Chuyên đề bất phương trình mũ - logarit

+ Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng các phương pháp.. + Biến đổi đưa về bất phương trình cơ bản.[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

+ Nếu a> , b> bất phương trình ax > ⇔ >b x logab

+ Nếu 0< < , a b> bất phương trình ax > ⇔ <b x logab

+ Nếu a> bất phương trình af x( ) >ag x( ) ⇔ f x

( )

>g x

( )

+ Nếu 0< < bất phương trình a af x( ) >ag x( ) ⇔ f x

( )

<g x

( )

( Tương tự với bất phương trình x

a <b; x

a ≥b; x

a ≤b; af x( ) <ag x( ); af x( ) ≥ag x( ); af x( ) ≤ag x( )) + Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng phương pháp

+ Biến đổi đưa bất phương trình

+ Đặt ẩn phụ

+ Logarit hóa

+ Hàm số

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Dạng bpt mũ  PP đưa số  PP đặt ẩn phụ

 PP logarit hóa

 Phương pháp phân tích thành tích

 Phương pháp hàm số, đánh giá

 Bài toán bpt nghiệm với x thuộc K

 Bài tốn bpt có nghiệm, vô nghiệm K

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Tập nghiệm bất phương trình 9x+2.3x− >3

A

[

0;+∞

)

B

(

0;+∞

)

C

(

1;+∞

)

D

[

1;+∞

)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn giải bất phương trình mũ

………

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:Đặt t=3x >

B2:Giải bất phương trình bậc hai theo t

B3: Trả lại phép đặt để tìm x

Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Lời giải Chọn B

Đặt t=3 ,x

(

t >0

)

ta được: 2 3 1

t

t t t

t

< − 

+ − > ⇔ > ⇒ > 

Với t> ⇔1 3x > ⇔ > x

Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S =

(

0;+∞

)

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu Tập nghiệm bất phương trình

3

3

4

x− − x

  ≤         

A  B.

(

−∞;1

]

C

[

3;+∞

)

D

[

1;+∞

)

Lời giải

Chọn D

3

3

3

4

x x

x x x

− −

  ≤  ⇔ − ≥ − ⇔ ≥    

   

Câu Nghiệm bất phương trình

9 17 11

1

2

x − x+ − x

  ≥ 

   

   

A

3

x= B

3

x> C

3

x≠ D

3

x≤

Lời giải

Chọn A

2

9 17 11

2

1 2

9 17 11 12 0

2 3

x x x

x x x x x x x

− + −

  ≥  ⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔ −  ≤ ⇔ =

     

     

Câu Tập nghiệm S bất phương trình log 13

(

− <x

)

log 23

(

x+ là3

)

A. 2;1

3

S = − 

  B

2 ;

S = − +∞

  C

2 ;

3

S= −∞ − 

  D S= +∞

(

1;

)

Lời giải

Bất phương trình tương đương với

1

x

x x

− > 

 − < + 

1

2

x

x

<   ⇔  > −



2

1 x ⇔ − < <

Câu Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 1

(

)

1

(

)

2

log 4x− >9 log x+10

A 6 B 4 C 0 D Vô số

Lời giải

Chọn B

Điều kiện bất phương trình

x>

Khi bất phương trình cho thành 10 19

x− < +x ⇔ <x (Do 1

a= < )

So điều kiện ta 19 4< <x Do x∈ nên x∈

{

3, 4, 5, 6

}

Câu Tập nghiệm S bất phương trình

4x+ −5.2x+ ≤

A S = −

{ }

1;1 B S = −

[

1;1

]

C S = −∞ − ∪ +∞

(

; 1

] [

1;

)

D S= −

(

1;1

)

Lời giải

Chọn B

Ta có

4x+ −5.2x+ ≤ ⇔

2.2 x−5.2x+ ≤2 ⇔

2 1

2

x

x

≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −

[

1;1

]

Câu Tập nghiệm bất phương trình log6x

(

5−x

)

<1 là:

A

( ) ( )

0; ∪ 3;5 B

( )

2;3 C

( ) { }

0;5 \ 2;3 D

( ) ( )

0;3 ∪ 3;5

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: x

(

5−x

)

> ⇔ < < 0 x

Ta có: log6

(

5

)

(

5

)

6

x

x x x x x x

x

<  − < ⇔ − < ⇔ − + − < ⇔

  

  >

 Kết hợp với điều kiện ta có x∈

( ) ( )

0; ∪ 3;5

Câu Tập nghiệm bất phương trình

(

) (

)

1

6− x− ≥ 6+ x− thì:

A

[

2;+∞

)

B

[

1;+∞

)

C.

(

−∞; 2

]

D.

(

−∞ ;1

]

Ta có

(

6−

) (

6+ 5

)

= nên:

(

5

) (

5

)

−

− = +

(

) (

)

1

6− x− ≥ 6+ x−

(

)

(

)

2

6 − +x x− x 2x 3x x

⇔ + ≥ + ⇔ − + ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≤

Câu Tập nghiệm bất phương trình

2 3 x x + −   >  

 

A

(

2;+∞

)

B

( )

1; C

(

1;

]

D

[

2;+∞

)

Lời giải Chọn A Ta có: 3 x x + −   >  

  ⇔

2

1

3

x+ x

  > 

   

    ⇔ x+ < x

2 x x x ≥ −  ⇔  + <

 ⇔

2 x x x x  ≥ −  > 

 − − >  ⇔ x x x >   < − 

  > 

⇔ x>2

Câu Giải bất phương trình:

2

3

4

x− − +x

  ≤     

    ta nghiệm

A x≥1 B x<1 C x≤1 D x>1

Lời giải Chọn A

Bất phương trình tương đương

2 2

3 3

2

4 4

x x x x

x x x

− − + − −

  ≤  ⇔  ≤  ⇔ − ≥ − ⇔ ≥        

       

Câu 10 Bất phương trình log4

(

x+7

)

>log2

(

x+ có tập nghiệm 1

)

A

(

5;+ ∞

)

B

(

−1; 2

)

C

( )

2; D

(

−3; 2

)

Lời giải Chọn B

Điều kiện: x > −1

(

)

(

)

4

log x+7 >log x+1 ⇔ 1log2

(

7

)

log2

(

1

)

x+ > x+

1 x x x + >  ⇔ 

+ > +



(

)

2

1 x x x > −  ⇔ 

+ > +

 x x x > −  ⇔ 

+ − <  x x > − 

⇔ − < <

 Mức độ

Câu Tìm số nghiệm nguyên dương bất phương trình

2 2

1

5 125

x − x

  ≥

 

 

A. B. C 4 D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

2 2 2 3

2

1 1

2 3

5 125 5

x x x x

x x x x x

− −

  ≥ ⇔  ≥  ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

     

     

Nghiệm nguyên dương bất phương trình là: 1; 2;

Câu Cho f x

( )

=x.e−3x Tập nghiệm bất phương trình f′

( )

x >

A 0;1    

  B

( )

0;1 C

1 ;  + ∞

 

  D

1 ;

3 −∞ 

 

 

Lời giải

Chọn D

Ta có f′

( )

x =e−3x−3 ex −3x = −

(

1 3x

)

e−3x

( )

f′ x > ⇔ −

(

1 3x

)

e−3x >

x

⇔ <

Vậy tập nghiệm bất phương trình ;1 −∞ 

 

 

Câu Biết S =

[ ]

a b; tập nghiệm bất phương trình 3.9x−10.3x+ ≤3 Tìm T = − b a

A

3

T = B T =1 C. 10

3

T = D. T =2

Lời giải Chọn D

Ta có 3.9x−10.3x+ ≤3 ⇔3 3

( )

x 2−10.3x+ ≤ 3 3

x

⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ x

Khi bất phương trình có tập nghiệm S = −

[

1;1

]

, T = − − =

( )

1

Câu Tập nghiệm của bất phương trình 1

1 log x

x

− >

A. 1;

S = +∞

  B

1 0;

3

S=  

  C.

1 ;

S=  

  D.

1 ;

3

S = −∞ 

 

Lời giải

Chọn C

Xét bất phương trình 1

1 log x

x

− >

điều kiện 0;1

x∈ 

Ta có: 1

1 2

log x x

x x

− > ⇒ − <

1

1 0

x x

x x

− −

⇔ − < ⇔ <

Mặt khác 0;1

x∈ 

 

1

3 x ⇒ < <

Câu Có nghiệm nguyên âm lớn −2021 bất phương trình

(

2 3

) (

x 3

)

x + − > +

là

A. 2019 B. 2020 C 2021 D. 2018

Lời giải

Chọn A

Vì

(

2 3

) (

x 3

)

x

(

2 3

) (

x 3

)

x −

− + = ⇔ − = +

Nên

(

) (

)

(

) (

)

2

2− x > 2+ x+ ⇔ 2+ −x > 2+ x+ ⇔ − > + ⇔ < − x x x

Mà x∈,x> −2021 nên có x∈ −, 2021< < −x Vậy có − − −1

(

2021

)

− =1 2019 nghiệm nguyên

Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình

2

2

3

3

2

log log

3

x x

x x

   

− + − <

   

   

A. x = B. 1;

S =  

  C.

1 ;1

S =  

  D.

1 ;5

S=  

 

Lời giải

Chọn D

ĐK:

2

2

0

3

x

x− > ⇔ < < x

BPT

2

2

3

2x 2x

log x log x

3

   

⇔  − −  − − <

   

2

3 2

2x x

2x 3

1 log x x

3 2x

x

3 

− > 

  

⇔ − <  − < ⇔ ⇔ < < 

  − <



Câu Biết tập nghiệm S bất phương trình 3

(

)

6

logπ log x−2 >0 khoảng

( )

a b Tính ; b a−

A 2 B 4 C 3 D 5

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: 2

(

)

log

x x

− > 

 − > 

2

x

x

>  ⇔  − >



2

x

x

>  ⇔  >

(

)

3

logπ log x−2 >0 ⇔log3

(

x−2

)

<1⇔ − <x 3⇔ <x

So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S =

( )

3;5 Do đó: b a− = −5 3=

Câu Cho

( )

1.52

2

x

f x = + ; g x

( )

=5x+4 ln 5x Tập nghiệm bất phương trình f′

( )

x >g x′

( )

A x<0 B x>1 C 0< <x D x>0

Lời giải

Chọn D

Ta có:

( )

1.52 2

(

ln 5

)

52 1.ln

x x

f′ x = + x+ ′ = +

Và: g x′

( )

=5 ln ln 5x + =

(

5x+4 ln 5

)

Do đó: f′

( )

x >g x′

( )

⇔52x+1.ln 5>

(

5x+4 ln 5

)

5 x+ 5x

⇔ > +

5.5 x 5x ⇔ − − >

( )

4

5

x

x

VN

 < −  ⇔ 

> 

5x

⇔ > ⇔ >x

Vậy nghiệm bất phương trình cho x>0

Câu Tập nghiệm bất phương trình 16x−5.4x+ ≥4 là:

A T = −∞ ∪

(

;1

) (

4;+ ∞

)

B T = −∞ ∪

(

;1

] [

4;+ ∞

)

C T = −∞

(

; 0

) (

∪ + ∞ 1;

)

D T = −∞

(

; 0

] [

∪ + ∞ 1;

)

Lời giải

Chọn C

Đặt t=4x, t>0

16x−5.4x+ ≥4 trở thành t2−5.t+ ≥4

t

t

≥  ⇔  ≤



4

0

t

t

≥  ⇔  < ≤



4

0

x x

 ≥ ⇔ 

< ≤ 

1

x

x

≥  ⇔  ≤



Vậy T = −∞

(

; 0

] [

∪ + ∞1;

)

Câu 10 Tập nghiệm bất phương trình

2x >3x+ là:

A ∅ B 2

3

; log

 

−∞

 

  C

(

−∞; log 32

]

D 23

log 3;

 

+∞

 

 

Lời giải Chọn B

2

2 2

3

log

log log log

2

3 log

3

x x x

⇔ > ⇔ < ⇔ <

Cách 2:

2

2

2 3 log

3

x x x

x

+  

> ⇔  > ⇔ <

 

 Mức độ

Câu Tập nghiệm bất phương trình 2

2.7x+ +7.2x+ ≤351 14x có dạng đoạn S=

[ ]

a b; Giá trị

b− a thuộc khoảng đây?

A.

(

3; 10

)

B.

(

−4; 2

)

C.

(

7; 10

)

D. 49;

 

 

 

Lời giải

Chọn C

2

2.7x+ +7.2x+ ≤351 14x ⇔49.7x+28.2x≤351 14x

2

7

49 28 351

14 14

x x

x x

⇔ + ≤

7

49 28 351

2

x x

x x

⇔ + ≤ Đặt ,

2

x x

t= t> bpt trở thành 49t 28 351

t

+ ≤

4

49 t

⇔ ≤ ≤ 7

49 2

x x

⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤4 x 2, S = −

[

4; 2

]

Giá trị b−2a=10∈

(

7; 10

)

Câu Tập nghiệm bất phương trình 8 36.32

x

x x+ > − là

A

4

x x

− < < 

 >

 B

2

log

x x

− < < − 

 > 

C

1

x x

− < < − 

 >

 D

3

log 18

x x

− < < − 

 > 

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x≠ −2

2

8 36.3

x

x x+ > −

4

3

4

2 log

2

x

x

x x x

x

− −

+ −

⇔ > ⇔ > − +

(

)

log 23

4

2

x

x

 

⇔ −  + > +

  3 3

4

4

log log 2

1 0

2

x x

x x

x

x x

− > >

 

 − <  <

 

 

⇔  ⇔ 

  + +

+ < <

 +  +   4 4 x x x x >

  >

 < 



Câu Bất phương trình

(

1−

) (

x+ 1+

)

x >2 có nghiệm nguyên thuộc

[

−2019; 2020

]

A 4036 B. 4037 C 2020 D 0

Lời giải Chọn B

Ta có

(

1−

)(

1+ =

)

Vậy đặt t=

(

1+

)

x, điều kiện t > Suy

(

1

)

x

t

− =

Bất phương trình cho trở thành

(

)

2 2 0

t t t t

t+ − > ⇔ − + > >

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 1

2 2 2 1

x

x x

t x

t − x

 > + ⇔ + > + ⇔ > 

⇔ 

< − ⇔ + < − ⇔ + < + ⇔ < − 

Vì x∈,x∈ −

[

2019; 2020

]

nên x∈,x∈ −

[

2019; 1− ∪

) (

1; 2020

]

Ta có:

[

−2019; 1−

)

có − −1

(

2019

)

=2018 số nguyên

(

1; 2020

]

có 2020 1− =2019số nguyên

Vậy nên 2018 2019+ =4037

Câu Giá trị nguyên nhỏ tham số m để bất phương trình4x−2020 2m x−1+ −3 1010m≤ có nghiệm

A. m=1 B. m=2 C. m=3 D. m=0

Lời giải

Chọn A

Đặt ,x

t= t>

Khi bất phương trình trở thành

1010 1010

t − mt+ − m≤

2 1010

1

t m

t

+

⇔ ≥

+ (do t>0)

Xét

( )

3

t f t

t

+ =

+ , ta có

( )

(

)

2

2

1

t t

f t

t

+ − ′ =

+

( )

0

3

t

f t t t

t

= 

′ = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

0

1

t t

>

⇒ =

Để bất phương trình có nghiệm 1010m f t

( )

m

>

Vậy m=1 số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu toán

Câu Tìm m để bất phương trình 4x+2x+ ≤4 3m

(

2x+ có nghiệm 1

)

A. m≤1 B. m≥1 C. m≤3 D. m≤3

Lời giải

Chọn A

Đặt t=2 ,x t>

Khi bất phương trình trở thành

(

)

4 3m

t + + ≤t t+

2

1

m t t

t

+ + ≥

+ (do t>0)

Xét

( )

4

t t

f t t

+ + =

+ , ta có

( )

(

)

2

1

t t

f t

t

+ − ′ =

+

( )

0

3

t

f t t t

t

= 

′ = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

0

1

t t

>

⇒ =

Để bất phương trình có nghiệm

( )

3m

t> f t m

⇔ ≥ = ⇔ ≥

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 2x+ +3 2− x ≤m nghiệm với x∈ −∞

(

; log 52

)

A m≥ B m≥2 C m<4 D m<2

Lời giải

Chọn A

Đặt 2x

t

= Vì x<log 52 ⇒ <0 2x<2log 52 ⇒ < < 0 t 5

Yêu cầu toán trở thành t+ +3 5− ≤ , t m ∀ ∈t

( )

0;5

Xét hàm số f t

( )

= t+ +3 5− với t t∈

( )

0;5

Có

( )

1

2 2

f t

t t

′ = −

+ −

( )

f′ t = 1

2 t t

⇒ − =

+ − ⇒ t+ =3 5−t ⇒ + = −t t⇒ = t

Bảng biến thiên

+

3

0

+∞ +∞

0

f(t) f'(t)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: m≥

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình

(

)

.4x 2x

m + m− + + − > nghiệm xm ∀ ∈  ?

A m≤ B m≥ C − ≤ ≤ m D m≥

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình ⇔m.4x +4

(

m−1 2

)

x + − >m ⇔m

(

4x+4.2x+ > +1

)

4.2x 4.2

4 4.2

x

x x

m +

⇔ >

+ +

Đặt 2x = t (Điều kiện t> ) Khi 0

2

4

4

t m

t t

+ >

+ + Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng x∀ ∈  bất phương trình 24

4

t m

t t

+ >

+ + nghiệm ∀ > t

Đặt

( )

( )

(

)

2

2 2

4

0,

4 4 1

t t t

f t f t t

t t t t

+ ′ +

= ⇒ = − < ∀ >

+ + + +

Hàm số nghịch biến

(

0;+∞

)

Khi

2

4

4

t m

t t

+ >

+ + ∀ > t m≥ f

( )

0 =1

Câu Biết a số thực dương để bất phương trình ax ≥9x+1 nghiệm với x ∈ Mệnh đề sau đúng?

A a∈

(

10 ;103 4 B a∈

(

10 ;102 3 C a∈

(

0;102 D

(

10 ;4 +∞

)

Lời giải

Chọn A

Bất phương trình ax ≥9x+1đúng với x ∈ phải với x= ⇒ >a 10

Do a> nên hàm số x

Do hai đồ thị hàm số x

y=a y=9x+1 ln qua điểm A

( )

0;1 nên bất phương trình

x

a ≥ x+ nghiệm với x ∈  đường thẳng y=9x+1 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A

( )

0;1 ⇔ y′

( )

0 =9, với y′ =axlna ⇔lna=9

e

a

⇔ =

Vậy a∈

(

10 ;103 4

Câu Cho x, y số thực dương thoả mãn lnx+lny≥ln

(

x2+y

)

Tìm giá trị nhỏ

P= +x y

A P= B P= +2 C P= +3 2 D P= 17+

Lời giải

Chọn C

Ta có lnx+lny≥ln

(

x2+y

)

⇔lnxy≥ln

(

x2+y

)

⇔ xy≥x2+y

(

)

1

y x x

⇔ − ≥ >

Mà x> , y>0 nên x>

2

1

x y

x

≥

− Suy

2

1

x

x y x

x

+ ≥ +

−

Xét hàm số

( )

1

1

x

f x x x

x x

= + = + +

− − , x>

Ta có:

( )

(

)

2

1

2

1

f x

x

′ = − =

−

1

2

x

⇔ = + (Do x> )1 1 2

f  

⇒  + = +

 

Bảng biến thiên

Vậy minP= +3 2

Chú ý: Ta có tìm của f x

( )

sau:

( )

(

)

(

)

2 2 2

1 1

f x x x x

x x x

= + + = − + + ≥ − + = +

− − −

Đẳng thức xảy 2

(

1

)

2

1

x x

x

− = = ⇔ = +

−

A m≤ B m≥ C − ≤ ≤ m D m≥

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình ⇔m.4x +4

(

m−1 2

)

x + − >m ⇔m

(

4x+4.2x+ > +1

)

4.2x 4.2

4 4.2

x

x x

m +

⇔ >

+ +

Đặt 2x

t

= (Điều kiện t> ) Khi 24

t m

t t

+ >

+ + Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng x∀ ∈  bất phương trình 24

4

t m

t t

+ >

+ + nghiệm ∀ > t

Đặt

( )

( )

(

)

2

2 2

4

0,

4 4 1

t t t

f t f t t

t t t t

+ ′ +

= ⇒ = − < ∀ >

+ + + +

Hàm số nghịch biến

(

0;+∞

)

Khi

2

4

4

t m

t t

+ >

+ + ∀ > t m≥ f

( )

0 =1

 Mức độ

Câu Tập nghiệm bất phương trình 22 x+ − −3 x 6+15.2 x+ −3 <2x

A.

(

0;+∞

)

B.

(

1;+∞

)

C.

[

−3;1

)

D.

[

− +∞ 3;

)

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: x≥ −

Chia hai vế bất phương trình cho 2x ≠ , ta được:

6

2 x+ − −x +15.2 x+ − <2x ⇔2 x+ − −x +15.2 x+ − −x <

( )

2 3 3 3

4.2 x+ − −x 15.2 x+ − −x

⇔ + − <

Đặt 3

(

)

2 x x ,

t= + − − t>

Bất phương trình trở thành: 15 0 3

4

t x x

t + t− < ←> → < ⇔t + − − <

(

)

2

1

3 3 1

3

x

x x x x x

x x

+ > 

⇔ + − − < − ⇔ + < + ⇔ ⇔ > + < +



Câu Tập nghiệm bất phương trình

(

) (

)

(

)

2

2x−2 < 2x+2 1− 2x−1

A

(

−∞ ;1

)

B

( )

0;1 C

[

0;1

)

D.

(

1;+∞

)

Lời giải

Chọn C

Điều kiện 2x− ≥ ⇔ ≥1 x

Đặt

(

)

2x 1, 2x

t= − t≥ ⇒ = +t

Bất phương trình có dạng:

(

t2+ −1 2

) (

2 < t2+ +1 1

)

(

−t

)

2

(

2

) (

2 2

)

(

)

2

1 2

t t t

⇔ + − < + + −

(

2

) (

2 2

)

(

)

2

1

t t t

⇔ − < + −

(

2

) (

2 2

)

(

)

2

1

t t t

⇔ − − + − <

(

) (

2

)

2

(

2

)

1

t  t t 

⇔ −  + − + <

( ) (

2

)

1 2

t t

⇔ − − <

(

)

3

1 2x 1 2x

t t x

⇔ − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình:

[ )

0;1

Câu Tập nghiệm bất phương trình xlog2x+x5log logx − 2x−18<0 có dạng S =

( ) ( )

a b; ∪ c d; ,b<c Giá trị T =4a−2b+ +c d

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: x>

Phương trình: xlog2x+x5log logx − 2x−18<0

(

)

2

2 log log

log 18

x

x

x

x x

x

⇔ + − <

2

2 log

log

32

18

x

x x

x

⇔ + − <

Đặt t=xlog2x,

(

t> , bất phương trình có dạng: 0

)

2 log

32

18 18 32 16 x 16

t t t t x

t

+ − < ⇔ − + < ⇔ < < ⇔ < <

(

)

2

2

2

2

1 log

1

2 log

4

x x

x x

< < 

< <

 

⇔ ⇔



− < < − < <

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình 1;

( )

2; 4

S = ∪

 

Vậy 1; 1; 2; 4

4

a= b= c= d = ⇒ =T a− b c+ + =d

Câu Bất phương trình

(

9 11 2+

) (

x+2 6+

) (

x−2 3− 2

)

x< có nghiệm nguyên

thuộc

[

−2019; 2020

]

A 2020 B. 4040 C. 4039 D 2019

Lời giải

Chọn D

Ta có:

(

) (

)

(

)

3

9 11 3

x

x    x

+ = +  = + 

   

(

) (

)

(

)

2

5 3

x

x    x

+ = +  = + 

   

(

2

) (

2

) (

2

)(

2

)

x

x x

 

+ − = + −  =

Do đó, đặt t

(

2

)

x,

(

t 0

)

(

2

)

x

t

= + > ⇒ − =

Khi bất phương trình cho trở thành

(

)(

)

(

)

3

2 2 2

t t t t t t t t t t

t

+ − < ⇔ + − − < ⇔ − + + + < ⇔ − < <

Kết hợp với điều kiện t> , ta được:

(

)

0

x

t x

< < ⇔ + < ⇔ <

Để x∈,x∈ −

[

2019; 2020

]

nên x∈,x∈ −

[

2019; 0

)

Vậy có 2019 nghiệm nguyên thỏa mãn

Câu Tập nghiệm bất phương trình 2x2+ x+ −1 1+ ≤2 2x2 +2 x−1 có dạng S =

[ ]

a b; Giá trị 10

T = a b−

A. B 8 C 10 D.

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện x− ≥ ⇔ ≥ x

Bất phương trình tương đương 1 1 1 1

Đặt

(

)

1

2

, 0,

2

x x

u

u v

v

− −  =

 > ≥

 =



Khi bất phương trình có dạng:

(

)(

)

2

2 2

1

v v v

uv v u u v

u u

≥  =  =

− − + ≤ ⇔ − − ≤ ←→ ⇔ − ≤  ≤



2 2

1

1

2

2 1

2

x x

x x

x x

− −

 =  =  =

⇔ ⇔

   ≤

− − ≤ 



 ≤ 



Vậy kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình: S=

[ ] [ ]

1; = a b;

Nên T =10a b− =8

Câu Trong tất cặp số thực

( )

x y th; ỏa mãn logx2+ +y2 3

(

2x+2y+ ≥ , có giá trị 5

)

thực m để tồn cặp

( )

x y cho ; 2

4 13

x +y + x+ y+ − = ?m

A 1 B 2 C 3 D 0

Lời giải

Chọn B

Ta có: 2

(

)

3

logx+ +y 2x+2y+ ≥5 1⇔2x+2y+ ≥5 x2 +y2+

2

2 2

x y x y

⇔ + − − − ≤

(

) (

2

)

2

1

⇔ x− + y− ≤

( )

1

( )

1 hình trịn

( )

C tâm I1

( )

1;1 , bán kính R1=

Mặt khác x2+y2+4x+6y+ − =13 m ⇔

(

x+2

) (

2+ y+3

)

2 =m

( )

2

Với m= ,

( )

2 = −  ⇔  = −



x

y Ta thấy

(

x y;

) (

= − −2; 3

)

khơng thỏa mãn bất phương trình

( )

1

Với m< , không tồn cặp

( )

x y th; ỏa mãn

( )

2

Với m> phương trình

( )

2 phương trình đường trịn

( )

C′ tâm I2

(

− − , bán kính 2; 3

)

2

Tồn cặp số

( )

x y th; ỏa mãn hệ

( )

1

( )

2

( )

C

( )

C′ có một

điểm chung ⇔ hình trịn

( )

C đường trịn

( )

C′ tiếp xúc ngồi với nhau, hình

tròn

( )

C nằm

( )

C′ tiếp xúc với 2

1 2

I I R R

I I R R

= + 

⇔  = −



5

5

m

m

 = +

⇔ 

= −



49

m

m

=  ⇔  =



Vậy có 2giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu Cho bất phương trình

.3x (3 2)(4 )x (4 )x

m + + m+ − + + > , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x∈ −∞

(

; 0

)

A 2

3

m> + B 2

3

m> − C 2

3

m≥ − D 2

3

m≥ − −

Lời giải

Chọn B

1

.3x (3 2).(4 )x (4 )x

m + + m+ − + + >

4 7

3 (3 2)

3

x x

m m  −   + 

⇔ + +   +  >

   

Đặt

3

x

t=  + 

 

Khi x< 00 < < t

BPT trở thành 3m 3m t 0,

t

+

+ + > ∀ ∈t

( )

0;1

2

3 ,

1

t m

t

− − ⇔ >

+ ∀ ∈t

( )

0;1

Xét

2 ( ) t ,

f t = − −

2

2

( )

1

t t t

f t t

t

− − +

= = ⇔ = −

+

Vậy ycbt 3 2 3

m − m −

⇔ > ⇔ >

Câu Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4x2− −2x 1− −

(

1 2m

)

.10x2− −2x1+m.25x2− −2x1≤

nghiệm với 1; 2

x∈  

 

A m<0 B 100

841

m≥ C

4

m≤ D 100

841

m≤

Lời giải

Chọn D

(

)

2 2

2 2

.4x x 10x x 25x x

m − − − − m − − +m − − ≤

(

)

( )

2

2 2 1 2.

5

1

2

x x x x

m m m

− − − −

   

⇔ − −   +   ≤

   

( )

1

Đặt

2

x x

t

− −  

=    , Xét

( )

2

u x = x − x− , 1; 2

x 

∀  

( )

2

u x′ = x− ; u x′

( )

= ⇔ =0 x

1

2

u  = − 

  ; u

( )

1 = −2;u

( )

2 = −1

( )

; 2

minu x  

   

⇒ = − ,

( )

1 ; 2

maxu x  

   

= −

4

25 t ⇒ ≤ ≤

( )

(

)

1 ⇔ − −m 2m t +m t ≤

(

)

2

1

mt m t m

⇔ − − + ≤

(

)

2

m t t t

⇔ + + ≤

t

Xét hàm số

( )

2

2

t f t

t t

=

+ + ,

4 ; 25

t∈  

 

( )

(

2

)

1

t

f t

t t

− + ′ =

+ + ;

( )

( )

( )

2

0

1

t l

f t t

t l

= −  ′ = ⇔ − + = ⇔ 

= 

4 100 25 841

f   =

  ;

2 10 49

f   = 

 

( )

4 ; 25

100

841

f t

     

⇒ =

Vậy 100 841

m≤ bất phương trình nghiệm với 1; 2

x∈  

 

Câu Cho bất phương trình log7

(

x2+2x+ + >2

)

log7

(

x2+6x+ +5 m

)

Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình có tập ngiệm chứa khoảng

( )

1;3 ?

A 35 B 36 C 34 D 33

Lời giải

Chọn C

(

)

(

)

7

log x +2x+ + >2 log x +6x+ +5 m

(

)

(

)

2

2

7

6

log 2 log

x x m

x x x x m

 + + + > 

⇔   

+ + > + + +

  



2

2

6

6

m x x

x x m

 > − − − 

⇔ 

+ + > 

( )

( )

( )

( )

1;3

1;3 max

min

m f x

m g x

>   ⇔ 

<

 , với

( )

2

6

f x = − −x x− ;

( )

6

g x = x + x+

Xét biến thiên hai hàm số f x

( )

g x

( )

+ f′

( )

x = − − < ∀ ∈2x 0, x

( )

1;3 ⇒ f x

( )

nghịch biến khoảng

( )

1;3

( )1;3

( )

( )

max f x f 12

⇒ = = −

+ g x′

( )

=12x+ > ∀ ∈8 0, x

( )

1;3 ⇒g x

( )

đồng biến khoảng

( )

1;3

( )1;3

( )

( )

ming x g 23

⇒ = =

Khi 12− < <m 23

Mà m∈ nên m∈ −

{

11; 10; ; 22−

}

Câu 10 Trong nghiệm

(

x y;

)

thỏa mãn bất phương trình logx2+2y2

(

2x+y

)

≥ Giá trị lớn

biểu thức T =2x+y bằng:

A 9

4 B

9

2 C

9

8 D 9

Lời giải

Chọn B

Trường hợp 1: 2

2

x + y > Đặt 2 y=z Suy ⇔x2+z2 >1 1

( )

(

)

2 2

log

x+ y x+y ≥

2

2x y x 2y

⇔ + ≥ +

2 2

2

z

x x z

⇔ + ≥ +

(

)

2

( )

1

8 2

x z 

⇔ − + −  ≤

 

Tập hợp điểm M x z

( )

; miền

( )

H bao gồm miền ngồi hình trịn

( )

2

1 :

C x +z =

và miền hình trịn

( ) (

)

2

2

1

:

8 2

C x− +z−  =

 

Hệ

(

)

2

2

2

1

1

8 2

1

z

T x

x z

x z

 = + 



  

 − + − ≤

  

 



 + > 



có nghiệm đường thẳng :2

z

d x+ − = T có điểm chung

với miền

( )

H

Để T đạt giá trị lớn đường thẳng :2

z

d x+ − = tiT ếp xúc với đường tròn

( )

C2

( )

;

d I d

1

3

1 2

4

T

+ −

⇔ =

+

9 4

T

⇔ − =

0 ( )

9

T l

T

=   ⇔

 = 

Trường hợp 2: 2 0<x +2y <

(

)

2 2

log

x + y x+y ≥

2

2x y x 2y

⇔ + ≤ + ⇔ =T 2x+ <y (loại)

Vậy giá trị lớn biểu thức T =2x+y max