Chuyen de Bat Phuong trinh

Bất phơng trình Giải bất ph ơng trình không chứa tham số Muốn giải một bất phơng trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a Đa vế trái của bất phơng trình vế phải của bất phơ

Bất phơng trình

Giải bất ph ơng trình không chứa tham số

Muốn giải một bất phơng trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách:

a) Đa vế trái của bất phơng trình (vế phải của bất phơng trình là 0) về dạng tích, thơng của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tơng tự nh ở mụcI)

b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tơng tự nh ở mục I) để đa về bất phơng trình bậc hai quen thuộc

Ví dụ 1: Giải các bất phơng trình sau

)9 5

2

x

+ p

b x) 5 6

x

Giải:

)

BPT

Xét 2x2 − 9x+ 10 0 2; 5

2

2x= ⇔ = 0 x 0

Ta có bảng xét dấu :

2

5

2

x

x

x x

Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: (0; 2) ( ;5 )

2

)

b BPT x2 6x 5 0

x

⇔ p (**)

Xét x2 − 6x+ = ⇔ = 5 0 x 1;x= 5

Mẫu x= ⇔ = 0 x 0

Ta có bảng xét dấu:

2

x

x

x x

VT

Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt (**) là x∈ −∞ ( ;0) (1;5) ∪

x4 − 8x3 − 3x2 + 32x− ≥ 4 0

ớng dẫn :

Phân tích vế trái BPT đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2

Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý

Ta có: x4 − 8x3 − 3x2 + 32x− = 4 x4 − 4x2 − 8x3 + 32x x+ − 2 4

=x x2( 2 − − 4) (8x x2 − + 4) (x2 − = 4) (x2 − 4) (x2 − + 8x 1)

Cách 2:Xét nghiệm của đa thức g x( ) =x4 − 8x3 − 3x2 + 32x− 4, nếu có nghiệm hữu tỷ x p p

q

ớc (kể cả âm ) của 4; q là ớc của 1 ⇒nghiệm hữ tỷ nếu có của g x( ) chỉ có thể là ± ± 2; 4 Dùng lợc đồ Hoocne ta thấy x= ± 2, và khi đó chia g x( ) cho (x− 2) (x+ 2) ta đợc

g x = −x x+ x − +x

Cách 3: Dùng phơng pháp hệ số bất định VD3 −T11, ta cũng đa đợc g x( ) =(x2 − 4) (x2 − + 8x 1)

Vậy BPT ⇔(x2 − 4) (x2 − + 8x 1) ≥ 0

Ta có bảng xét dấu:

2

2

x

x

x x

VTBPT

Vậy nghiệm của BPT x: ∈ −∞ − ∪ −( ; 2] 4 15; 2   ∪ +4 15;+∞)

Ví dụ2: Giải bất phơng trình

(x+ 3) 4 + + (x 5) 4 ≥ 4 (1)

Giải:

2

t = +x + = + ⇒ = −x x t

(1)

⇒ trở thành: ( ) (4 )4

t− + +t ≥

⇔ +t4 6t2 − ≥ 1 0

2

2

3 10

t

φ

⇔ 

≥ − +



x

x



⇔



Vậy nghiệm của bpt đã cho là x≤ − − 4 10 3; − x≥ − + 4 10 3 +

Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau

2x4 − 21x3 + 74x2 − 105x+ 50 0 p (2)

Giải:

Thấy x= 0 không thoả mãn BPT(2) ⇒x2 f 0, chia hai vế BPT(2) cho

2

đặt t x 5

x

= + ⇒ BPT trở thành

2

2(t − 10) 21 − t+ 74 0 p 2 9

2

Vậy ta có

2 5 6

x x x

x





 +



p

p

(0; 2) ( ; )

2 ( ;0) (1;5)

x





 ∈ −∞ ∪



2

x

Kết luận nghiệm của BPT là (1; 2) ( ;5)5

2

x∈ ∪

Ví dụ 4: Giải bất phơng trình sau x4 f 14x2 − 24x+ 8 (4)

Giải:

Xét f x( ) =(14 2 + m x) 2 − 24x+ + 8 m2

2

2

Chọn m sao cho: 14 2'f 0 0

m

∆ =



⇒

 f chọn m= 1

Khi đó (4')trở thành: ( 2 )2 ( )2

x + f x−

2

2

2

x

x x

≠





≠





f f f

f

Vậy nghiệm của BPT đã cho là: x∈ −∞ − −( ; 2 6) (∪ − + 2 6; 2)∪(2; +∞)

a x3 4 + 6a x2 2 − +x 9a+ ≥ 3 0 (4'')

H

ớng dẫn :

* Nếu a= ⇒ 0 (4'') ⇔ ≤x 3

*Nếu a f 0, nhân hai vế của (4'')với a⇒ (4'') ⇔a x4 4 + 6a x3 2 − +ax 9a2 + 3a≥ 0

Đặt t ax= ⇒BPT trở thành: t4 + 6at2 − +t 9a2 + 3a≥ 0

⇔ 9a2 + 3 2( t2 + 1)a t+ − ≥ 4 t 0 (4''')

Xét ( 2 )2 ( 4 )

9 4t 4 1t 9 2t 1

= + + = + , vậy VT(4''') có hai nghiệm đối với ẩn a là:

;

a= + + a= − +

−

1

⇒ Thay t ax= , ta có (4''') trở thành: (ax2 − +x 3) (a x2 2 +ax+ 3a+ ≥ 1) 0

Mặt khác ta có (a x2 2 +ax+ 3a+ 1) f 0 ∀x ⇒ (4'') ⇔ax2 − + ≥x 3 0

*0 1 (4'') 1 1 12 ; 1 1 12

* 1 (4'')

12

II.Bất phơng trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của

bất phơng trình

Cơ sở lý thuyết:

*ax2 + +bx cf 0 (a≠ 0) vô nghiệm ⇔ax2 + + ≤ ∀ ∈bx c 0, x R

⇔ a∆ ≤00

 p

*ax2 + +bx cp 0 (a≠ 0) vô nghiệm ⇔ax2 + + ≥ ∀ ∈bx c 0, x R

⇔ a∆ ≤00

 f

*Cho bất phơng trình: ax2 + +bx cf 0 (1) Điều kiện cần và đủ để BPT(1) đợc thoả mãn với

x E

∀ ∈ là: E⊂ X, với X là tập nghiệm của BPT(1),( Tập E cho trớc có thể là:

(α ; +∞); ;[α +∞ −∞) (; ; α α β) (; ; ) )

Ví dụ1: Cho tam thức:

f x( ) =(m− 1)x2 − 2(m+ 1)x+ 2m− 1

Xác định m sao cho:

)

a Bất phơng trình f x( ) 0 p vô nghiệm;

)

b Bất phơng trình f x( ) 0 ≥ có nghiệm

Giải:

1

4

a m= f x p ⇔ − +x p ⇔xf

Vậy m= 1 không thoả mãn đều kiện bài toán

( ) 0

f x p vô nghiệm ⇔ f x( ) 0, ≥ ∀ ∈x R

' 0 2 5 0 5

m



−

)

b Để xác định m sao cho bất phơng trình f x( ) 0 ≥ có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định m

sao cho f x( ) 0 ≥ vô nghiệm''

* 1: ( ) 0 4 1 0 1

4

m= f x ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤x x

Vậy m= 1 không thích hợp

*m≠ 1:Ta có:

( ) 0

f x ≥ vônghiệm⇔ f x( ) 0, p ∀ ∈x R

' 2 5 0 0

m



−

p

Tóm lại, điều kiện để f x( ) 0 ≥ vô nghiệm là mp 0

Vậy, điều kiện để f x( ) 0 ≥ có nghiệm là m≥ 0

Bài tập t ơng tự : Với những giá trị nào của m thì :

1 3 22 5 6,

x mx

x R

x x

− +

H

ớng dẫn:

Để ý thấy 2x2 − +x 1 0 f do ∆ = −a=2 09 0fp

Vậy (1) ⇔ 2x2 − +x 1 3 p x2 −mx+ ≤ 5 6 2( x2 − +x 1)

2 2

(1')





f

Hệ (1')có nghiệm với 1 0,9 0, f 00

g

x R  ∆



f

Đáp số: 0 ≤mp 5

Ví dụ 2:Cho bất phơng trình:mx2 − + + 3x m 4 0 p (2) )

a Tìm m để bất phơng trình (2) đợc thoả mãn với ∀xf 0

)

b Tìm m để bất phơng trình (1) có nghiệm x f 0

Giải:

)

a Cách giải1: Phơng pháp tam thức bậc hai.

Gọi X là tập nghiệm của BPT(1).Ta tìm m: 0;( +∞ ⊂) X (*)

+m f 0 không thích hợp

3

3

 , không thoả mãn (*)

+mp 0:∆ = − 9 4m m( + = − 4) (2m− 1 2) ( m+ 9)

Xét dấu ∆ và a:

1

0 9

0 2

a

∆





p p

0

m

a

−

P

0 9

0 2

a

∆ ≥





p

p

(*) ⇔x ≤ ≤x 0

0

9

2 0

S

∆ ≥



−



 ≤



Tổng hợp các kết quả trên, ta đợc:m≤ − 4

Cách giải 2: Phơng pháp hàm số:

Đối với học sinh đã đợc học kiến thức về khảo sát hàm số thì phơng pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu nh việc cô lập đợc tham số từ bất phơng trình đã cho là đơn giản)

Cơ sở lý thuyết:

Giả sử hàm số y= f x( ) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D, f liên tục trên D

*BPT f x( ) ≥m có nghiệm ( )

x D

x D Max f x m

∈

x D

BPT f x m x D Min f x m

∈

*BPT f x( ) ≤m có nghiệm ( )

x D

x D Min f x m

∈

x D

BPT f x m x D Max f x m

∈

Trở lại bài toán ta có: (2) ⇔m x( 2 + 1)p 3x− 4

2

1

x m x

−

⇔

+

p (dox2 + 1 0, f ∀ ∈x R) Yêu cầu bài toán 2

1

x

x

−

Xét

2 2 2

1 0;

3

x

x x

y

−

 = ∉ +∞



Ta có bảng biến thiên của hàm số 2 ( )

, 0;

1

x

x

−

1

2

x

y

y

+ ∞

Xem bảng biến thiên ta có 4 1

2

y

− p ≤ , ∀ ∈x (0; +∞) , vậy (*) đợc thoả mãn ⇔ ≤ −m 4 )

b Cách giải1( phơng pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải)

Cách giải2: Phơng pháp hàm số

Tơng tự câu a) Yêu cầu bài toán trở thành : ( ) 2

0; :

1

x

x

−

+

Tơng tự nh câu a)ta có 4 1

2

y

− p ≤ , ∀ ∈x (0; +∞) (***) 1

2

m

Bài tập t ơng tự : Xác định m để bất phơng trình :

a x − x+ −m ≤ , ∀ ∈x [ ]1; 2

2

b − x − x m+ ≤ ∀xf

Đáp số: a) m≤ − 1 hoặc m≥ 1

b m) ≤ 0

Ví dụ 3: Tìm m f m x: ( , ) =(x2 +px q ax+ ) ( 2 + + ≥ ∀ ∈bx c) 0, x R (a≠ 0)

Cách giải:

Gọi h x( ) =x2 +px q+ , g x( ) =ax2 + +bx c

( ) 0,

f x ≥ ∀ ∈ ⇔ ∀ ∈x R x R ta có h x g x( ), ( ) không trái dấu với nhau

0

0

0 (*) 1

f

g

a

o

a b c

p q





∆ ≤



∆ ≤





 = =



f

f

Chú ý: Trong (*) quy ớc mẫu thức bằng 0 thì tử thức cũng bằng 0

Bài tập áp dụng: Tìm m để f x( ) =(x2 + −x 1) (x2 + +x m) ≥ ∀ ∈ 0, x R

Giải:

Ta có h x( ) =x2 + − ⇒ ∆x 1 h f 0, ∀m

Bởi thế f x( ) 0, ≥ ∀ ∈ ⇔x R h x( ) và g x( ) =x2 + +x m là tơng đơng

m m

−

Ví dụ 4: Cho ( 2 )2 2

f x = x −a − x − x+ a

Tìm a để f x( ) 0, ≥ ∀ ∈x R

Giải:

1

f x = f a =a − x − a x+ − x − x

'a 2x 1

f a a a a a

=(x2 − 2x− − 2 a x) ( 2 + 2x a− =) f x( )

Gọi h x( ) =x2 − 2x− − 2 a; g x( ) =x2 + 2x a−

Ta thấy 1 2 ( ) 0, ( ) 0,

( ) 0,

≥ ∀ ∈



−



' 0 3 0 3

h

g

a

a a

∆ ≤





Đáp số: a≤ − 3

Bài tập t ơng tự : Tìm a để f x( ) = 2x4 − 4x3 + +(a 5)x2 − +(a 3) (x− +a 1) (a+ ≥ ∀ ∈ 2) 0, x R H

ớng dẫn :

1

f x = f a = = x − + +x a x − x− −a

Yêu cầu bài toán

3

h g

a

a

a

 ∆ ≤   − ≤ ≤ −







