1 Bất phương trình logarit A. Tóm tắt lý thuyết B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình 2 2 2 log 16 log 4 11 x x . 1 Giải 1 2 16 4 11 4 11 0 x x x 2 4 5 0 11 4 x x x 5 1 11 4 x x x 5 x . Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2log 1 . 5 log 5 1 x x . 1 Giải Điều kiện: 1 0 5 0 x x 1 5 x . 1 2 log 5 1 log 5 5 x x 2 5 1 5 5 x x 2 1 5 x x 2 4 0 x x 1 17 2 1 17 2 x x . Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1 17 ;5 2 . Ví dụ 3. Giải bất phương trình 1 2 2 log log 3 1 1 x . 1 Giải 1 2 2 log log 3 1 1 x 2 2 log log 3 1 1 x 2 0 log 3 1 2 x 1 3 1 4 x 3 3 x 1 x . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2 log 5 8 3 2 x x x . 1 Giải Điều kiện: 2 0 1 5 8 3 0 x x x 3 0; 1; 5 x . 2 1 2 2 2 2 3 0 5 5 8 3 1 5 8 3 x x x x x x x x 2 2 3 0 5 4 8 3 0 1 4 8 3 0 x x x x x x 2 2 3 0 5 4 8 3 0 1 4 8 3 0 x x x x x x 3 0 5 1 3 2 2 1 1 2 3 2 x x x x x 1 3 2 5 3 2 x x . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 3 3 ; ; 2 5 2 . Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2 5 2 log 5 2 2log 2 3 0 x x . 1 Giải Đặt 2 log 5 2 x t , suy ra 1 t và bất phương trình 1 trở thành 2 3 0 t t 2 3 2 0 t t 1 ( 2 ( ) loaïi) thoûa maõn t t . Thay 2 log 5 2 x t bất phương trình 2 t , ta có 2 log 5 2 2 x 5 2 4 x 5 2 x 5 log 2 x . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 5 log 2; . Ví dụ 6. Giải bất phương trình 2 2 3 12 log 7 12 7 x x x x x x . 1 Giải Điều kiện: 2 12 0 7 0 x x x 3 4 7 x x x ; 3 4;7 x . 1 2 2 3 3 log 12 log 7 7 12 x x x x x x 2 2 3 3 12 log 12 7 log 7 x x x x x x . Xét hàm 3 log f t t t , 0 t . Ta có 1 ' 1 0 ln3 f t t 0 t , suy ra f đồng biến trên 0; . Bất phương trình đã cho tương đương với 3 2 12 7fx f x x 2 12 7x x x 22 4 49 12 1xx xx 37 13 x . Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 37 ; 3 4; 13 x . C. Bài tập Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) 3 log 2 1 x . 2) 3 2 3 log 1 1 x x 3) 2 3 3 log log 3 0 x . 4) 2 3 1 1 log 0 x x x . 5) 0,5 0,5 log 2 1 log 5 2 2 0,08 x x x x . 6) 1 1 3 3 3 1 2 log log 1 1 x x . 7) 1 4 log 2 x x . 8) 1 1 log 2 1 log 5 3 3 0,12 x x x x . 9) 1 log 2004 2 x . 10) 3 log 35 log 5 3 a a x x . 11) 2 4 12.2 32 log 2 1 0 x x x . 12) 2 4 2 2 1 log 2 x x x . 13) 3 1 1 2 2 2 4 2 2 32 2 2 8 log log 9log 4log x x x x . 14) 1 5 2 5 log 6 8 2log 4 0 x x x 15) 2 1 4 2 log log 5 0 x . 16) 2 2 log 5 6 1 x x x . 17) 3 2 log 5 1 x x . 18) 3 log 3 1 1 1 x x . Bài 2. Giải các bất phương trình sau 4 1) 2 2 2 log 1 log 2 2 0 x x x x . 2) 2 3 2 3 2 4 log .log log log x x x x . 3) 3 4 1 5 log 4 1 log 3 2 x x . 4) 2 2 2 log log x x . Bài 3. Giải các bất phương trình 1) 2 2 2 log 2 log 3 0 x x x x . 2) 2 3 3 3 log 2 4 2 log 2 16 0 x x x x . 5 hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit Giải các hệ phương trình: 1) 2 2 log 5 log l g l g 4 1 l g l g3 x y x y o x o o y o 2) 3 3 4 32 log 1 log x y y x x y x y 3) 2 5 51 10 1 5 x x y xy 4) 1 log 2 log 23 3 x x y y 5) 2 2 2 2 2 1 9 6 y x x y x y x y 6) 3 12 log 1 3 y y x x 7) 2 4 4 9 27.3 0 1 1 l g l g lg 4 4 2 xy y o x o y x 8) 5 3 .2 1152 log 2 x y x y 9) 2 2 l g 1 l g8 l g l g l g3 o x y o o x y o x y o 10) 3 3 .2 972 log 2 x y x y 11) 3 1 2log 5 5 5 3 48 2log 2 12 log log y x y x y x y x 12) 3 3 2 2 9 3 3 log log log x y x y x y 6 13) 18 log log 2 log 1 2 20 0 a a x y a x y a 14) 5 5 3 27 3log y x x y x y x y 15) 2 1 2 4 5 3 5 8 xy xy x y x y x y x y 16) 2 2 2 64 x 0 y y x x 17) 5 2 2 2 1 log log 12 1 2 5 3 x y x y y x 18) 2 7 10 1 8 x 0 y y x x y 19) 2 1 2 2 log 2log 5 0 32 x y x y xy 20) 1 l g 3 l g 5 0 4 4 8 8 0 y xx y o x o y 21) log 3 2 2 log 2 3 2 x y x y x y 29) 2 1 12 2 2log log 5 y x x y x y 30) 2 2 16 1 2 x 0 x y x x y 31) 2 lg 1 lg lg lg2 x y y x 32) 3 2 4 7.2 2 3 y x x y y x 7 33) 3 3 2 2 5 .2 200 5 2 689 y x y x 34) 2 2 1 l g 1,5 2 2 2 10 100 10 10 6 3 2 10 9 o x y x y x y 22) 2,5 1,5 64 y 0 x x x y y y 23) l g l g5 l g l g l g6 l g 1 l g 6 l g l g6 o x y o o x o y o o x o y o y o 24) 2 2 log log 1 log 1 xy y y x x y x 25) 2 2 log log 1 x y x y x y x y 26) 2 6 36 4 2 log 9 x y x x y x 27) 2 2 2 2 log log 1 2 u v u v u v 28) log log log p q vµ pq 0 p q a a a x y x x y y 35) l g l g l g4 l g3 3 4 4 3 o x o y o o x y 36) 2 2 2 2 2 lg lg 2,5lg a 0 xy a x y a 37) 8 8 log log 4 4 4 log log 1 y x x y x y 38 ) 2 2 8 2 16 2 1 0,37 1 x xy x y x xy x x y 39) 3 3 log log 3 3 2 27 log log 1 y x x y y x 8 40) 2 2 5 2 4 x y x y 41) 8 10 2 5 x x y y 42) 2 2 2 2 0,5log log 0 5 4 0 x y x y 43) log log 2 16 y x x y x y 44) log log log log log log 512 8 2 2 y y z z xz z z x y z x x z y x z y 45) 2 2 2 1 1 x x x y y 46) 9 9 2 1 x y x y x y x y 47) 2 .3 12 3 .2 18 x y x y 48) 2 2 log 3 log 2 2 9 3 2 1 1 1 xy xy x y 49) 2cot sin sin cot 9 3 9 81 2 x y y gx 50) 1 2 2 2 x y x y 51) 3 1 2 3 2 2 2 3.2 3 1 1 x y y x x xy x 52) log 2,5 3 log .log 2 1 y x y yx x y y x phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: (So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai) 1) Giải và biện luận phương trình: 2 .2 5 .2 2 1 0 x x m m m 9 2) Giải và biện luận phương trình: 3 3 5 3 5 2 x x x a 3) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 1 1 2 2 2 1 .2 2 6 0 x x m m m 4) Tìm m để phương trình: 3 .16 2 1 .4 1 0 x x m m m có hai nghiệm trái dấu 5) Cho phương trình: 1 4 .2 2 0 x x m m a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 + x 2 = 3 6) Giải và biện luận phương trình: a) .3 .3 8 x x m m b) 2 .2 .2 0 x x m m m 7) Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: a) 2 1 3 2 3 3 3 0 x x m m m b) 4 4 2 2 2 1 0 x x m m m 8) Cho phương trình: .16 2.81 5.36 x x x m a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 9) Cho phương trình: 3 2 2 3 2 2 tgx tgx m a) Giải phương trình với m = 6. b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm ; 2 2 . 10) Xác định m để bất phương trình: .4 2 1 .2 5 0 x x m m m nghiệm đúng với x < 0 11) Cho bất phương trình: 2 2 2 3 2 3 2 3 .9 6 16 1 4 0 x x x x x x m m (1) a) Xác định m để mọi nghiệm của (1) thoả mãn bất phương trình 1 < x < 2 (2) b) Xác định m để mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1). 12) Xác định các giá trị của m để bất phương trình: 2 2 2 2 2 2 9 2 1 6 1 4 x x x x x x m m 0 nghiệm đúng với mọi x thoả mãn điều kiện 1 2 x 13) Cho bất phương trình: 1 1 4 2 1 0 x x m m a) Giải bất phương trình khi m = -1. b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 14) Cho bất phương trình: 1 4 2 1 0 x x m a) Giải bất phương trình khi m = 16 9 . b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 15) Xác định m để bất phương trình: a) 2 .4 1 2 1 0 x x m m m nghiệm đúng với x. b) 4 .2 3 x x m m 0 có nghiệm. 10 c) .9 2 1 6 .4 x x x m m m 0 nghiệm đúng với x [0; 1] 16) Cho bất phương trình: 2 1 1 1 12 3 3 x x (1) a) Giải bất phương trình (1) b) Xác định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình: 2x 2 + (m + 2)x + 2 - 3m < 0 II) phương pháp điều kiện cần và đủ giải các bài toán mũ chứa tham số: 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 1 2 1 3 x m 2) Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 2 1 9 3 4 0 x x 2 1 4 .2 .4 1 x x m m 3) Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 1 4 2 4 2 2 16 x x x 2 1 9 .3 .9 1 x x m m 4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 1 3 2 2 x m phương trình và bất phương trình logarit chứa tham số I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: 1) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương: 2 3 3 .log 3 3 5 log 2 2 1 0 x x m m m 2) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 1 ;2 2 : 2 2 2 log log 2 2 2 6 2 1 0 x x m m x m 3) Xác định m để bất phương trình: 2 2 2 2 log log 1 x m x nghiệm đúng với mọi x > 0. . 1 2 x 13) Cho bất phương trình: 1 1 4 2 1 0 x x m m a) Giải bất phương trình khi m = -1. b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 14) Cho bất phương trình: 1 4. Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 9) Cho phương trình: 3 2 2 3 2 2 tgx tgx m a) Giải phương trình với m = 6. b) Tìm m để phương trình. 1 4 2 1 0 x x m a) Giải bất phương trình khi m = 16 9 . b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 15) Xác định m để bất phương trình: a) 2 .4 1 2 1 0 x x m m