là nghiệm của (*) Người ta sử sụng cách giải các phương trình tích để giải các phương trình bậc cao (bậc 2 trở lên) dạng A(x) = 0 mà đa thức vế trái A(x) có thể phân tích được thành nhân[r]
(1)Phần Lý Thuyết
Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
TIẾT PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 1 Phương trình ẩn
- Hai biểu thức biến nối với dấu “=” gọi phương trình
Ví dụ: 5x2 + 4x – = x + 5
- Trong phương trình, biến gọi ẩn, biểu thức vế phương trình
- Một giá trị ẩn làm cho phương trình trở thành đẳng thức gọi là một nghiệm phương trình.
- Một phương trình có nghiệm, có nhiều nghiệm, khơng có nghiệm Nói khác đi: tập hợp S nghiệm phương trình có một phần tử, có nhiều phần tử tập rỗng (S = φ ) (vơ nghiệm).
- Giải phương trình tìm tất nghiệm
Chú ý:
*) Việc phương trình có nghiệm hay vơ nghiệm phụ thuộc vào việc ta xét giá trị ẩn tập số nào, tức phụ thuộc ta giải phương trình tập số
Ví dụ: phương trình 4x = 3: + Vơ nghiệm tập số tự nhiên N, tập số nguyên Z + Có nghiệm tập Q, R
*) Nếu khơng có ghi thêm nói giải phương trình ta hiểu giải phương trình tập số thực R
2 Phương trình tương đương
- Định nghĩa:
Hai phương trình tương đương hai phương trình có tập nghiệm
- Tính chất:
+ Tính chất 1: ta cộng số đa thức vào hai vế phương trình thì
ta phương trình tương đương với phương trình cho
+ Tính chất 2: ta nhân hai vế phương trình với số khác khơng ta
được phương trình tương đương với phương trình cho
- Hệ quả:
+ Quy tắc chuyển vế: Nếu chuyển số đa thức từ vế sang vế kia
của phương trình đổi dấu hạng tử ta phương trình tương đương
+ Quy tắc giản ước: Trong phương trình, ta nhân (hoặc chia) hai vế cho
(2)Chú ý:
+ Quan hệ tương đương hai phương trình phụ thuộc vào việc ta xét phương trình tập số
+ Trong tính chất 1, cộng hai vế phương trình với biểu thức phương trình khơng tương đương
Ví dụ: x + = (1) cộng hai vế với biểu thức phân: 7 x
x+5 ta phương trình:
x + + 7 x x+5 =
7 x
x+5 (2)
Phương trình (1) có nghiệm là: x = -
Phương trình (2) khơng thể có nghiệm x = -
+ Hai phương trình vơ nghiệm coi tương đương (S = φ ).
Kiến thức bản 1 Phương trình ẩn
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), VT VP hai biểu thức biến x
Chú ý:
+ Hệ thức x = m (m số đó) phương trình (m nghiệm nhất) + Một phương trình có nghiệm, nhiều nghiệm (vơ số nghiệm) khơng có nghiệm
2 Giải phương trình
Tập hợp nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình đó, ký hiệu S
3 Phương trình tương đương
+ Hai phương trình có tập nghiệm gọi phương trình tương đương + Để phương trình tương đương với ta dùng ký hiệu: “ ⇔ ”
TIẾT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Phương trình bậc ẩn
Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng: ax + b = a, b số; a - hệ số; b - hạng từ độc lập
Phương trình bậc ẩn ax + b = (a ¿0 ) có nghiệm x = -b/a.
(3)2 Cách giải phương trình bậc ẩn - Quy đồng khử mẫu
- Thực phép tính (mở dấu ngoặc, cộng trừ, nhân chia, rút gọn hạng tử đồng dạng )
- Chuyển vế (đưa hạng tử có ẩn vế, số vế) - Thu gọn phương trình
Kiến thức bản 1 Hai quy tắc biến đổi phương trình:
+ Quy tắc chuyển vế: phương trình ta chuyển hạng tử từ vế này
sang vế đổi dấu hạng tử
+ Quy tắc nhân với số:
Trong phương trình ta nhân hai vế cho số khác Trong phương trình ta chia hai vế cho số khác
Cách giải phương trình bậc ẩn
Phương trình ax + b = (a ¿ 0) giải sau: ax + b = ⇔ ax = - b ⇔ x = -b/a
vậy phương trình bậc ax + b = ln có nghiệm x = -b/a
Như vậy:
Bước 1: Chuyển vế ax = - b.
Bước 2: Chia hai vế cho a: x = -b/a. Bước 3: Kết luận nghiệm: S = {−b /a}
TIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX + B = 0 1 Các bước biến đổi đưa phương trình cho dạng ax + b = Bước 1: Qui đồng mẫu số trụcc mẫu (nếu có)
Bước 2: Khai triển bỏ dấu ngoặc (nếu có)
Bước 3: Áp dụng quy tắc chuyển vế đưa hạng tử chứa ẩn vế, hạng tử là số đưa vế lại
Bước 4: Thu gọn vế áp dụng quy tắc chia vế cho hệ số ẩn để có giá trị của ẩn
Bước 5: Kết luận nghiệm phương trình.
2 Phương trình bậc ẩn đặc biệt
* Phương trình dạng 0.x = b (b ¿ 0) => phương trình vơ nghiệm S = φ * Phương trình dạng 0.x = => phương trình có vơ số nghiệm S = R
(4)Phương trình tích phương trình có dạng: f(x).g(x).h(x) = (*)
Tập nghiệm phương trình hợp tập nghiệm phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) =
f(x).g(x).h(x) =
⇔
¿
[f ( x)=0 [g( x)=0 [h(x )=0
[ [¿
Mỗi nghiệm phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = nghiệm (*) Người ta sử sụng cách giải phương trình tích để giải phương trình bậc cao (bậc trở lên) dạng A(x) = mà đa thức vế trái A(x) phân tích thành nhân tử
Kiến thức bản 1 Tính chất phép nhân số
Trong tích, có thừa số tích Ngược lại tích thừa số tích
2 Phương trình tích cách giải
A(x).B(x) =
⇔
¿[A ( x)=0
[B( x)=0[¿
Muốn giải phương trình A(x).B(x) = ta giải phương trình A(x) = B(x) = lấy tất nghiệm chúng
Bước 1: Đưa phương trình dạng tổng quát A(x).B(x) = cách:
Chuyển tất hạng tử phương trình vế trái, vế phải Phân tích đa thức thu bên vế trái thành nhân tử
Bước 2: Giải phương trình A(x) = B(x) = 0 Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình.
TIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 1 Điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu
- Là tập hợp giá trị biến làm cho mẫu thức phương trình khác
2 Giải phương trình chứa ẩn mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình (các nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình)
(5)Giải biện luận phương trình: ax + b = 0
Ta có ax + b = => ax = - b
1 Nếu a ¿ => phương trình có nghiệm x= -b/a; S = {−b/a}
2 Nếu a = => phương trình có dạng 0.x = - b
* Nếu b ¿ 0 => khơng có giá trị x thỏa mãn 0.x = S = φ * Nếu b = => phương trình có dạng 0.x = => có vơ số nghiệm S = R
TIẾT GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình:
Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời (lấy nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn)
Phần Bài Tập Bài 1.1 Cho phương trình: (2x + 5)(x – 2) = 11 (1)
(x + 1)(2x - 5) = - (2)
Trong số: 1, -1, 2, - 2, 5/2, - 5/2 số nghiệm phương trình (1), số nghiệm phương trình (2)
Bài 1.2 Chứng tỏ x = 2, x = -9/2 nghiệm phương trình: x2 + 3x – = x + 4 Bài 1.3 Xét nghiệm phương trình x + = tập hợp N, Z, Q, R.
Bài 1.4 Cho phương trình: 3x – = (1) m + x = (2) a, Chứng minh x = 2/3 nghiệm (1)
b, Tìm m để phương trình (2) tương đương với phương trình (1)
Bài 1.5 Cho phương trình (2 + x).(2x – 3) = (1) x + = (2)
Phương trình (1) phương trình (2) tương đương tập hợp tập hợp N, Z, Q, R?
Bài 1.6 Cho phương trình:
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = (1) (2x + 1)(3x - 4)(x2 - 1)(4x -1) = (2) (x + 2)(4x -1)(5x +1) = (3) Chứng tỏ rằng:
(1) có nghiệm 1, 2,
(6)(3) có nghiệm -2, 1/4, -1/5
Bai 2.1 Giải phương trình sau: a 4x2 – 7x + = (x + 2)(2x – 9) b –x2 – 12x + 21 = (3 – x )(x + 11) c 9x + 5x2 + = 5x2 – 22 + 13x
Bài 2.2 Giải phương trình sau: a
7 x−2
12 +
2−x =
3 x +1 b x 4+ x 5= 5 x c 2 x−9 = 3 x−4 15 + 13 x−9 45 d
5 (x −2) −3 x+
5 x−3 = 4 x−1 e 4−x − 7( 7+x + 4−3 x )=5− 4 x
Bài 2.3 Giải phương trình sau:
a 2 x−7 3 =9 b 1−1 3+ x 1−1
1−13− 1−1
3 =8
7
Bài 2.4 Giải phương trình:
a 2 x −
2 x−3 − 3+2 x =3− x−3 − 3−2 x b 1− x 2+ x = 4 x + x +x
Bài 2.5 Giải phương trình: a x +1 − x+2 + x+4 − x+5 + x +7 10 − x+9 12 =0 b x 2004+ x +1 2005+ x+2 2006+ x +3 2007 =4
(7)b 12 – 23x = - 34x +19 c -7x + = x –
Bài 3.2 Giải phương trình sau: a (3x – 1) + 4(x -2) = 10x +1 b 7x + 5(8-3x) = -(2x +21) +15
c
x 3−
3x =1
d 2+ 2+x
5 = 2+3 x
15 −
x
Bài 4.1 Giải phương trình a (x + 1)(2x - 1)(-x +2) =
b (2x - 1)(3x + 2)(4x - 5)(x -7)= c x2 + 5x - = 0
d x2 – 6x + 11 =
Bài 4.2 Giải phương trình sau: a (x2 - 4)(x2 – 6x + 9) = 0 b x2 + 7x + 10 = 0
c 3x2 – 12x + 12 = 0
Bài 4.3 Giải phương trình sau: a (2x2 + 1)(x2 - )(x2 - 9) = 0
b (x2 + 2x + 3)(x2 - 25)(x +19) = 0
Bài 5.1 Giải phương trình sau: a
x +1 x +2=3
b
7−2 x x−1 =
1−4 x x+2
c
3−2 x x+1 =2+
1−4 x x−2
Bài 5.2 Giải phương trình sau: a
109x −4 111 x+1 −1=0
b
x2−7 x =x +
1
c (x−11)+ 3 x x−11=3+
33 x−11
(8)a
x+2 x−3+
x−2 x +3−
2( x2+6 )
x2−9 =0
b
x2−15 x+1
x+17 =x−2
c
x
x2+5 x +6= x2+3 x +1
Bài 6.1 Giải biện luận phương trình sau: a(x - 2) = 3(b – x) Bài 6.2 Tìm giá trị m để phương trình sau vô nghiệm: a
x+1 m−x=
x+4 x−2
b 1+ 2 x+1
x +m = 3 x−5
x−1
Bài 6.3 Xác định m, n để phương trình sau có vơ số nghiệm:
m(x - 1) + n(2x + 5) = + 2x với m, n tham số
Bài 7.1 Tử số phân số lớn mẫu số đơn vị Nếu giảm tử mẫu đơn vị phân số 2/3 Tìm phân số ban đầu? (-7/-12)
Bài 7.2 Lúc sáng, xe máy khởi hành từ A đến B Sau giờ, ơtơ xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy 20km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 30 phút sáng ngày Tính độ dài quãng đường AB vận tốc trung bình xe (SAB = 175km, vxm = 50km/h, vôtô = 70km/h)
Bài 7.3 Một canơ xi dịng đoạn 9km quay trở ngược dịng sơng, đến một địa điểm cách chỗ xuất phát ban đầu 1km dừng lại Vận tốc dòng nước 2km/h Thời gin xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút Tìm vận tốc canơ nước đứng yên? (10km/h)
Bài 7.4 Một đơn vị đội tham gia đắp đoạn đê số ngày quy định Nếu mỗi ngày họ đắp 50 mét đê họ hồn thành cơng việc sớm thịi gian quy định ngày Nếu họ đắp ngày 35 mét đê họ phải hồn thành công việc chậm ngày so với quy định Tính chiều dài đoạn đê mà họ phải đắp? (350 mét)
Bài 7.5 Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng mét, diện tích hình chữ nhật là 6m2 Tính kích thước hình chữ nhật đó? (1m 6m)
(9)Bài 7.7 Năm nay, tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Phương tính 13 năm tuổi mẹ cịn gấp lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi? (13 tuổi)
Bài 7.8 An Bình hai anh em ruột Sau năm tuổi An gấp đơi số tuổi hiện nay, cịn sau năm tuổi Bình gấp lần số tuổi năm trước Biết An Bình có tháng sinh giống Tìm quan hệ An Bình? (Hai anh em sinh đơi)
MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG III
Bài Giải phương trình sau:
x 2000+
x+1 2001 +
x+2 2002 +
x +3 2003 +
x +4 2004=5
Bài Giải phương trình sau: a 2x3 + 9x2 + 7x - = 0 b (1 – 3x)2 = (5x + 2)2 c x2 – 6x + 17 = 0
Bài Giải phương trình sau: a
x x2+5 x +6=
x x2+3 x +2
b
x2+6 x −16 x−2 =x +8
Bài Giải phương trình sau: a
x +3 x +2−
x+4 x +3=
x+5 x +4−
x+6 x+5
b
x+1 x−2−
12
x2−4=
x +7 x +2
Bài Giải phương trình:
1
x2+5 x + 4+
1
x2+11 x +28+
1
x2+17 x +70+
1
x2+23 x +130= 13
Bài Một bể chứa nước có hai vịi nước chảy vào bể Nếu mở hai vòi lúc thì phải 12 đầy bể Người ta mở hai vịi chung lúc sau giờ, người ta khóa vịi thứ lại vịi thứ hai phẩi chảy đầy bể hỏi chảy vòi phải chảy đầy bể? (28 21 giờ)
(10)Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phần Lý Thuyết
TIẾT LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG 1 Bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a < b hay a > b hay a ¿ b hay a ¿ b bất đẳng thức
Gọi a vế trái, b vế phải
Giữa hai số thự a b xảy ba trường hợp: a > b, a < b, a = b
2 Liên hệ thứ tự phép cộng Với ba số a, b, c ta có:
- Nếu a < b a + c < b + c - Nếu a > b a + c > b + c - Nếu a ¿ b a + c ¿ b + c
- Nếu a ¿ b a + c ¿ b + c
TIẾT LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN 1 Liên hệ thứ tự phép nhân với số dương
Tính chất: với ba số a, b, c c > ta có: + Nếu a < b ac < bc
+ Nếu a > b ac > bc + Nếu a ¿ b ac ¿ bc
+ Nếu a ¿ b ac ¿ bc
=> Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho
2 Liên hệ thứ tự phép nhân với số âm Tính chất: với ba số a, b, c c < ta có:
+ Nếu a < b ac > bc + Nếu a > b ac < bc + Nếu a ¿ b ac ¿ bc
+ Nếu a ¿ b ac ¿ bc
=> Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức ngượcchiều với bất đẳng thức cho
3 Tính chất bắc cầu thứ tự Với ba số a, b, c ta có:
+ Nếu a < b b < c a < c
+ Nếu a ¿ b b ¿ c a ¿ c
+ Nếu a > b b > c a > c
+ Nếu a ¿ b b ¿ c a ¿ c
(11)1 Khái niệm
Giả sử A(x) B(x) hai biểu thức chứa biến x
Ta gọi A(x) > B(x) A(x) < B(x) bất phương trình
Quá trình tìm giá trị x để trình giải bất phương trình Biến x gọi ẩn phương trình
Mỗi biểu thức gọi vế phương trình
2 Tập nghiệm bất phương trình
Tập hợp tất nghiệm bất phương trình gọi tập nghiệm phương trình
Giải bất phương trình tìm tập nghiệm bất phương trình
(Để dễ hình dung, người ta biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số)
3 Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình tương đương hai bất phương trình có tập nghiệm Dùng kí hiệu ⇔ để tương đương
TIẾT BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Định nghĩa
Mỗi bất phương trình có dạng ax + b < 0, ax + b ¿0 , ax + b > ax + b ¿0
Trong a, b hệ số cho a khác gọi bất phương trình bậc ẩn
2 Qui tắc biến đổi bất phương trình
a Quy tắc chuyển vế: chuyển hạng tử BPT từ vế sang vế ta phải
đổi dấu hạng tử
b Quy tắc nhân với số: nhân hai vế bất phương trình với một
số khác ta phải:
+ Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương + Đổi chiều bất phương trình số âm
Thực quy tắc biến đổi BPT BPT ta BPT tương đương với bất phương trình cho.
TIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Nhắc lại giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu |a| định nghĩa sau: |a| = a a ¿0
|a| = -a nếu a <
2 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
(12)Bước 1: Áp dụng định nghĩa để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Giải bất phương trình khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp để kết luận nghiệm
TIẾt ĐỊNH LÝ VỀ DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT - ỨNG DỤNG 1 Định lý dấu nhị thức bậc nhất
a, Nhị thức bậc nhất:
- Nhị thức bậc biến x biểu thức đại số có dạng: f(x) = ax + b (a ¿0 )
- Ứng với giá trị biến x, nhị thức nhận giá trị định
- Ứng với giá trị x = -b/a f(x) = ax + b = Giá trị x = -b/a nghiệm nhị thức
b, Định lý dấu nhị thức
Ta viết nhị thức bậc dạng: f(x) = ax + b = a(x + b/a)
- Với giá trị biến x mà > -b/a x + b/a > 0, giá trị tương ứng nhị thức có dấu phụ thuộc vào dấu hệ số a
+ Nếu a > f(x) > + Nếu a < f(x) <
- Với giá trị biến x < -b/a x + b/a < 0, giá trị tương ứng nhị thức có dấu ngược dấu hệ số a
+ Nếu a > f(x) < + Nếu a < f(x) >
(*) Định lý: Nhị thức bậc f(x) = ax + b có dấu với hệ số a với giá trị của
x lớn ngiệm nhị thức trái dấu với hệ số a với giá trị nhỏ nghiệm của nhị thức.
x −b
a
f(x) = ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a
2 Ứng dụng định lý dấu nhị thức bậc nhất - Xét dấu biểu thức viết dạng tích, thương:
F(x) = f(x).g(x) h(x)
G(x) =
f ( x) g(x )
- Giải bất phương trình tích:
f(x).g(x) h(x) > f(x).g(x) h(x) <
- Giải bất phương trình thương:
f ( x)
g (x )>0 f ( x) g (x )<0
(13)a h(x) = (x + 1).(2x – 2).(4x – 3) b f(x) = (x -
3 )(5x – 2)(6x - 7)(4x + 2)
c f (x )=
(x+1).(1−3 x)
5x −2 d g( x )=
(5−x ).(2 x−2 ) 3 x+7
Bài Giải bất phương trình sau: a x2 + 5x + < 0
b – x2 + 9x – 20 > 0 c x2 – 7x + 12 > 0 d – x2 + 7x – < 0
Bài Giải bất phương trình tích sau: a (3x + 6)(x - 5) <
b (- x + 3)(2x + 4) >
c (4x - 1)(3 – 3x)(5x + 3) < d (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) >
Bài Giải bất phương trình thương sau: a
x ( x+1 ) x−3 >0
b
(3 x−2).( x+1 )
x+3 >0
c
(4 x−1).( x +1 ) 2 x−1 <0
d
(2 x−1).( x+1)( x+2 )
x−1 <0
Bài Giải bất phương trình sau: a
1 1+x>
1 2−2 x
b
1
x−2−
4
x2−4<
c 1+2 x+
2 1+x>
3 2−2 x
Bài Giải phương trình sau: a |x + 1| =
b | 3x + 2| = - 2010 c |3x + 5| = - 2x d |4x + 7| + |2x + 9| =