Tài liệu Chuyên đề Chia đa thức một biến đã sắp xếp

tai lieu, document1 of 66 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN I Lý thuyết: Hai đa thức tùy ý A B biến  B   , tồn cặp đa thức Q R cho A  B.Q  R , đó: R gọi dư phép chia A cho B R bậc R nhỏ bậc B Khi R  phép chia A cho B phép chia hết II Các dạng tập: Dạng 1: Chia đa thức biến xếp (Phép chia hết) Phương pháp: Bước 1: Nhân số chia với biểu thức cho giá trị nhân giá trị mũ cao số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa nhân Bước 3: Quay bước đến dư cuối Bài 1: Thực phép tính a)  x  17 x  12  :  x  3 b)  x3  3x  x   :  x  1 c)  x  x  x   :  x  1 d)  x  x  11x  x  10  :  x   Giải a) Thực phép chia ta được: x  17 x  12 6x  9x 2x  3x  x  12 - x  12 Vậy:  x  17 x  12  :  x  3  x  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document2 of 66 b) Thực phép chia ta được: x  3x  x  2x 1 2x  x x2  x  2 x  3x  2x  x 4 x  Vậy  x  3x  x   :  x  1  x  x  c) Thực phép chia ta được: x3  x  x  x2  x3  x x4 4 x  4 x  Vậy  x  x  x   x  1  x  d) Thực phép chia ta được: x  x  11x  x  10 3x 6x x2  2 3x  x  x  x  x  10 4x 2x x  10 x  10 Vậy  x  x  11x  x  10  :  x    x  x  Bài 2: Thực phép tính a)  3a  2a  3a   :  a  1 b)  x  x  x  x  :  x  x  1 c)  x  x  x y  3xy  x  :  x  x  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document3 of 66 d)  x  x  x y  y   :  x  y  1 Giải a) Thực phép chia ta được: 3a  2a  3a  3a  3a a2 1 3a  2 a  2 2 a  Vậy  3a  2a  3a   :  a  1  3a  b) Thực phép chia ta được: x5  x  x3  x  x x5  x  x x2  x  x3  x 2 x  x  x - 2 x  x  x Vậy  x  x  x  x  x  :  x  x  1  x  x c) Thực phép chia ta được: x3  x  x y  xy  x x2  3x x 1  y   3xy  x x2  3x x  1  y  - x 1  y   x 1  y  Vậy  x  x  x y  3xy  x  :  x  x   x  1  y  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document4 of 66 d) Thực phép chia ta được: x  3x  x y  y  x2  y  x4  x2  x2 y x2  2 x2  y  2 x2  y  Vậy  x  x  x y  y   :  x  y  1  x  2 Dạng 2: Chia đa thức biến xếp (Phép chia có dư) Phương pháp: Bước 1: Nhân số chia với biểu thức cho giá trị nhân giá trị mũ cao số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa nhân Bước 3: Quay bước đến đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia Bài 1: Thực phép tính a)  x  x   :  x  1 b)  x  x   :  x  3 c)  x3   :  x  1 d)  x  x  x  10  :  x  3 Giải a) Thực phép chia ta được: 3x  x  3x  3x x 1 x  10 10 x  - 10 x  10 19 Vậy  x  x   :  x  1  x  10 dư 19 luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document5 of 66 b) Thực phép chia ta được: x3  3x  x3 x  15 x x  12 x  36 12 x  12 x  36 x 36 x  - 36 x  108 110 Vậy  x  x   :  x  3  x  12 x  36 dư -110 c) Thực phép chia ta được: x3  x3  x x2 1 2x 2x  Vậy  x   :  x  1  x dư x  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document6 of 66 d) Thực phép chia ta được: x  x  x  10 2x  - x4  3x x3 x3 x 15    16 x3  x  10 - x 21x  5x2  10 x 15 x  15 x  10 15 x 45  16 115 16 x x x 15 115 Vậy  x  x3  x  10  :  x  3   dư    16 16  Dạng 3: Chia đa thức biến xếp có chứa tham số m Phương pháp: Bước 1: Nhân số chia với biểu thức cho giá trị nhân giá trị mũ cao số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa nhân Bước 3: Quay bước đến đa thức dư cuối đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia Bài 1: Thực phép tính a)  mx  x  m   :  x  1 b)  x  3mx  3m  1 :  x  1 c)  mx3  x  mx   :  x  1 Giải luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document7 of 66 a) Thực phép chia ta được: mx  x  m  x 1 mx  mx 2 x  mx  m  mx    m    m x  2  m -   m x  2  m Vậy  mx  x  m   :  x  1  mx   m b) Thực phép chia ta được: x3  3mx  3m  - x x x 1 x   3m  1 x   3m  1 3mx  x  3m   3m  1 x  3m  -  3m  1 x   3m  1 x   3m  1 x  3m  -   3m  1 x  3m  Vậy  x  3mx  3m  1 :  x  1  x   3m  1 x   3m  1 c) Thực phép chia ta được: mx3  x  mx  mx3  mx x2  mx  2 x  2 2 x  Vậy  mx  x  mx   :  x  1  mx  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document8 of 66 Dạng 4: Tìm m để số bị chia chia hết cho số chia Có phương pháp giải cụ thể sau: Phương pháp 1: Thực phép chia Bước 1: Thực chia đa thức chứa tham số dạng Bước 2: Để số bị chia chia hết cho số chia phần dư Bước 3: Giải tìm m Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x  ax3  bx  chia hết cho đa thức x  Giải d) Thực phép chia ta được: x  ax3  bx  x2 1 x4  x2  ax3  x  bx  x  ax  1  b  ax  ax 1  b  x  ax  - 1  b  x  1  b   ax   b Ta có:  x  ax  bx  3 :  x  1  x  ax  1  b  dư  ax   b 2 a  a  Để phép chia hết   4  b  b  4 a  Vậy với  đa thức x  ax3  bx  chia hết cho x  b    Bài 2: Tìm m để đa thức mx3  x  2m  chia hết cho đa thức x  luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document9 of 66 Giải Ta có: mx3  x  2m  x2 mx  2mx mx  1  2m  x    4m  x  2mx  2m  1  2m  x  2m  - 1  2m  x  1  2m  x   m  x  2m  -   m  x    4m   10m Vậy  mx  x  2m  1 :  x    mx  1  2m  x    4m  dư  10m Để phép chia hết  6m   m   Bài 3: Tìm m để đa thức 5m3  2m  3m  chia hết cho đa thức 2m  Giải Thực phép chia ta 5m3  2m  3m  2m  5m  5m 5m 1 2m  3m  5m 1 2m  3m  5m  m  2 Ta có  5m3  m  3m  1 :  2m  1  Để phép chia hết 5m m  dư 2 m 0m0 Vậy với m  đa thức 5m3  2m  3m  chia hết cho đa thức 2m  Phương pháp 2: Hệ số bất định luan van, khoa luan of 66 Trang tai lieu, document10 of 66 Hai đa thức gọi đồng hệ số hạng tử đồng dạng Ta có bước giải sau: Bước 1: Dựa vào bậc cao số bị chia số chia ta gọi dạng tổng quát thương Bước 2: Nhân thương với số chia chuyển biểu thức dạng tổng quát Bước 3: Cho hạng tử biểu thức bước số bị chia nhau, giải tìm giá trị cần tìm Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x  ax3  bx  chia hết cho đa thức x  Giải Cách 1: Giải theo phương pháp Cách 2: Phương pháp hệ số bất định Giả sử đa thức x  ax3  bx  chia hết cho x  , ta thương nhị thức bậc hai có dạng: x  Bx  C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức x  ax3  bx  , ta được: x  Bx  C  x  1  x  ax  bx  c  x  Bx  Cx  x  Bx  C  x  ax  bx   x  Bx   C  1 x  Bx  C  x  ax3  bx   B  a C   b a      b  4  B  C  a  Vậy với  đa thức x  ax3  bx  chia hết cho x  b  4 Chú ý: Ta đặt nhị thức bậc hai dạng tổng quát Ax  Bx  C , nhiên đa thức bị chia có x coi A  Bài 2: Xác định giá trị a để đa thức x  x  x  x  a chia hết cho đa thức x  x  Giải Giả sử đa thức x  x  x  x  a chia hết cho x  x  , ta thương nhị thức bậc hai có dạng: Ax  Bx  C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức x  x  x  x  a , ta được:  Ax  Bx  C  x  x    x  x  x  x  a  Ax  Bx  Cx  Ax  Bx  Cx  Ax  Bx  2C  x  x  3x  x  a  Ax   B  A  x   C  B  A  x   C  B  x  2C  x  x  x  x  a luan van, khoa luan 10 of 66 Trang 10 tai lieu, document11 of 66 A  A   B  A  1 B     C  B  A   C   a  C  B  C    2C  a 2  a Vậy với a  đa thức x  x  x  x  a chia hết cho đa thức x  x  Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax  x  chia hết cho đa thức x  x  Giải Giả sử đa thức ax  x  chia hết cho x  x  , ta thương nhị thức bậc có dạng: Bx  C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức ax  x  , ta được:  Bx  C   x  x  1  ax3  x   Bx  Cx  Bx  Cx  Bx  C  ax  x   Bx   B  C  x   B  C  x  C  ax  x  B  a  B  C  1  không thỏa mãn  B  C  C  Vậy khơng có giá trị a để đa thức ax  x  chia hết cho x  x  Phương pháp 3: Phương pháp trị số riêng Với cặp đa thức A  x  B  x  , tồn đa thức Q  x  R  x  cho: A  x   B  x  Q  x   R  x  , đó: +) A  x  số bị chia; B  x  số chia; Q  x  thương R  x  phần dư +) Với bậc R  x  bé bậc B  x  +) Phép chia hết phép chia R  x   Bước 1: Đưa phép chia dạng A  x   B  x  Q  x  (1) Bước 2: Thay giá trị x để B  x   vào phương trình (1) Bước 3: Giải ta tìm giá trị cần tìm Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x  ax  bx  chia hết cho đa thức x  Giải Cách 1: Giải theo phương pháp Cách 2: Giải theo phương pháp Cách 3: Phương pháp trị số riêng luan van, khoa luan 11 of 66 Trang 11 tai lieu, document12 of 66 Gọi thương phép chia Q  x  ta có: x  ax3  bx    x  1 Q  x  với x (1) +) Với x  , thay vào (1) ta được:  a  b   (2) +) Với x  1 , thay vào (1) ta được:  a  b   (3)  a  b   Từ (2) (3) ta có hệ phương trình  a  b   Cộng vế phương trình ta được: 2b    b  4 Thay vào phương trình (2)  a  Vậy với a  b  4 đa thức x  ax  bx  chia hết cho x  Bài 2: Xác định giá trị a b để đa thức ax  bx  x  chia hết cho đa thức x  x  Giải Gọi thương phép chia Q  x  ta có: ax  bx  3x    x  x  3 Q  x   ax  bx  x    x  1 x  3 Q  x  với x (1) +) Với x  , thay vào (1) ta a  b    (2) +) Với x  3 , thay vào (1) ta được: 27 a  9b    (3) a  b   Từ (2) (3) ta có hệ phương trình:  3a  b   Trừ vế phương trình ta được: 2a    a  2 Thay vào phương trình (2)  b  Vậy với a  2 b  đa thức ax  bx  x  chia hết cho đa thức x  x  Bài 3: Tìm x  Z để đa thức x  x  chia hết cho x  Giải Ta có: x  x  x  x  1  3   x 2x  2x  2x  Để x  x  chia hết cho x  phải chia hết cho x  Tức x  phải ước 2 x    x   1   2 x     x   3 x   x  1  x    x  2 Vậy để đa thức x  x  chia hết cho x  x  2; 1;0;1 luan van, khoa luan 12 of 66 Trang 12 tai lieu, document13 of 66 B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Dạng 1: Chia đa thức biến xếp: Bài 1: Thực phép chia:    a ) 3x  5x  9x  15 : 3x       b) 5x  9x  2x  4x  : x     c ) 5x  14x  12x  : x     d )  x  2x  2x  : x    Bài 2: Thực phép chia:    a ) x  2x  15x  36 : x      b ) 2x  2x  3x  5x  20 : x  x     c ) 2x  11x  18x  : 2x    Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần thực phép chia: Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần thực phép chia:          a ) 5x  3x  15  9x :  3x b )  4x  x  20  5x : x    c )  x  6x  26x  21 :  2x     d ) 2x  13x  15  5x  21x : 4x  x   Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần thực phép chia:     b) 16x  22x  15  6x  x  :  x  2x   c )  6x  2x   11x  :  x  2x  1 a ) 13x  41x  35x  14 : 5x  2 3 2 Dạng 3: Tìm x, biết: luan van, khoa luan 13 of 66 Trang 13 tai lieu, document14 of 66       a ) 4x  3x : x  15x  6x : 3x    b)  x  x  : 2x  3x  : 3x       d )  25x          10x  :  5x    x    c ) 42x  12x : 6x  7x x   Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia:  b)  5x c)  8x d ) 16x  a ) 24x  9x  15x : 3x  :  2x   12x  13x  x  2x : 2x  21x  35x : 7x     Dạng 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia: Bài 1: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:     b)  8x  27  : 2x   c )  2x  8x   :   2x  d ) 125  8x  :  4x  10  a ) x  2x  : x  2 Bài 2: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:    a ) x  2x 4y  y : x  y     b ) 64x  27 : 16x  12x      c ) x  9x  27x  27 : x  6x   Dạng 6: Tìm đa thức M biết:     b )  x  4x   M  2x  13x  14x  15x c )  2x  x  2x  1  M  2x  1 d )  x  x  1 M   x  x  4x  5x   a ) x  5x  x   x  M 2 Dạng 7: Tìm a b để A chia hết cho B với: a ) A  x  9x  17x  25  a B  x  2x    b) A  x  7x  10x  a  x  b  a B  x  6x  luan van, khoa luan 14 of 66 Trang 14 tai lieu, document15 of 66 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Thực phép chia: Bài 1: Thực phép chia:     a ) 3x  5x  9x  15 : 3x   x      b) 5x  9x  2x  4x  : x   5x  14x  12x      c ) 5x  14x  12x  : x   5x  4x      d )  x  2x  2x  : x   x  2x  Bài 2: Thực phép chia:      a ) x  2x  15x  36 : x   x  6x        b) 2x  2x  3x  5x  20 : x  x   2x       c ) 2x  11x  18x  : 2x   x  4x    Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần tính: Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần thực phép chia:    3x     9x  15  :  3x   a ) 5x  3x  15  9x :  3x x 3    6x  5x     26x  21 :  2x   c )  x  6x  26x  21 :  2x x  3x  4x    x   b)  4x  x  20  5x : x     4x  5x  20 : x  x 5    2x      5x  15  :  x d ) 2x  13x  15  5x  21x : 4x  x   13x  21x  2x  5x  2   4x   Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần thực phép chia: luan van, khoa luan 15 of 66 Trang 15 tai lieu, document16 of 66    35x     13x  14  :  5x   a ) 13x  41x  35x  14 : 5x   41x  7x  11x    x    22x  15  :  x   2x   b) 16x  22x  15  6x  x : x  2x   6x  16x  x  4x     2x    6x   :  2x c) 6x  2x   11x : x  2x   11x x 5 x 1   Dạng 3: Tìm x, biết:        b)  x  x  : 2x  3x  : 3x     1 1   x    3x   4 2  x 0 x  10   a ) 4x  3x : x  15x  6x : 3x   (4x  3)  (5x  2)    x 1  x 1                 c) 42x  12x : 6x  7x x   d ) 25x  10x : 5x  x      7x   (7x  14x )   2  14x   x  14      5x   3x     8x   x  Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia:    5x  : 3x a ) 24x  9x  15x : 3x   3x 8x  3x  8x  3x  5x luan van, khoa luan 16 of 66     b ) 5x  12x  13x : 2x 5 13   2x  x  6x  x  : 2x  2 13  x  6x  x 2     Trang 16 tai lieu, document17 of 66     16    7x    x  c) 8x  x  2x : 2x       :  7x   d ) 16x  21x  35x : 7x    2x  4x  x   : 2x 2    4x  x      3x 16 x  3x  Dạng 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép: Bài 1: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:    a ) x  2x  : x      x 1 : x 1  x 1         2x    4x  6x   :  2x   b ) 8x  27 : 2x   4x  6x         x  4x   : 2   x       x  : 2  x   2  x           2x 25  10x  4x : 2 2x       2x  25  10x  4x : 2 2x       25  10x  4x : 2 2   d ) 125  8x : 4x  10 c ) 2x  8x  :  2x 2        25     5x  2x    Bài 2: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:      x  y  : x  y      x    y   :  x  y      x  y  x  y   :  x  y     x  y  x  y  a ) x  2x 4y  y : x  y 4 2 2  2 2 2 2 2 2   : x               4x  33  : 16x  12x     4x  16x  12x  : 16x  12x  c ) x  9x  27x  27 : x  6x   x 3 x 3  b ) 64x  27 : 16x  12x   4x       Dạng 6: Tìm đa thức M biết:      M   x  5x  x   :  x    M   x  5x    x    :  x        M  x  x    x  5 : x        M   x    x  1 :  x     a ) x  5x  x   x  M 3 2  M  x2  luan van, khoa luan 17 of 66 Trang 17 tai lieu, document18 of 66   b ) x  4x  M  2x  13x  14x  15x   M  x    4x    2x  5x  :  x  M  2x  13x  14x  15x : x  4x  2  M  2x  5x    4x       M   2x  x  2x  1 : 2x  1  M   2x  x    2x  1  :  2x  1    M   2x  1  x  1 :  2x  1 c) 2x  x  2x   M 2x  6 2 2  M  x3    d ) x  x  M  x  x  4x  5x    M  x    x  1 x  2x   :  x  M  x  x  4x  5x  : x  x  2  M  x  2x  2  x 1  Dạng 7: Tìm a b để A chia hết cho B với: a ) A  x  9x  17x  25  a B  x  2x  Thực A chia cho B ta đa thức dư a  Vì A chia hết cho B nên a    a  4   b) A  x  7x  10x  a  x  b  a ?i     Thực A chia cho B ta đa thức dư a  x  a  b  Vì A chia hết cho B nên a   x   a  b    với giá trị x a   Hay    a  b     a   b  3 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== luan van, khoa luan 18 of 66 Trang 18 ...  a Vậy với a  đa thức x  x  x  x  a chia hết cho đa thức x  x  Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax  x  chia hết cho đa thức x  x  Giải Giả sử đa thức ax  x  chia hết cho x ...  16 16  Dạng 3: Chia đa thức biến xếp có chứa tham số m Phương pháp: Bước 1: Nhân số chia với biểu thức cho giá trị nhân giá trị mũ cao số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa nhân... x  a chia hết cho đa thức x  x  Giải Giả sử đa thức x  x  x  x  a chia hết cho x  x  , ta thương nhị thức bậc hai có dạng: Ax  Bx  C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức