Chuyên đề ôn thi Phương trình, bất phương trình đại số

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Mục lục Loại Phương pháp lũy thừa A Nội dung phương pháp .1 B C Một số ví dụ Bài tập D Đáp số Loại Phương pháp ẩn phụ 11 A Nội dung phương pháp .11 B C Một số ví dụ 12 Bài tập 18 D Đáp số 20 Loại Phương trình bất phương trình tích 21 A Nội dung phương pháp .21 B Một số ví dụ 22 C D Bài tập 24 Đáp số 25 Loại Một số phương pháp đặc biệt 27 A Một số ví dụ 27 B Bài tập 30 C Đáp số 31 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại Phương pháp lũy thừa A Nội dung phương pháp Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình bất phương trình vơ tỷ phương pháp lũy thừa Sau quy tắc cấn nhớ sử dụng phương pháp * Một số phép biến đổi tương đương phương trình vơ tỷ +) f  x   g  x   f  x  g  x   f  x    +) f  x   g  x   f  x  g  x   g  x    * Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vơ tỷ f  x   g  x   g  x     f  x  g  x    f  x   g  x   f  x  g  x   g  x      g  x      f  x   f  x  g  x     g  x      f  x   g  x    g  x      f  x   f  x  g  x     g  x      f  x   g  x   g  x     f  x   g  x   f  x    f  x   g  x   PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú  Email: caotua5lg3@gmail.com g  x     f  x   g  x   f  x    f  x   g  x   PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com B Một số ví dụ Ví dụ GPT 1 x3  2x   2x  Giải  2  3  x3  4x2  2x    x3  2x    2x  12   Ta có 1      2x   x    x    2   x  2 x2  2x    x    x        thỏa mãn  3   không thỏa mãn  3   thỏa mãn  3   Vậy tập nghiệm 1 1;1  Ví dụ [ĐHD06] GPT 1 2x   x2  3x   Giải  1   3  x2  3x    32  x  32  2 Ta có  2x   x2  3x   2x   x  3x    x2  3x     2  3  x4  6x3  11x2  8x     x  1  4  x2  4x  2  x   thỏa mãn  4     x    thỏa mãn      x    không thỏa mãn       Tập nghiệm 1 1;2  Ví dụ [ĐHA05] GBPT 5x   x   2x  1 Giải 5x    ĐK:  x    x   2x    PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Ta có: 1 Email: caotua5lg3@gmail.com  5x   2x   x   5x   3x   2x2  6x   2x2  6x   x  (do x   x   )  2x2  6x   x2  4x   x2  10x    x  10 Kết hợp điều kiện  tập nghiệm 1  2;10 Ví dụ [ĐHA04] GBPT  x2  16 x3  x3  7x x3 1 Giải  x2  16   ĐK:   x x    Ta có: 1      x2  16   10  2x x2  16  x    x 10  2x     10  2x    2   x  16  100  40x  4x    x    x     x2  20x  66    x    x    10  34  x  10  34    x  10  34 (TMĐK)   Vậy tập nghiệm bất phương trình 10  34;  PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Ví dụ GPT Email: caotua5lg3@gmail.com 2x   x   x    x   1 Giải ĐK: x  Ta có 1   3x   2x2  9x  18  3x   2 x2  x  20   2x2  9x  18  x2  x  20    x  (không TMĐK) Vậy 1 vơ nghiệm Ví dụ GPT 1 x   4x   5x   2x  Giải ĐK: x  Ta có 1  x7 2  2x  3  5x   4x   9x   2x2  11x  21  9x   20x2  19x   2x2  11x  21  20x2  19x      2x2  11x  21  20x2  19x    12x2  63x  78   4x2  21x  26  x    13 x   Thử lại ta thấy x  13 nghiệm 1 Vậy 1 có nghiệm x  13 4 Nhận xét: +) Hai phương trình: f  x   g  x  f  x   g2  x  nói chung khơng tương đương Vì lý mà ví dụ nói trên, sau thu kết cuối cùng, ta phải thử lại +) Việc định bình phương hai phương trình quan trọng Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương thực sau chuyển vế Nhờ mà sau bình phương, ta giản ước 9x  hai vế PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Ví dụ Biện luận số nghiệm PT 1  x3  x  m   x Giải  2  x3  x  m  x2  2x   x  x  x  m    Ta có 1     1  x  x    Do số nghiệm 1 số nghiệm thỏa mãn x    nên số điểm chung đường thẳng y  m  với đồ thị hàm số f  x   x3  x2  x ( x  )  x  1 Ta có f '  x   3x2  2x  f '  x     x   x -∞ f '(x) + -1 1 Kết luận: + f( x ) -∞ 25 * m    m  2 : 1 vô nghiệm * m    25  m  18 : 1 có nghiệm 7 m  18  m    25 : 1 có nghiệm   * m  2  m     *  25  m    2  m  18 : 1 có nghiệm 7 Ví dụ [ĐHB06] Tìm m để PT sau có hai nghiệm phân biệt x2  mx   2x  1 Giải  3x2    m  x    x2  mx    2x  12   Ta có 1      2x   x      2  2 phương trình bậc hai có     m   12  m    ln có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  m   x1 , x Theo định lý Vi-ét   x1x2    1 có hai nghiệm phân biệt  3    có hai nghiệm phân biệt lớn   x1    x1     2      x2    x2     PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú        Email: caotua5lg3@gmail.com  x 1  x 1 0  x1  x2    2        4 x 1 0 x1x2   x1  x1     x1    2  Thay   vào   ta thu  m   m  m          1 m4  m 2m       m    Vậy 1 có hai nghiệm phân biệt  m  Chú ý: Ví dụ làm cách khác sau: Biến đổi 1 dạng:  3x2  4x 1 m  x  x    1 có hai nghiệm phân biệt PT, BPT Vơ tỉ  y  m có hai điểm chung với ĐTHS y  3x  4x 1 , x   x Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài Giải phương trình sau 1) x  x2  x   2) x   x2  3x   3) 3x  x3  x   2 4) x3  x2  6x  28  x  6) x4  5x3  12x2  17x    x  1 2) x2  2x  x   x  x2  2x  x4  4x3  14x  11   x 5) Bài Giải phương trình sau 1) x   3x   x  2x  3) x   x x x Bài Giải phương trình sau 1) x   x   x 3) 2) x   x   2x3    x3  x Bài Giải bất phương trình sau 1) x   2x   3) 2x   x2  4x    2) x   x2  4) x2  3x   x2  4x   x2  5x  5)  x  1 2x    x  1 6) 2x  2x  2x   Bài Giải biện luận theo m phương trình 1) x2   x  m 2) x  m  x  m  m Bài [ĐHB07] Chứng minh với m  , phương trình x2  2x   m  x   có hai nghiệm phân biệt Bài Giải biện luận theo m bất phương trình sau 1) m   x  x  m PT, BPT Vô tỉ 2) xm  x2 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Đk:  5x   x  u  3x   Đặt   v   5x  Ta có  2  2a   2  2b   5u3  3v2    v  u3  3x     v   5x  5u3  15x  10    3v  18  15x    5u3  3v2    3 Thay   vào 1 , ta 2u  3v    v    u    4 Thay   vào   , ta có: 5u3     u         3    5u3  u2  8u  16    15u3  4u2  32u  40      u   15u2  26u  20  u     15u  26u  20     '  131    u  2 Thay u  2 vào  2a  , ta 3x   2  3x   8  x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  2 PT, BPT Vô tỉ 17 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài Giải phương trình, bất phương trình sau: 1)  x   x   x2  2) 3x   x   4x   3x2  5x   x  23  6x  4) 3 x  6x  3 6) 7x   7x   49x2  7x  42  181  14x 3) x3  3x2  5) 2x2  x2  5x   10x  15   x   x  7) x x  2x   2x 8) 3 x  6 x  Bài Cho phương trình x2 1 x  1 x     x   x   m 1) Giải phương trình với m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài Tìm m để BPT m  x2  2x     x   x   có nghiệm x  0;1           x   x   x2  2x  m nghiệm với x   2;4 Bài Tìm m để BPT Bài Giải PT sau: 1)   x2  2x2 2) x3    x2    x  x2  3)  x2  4x3  3x Bài Giải PT sau:   1) x3   x2   2) 5x2  14x   x2  x  20  x     4) x2  3x   x3  3) 2x2  5x   x3  21x  20 Bài [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x   m x   x2  Bài Giải phương trình: 1) 24  x  12  x  2) 3) x  17  x  2 4)   x     x     x   x   x  x  PT, BPT Vô tỉ 18 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 6) x  x   2x  5) x  x  16  x  Bài Với giá trị a phương trình:  x   x  a có nghiệm Bài 10 Giải phương trình sau 1) x3   23 2x  PT, BPT Vô tỉ 2) 2x2  4x  x3 3) 2x3   x1 19 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com D Đáp số Bài 1) 2) 3) ,  4) , 3 5)  ; 5    5 ;           6)  ;6 7    2  7) 0;    2;  Bài 1) 3 , Bài m  Bài 3)  Bài 1) 3) 2) 1)  9  m  Bài 3 2) m 1   , 2 2 ,   37  193 17  73 , 4 Bài 1) 24 , 88 , 3) , 16 5) , 8)  1;1 56  3010 2)  61 , 4) x   13 Bài 1  m  2) 4) , 6 6) Bài  a  Bài 10 1) , 1  2) 3  17 5  13 , 4 3)  PT, BPT Vô tỉ 20 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại Phương trình bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải phương trình, bất phương trình tích Nhân tử chung thấy nhận sau số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên hợp cho ta lời giải bất ngờ Về biểu thức liên hợp, ta cần biết:  Biểu thức liên hợp   a b  a  b a b:  a  b  ab     2 Biểu thức liên hợp a  b a  ab  b :  a  b   a    2  ab  b   a  b  … PT, BPT Vô tỉ 21 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com B Một số ví dụ x   2x x   2x  x2  4x  Ví dụ Giải phương trình 1 Giải 1 x   2x x   2x      x  3 x  1 (ĐK: x  1 )  x   1  x  3   x   x   2x    x   2x   x1 1    2x  x     x1    x   2x  x       2x     x   4x2   x   x  Ta thấy giá trị thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa Vậy tập nghiệm phương trình 0;1  Ví dụ [ĐHD02] Giải bất phương trình x2  3x  2x2  3x   1 Giải x   Đk: 2x2  3x     x    x2  3x   x2  3x    1    2x  3x    2x2  3x     x  x   x  x     x   x      x    x  x  x  x      x   x    x    PT, BPT Vô tỉ 22 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa, ta có tập nghiệm 1 là: ;    2   3;   2  1 Ví dụ Giải phương trình x3  x   Giải Đk: x      Ta có 1  x3   x 1      x  1 x2  x   x 1 0 x 1     x  1  x  x   0 x 1   x   (do x2  x     1   x  ) = x  x 1 x 1  x  (thỏa mãn điều kiện để 1 có nghĩa) Vậy 1 có nghiệm x  Ví dụ [ĐHB10] Giải phương trình 3x    x  3x2  14x   1 Giải 3x    1 x6 6  x  Đk:  Ta có 1     2    3x      x  3x2  14x    x  5 x5   x   3x  1  3x     x       3x  1     x  5   3x     x   x   (do    3x  1  x :   x  ) 3x     x  x  (thỏa mãn   ) Vậy 1 có nghiệm x  PT, BPT Vô tỉ 23 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài Giải phương trình 1) x   x    x2  3x  2) x   x2 3) x1  4)  x  x2  x x   x3  x2 x3  x2  3x   2x  x2   2x2  2x Bài Giải phương trình, bất phương trình sau: 1)  x   x  2x  x x x 2) 2x2  x   x2  x   x  x 3) 2x2  x   2x2  x   x  4) x2  2x   x2  6x  11   x  x  PT, BPT Vô tỉ 24 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com D Đáp số Bài 1) ,  2) 3) , 4) Bài 1) 2) 3) 4)  x  PT, BPT Vô tỉ 25 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú PT, BPT Vô tỉ Email: caotua5lg3@gmail.com 26 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại Một số phương pháp đặc biệt A Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD05] Giải phương trình x   x   x    1 Giải Đk: x    x  1 Ta có  2 x 2 x1  Do đo 1    x1 1   x1 1  x1 1  x1 1  x1   x    x    x  (thõa mãn  2 ) Vậy 1 có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x3  4x 4 x x3 1 Giải Đk: x  1   2   x  3  4x  x x     x3 2 x  0  x3 2 x  x   x  x   4x  x  (thỏa mãn   ) Vậy 1 có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình 4x   4x2   Giải x   4x     ĐK:    x1  x 2 4x     x    PT, BPT Vô tỉ 27 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 4x Đặt f  x  4x   4x2  Ta có f '  x     x   f đồng biến 4x  4x2    ;  Do 1 có nghiệm nghiệm Ta thấy x  nghiệm 2 1 nên 1 có nghiệm x x x Ví dụ [ĐHA10] Giải bất phương trình  1 x  x 1  1 1 Giải     3 Ta thấy x2  x   x    x Do  x2  x     x Điều kiện để 1 có nghĩa: x  1  2    x  x   x2  x     x2  x    x  x   x  1 x  x         2 x  x   x  x   2x   x  12  x   x  12   x  1 x        x  1     x   x  1   x   x   Ta có      x  x 1 0    3  4  x  x 1 0  x  x 1   x  1 x  x  1  x  x     3 (thõa mãn   ,   )      3  x   x  3x    x  1  x  x     Vậy 1 có nghiệm x  2 Ví dụ Giải phương trình 2 x  x  1 x 3 1 x  1 Giải Đk:  x  Ta thấy:  VP 1    x 1  x    VP 1    PT, BPT Vô tỉ 28 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Lại có: VT 1  Email: caotua5lg3@gmail.com 3    1 x Do 1  VT 1  VP 1   x  Vậy 1 có nghiệm x  PT, BPT Vô tỉ 29 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com B Bài tập Bài Giải phương trình 1) x    4x  x 2) x   9x2  x  3) 12 x  x   3x  4) 4x2  3x   4x x   2x  5) x   x   x  6) 2x x2  x   3x   2x2  2x  Bài Giải phương trình sau 1) x   x  1 x  PT, BPT Vô tỉ 2) x   x2  x2  x2 30 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Đáp số Bài 1) 3) , 2) , 77  3328 5) Bài 1) PT, BPT Vô tỉ 5  97 18 4) 6) 2) 31 Blog: www.caotu28.blogspot.com ... Loại Phương trình bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải phương trình, bất phương. .. Loại Phương pháp lũy thừa A Nội dung phương pháp Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình bất phương trình vơ tỷ phương pháp lũy thừa Sau quy tắc cấn nhớ sử dụng phương pháp * Một số phép... caotua5lg3@gmail.com Loại Phương pháp ẩn phụ A Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung phương trình vơ tỷ nói riêng Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp phân