C
3
6
a
D
a
Lời giải Chọn C
Tam giác AA B vuông A suy A B = AB2−AA'2 =a
Suy tam giác O A B vuông O Suy BO vng góc với O A
Suy BO vng góc với (AOO)
3
1 1
3
ABOO AOO
V = BO S = a a = a
B- BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 21. Tính thể tích V khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a=4 cm( )
A V =8 ( )cm3 B V =4 ( )cm3 C V =16 ( )cm3 D V =2 ( )cm3
Câu 22. Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung
(19)A a2 B 2a2 C 3a2 D 4a2
Câu 23. Một hình trụ ( )T có bán kính đáyRvà có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung
quanh Sxq khối trụ
A Sxq =4R2 B Sxq =R2 C Sxq =2R2 D
2
xq
4
S = R
Câu 24. Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích
tồn phần Stp hình trụ theo bán kính đáy R
A Stp =2R2 B
2
S = R C Stp =6R2 D
2 S = R
Câu 25. Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có chu vi 8a Tính diện tích xung quanh
của hình trụ
A
2a B
4a C
8a D
4a
Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy cm có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích ( )
V khối trụ
A V =32π cm( )3 B V =64π cm( )3 C V =128π cm( )3 D V =256π cm( )3
Câu 27. Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có thiết diện qua trục hình vng Thể tích
khối trụ tương ứng
A 2 B C 3 D 4
Câu 28. Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có thiết diện qua trục hình vng Diện tích
tồn phần hình trụ
A 12 B 10 C 8 D 6
Câu 29. Bán kính đáy hình trụ 4cm, chiều cao cm Độ dài đường chéo thiết diện qua ( )
trục bao nhiêu?
A 5 cm ( ) B 8 cm ( ) C 6 cm ( ) D 10 cm ( )
Câu 30. Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 4R Diện
tích tồn phần hình trụ
A 24R2 B 20R2 C 16R2 D 4R2
Câu 31. Cho hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 12a Thể tích khối
trụ cho
A 4a3 B 6a3 C 5a3 D a3
Câu 32. Cắt hình trụ ( )T mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện
tích ( )2
30 cm chu vi 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính ( ) mặt đáy hình trụ (T) Diện tích tồn phần ( )T là:
A 69 ( )2
cm
B ( )2
69 cm C ( )2
23 cm D 23 ( )2
cm
Câu 33. Tính thể tích khối trụ biết chu vi đáy hình trụ 6( )cm thiết diện qua trục
là hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 cm ( )
(20)Câu 34. Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có thiết diện qua trục hình vng Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng:
A 2 B 4 C
2
D
Câu 35. Cho hình trụ có chiều cao h=2,bán kính đáyr=3 Một mặt phẳng ( )P khơng vng góc với đáy
của hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vuôngABCD
A S =12 B S =12 C S =20 D S =20
Câu 36. Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh
AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết AC=a 2, DCA=30o Tính theo a thể tích khối trụ
A 3
48 a B
3
3
32 a C
3
3
16 a D
3
3 16 a
Câu 37. Cho khối trụ có chiều cao cm( ), bán kính đường tròn đáy cm Cắt khối trụ ( )
bởi mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo ( ) thành
A 32 cm( )2 B 16 cm( )2 C 32 cm( )2 D 16 cm( )2
Câu 38. Hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 10a Thể tích khối trụ
đã cho
A 4a3 B 3a3 C a3 D 5a3
Câu 39. Thiết diện qua trục hình trụ trịn xoay hình vng cạnh 2a Tính thể tích V khối
nón trịn xoay có đường trịn đáy đáy hình trụ đỉnh tâm đường trịn đáy cịn lại hình trụ
A
3
V = a B
3
V = a C
V =a D
3
V = a
Câu 40. Một hình trụ có bán kính cm chiều cao ( ) cm Cắt hình trụ mặt phẳng ( ) ( )P song
song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo hình trụ mặt phẳng ( ) ( )P bằng:
A 112 cm( )2 B 28 cm( )2 C 54 cm( )2 D 56 cm( )2
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.C
11.C 12.C 13.B 14.C 15.A 16.A 17.C 18.B 19.C 20.A
21.C 22.D 23.A 24.C 25.B 26.D 27.A 28.D 29.D 30.A
(21)Bài 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU
DẠNG 1: CƠNG THỨC LÍ THUYẾT CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu
4
S = R
Áp dụng cơng thức tính thể tích khối cầu
3
V = R
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình cầu có bán kính R Khi thể tích khối cầu
A 4
3R B
3
2
3R C
3
1
3R D
3
4R
Lời giải Chọn A
Từ cơng thức tính thể tích khối cầu
3
V = R
Ví dụ Diện tích mặt cầu có bán kính R
A 4R2 B 4R3 C 4
3R D
3
4 3R
Lời giải Chọn A
Ta có S = 4 R2
Ví dụ Mặt cầu có bán kính a có diện tích
A 4
3a B
2
a
C 4a2 D 4
3a
Lời giải Chọn C
Diện tích mặt cầu là:S =4R2 =4a2
Ví dụ 4. Khối cầu thể tích 36 Bán kính khối cầu
A R=3 B
9
R= C R=9 D
3
R=
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối cầu 36 27
3
V = R = R = =R
B- BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Khối cầu bán kính R=2a tích
A
32
a
B
6a C
16a D
8
a
Câu 2. Số mặt cầu chứa đường tròn cho trước
(22)Câu 3. Tính bán kính R khối cầu tích 256 ( )3
V = cm
A R=3 cm( ) B R=6 cm( ) C R=4 cm( ) D R=9 cm( )
Câu 4. Bán kính Rcủa khối cầu tích
3
32
a V =
A R=2a B R=2 2a C 2a D 3
7a
Câu 5. Một mặt cầu có diện tích 16π bán kính mặt cầu
A 4 B 4 C 2 D 2
Câu 6. Cho mặt cầu có diện tích ( )2
64 cm Bán kính mặt cầu
A R=6 cm( ) B R=3 cm( ) C R=4 cm( ) D R=3 cm( )
Câu 7. Cho mặt cầu có diện tích 72( )cm2 Bán kính mặt cầu
A R=6 cm( ) B R=3 cm( ) C R= cm( ) D R=3 cm( )
Câu 8. Cho mặt cầu có diện tích ( )2
120 cm Bán kính R khối cầu bằng:
A R= 26 cm( ) B R=3 cm( ) C R= 30 cm( ) D R=3 cm( )
Câu 9. Một mặt cầu có diện tích 36π bán kính mặt cầu
A 3 B 3 C 6 D 4
Câu 10. Cho mặt cầu có diện tích
2
8
a
Bán kính mặt cầu
A
3
a
B
3
a
C
2
a
D
3
a
Câu 11. Một khối cầu tích 32
3
Bán kính R khối cầu
A R=2 B R=32 C R=4 D 2
3
R=
Câu 12. Mặt cầu ( )S có diện tích ( )2
100 cm có bán kính
A 3cm B cm C 4cm D 5cm
Câu 13. Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông B Biết SA=2a, AB=a,
3
BC =a Tính bán kính Rcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A a B 2a C a D 2a
Câu 14. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA=BC=a Cạnh bên
2
SA= a vng góc với mặt phẳng (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:
A 3a B
2
a
C a D
2
a
(23)Câu 15. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB=a, BC =a Cạnh SA
vng góc với mặt phẳng đáy SA=2a 3.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC
A R=a B R=3a C R=4a D R=2a
Câu 16. Một mặt cầu có diện tích xung quanh có bán kính
A
2 B C
1
2 D 1
Câu 17. Một khối cầu tích 4 Nếu tăng bán kính khối cầu gấp lần thể tích
khối cầu bằng
A V =108 B V =12 C V =36 D V =64
Câu 18. Một mặt cầu ( )S cắt mặt phẳng kính theo đường trịn có bán kính Diện tích mặt cầu
(S)
A 100 B 500
3
C 20 D 10
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A
11.A 12.D 13.C 14.D 15.D 16.C 17.A 18.A
DẠNG 2: KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
A - LÝ THUYẾT CẦN NẮM:
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mặt cầu qua tất đỉnh khối đa diện, nên có
Tâm I mặt cầu điểm cách đỉnh khối đa diện
Bán kính mặt cầu khoảng cách từ tâm đến đỉnh khối đa diện
B - PHƯƠNG PHÁP (Phương pháp chung xác định mặt cầu ngoại tiếp khối chóp lăng trụ).
Xác định O tâm đường tròn nội tiếp đáy
Dựng đường thẳng d qua O vng góc với đáy, đường thẳng gọi trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Ta sử dụng phương án sau:
• Trong mặt phẳng chứa cạnh bên d, dựng đường thẳng trung trực cạnh bên, cắt dtại I , ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm
• Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên, cắt d I , ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm
• Dựng trục đường trịn mặt bên, cắt d I (nếu có thể), ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm
(24) Hình chóp
Gọi h chiều cao hình chóp, a độ dài cạnh bên hình chóp Ta có:
2
2
a R
h
=
Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy: Gọi h r, chiều cao bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Ta có
2
h R= +r
Đặc biệt:
SC R=
Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy: Gọi Rb,
d
R bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên mặt đáy, k độ dài giao tuyến mặt bên đáy.Ta có:
2 2
b d
k R= R +R −
Tứ diện có ba cạnh đơi vng góc, hộp chữ nhật có ba kích thước
, ,
a b c:
Ta có
2 2
2
a b c
R= + +
A –VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với mặt phẳng
(ABC) SC=2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A a B 2a C a D
2
a
(25)Lời giải Chọn A
Bán kính mặt cầu
2
SC R= =a
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng tại, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD)
và SC=2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A a B 2a C a D
2
a
Lời giải Chọn A
Bán kính mặt cầu
2
SC R= =a
Ví dụ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ
dài a, cạnh bên SA=a
A 2
2
a
B 3
2
a
C
8
a
D 3
8
a
Lời giải ChọnD
3
SA=a 3
3
a a
AO= = , 2
3
a SO= SA −AO = ;
Áp dụng công thức: ( )
2
2
3
2
2
a
SA a
R
SO a
= = =
Ví dụ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên
2a
A 2 14
7
a
B 2
2
a
C 2
3
a
D 2
7
a
(26)
2
SA= a; ( )
2
2 2 14
2
2
a a
SO= SD −OD = a − =
Áp dụng công thức: ( )
2 2
2 14
2 14
2
a
SA a
R
SO a
= = =
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông A, biết
6
AB= a, AC=8a, SA=10a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.
A 5a B 5a C 10a D 2a
Lời giải Chọn A
Ta có: tam giác ABC vuông A nên
2
5
2
đ
BC AB AC
a
R = = + =
Đường cao h=SA=10a
Áp dụng công thức ta có: ( )
2 10
5
2
a
R= a + = a
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác cạnh a,
2
SA= a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 39
3
a
B 19
4
a
C
2
a
D 2
3
a
(27)
Ta có tam giác ABC cạnh a nên
3 đ
R = a Đường cao h=SA=2a
Áp dụng cơng thức ta có:
2 2
3 2
3
a a a
R= + =
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác cân Avà AB=a
120
BAC= , SA=2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A a B a C
2
a
D
3
a
Lời giải: Chọn B
Ta có: BC=a
2sin120
đ
BC
a
R = =
h=SA=2a Áp dụng công thức ta có:
2
2
đ
SA R= R + =a
Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc Biết OA=a, OB=b, OC=c
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
A 2 a2+b2+c2 B
2 2
3
a +b +c
C
2 2
2
a +b +c
D a2+b2+c2
(28)Ta có: AO⊥(OBC) nên áp dụng cơng thức ta có:
2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 2
đ
OA BC OA OA OB OC a b c
R= R + = + = + + = OA +OB +OC = + +
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A Mặt bên (SAB) (⊥ ABC)
SAB
cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 3 21
2 B
5
2 C
21
6 D
15
Lời giải Chọn C
1
AB
= = ,
3 b
R = ,
2 đ
R =
Áp dụng công thức:
2
2
2 2 21
4
đ b
R= R +R − = + − =
Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác
và nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A
3
V = B 15
18
V = C
27
V = D 15
54
V =
(29)3 ;
3
đ
AB
R =CG= = 3
3
b
SA
R =SK = = ; =AB=1
Áp dụng công thức:
2
2
2 3 15
4 3
đ b
R= R +R − = + − =
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
3
4 15 15
3 54
V = R = =
Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt
phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A
13
V = B 15
11
V = C
3
V = D 21
6
V =
Lời giải Chọn D
Ta có: Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy
2
đ
AC a
R = =
Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên
3 b
a R =SG= Cạnh chung mặt bên (SAB) mặt đáy =AB=a Vậy bán kính mặt cầu
2 2
2 21
2
a a a a
R= + − =
B- BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Gọi
( )S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu ( )S
(30)A 32 81 a
B
3
32 77
a
C
3
64 77
a
D
3 72 39 a
Câu 2. Cho mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thức a b c, , có bán kính
A R= a2+b2+c2 B 2
3
R= a +b +c
C R= 2(a2+ +b2 c2) D 2
2
R= a + +b c
Câu 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD điểm I với
A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC
C I trung điểm đoạn thẳng SC D I trung điểm đoạn thẳng SB
Câu 4. Cho khối chóp S ABCD có tất cạnh a Tính thể tích V khối cầu
ngoại tiếp hình chóp
A V =3a3 B V =a3 C
3
6
a
V = D
3
3
8
a V =
Câu 5. Cho khối lập phương có cạnh a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối lập phương
đó A 3 a
V = B
3
6
a
V = C
3
2
a
V = D
3
9
a V =
Câu 6. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh
A 2 B C 3 D 4
Câu 7. Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh
A S =192 B S =48 C S=256 D S =64
Câu 8. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a
A a
B
2
7
a
C
2
7
a
D
2 a
Câu 9. Tập hợp tâm mặt cầu qua điểm không thẳng hàng
A một mặt phẳng B một mặt cầu C một mặt trụ D một đường thẳng
Câu 10. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc
60(tham khảo hình vẽ) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A a
B
2
5
a
C
2
6
a
D
2 a
Câu 11. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA⊥(ABCD) SA= AB=a Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A
2
a
B
2
a
C
2
a
D a
Câu 12. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có độ dài cạnh a
A
2
V = a B
3
V = a C V =4a3 D
81
(31)Câu 13. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA=a vng góc với đáy (ABCD) Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD
A
8a B
2a C
2a D a2
Câu 14. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng tạiA, SA vng góc với mặt phẳng
(ABC) AB=2, AC=4, SA= Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S ABC có bán kính
A 25
2
R= B
2
R= C R=5 D 10
3
R=
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng
(ABD) (ACD)vng góc với Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 2 B C 2
3 D
6
Câu 16. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, , 2a a
A 36a3 B
3
27
a
C
3
9
a
D
3
9
a
Câu 17. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA⊥(ABCD), AB=3 ,a AD=4a
Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S ABCDbằng
A 10a2 B 20a2 C 50a2 D 100a2
Câu 18. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=3 ,a AD=4 ,a SA vng góc với mặt đáy,
SC tạo với mặt đáy góc 60 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo S ABCD theo a
A 10a B 5a C 5
2
a
D 5a
Câu 19. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân
S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC theo a
A
3
4 27
a
B
2
4
a
C
3
3
a
D
2
4
a
Câu 20. Cho hình lập phương có cạnh a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
bằng
A 6a2 B 9a2 C 8a2 D 4 3a2
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A
(32)Bài 4: BÀI TOÁN NỘI TIẾP - NGOẠI TIẾP
DẠNG 1: NĨN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, TRỤ, CẦU. PHƯƠNG PHÁP:
Nắm vững khái niệm nón ngoại, nội tiếp chóp, trụ, cầu để xác định yếu tố đặc trưng nón
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh
A
2
3
xq
a
S B
2
2
xq
a
S C
2
3 xq
a
S D
2
3
xq
a
S
Lời giải Chọn A
Giả sử hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD cạnh a hình vẽ Ta có:
Bán kính đáy 3
3
a a
R OC
Độ dài đường sinh l AC a
Vậy diện tích xung quanh hình nón
2
3
3
xq
a a
S Rl a
Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có
đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD đỉnh tâm hình vng A B C D
A
4 xq
S = B
2 xq
S = C Sxq =8 3 D Sxq =8 5
Lời giải Chọn A
Hình nón có bán kính
2
r= ; chiều cao h=3
O' C'
D'
B'
O
D A
B C
(33)Suy đường sinh
2
2 2 3
3
2
l= h +r = + =
Diện tích xung quanh hình nón
2
2
xq
S =rl= =
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên có độ dài a Gọi ( )N
là hình nón có đỉnh S đường trịn đáy đường tròn qua điểm A B C D, , , Khi diện tích xung quanh hình nón
A a2 B
2
2
a
C
2 2
6
a
D
2 2
4
a
Lời giải
Chọn A
Hình nón ( )N có bán kính đáy 2,
2
a
r=OA= đường sinh l=2 a
Diện tích xung quanh hình nón Sxq =rl =a2
Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình vng
ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A B C D Kết diện tích tồn phần Stp
hình nón 2( )
4
a
b c
+
với b c hai số nguyên dương b1 Tính bc
A bc=7 B bc=15 C bc=8 D bc=5
Lời giải Chọn D
Hình nón có đáy hình trịn nội tiếp hình vng A B C D có cạnh a nên đáy hình nón hình trịn có bán kính
2
(34)Hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD nên chiều cao hình nón độ dài cạnh hình vng Suy ra: h=a
Khi đó: độ dài đường sinh hình nón là:
2 2
2 2 5
2
a a a
l= h +r = a + = =
Diện tích tồn phần hình nón là: ( )
2
5
( )
2 2
tp
a a a a
S =r r l+ = + = +
Suy ra: b=5;c= 1 bc=5
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác cạnh a có bán kính đáy
A
2
a
B
2
a
C
3
a
D
3
a
Câu 2. Trong hình chóp sau đây, hình chóp ln có mặt nón nội tiếp
A hình chóp tam giác B hình chóp tứ giác
C hình chóp ngũ giác D Hình chóp lục giác
Câu 3. Trong tất hình nón nội tiếp mặt cầu đường kính R=10, hình chóp có bán kính đáy lớn
có đường cao
A 3 B 5 C 4 D 6
Câu 4. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh đáy 2a, góc đỉnh 900 có bán kính
A 2a B
2
a
C 3
2
a
D a
Câu 5. Một hình nón có độ dài đường sinh 5, bán kính đáy Hình chóp tứ giác nội tiếp hình
nón tích
A 16 B 20 C 64 D 32
Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc đỉnh 600 Một hình trụ có bán kính đáy
2
R nội tiếp hình nón Thể tích khối trụ là:
A
3
R
B
3
R
C
3
R
D
3
8
R
Câu 7. Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác có chiều cao 4cm, đáy hình vng cạnh
3 2cm Diện tích xung quanh hình nón
A 12( )cm2 B 15( )cm2 C 20( )cm2 D 30( )cm2
Câu 8. Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp lục giác có cạnh bên 9cm, cạnh đáy 8cm Thể
tích khối nón là:
A 72( )cm3 B 64 17( )cm3 C 64 17 ( )3
3
cm D 72 ( )3
3
cm
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a, thể tích hình
nón đỉnh S đáy hình tròn nội tiếp ABCD
A
3
4
a
B
3
2
a
C
3
6
a
D
3
9
(35)Câu 10. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a Diện tích xung quanh hình nón đỉnh Svới đáy hình trịn nội tiếp ABCD
A
17
a
B
2
15
a
C
2
17
a
D
2
17
a
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C 9.C 10.B
DẠNG 2_ NĨN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP, TRỤ, CẦU PHƯƠNG PHÁP
Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh có bán kính đáy
Hình trụ nội tiếp hình lập phương cạnh có bán kính đáy
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể
tích khối trụ bằng:
A a3 B
3
2
a
C
3
3
a
D
3
4
a
Lời giải
Chọn D
Ta có: h=a
Đáy hình trịn nội tiếp hình lập phương cạnha nên có
a r=
Khi
2
2
2
a a
V =r h= a=
a
2
a
a
2
(36)Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AB=a Biết mặt phẳng (AB C ) hợp với mặt đáy (A B C ) góc o
45 Cho hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C (hình trụ có đường trịn đáy ngoại tiếp mặt hình lăng trụ) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ
A
3
2
,
6
a
S =a V = B
2
3 ,
2
a a
S = V =
C
3
2
,
18
a
S =a V = D
2
3 ,
2 18
a a
S= V =
Lời giải
Gọi I trung điểm B C Vì ABC A B C lăng trụ nênAI ⊥B C' 'và A I' ⊥B C' ' Do góc (AB C )và (A B C ) AIA'=45o Suy AA I' vuông cân A nên
3 ' '
2
a AA = A I =
Suy ra: '
3
a r = A I =
Do diện tích xung quanh: 3
2
3
a a
S = rh= =a
Thể tích khối trụ là:
2
3
2 3
3
a a a
V =r h= =
Ví dụ Cho hình nón đỉnh S, mặt đáy hình trịn tâm O, bán kính R=6 cm( ) có thiết diện qua
trục tam giác Cho hình trụ có hai đường trịn đáy (O r; ) ( )I r; , có thiết diện qua trục hình vng, biết đường trịn (O r; ) nằm mặt đáy hình nón, đường trịn ( )I r;
nằm mặt xung quanh hình nón (I thuộc đoạn SO) Tính thể tích khối trụ
A 432(26 45 cm− )( )3 B 1296(26 45 cm− )( )3
C 1296(7 cm− )( )3 D 432(7 cm− )( )3
Lời giải
(37)Hình nón có bán kính đường trịn đáy R=6 cm( ) có thiết diện qua trục tam giác nên có
2 12
3
6
2
SM R cm
SM
SO cm
= =
= =
Đặt SI =x, BI / /AO nên ta có:
6 3
BI SI r x x
r
OM = SO = =
Chiều cao hình trụ là: h=OI =SO−SI =6 3−x
Do đó, thiết diện qua trục hình trụ hình vng khi:
( )
2 18
2 18
3
x
h= r − =x =x = −
+
Khi đó:
( ) ( )
6 12 3 , 3
2
h
h= − =x − r= = −
( ) ( ) ( )( )
2
3 12 3 1296 26 45 cm
V =r h= − − = −
Ví dụ Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục hình vng diện tích mặt cầu
bằng 72( )cm2 Tính diện tích xung quanh hình trụ
A ( )2
12 cm B ( )2
16 cm C ( )2
18 cm D ( )2
36 cm
Lời giải
(38)Ta có diện tích mặt cầu là: ( )2 ( )
4 72 cm cm
mc
S = R = =R
Thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên h=2r Nên: R=r 2=3 2 =r cm( )
Do diện tích xung quanh hình trụ là: ( )2
2 36 cm
S= rh=
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Khối trụ ngoại tiếp khối lập phương cạnh a tích
A a3 B
3
a 4
C
3
a 3
D
3
a 2
Câu 2. Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai hình vng ABCD A B C D
hình lập phương cạnh 2a Thể tích khối trụ
A 2
3a B
3
4a C 4
3a D
3
2a
Câu 3. Cho hình trụ có hai đáy hình trịn nội tiếp hai đáy hình lập phương cạnh a Diện tích xung
quanh hình trụ
A
2
a
B a2 C 2a2 D a3
Câu 4. Hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2R Tỷ số thể tích hình cầu nội tiếp ngoại
tiếp hình trụ
A
4 B
2
2 C
2
8 D
1
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABClà tam giác cạnh 2a Khối trụ ( )T có hai
đáy hai đường tròn ngoại tiếp tam giác đáyABCvà A B C , biết tỷ số bán kính đáy hình trụ chiều cao hình trụ
3 Tính theo a thể tích khối trụ ( )T
A
8
3
a
B
3
8
9
a
C a3 3 D
3
8
27
a
Câu 6. Một hình tứ diện ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy đường tròn nội tiếp tam giác
(39)A
2 3
a
B
2
a
C
2 2
3
a
D
2
3
a
Câu 7. Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình
trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện
tích ba bóng bàn, S2là diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số
2
S
S
A 1 B 2 C 3
2 D
5
Câu 8. Cho hình trụ có bán kính đáy r Gọi O, O tâm hai đáy với OO =2r Một mặt cầu
( )S tiếp xúc với hai đáy hình trụ O O Trong mệnh đề đây, mệnh đề
sai?
A Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ
B Diện tích mặt cầu
3 diện tích tồn phần hình trụ
C Thể tích khối cầu
4 thể tích khối trụ
D Thể tích khối cầu
3 thể tích khối trụ
Câu 9. Một hình trụ có đường kính đáy chiều cao nội tiếp mặt cầu bán kính R Diện tích
xung quanh hình trụ
A 2R2 B R2 C 2R2 D R2
Câu 10. Một hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a nội tiếp
hình trụ Tính diện tích tồn phần (Kí hiệu Stp) hình trụ
A Stp =6a2 B Stp =3a2
C Stp =a2(1 2+ ) D ( )
2
1 2
tp a S
+
=
Câu 11. Cho lăng trụ lục giác ABCDEF có cạnh đáy a Các mặt bên hình chữ nhật có diện
tích
2a . Thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ
A 2a3 B 4a3 C 6a3 D 8a3
Câu 12. Cho hình trụ có hai đường trịn đáy ( )O , ( )O Một khối nón có đỉnh O đáy
hình trịn ( )O tích
a Tính thể tích V khối trụ cho
A V = 2a3 B V =3a3 C V =4a3 D V =6a3
Câu 13. Một hình tứ diện ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC
và có chiều cao chiều cao hình tứ diện Tính diện tích xung quanh hình trụ
A
3
a
B
2
2
a
C
2
2
a
D
2
3
a
Câu 14. Cho hình nón có góc đỉnh 90o bán kính đáy Khối trụ ( )H có đáy
(40)A V( )H =18 B V( )H =6 C V( )H =9 D V( )H =3
Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC A B C có cạnh bên AA =2a Tam giác ABC vng A có
. Thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ
A B C D
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.D 3 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A
11.B 12.B 13.B 14.C 15.A
2
BC = a