1 Bất phương trình mũ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình 1 1 2 5 2 5 2 x x x . 1 Giải Ta có 1 1 1 2 5 2 5 2 x x x 1 1 2 x x x 1 1 0 2 x x x 2 4 1 0 2 x x x . Ta có bảng xét dấu của 2 4 1 2 x x x : x 2 3 2 2 3 2 4 1 2 x x x 0 || 0 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình 1 là 2 3; 2 2 3; . Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34 15 x x x x x x . 1 Giải Ta có 1 2 2 2 2 2 2 25 25 9 9 34 15 x x x x x x . Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho 2 2 9 x x , ta được 2 2 2 2 25 5 25 9 34 9 3 x x x x 2 2 2 2 25 5 25 34 9 0 9 3 x x x x . Đặt 2 2 5 3 x x t , từ 2 2 2 1 1 1 x x x suy ra 5 0; 3 t . Khi đó bất phương trình trên trở thành 2 25 34 9 0 t t 9 25 1 t t . Do đó bất phương trình 1 tương đường với 2 2 2 2 5 9 3 25 5 1 3 x x x x 2 2 2 2 2 0 x x x x 2 2 2 2 0 2 0 x x x x 2 ;1 3 1 3; 0;2 x x ;1 3 0;2 1 3;x . Ví dụ 3. Giải bất phương trình 2 1 1 x x x . 1 Giải Ta thấy 2 2 1 3 1 0 2 4 x x x x . Do đó 1 2 2 1 1 0 1 1 0 x x x x x x 1 x x 1 x . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 1 2 2 1 0 2 1 x x x . 1 Giải Nhân hai vế của bất phương trình 1 với 2 0 x , ta được bất phương trình tương đương: 2 2 2 2 0 2 1 x x x 2 2 2 2 0 2 1 x x x 2 1 2 2 0 2 1 x x x 2 2 0 2 1 x x 2 2 2 1 x x 1 0 x x . Ví dụ 5. Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 2 4 1 2 1 0 x x a a a . 1 Giải Đặt 2 x t , suy ra 0 t và bất phương trình 1 trở thành 2 4 1 1 0 a t a t a 2 4 1 4 1 a t t t 2 4 1 4 1 t a t t . 2 Xét hàm 2 4 1 4 1 t f t t t ( 0 t ). Ta có 2 2 2 4 2 ' 0 4 1 t t f t t t 0 t . 0 1 _ 0 _ f t( ) f ' t( ) +∞ ∞ t 3 1 nghiệm đúng với mọi x 2 nghiệm đúng với mọi 0 t đường thẳng y a nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số y f t ( 0 t ) 1 a . Ví dụ 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 2 3 0 x x m m . 1 Giải Đặt 2 x t , suy ra 0 t và bất phương trình 1 trở thành 2 3 0 t mt m . 2 Để 1 có nghiệm thì trước hết 2 phải có nghiệm. Muốn như vậy thì tam thức bậc hai 2 3 f t t mt m phải có 0 , tức là 2 4 3 0 m m 2 4 12 0 m m 2 6 m m . 3 Khi đó 2 2 2 4 12 4 12 2 2 m m m m m m t . 1 có nghiệm 2 có nghiệm dương 2 4 12 0 m m m 2 4 12 m m m 2 2 0 0 4 12 m m m m m 0 3 m m . Kết hợp với điều kiện 3 suy ra những giá trị cần tìm của m là ; 3 6; . B. Bài tập Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) 2 1 2 1 2 2 x x x . ĐS: 2; . 2) -1 -1 1 5 2 5 2 x x x . ĐS: 0;1 3; . 3) 3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x . ĐS: 1;0 1; . 4) 3 1 2 1 1 1 2 2 x x . ĐS: 0; . 5) 1 2 1 2 9 9 9 4 4 4 x x x x x x . ĐS: 9 4 21 91 ;log . 6) 1 3 4 2 7.3 5 3 5 x x x x . ĐS: 5 3 ; log 2 . 7) 2 2.3 2 1 3 2 x x x x . ĐS: 3 2 0;log 3 . 4 Bài 2. Giải các bất phương trình sau 1) 9 2.3 3 x x . ĐS: ;1 . 2) 2 1 1 1 1 3 3 3 12 x x . ĐS: 1;0 . 3) 1 1 0 2 2 2 1 x x x . ĐS: ;0 1; . 4) 2 2 2 1 2 1 2 2 25 9 34.15 x x x x x x . ĐS: ;1 3 0;2 1 3; . 5) 9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1 x x x . ĐS: ;0 . 6) 2 2 2 2 - 2 - 1 2 - 3 5 3 5 2 0 x x x x x x . ĐS: 0;2 . 7) 2 9 3 3 9 x x x . ĐS: 1; . Bài 3. Giải các bất phương trình sau 1) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x x x x . ĐS: 1;2 . 2) 2 4 4 3 8.3 9.9 0 x x x x . ĐS: 5; . 3) 4 4 1 8.3 9 9 x x x x . ĐS: 0;4 . 4) 2 3 6 3 5 2 15.2 2 x x x x . ĐS: 2; . Bài 4. Giải các bất phương trình sau 1) 2.2 3.3 6 1 x x x . ĐS: ;2 . 2) 4 2 4 3 2 13 x x . ĐS: 0; . 3) 2 2 sin cos 2 2 2 sin cos x x x x . ĐS: 2 4 k , k . . 1 x . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 1 2 2 1 0 2 1 x x x . 1 Giải Nhân hai vế của bất phương trình 1 với 2 0 x , ta được bất phương trình tương đương: 2 2. 1 Bất phương trình mũ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình 1 1 2 5 2 5 2 x x x . 1 Giải Ta. suy ra 5 0; 3 t . Khi đó bất phương trình trên trở thành 2 25 34 9 0 t t 9 25 1 t t . Do đó bất phương trình 1 tương đường với 2 2 2 2 5