Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn - THCS.TOANMATH.com

Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau sẽ minh họa điều này.. Sử dụng quy tắc nhân với một số giải các bất phương trình s[r]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A BÀI GIẢNG

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa: Bất phương trình dạng:

0, 0, 0,

ax b  ax b  ax b  ax b  ,

Với a b hai số cho a0, gọi bất phương trình bậc ẩn HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a.Quy tắc chuyển vế

Với bất đẳng thức, ta biến đổi:

0

a b c      a b c chuyển vế đổi dấu

Và với bất phương trình có quy tắc vậy, cụ thể:

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử

Sử dụng quy tắc trên, bước đầu giải vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau minh họa điều

Ví dụ Sử dụng quy tắc chuyển vế giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a x  b x 2x2

Giải a Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình dạng:

3 4

x      x x

Vậy, bất phương trình có nghiệm x1 ta có biểu diễn:

b Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình dạng:

3x2x 2 3x2x    2 x

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2 ta có biểu diễn:

Ví dụ Giải bất phương trình sau:

12 21

a x  b 2 x  3x

Giải a Ta có biến đổi: x12 21  x 21 12  x Vậy, bất phương trình có nghiệm x9

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 5

b Quy tắc nhân với số

Với bất đẳng thức, ta biến đổi:

2a4b   2 2b  1 nhân hai vế với

2 (hoặc chia hai vế cho 0 )

3a a

     nhân hai vế với

  (hoặc chia hai vế cho  3 0)

Và với bất phương trình có quy tắc vậy, cụ thể:

Quy tắc nhân với số: Khi nhân (hoặc chia) hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải:

1 Giữ nguyên chiều bất phương tình số dương Đổi chiều bất phương trình số âm

Sử dụng quy tắc trên, bước đầu giải vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau minh họa điều

Ví dụ Sử dụng quy tắc nhân với số giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a x 

2 b  x 

Giải

a Sử dụng quy tắc nhân với số, biến đổi phương trình dạng:

3x    6 x

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2 ta có biểu diễn:

b Sử dụng quy tắc nhân với số, biến đổi phương trình dạng:

1

2

2x x

    

Vậy, bất phương trình có nghiệm x4 ta có biểu diễn:

Ví dụ Giải bất phương trình sau:

24

a x b 3 x27

Giải a Ta có biến đổi:

2x24 x 12

b Ta có biến đổi:

3x 27 x

    

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 9

Chú ý: Tiếp theo, minh họa việc sử dụng đồng thời hau quy tắc biến đổi bất phương trình để bước đầu làm quen với việc giải bất phương trình

Ví dụ Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để giải bất phương trình sau:

a x x  b x 22x x 24

Giải

a Sử dụng quy tắc, biến đổi bất phương trình dạng:

3x x  8 2x  8 x

Vậy, bất phương trình có nghiệm x4

b Sử dụng quy tắc, biến đổi bất phương trình dạng: 22  2 4 22  2    4 2

x x x x x x x

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2

Nhận xét:

1 Trong lời giải bất phương trình trên, thừa nhận kết “Từ bất phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta ln nhận bất phương trình tương đương với bất phương trình cho”

2 Cũng nhờ quy tắc mà việc chứng minh bất đẳng thức đơn giản nhiều – Điều gặp lại chủ đề chuyên sâu bất đẳng thức cuối chương

3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bất phương trình bậc ẩn dạng:

0, ax b  a

Được giải sau: ax b  0 ax b

 Với a0, ta x b a  

 Với a0, ta x b a  

Ví dụ Giải bất phương trình   4x biểu diễn tập nghiệm trục số Giải

Ta có biến đổi:

4x 4x x

        

B BÀI TẬP MINH HỌA

Dạng 1: Điều kiện để bất phương trình bất phương trình bậc ẩn

Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn:

2

( )

a m  m x mx  b mx (m1)y 4

Giải

a Để bất phương trình (m22 )m x2mx 3 0 bất phương trình bậc ẩn khi:

2 2 0 ( 2) 0 0 hc 2

2

0

0

m m m m

m m

m

m m

m

   

      

    

  



Vậy, với m2 bất phương trình cho bất phương trình bậc ẩn x

b Để bất phương trình mx(m1)y 4 bất phương trình bậc ẩn có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nó bất phương trình bậc ẩn x khi:

0

1

1

m m

m

m m

 

   

    

 

Trường hợp 2: Nó bất phương trình bậc ẩn y khi:

0

0

1

m m

m

m m

 

   

    

 

Kết luận:

 Với m1 bất phương trình cho bất phương trình bậc ẩn x  Với m0 bất phương trình cho bất phương trình bậc ẩn y Dạng 2: Giải bất phương trình bậc ẩn

Ví dụ Giải phương trình (theo quy tắc chuyển vế):

a x  b x 2x  2x

c  x  x d 8x 2 7x1

Giải a Ta có:

5 3

x      x x

Vậy, nghiệm bất phương trình x8

b Ta có:

2 2 4

x x    x x x x  x

Vậy, nghiệm bất phương trình x4

c Ta có:

3x 4x 3x 4x x

         

Vậy, nghiệm bất phương trình x2

d Ta có:

Vậy, nghiệm bất phương trình x 3

Ví dụ Giải phương trình (theo quy tắc nhân):

0,3 0,6

a x b - 4x12 c  x d 1,5x 9

Giải

a Ta có: 0,3 0,6 0,3 0,6 0,

0,3 0,3 0,3

x  x   x  x

Vậy, nghiệm bất phương tình x2

b Ta có: 12 ( ) 12

4

x x     x

         

   

Vậy, nghiệm bất phương tình x 3 c Ta có:    x ( x)( 1) 4.( 1)     x

Vậy, nghiệm bất phương tình x 4

d Ta có: 1,5 1,5 ( 9)

1,5 1,5

x   x     x

Vậy, nghiệm bất phương tình x 6

Ví dụ Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a x  b x  4

c  x d 2 x0

Giải a Ta có biến đổi:

3

2 3

2 x   x  x

Vậy, nghiệm bất phương trình

2

x ta có biểu diễn

b Ta có biến đổi:

4

3 4

3 x   x    x

Vậy, nghiệm bất phương trình

3

x  ta có biểu diễn

c Ta có biến đổi:

4

4 3

3

x x x

     

Vậy, nghiệm bất phương trình

3

d Ta có biến đổi:

5

5 2

2

x x x

     

Vậy, nghiệm bất phương trình

2

x ta có biểu diễn

Ví dụ Giải bất phương trình:

2

(m 1)x m  1, với m tham số

Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trình dạng ax b đánh giá dấu a Giải

Biến đổi tương đương bất phương trình dạng:

2

(m 1)x m 1 (*)

Vì m21 ln dương với m nên chia hai vế bất phương trình (*) cho m21 chiều bất phương trình khơng thay đổi, cụ thể ta được:

4 2

2

2

1 ( 1)( 1) 1 1

1

m m m

x m x m

m m

  

      

 

Vậy, bất phương trình có nghiệm x m 21 Ví dụ Cho bất phương trình:

2

(m 2 )m x 1 m

Giải bất phương trình trường hợp sau:

a m b m 2 c m 3 d m 0

Giải a Với m1, bất phương trình có dạng:

2

(1 2.1)x      1 x x

Vậy, với m1 bất phương trình có nghiệm x0 b Với m2, bất phương trình có dạng:

2

(2 2.2)x  1 0x1, ln

Vậy, với m2 bất phương trình nghiệm với x c Với m3, bất phương trình có dạng:

2

(3 2.3) 3

3

x x x

      

Vậy, với m3 bất phương trình có nghiệm

3 x

d Với m0, bất phương trình có dạng:

0.x   1 0, mâu thuẫn

Ví dụ Kiểm tra xem giá trị x 2 có nghiệm bất phương trình sau khơng?

2 4

a x x  x  x   x  x  x  ( 0, 001) 0,003

b  x

Giải a Ta có:

2 4

2

x x  x  x   x  x  x 

5

x x

      

Vậy x 2 nghiệm bất phương trình b Ta có:

( 0,001) x0, 003  x

Vậy x 2 khơng phải nghiệm bất phương trình Ví dụ Đố: Tìm sai lầm lời giải sau:

a Giải bất phương trình 2x23 Ta có: 2x23 x 23 2  x 25

b Giải bất phương trình 12 7x

 

Ta có: 12 12 28

7x 7x x

     

          

     

Giải a Phép tương đương: 2x23 x 23 2 sai Ta sửa lại sau:

1 23

2 23 23

2 2

x x    x

         

   

b Phép tương đương 12 12

7x 7x

     

        

      sai

Ta sửa lại sau:

3 7

12 12 28

7x 7x x

     

          

     

Ví dụ Tìm x cho:

a Giá trị biểu thức 2x5 không âm

b Giá trị biểu thức 3x không lớn giá trị biểu thức  7x Giải

a Theo đề ta có:

5

2

Vậy với

2

x thỏa mãn điều kiện đầu

b Theo đề ta có:

5

3 5

4

x x x x

       

Vậy với

4

x thỏa mãn điều kiện đầu

Ví dụ Tìm x để A0, biết x A  

Giải Trước tiên ta rút gọn biểu thức A:

2 2

1

2 2

x x x

A       

Để A0, ta phải có:

2 0 2 1 0 2 1

2

x x x x

            

Vậy, với

2

x  thỏa mãn điều kiện đầu

Chú ý: Ta giải trực tiếp, cụ thể:

2 3

0 1

2

x x

A         x 

1

2

2

x x

     

Ví dụ 10 Một người có số tiền khơng 70 000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá 2000 đồng loại 5000 đồng Hỏi người có tờ giấy bạc loại 5000 đồng?

Giải

Gọi x số tờ giấy bạc loại 5000 đồng (0 x 15, đơn vị: tờ) Do đó, số giấy bạc loại 2000 đồng là: 15 x (tờ)

Theo đề bài, ta có bất phương trình:

40

5000 (15 ).2000 70000 3000 40000 13,3

3

x x   x  x  x

Vì x nguyên dương, nên x nhận giá trị từ đến 13

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1:Hãy xét xem bất phương trình sau có bất phương trình bậc ẩn hay khơng?

a) 0x 8 0; b) x 6 0; c) 0;

3x d)

2

4

x  

e) 3x  3 0; f) 0;

4 2x   g)

2 0;

x  h)

7

0

x  



Bài 2: Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m:

a) (m23)x 1 0; b) m2 m 4x 2m3

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

a) 2x 8 0; b) 3 x0; c) 1; 3x

  d)

2

x x

x

    

Bài 4: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số

a) 2 17

3

    

x x

x b) 4

3 12

      

x x x x

Bài 5: Giải bất phương trình

a)x23x 1 2(x 1) x(3x)

b)(x1)2x2(x1)2x22

c) (x21)(x 6) (x2)3

Bài 6: Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số

a) 3

2 15

x  x  x   x

b) 2 5 

3

x x

x   x     x

   

c)

3

x   x  x

d)

5

x    x x x

e)  

2

5 3 5

5

x x

x   x   

f) 2 1 

3

x x

x  x x    x

   

g) 2 3

2

x

x    x

h)

6x x x3

Bài 7: Giải bất phương trình sau:

a)

6

x x  x x

b) 2

1007 1008 2017 2015 x  x  x  x

Bài 8: Giải bất phương trình ẩn x sau:

a) 2004 2005 2006 2007

2005 2006 2007 2008

x x x x

b)

2002 2000 2001 1999 x x x x

c) x ab x bc x ac a b c, (a, b, c >0)

a b  b c  a c   

Bài 9: Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số

a) 1

6

x x

    ` b) 1

3 x

x     x

Bài 10: Cho biểu thức 2 :1 22

1 1

x x

A

x x x x

 

 

   

   

 

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A b) Tìm x để A 0

Bài 11: Một người có số tiền không 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại 2000 đồng loại 5000 đồng Hỏi người có tờ giấy bạc loại 5000 đồng?

Bài 12: Một người quãng đường dài 18 km khoảng thời gian khơng nhiều Lúc đầu người với vận tốc km/h, sau với vận tốc km/h Xác định độ dài đoạn đường mà người với vận tốc km/h

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1:a) Không, hệ số ẩn x

b) Có c) Có

d) Khơng, x2 ẩn bậc hai chữ bậc

e) Khơng, ẩn x nằm dấu giá trị tuyệt đối f) Khơng, dấu "=" thể phương trình h) Khơng, ẩn x nằm mẫu số

h) Có

Bài 2: ta hệ số a 0

a) m2     3 m b)  

2

2 4 15 0

2

m m m   m           

 

 

 



Bài 3: a) 2x  8 2x  8 x b) 3 x      0 3x x

c) 1 12

3x 3x x

d) 5

2 6

x x x

x x

          

Bài 4: a) 2 17

3

    

x x x 2 2 6.2 3 17

6

   

 x x  x 2x 4 6x 12 3x51

4 16 51

  x  x   4x 3x  51 16   7x 35 x

Vậy tập nghiệm bất phương trình Sx x| 5 biểu diễn trục số sau:

b) 4

3 12

      

x x x x 2 1 3 4 3 1  4

12 12

     

 x x  x x

8 12

 x  x  x  x 5x16 5 x65x5x 6 160x 10 x

Vậy bất phương trình vơ nghiệm biểu diễn trục số sau:

Bài 5: a)x23x 1 2(x 1) x(3 x) x23x 1 2x 2 3x x

3

2

2

x x

      Tập nghiệm BPT | Sx x 

 

b)(x1)2   x2 (x 1)2  x 22 2x2  2x 2x2 6x

2

x x

      Tập

nghiệm BPT | S x x  

 

c) (x2 1)(x  6) (x 2)3 x36x2  x 6 x36x2 12x8

2

11

11

x x

     

Tập nghiệm BPT | 11 S x x 

 

Bài 6:

a) 3

2 15

x  x  x   x

       

15 10

30 30 30 30

x x  x  x

   

15x 15 14x 20x 10 18 12x

21 28 49

x x x x

          Vậy S x x 7 

b)  

2 5 3

2

3

x x

x  x     x

   

 

2

2

3

x x

x x   x

   

   

       

20 15 10 12

60 60

x x x x x

       

 

2

40 20 30 45 50 30 48 12

60 60

x x x x x

       

 

2 13

30 40 25 30 12 38 13

38

x x x x x x

            Vậy 13

38 S x x 

 

c)

3

x   x  x 4 2 12. 3 5 

12 12

x   x  x

 

16x 12x 36 15x

      28 15 19 25 25

19

x x x x 

        

Vậy 25

19 S x x  

 

d)

5

x    x x x 6. 4 30. 5 10. 3 15. 2

30 30

x   x x   x

 

6x 24 30x 150 10x 30 15x 30

       

186

24 126 60 19 186

19

x x x x 

           Vậy 186

19 S x x 

 

e) 3 2 3

5

x x

x   x   

     

4 5 10 5.20

20 20

x   x x x  

 

2

20 12 15 20 30 100

20 20

x   x x  x

 

2

20x 15x 17 20x 30x 100

      15 83 15 83 83

15

x x x

       

Vậy 83

15 S x x 

f) 2 1 

3

x x

x  x x    x

   

2

5 2

3

x x x x x x

    

   

     2

4 3.5

12 12

x x x x x x

      

   20x 8 12x2   6x 4x 12x215x

8

26 11 37 37

37

x x x x x

            Vậy

37 S x x 

 

g) 2

2

x

x    x 10.2 2 1 10

10 10

x  x  x 

  20x10x  5 30x2 0x 7

( vô lý) x Vậy S 

h) 3

6x x x3

x    

6 18 18 0 18

6

x x x x x x x

         x Vậy S 

Bài 7:

a) Cộng thêm phân thức, ta có: 8 8

6

x x  x  x

Từ tìm x 8

b) BPT tương đương: 2 2

2014 2016 2017 2015 x  x  x  x

Cộng thêm 1 phân thức, ta được: (2 2018) 1 1 2014 2016 2017 2015

x     

 

Từ tìm x 1009

Bài 8: a) 2004 2005 2006 2007

2005 2006 2007 2008

x x x x

2004 1 2005 1 2006 1 2007 1

2005 2006 2007 2008

x  x  x x 

       

1 1 1 0

2005 2006 2007 2008

x x x x

    

1 1

(x 1)2005 2006 2007 2008

      

1 1

1 0(do 0)

2005 2006 2007 2008 x

      

1 x  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 b)

2

2 1 1 1 1

2002 2000 2001 1999

x x x x

       

2004 2004 2004 2004

2002 2000 2001 1999

x x x x

   

 2004 1 1

2002 2000 2001 1999

x  

      



1 1

2004 ( 0) 2004

2002 2000 2001 1999

x x

        

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 2004 c)

) x ab x bc x ac , (a, b, c >0) c a b  b c  a c   a b c

0

x ab c x bc a x ac b

a b b c a c

      

  

0 x ab ac bc x bc ab ac x ac bc ab

a b b c a c

        

   

  

1 1

(x ab ac bc)a b b c a c

          

 

1 1

0,(do a, b, c >0 0)

x ab ac bc

a b b c a c

        

  

x ab ac bc    

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ab ac bc  

Bài 9: a) 1

6

x x

    1 3 2 1 6 1 3 6 6

6

x

x  x x

           

6 2x 6 2x

            

1 13

13 2x 13 2x 2 x 2

            Vậy 13

2

S x  x 

 

b) 1 1 2 4

3 x

x     x 

TH: 1

3 x

x    3 1 3

3

x x

x x x

  

        

TH 2: 1

3

x   x 3 2 4

3

x

x  

  2x 4 6x  12 4x     16 x

Vậy    4 x Tập nghiệm Sx    4 x 1

a) Điều kiện 1

1

x x

x x

    

     





Ta có 2 :1 22

1 1

x x

A

x x x x

 

 

   

   

 

2

1

:

1 (1 )( 1)

x x

A

x x x x x

   

   

    

 

1 2(1 )

:

(1 )(1 ) ( 1)(1 ) (1 )( 1) (1 )(1 )

x x x x

A

x x x x x x x x

     

   

       

 

1 2 (1 )(1 )

(1 )(1 )

x x x x x

A

x x x

        

 

  

 

2 (1 )(1 )

(1 )(1 ) 2

x x

A

x x x x

     

  

   

 

b) Để A 0 2x



 

 2x 1 0 

1 x

  (nhận)

Vậy

2

x A 0

Bài 11: Gọi số tờ giấy bạc loại 5000 đồng x ĐK : x*,x15.

Theo ta có bất phương trình:

15 2000 5000 x  x 70000

15 . 70 40

x x x

     

Mà x*,x15x số nguyên từ đến 13

Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đồng số nguyên từ đến 13

Bài 12: Gọi quãng đường mà người với vận tốc 5km/h x (km) ĐK : 0 x 18

Theo ta có bất phương trình : 18 4

5

x x  4x 90 5x80 x 10

Mà 0 x 1810 x 18.