Tài liệu Chuyên đề về hệ thức lượng tam giác

Trường THCS Lê Ninh 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. KIẾN THỨC: I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 1. Một số hệ thức: 1) c 2 = ac ’ , b 2 = ab ’ 2) h 2 = b , c , 3) ah = bc 4) = + 2 2 2 1 1 1 h b c 5) a 2 = b 2 + c 2 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: 2 a 3 a 3 h ; S 2 4 = = 2. Ví dụ: VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 BC a) AB AC 2AM 2 b) AB AC 2BC.MH + = + − = VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang. VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=70 0 . 3. bài tập cơ bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. 2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F. Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AE AF a + = GV : Vâ Trêng Thµnh A C H B c b a c , b , Trường THCS Lê Ninh II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN: 1. Định nghĩa: 2. Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác cơ bản: 2 2 sin cos sin cos 1; tg .cot g 1; tg ; cotg cos sin α α α + α = α α = α = α = α α - Chú ý: +) 0 sin 1; 0 cos <1;< α < < α +) Khi góc α tăng từ 0 o đến 90 o thì sin α và tg α tăng còn cos α và cotg α giảm. +) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng cotg của góc kia và ngược lại. sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β +) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt. 3. Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tính các TSLG của góc B và góc C. Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính cạnh còn lại. Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn. Bài 2: Chứng minh rằng sin α < tg α ; và cos α < cotg α . HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B = α . sinB = AC BC ; tgB = AC AB Vì BC > AC nên AC BC < AC AB Suy ra sin α < tg α ; Chứng minh tương tụ ta được cos α < cotg α . Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần. Cotg40 o , sin50 o , tan70 o , cos55 o . HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có: cos55 o = sin35 o ; Cotg40 o = tg50 o . Vì sin35 o < sin50 o < tg50 o < tg70 o . Nên cos55 o < sin50 o < Cotg40 o < tg70 o NX: Nhờ có tính chất sin α < tg α mà ta có thể so sánh được các TSLG. Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau: a) M = sin 2 10 o + sin 2 20 o + sin 2 45 o + sin 2 70 o + sin 2 80 o . b) N = tg35 o . tg40 o .tg45 o .tg50 o . tg55 o . Bài 5: a) Biết sin α = 5 13 , hãy tính cos α , tg α , cotg α . GV : Vâ Trêng Thµnh Trường THCS Lê Ninh b) Biết tg α = 12 35 , hãy tính sin α , cos α , cotg α . Bài 6: Cho biểu thức 2 2 1 2sin cos A sin cos − α α = α − α với α ≠ 45 o . a) Chứng minh rằng sin cos A sin cos α − α = α + α b) Tính giá trị của A biết 1 tg 3 α = . HD: a) 2 2 sin 2sin cos cos A (sin cos )(sin cos ) α − α α + α = α − α α + α b) sin cos A sin cos α − α = α + α chia cả tử và mẫu cho cos α . NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin. Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2. HD. Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó. sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45 o . Vậy x = 45 o . 4. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và góc C. Bài 2: a) Biết cos α = 3 4 , hãy tính sin α , tg α , cotg α . b) Biết cotg α = 8 15 , hãy tính sin α , cos α , tg α . Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau: a) M = sin 2 42 o + sin 2 43 o + sin 2 44 o + sin 2 45 o + sin 2 46 o + sin 2 47 o + sin 2 48 o . b) N = cos 2 15 o - cos 2 25 o + cos 2 35 o - cos 2 45 o + cos 2 55 o - cos 2 65 o + cos 2 75 o . Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49 o , cotg15 o , tg65 o , cos50 o , cotg41 o . Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn α . a) (cos α - sin α ) 2 + (cos α + sin α ) 2 . b) 2 2 (cos sin ) (cos sin ) cos .sin α − α − α + α α α Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB. GV : Vâ Trêng Thµnh Trường THCS Lê Ninh a) Chứng minh răng: a b c sin A sin B sin C = = b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề. b asin B acosC ctgB ccotgC c acosB asinC bctgB btgC = = = = = = = = 2. Bài tập: Bài 1: Cho hình thang ABCD có µ µ µ o o A D 90 ,C 50 .= = = Biết AB = 2; CD = 1,2. Tính diện tích hình thang. HD. Vẽ BH ⊥ CD thì BH = AD = 1,2; DH = AB = 2. Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có: HC = HB.cotgC ≈ 1 CD =CH + HD ≈ 3. Diện tích hình thang ABCD là: (AB CD).AD S 3 2 + = = (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD. Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp: a) µ o A 40= b) µ o A 140= HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác. Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 1 1 1 S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B 2 2 2 = = = Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và µ o A 68= , tính độ dài AD. Giải. Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S 1 , S 2 , S. Ta có: GV : Vâ Trêng Thµnh 50 ° 1,2 2 H D C B A Trường THCS Lê Ninh 1 1 2 2 1 S AB.AD.sin A 2 1 S AD.AC.sin A 2 = = 1 S AB.AC.sin A 2 = Vì: S = S 1 + S 2 Nên 1 2 1 1 1 AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A 2 2 2 + = 1 2 AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A⇔ + = o o o 1 2 AB.AC.sin A 6.9.sin 68 AD 6 AB.sin A AC.sin A 6.sin 34 9sin 34 ⇔ = = ≈ + + Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C. KQ: µ o B 53 7≈ Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết: a) a = 18; b = 8. b) b = 20; µ o C 38= . Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, µ o B 65= , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC. 4. Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm; µ o C 62= . Tính độ dài đường trung tuyến AM. Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và µ o A 127= . Tính diện tích hình thang. Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và µ o D 64= . Tính diện tích hình bình hành. Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 48 o . Tính diện tích tứ giác. Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết: a) a = 12; µ o B 42= . b) b = 13; c = 20. Bài 6: Giải tam giác ABC biết: AB = 6,8; µ o A 70= ; µ o B 50= Bài 7: Giải tam giác ABC biết: AB= 4,7; BC = 7,2; µ o A 66= GV : Vâ Trêng Thµnh 9 6 2 1 D C B A Trường THCS Lê Ninh B. BÀI TẬP: C. BÀI TẬP BỔ XUNG: Bài 1 Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC. a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng. b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP ∩ NQ, R là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng. Giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: = ⇔ = ⇔ = MN AN MN / 2 AN IN AN BC AC BC / 2 AC JC AC ⇒ A, I, J thẳng hàng. b/ Gọi S là trung điểm của PQ ⇒ I, O, S thẳng hàng và O là trung điểm của IS, AH // IS ⇒ theo câu a thì ta có J, O, R thẳng hàng. Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau: a/ + = 1 1 2 AB AC AD b/ − = 1 1 2 AB AC AE Giải GV : Vâ Trêng Thµnh B A CE D K H B J C N I M P Q H O R S A Trường THCS Lê Ninh Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK = AD 2 a/ áp dụng định lý Talét cho ∆ABC ta có: = = ⇔ = ⇔ = DK CD 1 AD 1 1 1 AB CB 2 2 AB 2AB 2AD = = ⇔ = ⇔ = HD CD 1 AD 1 1 1 AC CB 2 2 AC 2AC 2AD ⇒ + = = 1 1 2 2 AB AC AD 2AD . Cách khác: Chú ý: S ABC = 2 1 AB.ADsin ∠ (AB;AC) a/ Ta có: S ABC = 1 2 AB.AC = S ABD + S ACD = 1 2 AB.ADsin45 0 + 1 2 AC.ADsin45 0 ⇒ 2 AB.AC = (AB+AC)AD 2 ⇒ + = ⇔ = ⇔ + AB.AC 2AD AB AC 2 AB AC 2 AB.AC AD ⇔ + = 1 1 2 AB AC AD b/ Ta có: S ABC = 1 2 AB.AC = S AEC - S ABE = 1 2 AE.ACsin135 0 - 1 2 AB.AEsin45 0 ⇒ ⇒ AB.AC = AE 2 (AC - AB) ⇒ − = ⇔ = ⇔ − AB.AC AE AC AB 2 AC AB AB.AC AE 2 ⇔ − = 1 1 2 AB AC AE . Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau: a/   = −  ÷   2 MH BM 2 1 BH AB b/ + = + 2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2 Giải a/ Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: = = 2 2 AB AB BH BC 2BM − = − = − = 2 2 2 AB 2BM AB MH MB BH BM 2BM 2BM GV : Vâ Trêng Thµnh B A C M H Trường THCS Lê Ninh ⇒ − −   = = = −  ÷   2 2 2 2 2 2 2 MH 2BM AB 2BM 2BM AB BM . 2 1 BH 2BM AB AB AB . b/ Ta có: AB 2 = AH 2 + HB 2 , AC 2 = AH 2 + HC 2 ⇒ AB 2 + AC 2 = 2AH 2 + HB 2 + HC 2 = 2AH 2 + (BM - HM) 2 + (MC + HM) 2 = 2AH 2 + BM 2 + MC 2 +2HM 2 - 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH 2 + HM 2 ) + (BC/2) 2 + (BC/2) 2 = 2AM 2 + BC 2 /2. Bài 4 Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 60 0 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. a/ Chứng minh rằng OB 2 = BM.CN b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC. Giải a/ Ta có: ∠B = ∠C = 60 0 ∠O 1 + ∠O 2 = 120 0 ; ∠O 1 + ∠M 1 = 120 0 ⇒ ∠M 1 = ∠O 2 ⇒ ∠N 1 = ∠O 1 ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒ BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO 2 = BM.CN b/ Từ (a) ta có: = ⇔ = ⇔ = OM BM OM ON OM ON NO CO BM CO BM OB Mặt khác: ∠MBO = ∠MON = 60 0 ⇔ ∆BOM ∼ ∆ONM ⇔ ∠M 1 = ∠M 2 ⇒ OM là tia phân giác của ∠BMN . c/ Do O là giao điểm của hai tia phân giác của ∠BMN và ∠MNC ⇒ O cách đều AB, MN và AC. Gọi H là hình chiếu của O lên AB ⇒ OH = OB.sinB = = a 3 a 3 . 2 2 4 ⇒ MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm O bán kính a 3 4 . GV : Vâ Trêng Thµnh A B C N M O H Trường THCS Lê Ninh Bài 5 Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và ∠MON = 60 0 . Chứng minh rằng: BM.CN ≤ BC 2 /4. Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải Ta có: ∠BOM =180 0 - ∠B - ∠BMO = 120 0 - ∠BMO Mà: ∠BOM = 180 0 - ∠MON - ∠CON = 120 0 - ∠CON ⇒ ∠BMO = ∠ CON ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒ BM/CO = BO/CN ⇔ BM.CN = BO.CO ≤ +   =  ÷   2 2 BO CO BC 2 4 Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của ∆ABC. Chứng minh rằng: ≤ 2 BC KH.KA 4 . Giải Xét ∆AKB và ∆CKH có: ∠AKB = ∠CKH = 90 0 ∠BAK = ∠HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vuông góc) ⇒ ∆AKB ∼ ∆CKH ⇒ = KA KC KB KH ⇒ ⇒ +   = ≤ =  ÷   2 2 KB KC BC KA.KH KB.KC 2 4 ⇒ ≤ 2 BC KH.KA 4 Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: ∠ = + ABC AC tg 2 AB BC Giải a/ Xét ∆ABD có ∠A = 90 0 ⇒ ∠ ∠ = ⇔ = AD ABC AD tg ABD tg AB 2 AB Vẽ đường phân giác BD ta có: GV : Vâ Trêng Thµnh B A C O D E A B C K H A B C M O N Trường THCS Lê Ninh + = ⇔ = = = + + DA BA DA DC DA DC AC DC BC BA BC AB BC AB BC ⇒ ∠ = + ABC AC tg 2 AB BC . Bài 8 Cho hình thoi ABCD. Gọi R 1 , R 2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp ∆ABD và ∆ABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi. a/ Chứng minh rằng: + = 2 2 2 1 2 1 1 4 R R a . b/ Tính diện tích hình thoi theo R 1 và R 2 . Giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC tại O 1 và cắt BD tại O 2 ⇒ O 1 và O 2 là tâm các đường tròn ngoại tiếp ∆ABD và ∆ABC ⇒ O 1 A = R 1 và O 2 B = R 2 . ∆O 1 AK ∼ ∆ABO ⇒ = ⇒ = 1 1 O A R AK a AB AO a 2AO (1) ∆O 2 BK ∼ ∆ABO ⇒ = ⇒ = 2 2 O A R BK a AB BO a 2BO (2) Từ (1) và (2) ⇒ = = 4 4 2 2 2 2 1 2 a a 4AO , 4BO R R ⇒ ( )     + = + ⇔ = + ⇔ + =  ÷  ÷     2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 4 4 AO BO a 4a a R R R R R R a . b/ Ta có: S ABCD = 2OA.OB ∆AOB ∼ ∆AKO 2 ⇒ = ⇒ = 2 2 2 OA AB AB OA AK AO 2R ∆AOB ∼ ∆O 1 KB ⇒ = ⇒ = 2 1 1 OB AB AB OB KB O B 2R ⇒ = 4 1 2 AB OA.OB 4R R Xét ∆AOB ta có: AB 2 = OA 2 + OB 2   ⇔ = + = +  ÷   4 4 2 4 2 2 2 2 2 1 1 2 AB AB 1 1 AB AB 4R 4R 4R 4R + ⇒ = ⇔ = + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (R R ) 4R R 1 AB AB 4R R R R . GV : Vâ Trêng Thµnh C B A D K O 2 O 1 O a [...]... BTVN Bài 1 Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C 1 là điểm đối xứng của H qua AB, B 1 là điểm đối xứng của H qua AC Gọi giao điểm của B 1C1 với AC và AB là I và K Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH... 9 Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: b+c−a b+c < ma < 2 2 Giải A Xét ∆ABC có: AM > AB - BM M B Xét ∆ACM có: AM > AC - MC Cộng từng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ⇔ m a > b+c−a 2 C D Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD ⇒ AB = CD Xét ∆ACD có: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ m a < b+c 2 Bài 10 CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải . Trường THCS Lê Ninh 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. KIẾN THỨC: I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 1. Một số hệ thức: 1) c 2 = ac ’ , b 2 =. C = = b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông