+ Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng các phương pháp.. + Biến đổi đưa về bất phương trình cơ bản.[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Nếu a> , b> bất phương trình ax > ⇔ >b x logab
+ Nếu 0< < , a b> bất phương trình ax > ⇔ <b x logab
+ Nếu a> bất phương trình af x( ) >ag x( ) ⇔ f x( )>g x( )
+ Nếu 0< < bất phương trình a af x( ) >ag x( ) ⇔ f x( )<g x( )
( Tương tự với bất phương trình x
a <b; x
a ≥b; x
a ≤b; af x( ) <ag x( ); af x( ) ≥ag x( ); af x( ) ≤ag x( )) + Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng phương pháp
+ Biến đổi đưa bất phương trình
+ Đặt ẩn phụ
+ Logarit hóa
+ Hàm số
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Dạng bpt mũ PP đưa số PP đặt ẩn phụ
PP logarit hóa
Phương pháp phân tích thành tích
Phương pháp hàm số, đánh giá
Bài toán bpt nghiệm với x thuộc K
Bài tốn bpt có nghiệm, vô nghiệm K
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Tập nghiệm bất phương trình 9x+2.3x− >3
A [0;+∞ ) B (0;+∞ ) C (1;+∞ ) D [1;+∞ )
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn giải bất phương trình mũ
(3)………
2 HƯỚNG GIẢI:
B1:Đặt t=3x >
B2:Giải bất phương trình bậc hai theo t
B3: Trả lại phép đặt để tìm x
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải Chọn B
Đặt t=3 ,x (t >0) ta được: 2 3 1
t
t t t
t
< −
+ − > ⇔ > ⇒ >
Với t> ⇔1 3x > ⇔ > x
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S =(0;+∞ )
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Tập nghiệm bất phương trình
3
3
4
x− − x
≤
A B. (−∞;1] C [3;+∞) D [1;+∞)
Lời giải
Chọn D
3
3
3
4
x x
x x x
− −
≤ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥
Câu Nghiệm bất phương trình
9 17 11
1
2
x − x+ − x
≥
A
3
x= B
3
x> C
3
x≠ D
3
x≤
Lời giải
Chọn A
2
9 17 11
2
1 2
9 17 11 12 0
2 3
x x x
x x x x x x x
− + −
≥ ⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =
Câu Tập nghiệm S bất phương trình log 13( − <x) log 23( x+ là3)
A. 2;1
3
S = −
B
2 ;
S = − +∞
C
2 ;
3
S= −∞ −
D S= +∞ (1; )
Lời giải
(4)Bất phương trình tương đương với
1
x
x x
− >
− < +
1
2
x
x
< ⇔ > −
2
1 x ⇔ − < <
Câu Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 1( ) 1( )
2
log 4x− >9 log x+10
A 6 B 4 C 0 D Vô số
Lời giải
Chọn B
Điều kiện bất phương trình
x>
Khi bất phương trình cho thành 10 19
x− < +x ⇔ <x (Do 1
a= < )
So điều kiện ta 19 4< <x Do x∈ nên x∈{3, 4, 5, 6}
Câu Tập nghiệm S bất phương trình
4x+ −5.2x+ ≤
A S = −{ }1;1 B S = −[ 1;1] C S = −∞ − ∪ +∞( ; 1] [1; ) D S= −( 1;1)
Lời giải
Chọn B
Ta có
4x+ −5.2x+ ≤ ⇔
2.2 x−5.2x+ ≤2 ⇔
2 1
2
x
x
≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −[ 1;1]
Câu Tập nghiệm bất phương trình log6x(5−x)<1 là:
A ( ) ( )0; ∪ 3;5 B ( )2;3 C ( ) { }0;5 \ 2;3 D ( ) ( )0;3 ∪ 3;5
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: x(5−x)> ⇔ < < 0 x
Ta có: log6 (5 ) (5 ) 6
x
x x x x x x
x
< − < ⇔ − < ⇔ − + − < ⇔
>
Kết hợp với điều kiện ta có x∈( ) ( )0; ∪ 3;5
Câu Tập nghiệm bất phương trình ( ) ( )
1
6− x− ≥ 6+ x− thì:
A [2;+∞ ) B [1;+∞ ) C. (−∞; 2] D. (−∞ ;1]
(5)Ta có ( 6− ) ( 6+ 5)= nên: ( 5) ( 5) −
− = +
( ) ( )
1
6− x− ≥ 6+ x−
( ) ( )2
6 − +x x− x 2x 3x x
⇔ + ≥ + ⇔ − + ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≤
Câu Tập nghiệm bất phương trình
2 3 x x + − >
A (2;+∞ ) B ( )1; C (1; ] D [2;+∞ )
Lời giải Chọn A Ta có: 3 x x + − >
⇔
2
1
3
x+ x
>
⇔ x+ < x
2 x x x ≥ − ⇔ + <
⇔
2 x x x x ≥ − >
− − > ⇔ x x x > < −
>
⇔ x>2
Câu Giải bất phương trình:
2
3
4
x− − +x
≤
ta nghiệm
A x≥1 B x<1 C x≤1 D x>1
Lời giải Chọn A
Bất phương trình tương đương
2 2
3 3
2
4 4
x x x x
x x x
− − + − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥
Câu 10 Bất phương trình log4(x+7)>log2(x+ có tập nghiệm 1)
A (5;+ ∞ ) B (−1; 2) C ( )2; D (−3; 2)
Lời giải Chọn B
Điều kiện: x > −1
( ) ( )
4
log x+7 >log x+1 ⇔ 1log2( 7) log2( 1) x+ > x+
1 x x x + > ⇔
+ > +
( )2
1 x x x > − ⇔
+ > +
x x x > − ⇔
+ − < x x > −
⇔ − < <
(6) Mức độ
Câu Tìm số nghiệm nguyên dương bất phương trình
2 2
1
5 125
x − x
≥
A. B. C 4 D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 2 3
2
1 1
2 3
5 125 5
x x x x
x x x x x
− −
≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Nghiệm nguyên dương bất phương trình là: 1; 2;
Câu Cho f x( )=x.e−3x Tập nghiệm bất phương trình f′( )x >
A 0;1
B ( )0;1 C
1 ; + ∞
D
1 ;
3 −∞
Lời giải
Chọn D
Ta có f′( )x =e−3x−3 ex −3x = −(1 3x)e−3x
( )
f′ x > ⇔ −(1 3x)e−3x >
x
⇔ <
Vậy tập nghiệm bất phương trình ;1 −∞
Câu Biết S =[ ]a b; tập nghiệm bất phương trình 3.9x−10.3x+ ≤3 Tìm T = − b a
A
3
T = B T =1 C. 10
3
T = D. T =2
Lời giải Chọn D
Ta có 3.9x−10.3x+ ≤3 ⇔3 3( )x 2−10.3x+ ≤ 3 3
x
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ x
Khi bất phương trình có tập nghiệm S = −[ 1;1], T = − − = ( )1
Câu Tập nghiệm của bất phương trình 1
1 log x
x
− >
A. 1;
S = +∞
B
1 0;
3
S=
C.
1 ;
S=
D.
1 ;
3
S = −∞
Lời giải
Chọn C
Xét bất phương trình 1
1 log x
x
− >
điều kiện 0;1
x∈
(7)Ta có: 1
1 2
log x x
x x
− > ⇒ − <
1
1 0
x x
x x
− −
⇔ − < ⇔ <
Mặt khác 0;1
x∈
1
3 x ⇒ < <
Câu Có nghiệm nguyên âm lớn −2021 bất phương trình (2 3) (x 3)x + − > +
là
A. 2019 B. 2020 C 2021 D. 2018
Lời giải
Chọn A
Vì (2 3) (x 3)x (2 3) (x 3) x −
− + = ⇔ − = +
Nên ( ) ( ) ( ) ( )
2
2− x > 2+ x+ ⇔ 2+ −x > 2+ x+ ⇔ − > + ⇔ < − x x x
Mà x∈,x> −2021 nên có x∈ −, 2021< < −x Vậy có − − −1 ( 2021)− =1 2019 nghiệm nguyên
Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình
2
2
3
3
2
log log
3
x x
x x
− + − <
A. x = B. 1;
S =
C.
1 ;1
S =
D.
1 ;5
S=
Lời giải
Chọn D
ĐK:
2
2
0
3
x
x− > ⇔ < < x
BPT
2
2
3
2x 2x
log x log x
3
⇔ − − − − <
2
3 2
2x x
2x 3
1 log x x
3 2x
x
3
− >
⇔ − < − < ⇔ ⇔ < <
− <
Câu Biết tập nghiệm S bất phương trình 3( )
6
logπ log x−2 >0 khoảng ( )a b Tính ; b a−
A 2 B 4 C 3 D 5
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: 2( ) log
x x
− >
− >
2
x
x
> ⇔ − >
2
x
x
> ⇔ >
(8)( )
3
logπ log x−2 >0 ⇔log3(x−2)<1⇔ − <x 3⇔ <x
So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S =( )3;5 Do đó: b a− = −5 3=
Câu Cho ( ) 1.52
2
x
f x = + ; g x( )=5x+4 ln 5x Tập nghiệm bất phương trình f′( )x >g x′( )
A x<0 B x>1 C 0< <x D x>0
Lời giải
Chọn D
Ta có: ( ) 1.52 2( ln 5) 52 1.ln
x x
f′ x = + x+ ′ = +
Và: g x′( )=5 ln ln 5x + =(5x+4 ln 5)
Do đó: f′( )x >g x′( ) ⇔52x+1.ln 5>(5x+4 ln 5)
5 x+ 5x
⇔ > +
5.5 x 5x ⇔ − − >
( )
4
5
x
x
VN
< − ⇔
>
5x
⇔ > ⇔ >x
Vậy nghiệm bất phương trình cho x>0
Câu Tập nghiệm bất phương trình 16x−5.4x+ ≥4 là:
A T = −∞ ∪( ;1) (4;+ ∞ ) B T = −∞ ∪( ;1] [4;+ ∞ )
C T = −∞( ; 0) (∪ + ∞ 1; ) D T = −∞( ; 0] [∪ + ∞ 1; )
Lời giải
Chọn C
Đặt t=4x, t>0
16x−5.4x+ ≥4 trở thành t2−5.t+ ≥4
t
t
≥ ⇔ ≤
4
0
t
t
≥ ⇔ < ≤
4
0
x x
≥ ⇔
< ≤
1
x
x
≥ ⇔ ≤
Vậy T = −∞( ; 0] [∪ + ∞1; )
Câu 10 Tập nghiệm bất phương trình
2x >3x+ là:
A ∅ B 2
3
; log
−∞
C (−∞; log 32 ] D 23
log 3;
+∞
Lời giải Chọn B
(9)2
2 2
3
log
log log log
2
3 log
3
x x x
⇔ > ⇔ < ⇔ <
Cách 2:
2
2
2 3 log
3
x x x
x
+
> ⇔ > ⇔ <
Mức độ
Câu Tập nghiệm bất phương trình 2
2.7x+ +7.2x+ ≤351 14x có dạng đoạn S=[ ]a b; Giá trị
b− a thuộc khoảng đây?
A. (3; 10 ) B. (−4; 2) C. ( 7; 10 ) D. 49;
Lời giải
Chọn C
2
2.7x+ +7.2x+ ≤351 14x ⇔49.7x+28.2x≤351 14x
2
7
49 28 351
14 14
x x
x x
⇔ + ≤
7
49 28 351
2
x x
x x
⇔ + ≤ Đặt ,
2
x x
t= t> bpt trở thành 49t 28 351
t
+ ≤
4
49 t
⇔ ≤ ≤ 7
49 2
x x
⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤4 x 2, S = −[ 4; 2]
Giá trị b−2a=10∈( 7; 10)
Câu Tập nghiệm bất phương trình 8 36.32
x
x x+ > − là
A
4
x x
− < <
>
B
2
log
x x
− < < −
>
C
1
x x
− < < −
>
D
3
log 18
x x
− < < −
>
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x≠ −2
2
8 36.3
x
x x+ > −
4
3
4
2 log
2
x
x
x x x
x
− −
+ −
⇔ > ⇔ > − +
( ) log 23
4
2
x
x
⇔ − + > +
3 3
4
4
log log 2
1 0
2
x x
x x
x
x x
− > >
− < <
⇔ ⇔
+ +
+ < <
+ + 4 4 x x x x >
>
<
(10)Câu Bất phương trình ( 1− ) (x+ 1+ )x >2 có nghiệm nguyên thuộc
[−2019; 2020]
A 4036 B. 4037 C 2020 D 0
Lời giải Chọn B
Ta có ( 1− )( 1+ =) Vậy đặt t=( 1+ )x, điều kiện t > Suy ( 1)x
t
− =
Bất phương trình cho trở thành ( )
2 2 0
t t t t
t+ − > ⇔ − + > >
( )
( ) ( ) ( )
2 2 1
2 2 2 1
x
x x
t x
t − x
> + ⇔ + > + ⇔ >
⇔
< − ⇔ + < − ⇔ + < + ⇔ < −
Vì x∈,x∈ −[ 2019; 2020] nên x∈,x∈ −[ 2019; 1− ∪) (1; 2020]
Ta có: [−2019; 1− ) có − −1 (2019)=2018 số nguyên
(1; 2020] có 2020 1− =2019số nguyên
Vậy nên 2018 2019+ =4037
Câu Giá trị nguyên nhỏ tham số m để bất phương trình4x−2020 2m x−1+ −3 1010m≤ có nghiệm
A. m=1 B. m=2 C. m=3 D. m=0
Lời giải
Chọn A
Đặt ,x
t= t>
Khi bất phương trình trở thành
1010 1010
t − mt+ − m≤
2 1010
1
t m
t
+
⇔ ≥
+ (do t>0)
Xét ( )
3
t f t
t
+ =
+ , ta có ( ) ( )
2
2
1
t t
f t
t
+ − ′ =
+
( )
0
3
t
f t t t
t
=
′ = ⇔ + − = ⇔
= −
0
1
t t
>
⇒ =
Để bất phương trình có nghiệm 1010m f t( ) m
>
(11)Vậy m=1 số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu toán
Câu Tìm m để bất phương trình 4x+2x+ ≤4 3m(2x+ có nghiệm 1)
A. m≤1 B. m≥1 C. m≤3 D. m≤3
Lời giải
Chọn A
Đặt t=2 ,x t>
Khi bất phương trình trở thành ( )
4 3m
t + + ≤t t+
2
1
m t t
t
+ + ≥
+ (do t>0)
Xét ( )
4
t t
f t t
+ + =
+ , ta có ( ) ( )
2
1
t t
f t
t
+ − ′ =
+
( )
0
3
t
f t t t
t
=
′ = ⇔ + − = ⇔
= −
0
1
t t
>
⇒ =
Để bất phương trình có nghiệm ( )
3m
t> f t m
⇔ ≥ = ⇔ ≥
Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 2x+ +3 2− x ≤m nghiệm với x∈ −∞( ; log 52 )
A m≥ B m≥2 C m<4 D m<2
Lời giải
Chọn A
Đặt 2x
t
= Vì x<log 52 ⇒ <0 2x<2log 52 ⇒ < < 0 t 5
Yêu cầu toán trở thành t+ +3 5− ≤ , t m ∀ ∈t ( )0;5
Xét hàm số f t( )= t+ +3 5− với t t∈( )0;5
Có ( ) 1
2 2
f t
t t
′ = −
+ −
( )
f′ t = 1
2 t t
⇒ − =
+ − ⇒ t+ =3 5−t ⇒ + = −t t⇒ = t
Bảng biến thiên
+
3
0
+∞ +∞
0
f(t) f'(t)
(12)Dựa vào bảng biến thiên ta có: m≥
Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình
( )
.4x 2x
m + m− + + − > nghiệm xm ∀ ∈ ?
A m≤ B m≥ C − ≤ ≤ m D m≥
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ⇔m.4x +4(m−1 2) x + − >m ⇔m(4x+4.2x+ > +1) 4.2x 4.2
4 4.2
x
x x
m +
⇔ >
+ +
Đặt 2x = t (Điều kiện t> ) Khi 0
2
4
4
t m
t t
+ >
+ + Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng x∀ ∈ bất phương trình 24
4
t m
t t
+ >
+ + nghiệm ∀ > t
Đặt ( ) ( )
( )
2
2 2
4
0,
4 4 1
t t t
f t f t t
t t t t
+ ′ +
= ⇒ = − < ∀ >
+ + + +
Hàm số nghịch biến (0;+∞) Khi
2
4
4
t m
t t
+ >
+ + ∀ > t m≥ f ( )0 =1
Câu Biết a số thực dương để bất phương trình ax ≥9x+1 nghiệm với x ∈ Mệnh đề sau đúng?
A a∈(10 ;103 4 B a∈(10 ;102 3 C a∈(0;102 D (10 ;4 +∞ )
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình ax ≥9x+1đúng với x ∈ phải với x= ⇒ >a 10
Do a> nên hàm số x
(13)Do hai đồ thị hàm số x
y=a y=9x+1 ln qua điểm A( )0;1 nên bất phương trình
x
a ≥ x+ nghiệm với x ∈ đường thẳng y=9x+1 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A( )0;1 ⇔ y′( )0 =9, với y′ =axlna ⇔lna=9
e
a
⇔ =
Vậy a∈(10 ;103 4
Câu Cho x, y số thực dương thoả mãn lnx+lny≥ln(x2+y) Tìm giá trị nhỏ
P= +x y
A P= B P= +2 C P= +3 2 D P= 17+
Lời giải
Chọn C
Ta có lnx+lny≥ln(x2+y)⇔lnxy≥ln(x2+y)⇔ xy≥x2+y ( )
1
y x x
⇔ − ≥ >
Mà x> , y>0 nên x>
2
1
x y
x
≥
− Suy
2
1
x
x y x
x
+ ≥ +
−
Xét hàm số ( )
1
1
x
f x x x
x x
= + = + +
− − , x>
Ta có: ( )
( )2
1
2
1
f x
x
′ = − =
−
1
2
x
⇔ = + (Do x> )1 1 2
f
⇒ + = +
Bảng biến thiên
Vậy minP= +3 2
Chú ý: Ta có tìm của f x( ) sau:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
f x x x x
x x x
= + + = − + + ≥ − + = +
− − −
Đẳng thức xảy 2( 1) 2
1
x x
x
− = = ⇔ = +
−
(14)A m≤ B m≥ C − ≤ ≤ m D m≥
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ⇔m.4x +4(m−1 2) x + − >m ⇔m(4x+4.2x+ > +1) 4.2x 4.2
4 4.2
x
x x
m +
⇔ >
+ +
Đặt 2x
t
= (Điều kiện t> ) Khi 24
t m
t t
+ >
+ + Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng x∀ ∈ bất phương trình 24
4
t m
t t
+ >
+ + nghiệm ∀ > t
Đặt ( ) ( )
( )
2
2 2
4
0,
4 4 1
t t t
f t f t t
t t t t
+ ′ +
= ⇒ = − < ∀ >
+ + + +
Hàm số nghịch biến (0;+∞) Khi
2
4
4
t m
t t
+ >
+ + ∀ > t m≥ f ( )0 =1
Mức độ
Câu Tập nghiệm bất phương trình 22 x+ − −3 x 6+15.2 x+ −3 <2x
A. (0;+∞ ) B. (1;+∞ ) C. [−3;1) D. [− +∞ 3; )
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: x≥ −
Chia hai vế bất phương trình cho 2x ≠ , ta được:
6
2 x+ − −x +15.2 x+ − <2x ⇔2 x+ − −x +15.2 x+ − −x <
( )
2 3 3 3
4.2 x+ − −x 15.2 x+ − −x
⇔ + − <
Đặt 3 ( )
2 x x ,
t= + − − t>
Bất phương trình trở thành: 15 0 3
4
t x x
t + t− < ←> → < ⇔t + − − <
( )2
1
3 3 1
3
x
x x x x x
x x
+ >
⇔ + − − < − ⇔ + < + ⇔ ⇔ > + < +
(15)Câu Tập nghiệm bất phương trình ( ) ( )( ) 2
2x−2 < 2x+2 1− 2x−1
A (−∞ ;1) B ( )0;1 C [0;1 ) D. (1;+∞ )
Lời giải
Chọn C
Điều kiện 2x− ≥ ⇔ ≥1 x
Đặt ( )
2x 1, 2x
t= − t≥ ⇒ = +t
Bất phương trình có dạng: (t2+ −1 2) (2 < t2+ +1 1)( −t)2
( 2 ) (2 2 )( )2
1 2
t t t
⇔ + − < + + −
( 2 ) (2 2 )( )2
1
t t t
⇔ − < + −
( 2 ) (2 2 )( )2
1
t t t
⇔ − − + − <
( ) (2 )2 ( 2 )
1
t t t
⇔ − + − + < ( ) (2 )
1 2
t t
⇔ − − <
( )3
1 2x 1 2x
t t x
⇔ − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình: [ )0;1
Câu Tập nghiệm bất phương trình xlog2x+x5log logx − 2x−18<0 có dạng S =( ) ( )a b; ∪ c d; ,b<c Giá trị T =4a−2b+ +c d
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: x>
Phương trình: xlog2x+x5log logx − 2x−18<0
( )
2
2 log log
log 18
x
x
x
x x
x
⇔ + − <
2
2 log
log
32
18
x
x x
x
⇔ + − <
Đặt t=xlog2x, (t> , bất phương trình có dạng: 0)
2 log
32
18 18 32 16 x 16
t t t t x
t
+ − < ⇔ − + < ⇔ < < ⇔ < <
( )2
(16)2
2
2
1 log
1
2 log
4
x x
x x
< <
< <
⇔ ⇔
− < < − < <
Vậy tập nghiệm bất phương trình 1; ( )2; 4
S = ∪
Vậy 1; 1; 2; 4
4
a= b= c= d = ⇒ =T a− b c+ + =d
Câu Bất phương trình (9 11 2+ ) (x+2 6+ ) (x−2 3− 2)x< có nghiệm nguyên
thuộc [−2019; 2020]
A 2020 B. 4040 C. 4039 D 2019
Lời giải
Chọn D
Ta có: ( ) ( ) ( )
3
9 11 3
x
x x
+ = + = +
( ) ( ) ( )
2
5 3
x
x x
+ = + = +
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x
x x
+ − = + − =
Do đó, đặt t ( 2)x,(t 0) ( 2)x
t
= + > ⇒ − =
Khi bất phương trình cho trở thành
( )( )( )
3
2 2 2
t t t t t t t t t t
t
+ − < ⇔ + − − < ⇔ − + + + < ⇔ − < <
Kết hợp với điều kiện t> , ta được: ( )
0
x
t x
< < ⇔ + < ⇔ <
Để x∈,x∈ −[ 2019; 2020] nên x∈,x∈ −[ 2019; 0) Vậy có 2019 nghiệm nguyên thỏa mãn
Câu Tập nghiệm bất phương trình 2x2+ x+ −1 1+ ≤2 2x2 +2 x−1 có dạng S =[ ]a b; Giá trị 10
T = a b−
A. B 8 C 10 D.
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện x− ≥ ⇔ ≥ x
Bất phương trình tương đương 1 1 1 1
(17)Đặt ( ) 1
2
, 0,
2
x x
u
u v
v
− − =
> ≥
=
Khi bất phương trình có dạng:
( )( ) 2
2 2
1
v v v
uv v u u v
u u
≥ = =
− − + ≤ ⇔ − − ≤ ←→ ⇔ − ≤ ≤
2 2
1
1
2
2 1
2
x x
x x
x x
− −
= = =
⇔ ⇔
≤
− − ≤
≤
Vậy kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình: S=[ ] [ ]1; = a b;
Nên T =10a b− =8
Câu Trong tất cặp số thực ( )x y th; ỏa mãn logx2+ +y2 3(2x+2y+ ≥ , có giá trị 5)
thực m để tồn cặp ( )x y cho ; 2
4 13
x +y + x+ y+ − = ?m
A 1 B 2 C 3 D 0
Lời giải
Chọn B
Ta có: 2 ( )
3
logx+ +y 2x+2y+ ≥5 1⇔2x+2y+ ≥5 x2 +y2+
2
2 2
x y x y
⇔ + − − − ≤ ( ) (2 )2
1
⇔ x− + y− ≤ ( )1
( )1 hình trịn ( )C tâm I1( )1;1 , bán kính R1=
Mặt khác x2+y2+4x+6y+ − =13 m ⇔(x+2) (2+ y+3)2 =m( )2
Với m= , ( )2 = − ⇔ = −
x
y Ta thấy (x y; ) (= − −2; 3) khơng thỏa mãn bất phương trình ( )1
Với m< , không tồn cặp ( )x y th; ỏa mãn ( )2
Với m> phương trình ( )2 phương trình đường trịn ( )C′ tâm I2(− − , bán kính 2; 3)
2
(18)Tồn cặp số( )x y th; ỏa mãn hệ( )1 ( )2 ( )C ( )C′ có một
điểm chung ⇔ hình trịn ( )C đường trịn ( )C′ tiếp xúc ngồi với nhau, hình
tròn ( )C nằm ( )C′ tiếp xúc với 2
1 2
I I R R
I I R R
= +
⇔ = −
5
5
m
m
= +
⇔
= −
49
m
m
= ⇔ =
Vậy có 2giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
Câu Cho bất phương trình
.3x (3 2)(4 )x (4 )x
m + + m+ − + + > , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x∈ −∞( ; 0)
A 2
3
m> + B 2
3
m> − C 2
3
m≥ − D 2
3
m≥ − −
Lời giải
Chọn B
1
.3x (3 2).(4 )x (4 )x
m + + m+ − + + >
4 7
3 (3 2)
3
x x
m m − +
⇔ + + + >
Đặt
3
x
t= +
Khi x< 00 < < t
BPT trở thành 3m 3m t 0,
t
+
+ + > ∀ ∈t ( )0;1
2
3 ,
1
t m
t
− − ⇔ >
+ ∀ ∈t ( )0;1
Xét
2 ( ) t ,
f t = − −
(19)2
2
( )
1
t t t
f t t
t
− − +
= = ⇔ = −
+
Vậy ycbt 3 2 3
m − m −
⇔ > ⇔ >
Câu Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4x2− −2x 1− −(1 2m).10x2− −2x1+m.25x2− −2x1≤
nghiệm với 1; 2
x∈
A m<0 B 100
841
m≥ C
4
m≤ D 100
841
m≤
Lời giải
Chọn D
( )
2 2
2 2
.4x x 10x x 25x x
m − − − − m − − +m − − ≤
( ) ( )
2
2 2 1 2.
5
1
2
x x x x
m m m
− − − −
⇔ − − + ≤
( )1
Đặt
2
x x
t
− −
= , Xét ( )
2
u x = x − x− , 1; 2
x
∀
( ) 2
u x′ = x− ; u x′( )= ⇔ =0 x
1
2
u = −
; u( )1 = −2;u( )2 = −1 ( ) ; 2
minu x
⇒ = − , ( )
1 ; 2
maxu x
= −
4
25 t ⇒ ≤ ≤
( ) ( )
1 ⇔ − −m 2m t +m t ≤
( )
2
1
mt m t m
⇔ − − + ≤
( )
2
m t t t
⇔ + + ≤
t
(20)Xét hàm số ( ) 2
2
t f t
t t
=
+ + ,
4 ; 25
t∈
( ) ( 2 )
1
t
f t
t t
− + ′ =
+ + ; ( )
( ) ( )
2
0
1
t l
f t t
t l
= − ′ = ⇔ − + = ⇔
=
4 100 25 841
f =
;
2 10 49
f =
( )
4 ; 25
100
841
f t
⇒ =
Vậy 100 841
m≤ bất phương trình nghiệm với 1; 2
x∈
Câu Cho bất phương trình log7(x2+2x+ + >2) log7(x2+6x+ +5 m) Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình có tập ngiệm chứa khoảng ( )1;3 ?
A 35 B 36 C 34 D 33
Lời giải
Chọn C
( ) ( )
7
log x +2x+ + >2 log x +6x+ +5 m
( ) ( )
2
2
7
6
log 2 log
x x m
x x x x m
+ + + >
⇔
+ + > + + +
2
2
6
6
m x x
x x m
> − − −
⇔
+ + >
( ) ( ) ( ) ( )
1;3
1;3 max
min
m f x
m g x
> ⇔
<
, với ( )
2
6
f x = − −x x− ; ( )
6
g x = x + x+
Xét biến thiên hai hàm số f x( ) g x( )
+ f′( )x = − − < ∀ ∈2x 0, x ( )1;3 ⇒ f x( ) nghịch biến khoảng ( )1;3
( )1;3 ( ) ( )
max f x f 12
⇒ = = −
+ g x′( )=12x+ > ∀ ∈8 0, x ( )1;3 ⇒g x( ) đồng biến khoảng ( )1;3
( )1;3 ( ) ( )
ming x g 23
⇒ = =
Khi 12− < <m 23
Mà m∈ nên m∈ −{ 11; 10; ; 22− }
(21)Câu 10 Trong nghiệm (x y; ) thỏa mãn bất phương trình logx2+2y2(2x+y)≥ Giá trị lớn
biểu thức T =2x+y bằng:
A 9
4 B
9
2 C
9
8 D 9
Lời giải
Chọn B
Trường hợp 1: 2
2
x + y > Đặt 2 y=z Suy ⇔x2+z2 >1 1( )
( )
2 2
log
x+ y x+y ≥
2
2x y x 2y
⇔ + ≥ +
2 2
2
z
x x z
⇔ + ≥ +
( )2 ( )
1
8 2
x z
⇔ − + − ≤
Tập hợp điểm M x z( ); miền ( )H bao gồm miền ngồi hình trịn ( ) 2
1 :
C x +z =
và miền hình trịn ( ) ( )
2
2
1
:
8 2
C x− +z− =
Hệ ( )
2
2
2
1
1
8 2
1
z
T x
x z
x z
= +
− + − ≤
+ >
có nghiệm đường thẳng :2
z
d x+ − = T có điểm chung
với miền ( )H
Để T đạt giá trị lớn đường thẳng :2
z
d x+ − = tiT ếp xúc với đường tròn ( )C2
( )
;
d I d
(22)1
3
1 2
4
T
+ −
⇔ =
+
9 4
T
⇔ − =
0 ( )
9
T l
T
= ⇔
=
Trường hợp 2: 2 0<x +2y <
( )
2 2
log
x + y x+y ≥
2
2x y x 2y
⇔ + ≤ + ⇔ =T 2x+ <y (loại)
Vậy giá trị lớn biểu thức T =2x+y max