Tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác docx

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ Chương B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s : CÁC BƯ C ð U CƠ S ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta khơng th khơng chu n b hành trang ñ lên ñư ng Toán h c v y Mu n khám phá ñư c hay ñ p c a b t ñ ng th c lư ng giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n h u d ng, chương 1: “Các bư c ñ u s ” Chương t ng quát nh ng ki n th c b n c n có đ ch ng minh b t đ ng th c lư ng giác Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c ñ y ñ cho m t cu c “hành trình” Trư c h t b t ñ ng th c ñ i s b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Ti p theo ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan b n tam giác Cu i m t s đ nh lý khác cơng c ñ c l c vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm n tính …) M cl c: 1.1 Các b t ñ ng th c ñ i s b n…………………………………………… 1.1.1 B t ñ ng th c AM – GM… …………… 1.1.2 B t ñ ng th c BCS…………………………………………………… 1.1.3 B t ñ ng th c Jensen……………………………………………… 13 1.1.4 B t ñ ng th c Chebyshev………………………………………… 16 1.2 Các ñ ng th c, b t ñ ng th c tam giác…………………………… 19 1.2.1 ð ng th c…………………………………………………………… 19 1.2.2 B t ñ ng th c……………………………………………………… 21 1.3 M t s ñ nh lý khác……………………………………………………… 22 1.3.1 ð nh lý Largare ……………………… …………………………… 22 1.3.2 ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………… 25 1.3.3 ð nh lý v hàm n tính…………………………………………… 28 1.4 Bài t p…………………………………………………………………… 29 The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s 1.1 Các b t ñ ng th c ñ i s b n : 1.1.1 B t ñ ng th c AM – GM : V i m i s th c không âm a1 , a , , a n ta ln có a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) m t b t ñ ng th c quen thu c có ng d ng r t r ng rãi ðây b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ ràng nh t, s cơng c hồn h o cho vi c ch ng minh b t ñ ng th c Sau ñây hai cách ch ng minh b t ñ ng th c mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho r ng ng n g n hay nh t Ch ng minh : Cách : Quy n p ki u Cauchy V i n = b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng Khi n = b t ñ ng th c tr thành a1 + a ≥ a1 a ⇔ a1 − a ≥ (ñúng!) Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c : a1 + a + + a k k ≥ a1a a k k Ta s ch ng minh v i n = 2k Th t v y ta có : (a1 + a + + ak ) + (a k +1 + ak +2 + + a 2k ) (a1 + a + + ak )(ak +1 + ak +2 + + a2k ) ≥ 2k k ( ) ≥ (k k )( a1 a a k k k a k +1 a k + a k ) k = k a1 a a k a k +1 a k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − Khi : a1 + a + + a k −1 + k −1 a1a a k =1 ≥ k k a1 a a k −1 k −1 a1a a k −1 = k k −1 a1 a a k −1 ⇒ a1 + a + + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a a k −1 Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn ð ng th c x y ⇔ a1 = a = = a n Cách : ( l i gi i c a Polya ) The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ G i A = B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a + a + + a n n Khi b t đ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i a1 a a n ≤ A n (*) Rõ ràng n u a1 = a = = a n = A (*) có d u đ ng th c Gi s chúng không b ng Như v y ph i có nh t m t s , gi s a1 < A m t s khác, gi s a > A t c a1 < A < a Trong tích P = a1 a a n ta thay a1 b i a'1 = A thay a b i a' = a1 + a − A Như v y a'1 + a' = a1 + a mà a'1 a' −a a = A(a1 + a − A) − a1a = (a1 − A)(a − A) > ⇒ a'1 a' > a1 a ⇒ a1 a a3 a n < a'1 a' a3 a n Trong tích P ' = a '1 a' a3 a n có thêm th a s b ng A N u P ' cịn th a s khác A ta ti p t c bi n đ i đ có thêm m t th a s n a b ng A Ti p t c v y t i ña n − l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A đư c tích A n Vì q trình bi n đ i tích th a s tăng d n ⇒ P < A n ⇒ đpcm Ví d 1.1.1.1 Cho A,B,C ba góc c a m t tam giác nh n CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 L i gi i : tan A + tan B = − tan C − tan A tan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương Theo AM – GM ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ ⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C ) ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 ð ng th c x y ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñ u Ví d 1.1.1.2 Cho ∆ABC nh n CMR : cot A + cot B + cot C ≥ The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s L i gi i : Ta ln có : cot ( A + B ) = − cot C cot A cot B − ⇔ = − cot C cot A + cot B ⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = Khi : (cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ ⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ D u b ng x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.1.3 CMR v i m i ∆ABC nh n n ∈ N * ta ln có : n −1 tan n A + tan n B + tan n C ≥3 tan A + tan B + tan C L i gi i : Theo AM – GM ta có : tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C ) n tan n A + tan n B + tan n C n −3 ≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 ⇒ tan A + tan B + tan C ⇒ ñpcm ( ) n −3 =3 n n −1 Ví d 1.1.1.4 Cho a,b hai s th c th a : cos a + cos b + cos a cos b ≥ CMR : cos a + cos b ≥ L i gi i : Ta có : cos a + cos b + cos a cos b ≥ ⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ Theo AM – GM : The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s (1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ ⇒ cos a + cos b ≥ Ví d 1.1.1.5 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :  cos C cos A cos B cos C A B B C C A cos A cos B + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A B B C C A 2 2 2 3 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 L i gi i : Ta có cos A A A = sin cot A 2 cos cos A cos B A B    =  sin sin  cot A cot B  A B  2   cos cos 2 Theo AM – GM : A B 3   cos A cos B  sin sin + cot A cot B  2  ≤ A B   cos cos   2   cos A cos B A B   ≤  sin sin + cot A cot B  A B 2 3  cos cos 2 Tương t ta có : cos B cos C B C   ≤  sin sin + cot B cot C  B C 2 3  cos cos 2 ⇒ cos C cos A A  C ≤  sin sin + C A 2 3 cos cos 2 C ng v theo v b t ñ ng th c ta ñư The Inequalities Trigonometry  cot C cot A   c: Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s cos A cos B cos B cos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 ≤ A B B C C A  (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3 = A B B C C A  ⇒ ñpcm  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3 Bư c ñ u ta m i ch có b t đ ng th c AM – GM ñ ng th c lư ng giác nên s c nh hư ng ñ n b t ñ ng th c h n ch Khi ta k t h p AM – GM BCS, Jensen hay Chebyshev th c s m t vũ khí đáng g m cho b t ñ ng th c lư ng giác 1.1.2 B t ñ ng th c BCS : (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta ln có : (a1b1 + a2 b2 + + a n bn )2 ≤ (a1 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) V i hai b s N u AM – GM “cánh chim ñ u ñàn” vi c ch ng minh b t đ ng th c BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c V i AM – GM ta ln ph i ý u ki n bi n không âm, ñ i v i BCS bi n không b ràng bu c b i u ki n đó, ch c n s th c ñúng Ch ng minh b t ñ ng th c r t ñơn gi n Ch ng minh : Cách : Xét tam th c : 2 f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a x − b2 ) + + (a n x − bn ) Sau khai tri n ta có : 2 2 2 f ( x) = a1 + a + + a n x − 2(a1b1 + a b2 + + a n bn )x + b1 + b2 + + bn M t khác f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên : ( ) ( ( )( ∆ f ≤ ⇔ (a1b1 + a b2 + + a n bn ) ≤ a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn ð ng th c x y ⇔ 2 2 2 ) ) ⇒ ñpcm a a1 a = = = n (quy c n u bi = = ) b1 b2 bn Cách : The Inequalities Trigonometry Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có : 2 bi + ≥ 2 2 a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s bi (a 2 )( 2 + a + + a n b1 + b2 + + bn Cho i ch y t ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có đpcm ðây cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh ! ) Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, h m c thêm cánh, r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a Hai b t đ ng th c bù ñ p b sung h tr cho vi c ch ng minh b t ñ ng th c Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” cơng phá thành cơng nhi u tốn khó “Trăm nghe khơng b ng m t th y”, ta xét ví d đ th y rõ u Ví d 1.1.2.1 CMR v i m i a,b, α ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b      L i gi i : Ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin α + (a + b )sin α cos α + ab cos α + cos 2α − cos 2α (a + b ) sin 2α + ab + 2 = (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) = (1) Theo BCS ta có : (2) A2 + B A sin x + B cos x ≤ Áp d ng (2) ta có : (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2 Thay (3) vào (1) ta ñư c : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ (1 + ab + (a ( (a )) a+b +1 b2 +1 ≤ +     )( The Inequalities Trigonometry )( (a )( ) (3) +1 b2 +1 )) (4) +1 b2 +1 Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b : 1 + ab + = (5) Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Th t v y : (5) ⇔ ab + + 2 (a )( ) +1 b2 +1 ≤ 1+ a + b ab + a2 + b2 + 2 a +1 + b2 +1 2 (6) ⇔ a +1 b +1 ≤ Theo AM – GM (6) hi n nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng T (1) (5) suy v i m i a,b, α ta có : ( )( ) ( ⇔ )( ) ( a +1 b2 +1 ≤ ) ( ) (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b      ð ng th c x y x y ñ ng th i d u b ng (1) (6) a = b a = b a = b    ⇔  a+b ab − ⇔  π a+b a+b ⇔  = +k  tgα = α = arctg  sin 2α cos 2α ab − ab − 2   (k ∈ Z ) Ví d 1.1.2.2 Cho a, b, c > a sin x + b cos y = c CMR : cos x sin y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : − sin x − cos y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 c2 sin x cos y ⇔ + ≥ (*) a b a + b3 Theo BCS : (a1b1 + a b2 )2 ≤ a12 + a 2 b1 + b2 ( v i )( ) sin x cos y  ; a2 = a1 = b a  b = a a ; b = b b   sin x cos y  3 ⇒   a + b  a + b ≥ (a sin x + b cos y )   3 a + b > a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm ( The Inequalities Trigonometry ) 10 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ ð ng th c x y ⇔ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a1 a sin x cos y = ⇔ = b1 b2 a b  sin x cos y =  ⇔  a2 b a sin x + b cos y = c   a 2c sin x =   a + b3 ⇔ cos y = b c  a3 + b3  Ví d 1.1.2.3 CMR v i m i ∆ABC ta có : a2 + b2 + c2 2R v i x, y, z kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên ∆ABC ñ n ba c nh BC , CA, AB x+ y+ z≤ A L i gi i : Ta có : S ABC = S MAB + S MBC + S MCA ⇔ P Q S MAB S MBC S MCA + + =1 S ABC S ABC S ABC y z M x B z y x ⇔ + + =1 hc hb C N  x y z  ⇒ + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +  h   a hb hc  Theo BCS : x + y + z = x + hb y hb + hc z hc ≤  x y z  + +  = + hb + hc   hb hc  (ha + hb + hc )  1 aha = ab sin C ⇒ = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B 2 ab bc ca ⇒ + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + + 2R 2R 2R T suy : mà S = x+ y+ z≤ ab + bc + ca ≤ 2R The Inequalities Trigonometry a2 + b2 + c2 ⇒ ñpcm 2R 11 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s a = b = c ð ng th c x y ch  ⇔ ∆ABC ñ u M tâm n i ti p ∆ABC x = y = z Ví d 1.1.2.4 Ch ng minh r ng :  π cos x + sin x ≤ ∀x ∈  ;   2 L i gi i : Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p l n ta có : ( cos x + sin x ) ≤ ((1 ) ≤ (1 + ) (1 ) + 12 (cos x + sin x ) 2 2 )( ) + 12 cos x + sin x = ⇒ cos x + sin x ≤ ð ng th c x y ch x = π Ví d 1.1.2.5 Ch ng minh r ng v i m i s th c a x ta có − x sin a + x cos a ≤1 1+ x2 ( ) L i gi i : Theo BCS ta có : ((1 − x )sin a + x cos a ) 2 (( ≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin 2 2 a + cos a = − 2x + x + 4x = + 2x + x ) (( ) ) ≤ (1 + x ) (1 − a )sin a + x cos a ≤ ⇔ ⇒ − x sin a + x cos a 2 2 1+ x2 ⇒ ñpcm The Inequalities Trigonometry 12 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C   sin A + sin B + sin C ≥ sin A + sin B + sin C  3 sin A + sin B + sin C ≤ 3 ⇒ < sin A + sin B + sin C ≤ Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1] Ta có f ' ( x ) = ln x + 1 f ' ' ( x ) = > ∀x ∈ (0 ;1] x Bây gi v i Jensen ta ñư c : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C ) ln ≤ 3    sin A + sin B + sin C  ⇔ ln    sin A+ sin B + sin C ≤ ln(sin A) sin A + ln(sin B ) sin B + ln(sin C ) sin C  sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C  sin A sin B sin C ⇔ ln    ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C )      [ ] (sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C ⇔ sin A+ sin B + sin C ⇒ (sin A) sin A (sin B ) (sin C ) sin B sin C sin A+sin B +sin C   ≥ sin A+sin B +sin C =   3 sin A + sin B + sin C 2 ≥  3 3 ⇒ ñpcm 1.1.4 B t ñ ng th c Chebyshev : V i hai dãy s th c ñơn ñi u chi u a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ta có : a1b1 + a b2 + + a n bn ≥ (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) n Theo kh c a tác gi r t s d ng b t đ ng th c Vì trư c h t ta c n ñ ý t i chi u c a bi n, thư ng ph i s p l i th t bi n Do tốn c n có u c u đ i x ng hoàn toàn gi a bi n, vi c s p x p th t s không làm m t tính t ng quát c a tốn Nhưng khơng th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t ñ ng th c Chebyshev vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n ng n g n The Inequalities Trigonometry 16 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Ch ng minh : B ng phân tích tr c ti p, ta có ñ ng th c : n ∑ (a − a )(b − b ) ≥ u nên (a − a )(b − b ) ≥ n(a1b1 + a b2 + + a n bn ) − (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) = i j i j i , j =1 Vì hai dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ñơn ñi u chi i j i j N u dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn đơn u ngư c chi u b t ñ ng th c ñ i chi u Ví d 1.1.4.1 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : aA + bB + cC π ≥ a+b+c L i gi i : Khơng m t tính t ng qt gi s : a≤b≤c⇔ A≤ B≤C Theo Chebyshev :  a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC   ≤ 3    aA + bB + cC A + B + C π ≥ = ⇒ a+b+c 3 ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.2 Cho ∆ABC khơng có góc tù A, B, C đo b ng radian CMR :  sin A sin B sin C  + + 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C )  B C   A L i gi i : sin x  π v i x ∈  0;  x  2 cos x( x − tan x )  π Ta có f ' ( x ) = ≤ ∀x ∈  ;  x  2 Xét f ( x ) = The Inequalities Trigonometry 17 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s V y f ( x ) ngh ch bi n  ; π    2  Không m t t ng quát gi s : sin A sin B sin C A≥ B≥C⇒ ≤ ≤ A B C Áp d ng b t đ ng th c Chebyshev ta có : ( A + B + C ) sin A + sin B + sin C  ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm   B C   A ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.3 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C ≤ cos A + cos B + cos C L i gi i : Không m t t ng quát gi s A ≥ B ≥ C tan A ≥ tan B ≥ tan C ⇒ cos A ≤ cos B ≤ cos C Áp d ng Chebyshev ta có :  tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ⇔ ≤ cos A + cos B + cos C Mà ta l i có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch ∆ABC đ u Ví d 1.1.4.4 Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin 2C 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C L i gi i : Không m t t ng quát gi s a≤b≤c The Inequalities Trigonometry 18 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A ≤ sin B ≤ sin C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cos C Khi theo Chebyshev :  sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin 2C ⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch ∆ABC ñ u 1.2 Các ñ ng th c b t ñ ng th c tam giác : Sau ñây h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c tam giác lư ng giác ñư c dùng chuyên ñ ho c r t c n thi t cho q trình h c tốn c a b n đ c Các b n có th dùng ph n m t t ñi n nh ñ tra c u c n thi t.Hay b n đ c có th ch ng minh t t c k t qu t p rèn luy n Ngồi tơi xin nh c v i b n ñ c r ng nh ng ki n th c ph n áp d ng vào t p ñ u c n thi t ñư c ch ng minh l i 1.2.1 ð ng th c : a b c = = = 2R sin A sin B sin C a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a + b − 2ab cos C c = a cos B + b cos A 1 a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = = R sin A sin B sin C = pr 4R = ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc S= = p( p − a )( p − b )( p − c ) The Inequalities Trigonometry 19 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ 2bc cos ma mb mc la = 2b + 2c − a = 2c + 2a − b = 2a + 2b − c = A = ( p − b )( p − c ) sin B = ( p − c )( p − a ) sin C = ( p − a )( p − b) bc ca ab A B C = ( p − c ) tan A B C = R sin sin sin 2 B = ( p − b ) tan C a+b  A− B tan  a−b   = a+b  A+ B tan     B−C  tan  b−c   = b+c B+C tan    C − A tan  c−a   = c+a C + A tan    sin r = ( p − a ) tan c+a 2ab cos lc = A b+c 2ca cos lb = B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s b2 + c2 − a2 4S c + a2 − b2 cot B = 4S a + b2 − c2 cot C = 4S cot A = a2 + b2 + c2 cot A + cot B + cot C = 4S cos A = p( p − a ) bc tan A = cos B = p( p − b ) ca tan B = cos C = p( p − c ) ab tan C = ( p − b)( p − c ) p( p − a ) ( p − c )( p − a ) p( p − b ) ( p − a )( p − b ) p( p − c ) A B C p cos cos = 2 R sin A + sin B + sin 2C = sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C = cos sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) A B C r cos A + cos B + cos C = + sin sin sin = + R 2 2 2 cos A + cos B + cos C = − cos A cos B cos C The Inequalities Trigonometry 20 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cot sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) cos(2k + 1) k sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1) k +1 A B C cos(2k + 1) cos(2k + 1) 2 sin kA sin kB sin kC A B C k cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = + (− 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) 2 k cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) cos kA cos kB cos kC tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = A B B C C A tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 2 2 2 A B C A B C cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1) 2 2 2 k 2 cos kA + cos kB + cos kC = + (− 1) cos kA cos kB cos kC tan (2k + 1) sin kA + sin kB + sin kC = + (− 1) k +1 cos kA cos kB cos kC 1.2.2 B t ñ ng th c : a−b < c < a+b b−c < a x  Ta có f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x − x +1 Xét g (t ) = ln t liên t c [x ; x + 1] kh vi ( x ; x + 1) nên theo Lagrange : ln( x + 1) − ln x ∃c ∈ ( x ; x + 1): = g ' (c ) > (x + 1) − x x +1 ⇒ f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x − >0 x +1 v i x > ⇒ f ( x ) tăng (0 ; + ∞ )   ⇒ f ( x + 1) > f ( x ) ⇒ ln1 +  x + 1    ⇒ 1 +  x + 1  ⇒ ñpcm x +1  1 > 1 +  x  x +1  1 > ln1 +  x  x x Ví d 1.3.1.5 Ch ng minh r ng ∀n ∈ Z + ta có : 1   ≤ arctan ≤ 2 n + 2n +  n + n +1 n +1 L i gi i : Xét f ( x ) = arctan x liên t c [n ; n + 1] ⇒ f ' (x ) = (n ; n + 1) ∀n ∈ Z + 1+ x2 Theo ñ nh lý Lagrange ta có : f (n + 1) − f (n ) ∃c ∈ (n ; n + 1): f ' (c ) = (n + 1) − n ⇒  n +1− n  = arctan(n + 1) − arctan n = arctan  + (n + 1)n   1+ c   ⇒ 1   = arctan  1+ c  n + n + 1 The Inequalities Trigonometry 24 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ð ý c ∈ (n ; n + 1) ⇒ ≤ n < c < n + ⇒ n < c < (n + 1) ⇔ n + < c + < n + 2n + 1 < < n + 2n + c + n + 1 1   ⇔ < arctan < n + 2n +  n + n + 1 n + ⇒ ñpcm ⇔ 1.3.2 ð nh lý v d u c a tam th c b c hai : Cho tam th c f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b − 4ac - N u ∆ < f ( x ) d u v i h s a, v i m i s th c x b - N u ∆ = f ( x ) d u v i a v i m i x ≠ − 2a - N u ∆ > f ( x ) có hai nghi m x1 , x gi s x1 < x Th f ( x ) d u v i a v i m i x ngồi đo n [x1 ; x ] (t c x < x1 hay x > x ) f ( x ) trái d u v i a x kho ng hai nghi m (t c x1 < x < x ) Trong m t s trư ng h p, đ nh lý m t cơng c h t s c hi u qu Ta s coi bi u th c c n ch ng minh m t tam th c b c hai theo m t bi n r i xét ∆ V i đ nh lý b t ñ ng th c thư ng rơi vào trư ng h p ∆ ≤ mà ta xét ∆ > Ví d 1.3.2.1 CMR ∀x, y, z ∈ R + ∆ABC b t kỳ ta có : cos A cos B cos C x + y + z + + ≤ x y z xyz L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x − x( y cos C + z cos B ) + y + z − yz cos A ≥ Coi ñây tam th c b c hai theo bi n x ∆' = ( y cos C + z cos B ) − y + z − yz cos A ( ( ) ) = −( y sin C − z sin B ) ≤ V y b t ñ ng th c ñúng The Inequalities Trigonometry 25 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ð ng th c x y ch :  y sin C = z sin B ⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c   x = y cos C + z cos B t c x, y, z ba c nh c a tam giác tương ñương v i ∆ABC Ví d 1.3.2.2 CMR ∀x ∈ R ∆ABC b t kỳ ta có : 1 + x ≥ cos A + x(cos B + cos C ) L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x − x(cos B + cos C ) + − cos A ≥ ∆' = (cos B + cos C ) − 2(1 − cos A) 2 B+C B−C   A cos =  cos  − sin 2   A B −C  = sin  cos − 1 2  A B−C = −4 sin sin ≤0 2 V y b t ñ ng th c ñúng ð ng th c x y ch : ∆ = B = C ⇔   x = cos B + cos C  x = cos B = cos C Ví d 1.3.2.4 CMR m i ∆ABC ta đ u có : a+b+c ab sin A + bc sin B + ca sin C ≤     2 2 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : a + 2a(b cos A + c cos 2C ) + b + c + 2bc cos B ≥ ( ∆' = (b cos A + c cos 2C ) − b + c + 2bc cos B The Inequalities Trigonometry ) 26 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s = −(b sin A + c sin 2C ) ≤ V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh xong Ví d 1.3.2.4 Cho ∆ABC b t kỳ CMR : cos A + cos B + cos C ≤ L i gi i : B+C B−C cos − cos( A + B ) 2 A+ B A− B A+ B ⇔ cos − cos cos + k −1 = 2 A+ B nghi m c a phương trình : Do cos A−B x − cos x + k −1 = A+ B Xét ∆' = cos − 2(k − 1) ð t n t i nghi m : A− B ∆' ≥ ⇔ 2(k − 1) ≤ cos ≤1⇒ k ≤ 2 ⇒ cos A + cos B + cos C ≤ ⇒ ñpcm ð t k = cos A + cos B + cos C = cos Ví d 1.3.2.5 CMR ∀x, y ∈ R ta có : sin x + sin y + cos( x + y ) ≤ L i gi i : ð t k = sin x + sin y + cos( x + y ) = sin Khi sin x+ y x− y x+ y cos + − sin 2 2 x+ y nghi m c a phương trình : x− y x − cos x + k −1 = The Inequalities Trigonometry 27 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s ⇒ ∆' = − 2(k − 1) ≥ ⇒k≤ ⇒ ñpcm 1.3.3 ð nh lý v hàm n tính : Xét hàm f ( x ) = ax + b xác ñ nh ño n [α ; β ]  f (α ) ≥ k (k ∈ R ) N u  f (β ) ≥ k f ( x ) ≥ k ∀x ∈ [α ; β ] ðây m t ñ nh lý hay Trong m t s trư ng h p, mà AM – GM ñã bó tay, BCS đ u hàng vơ u ki n đ nh lý v hàm n tính m i phát huy h t s c m nh c a M t phát bi u h t s c đơn gi n l i l i cho nhi u b t đ ng th c khó Ví d 1.3.3.1 Cho a, b, c nh ng s th c không âm th a : a2 + b2 + c2 = a + b + c ≤ abc + CMR : L i gi i : Ta vi t l i b t ñ ng th c c n ch ng minh dư i d ng :   1 − bc a + b + c − ≤     Xét f (a ) = 1 − bc a + b + c − v i a ∈ [0 ; 2]   Khi : ( ) f (0) = b + c − ≤ b + c − = − = f (2 ) = − bc + b + c − = − < − = (vì a = ⇔ b = c = ) V y f (a ) ≤ ∀a ∈ [0 ; 2] ⇒ ñpcm ð ng th c x y ch a = , b = c = hoán v The Inequalities Trigonometry 28 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s Ví d 1.3.3.2 CMR ∀a, b, c khơng âm ta có : 7(ab + bc + ca )(a + b + c ) ≤ 9abc + 2(a + b + c ) L i gi i : a b c ;y = ;z = Khi tốn tr thành : a+b+c a+b+c a+b+c Ch ng minh 7( xy + yz + zx ) ≤ xyz + v i x + y + z = Khơng m t tính t ng qt gi s x = max{x, y, z} 1  Xét f ( x ) = (7 y + z − yz )x + yz − v i x ∈  ;1 3  Ta có : 1 f   = ; f (1) = −2 < 3 1  ⇒ f ( x ) ≤ ∀x ∈  ;1 3  V y b t ñ ng th c ch ng minh xong ð ng th c x y ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c ð t x= ðây ph n nh t c a chun đ khơng đ c p ñ n lư gi i thi u cho b n ñ c m t ñ nh lý hay ñ ch ng minh b t m t s b t ñ ng th c lư ng giác, ta v n có th áp d b n nên ý d u b ng c a b t ñ ng th c x y ph c a hàm lư ng giác ng giác Nó ch mang tính đ ng th c Nhưng th c ng ñ nh lý Ch có ñi u i phù h p v i t p xác ñ nh 1.4 Bài t p : Cho ∆ABC CMR : 1.4.1 cot A + cot B + cot C ≥ 1.4.2 sin 1.4.3 1.4.4 v i ∆ABC nh n A B C 2− + sin + sin ≤ 4 1 + + ≥2 sin A sin B sin C A B C A B C sin + sin + sin + sin sin sin ≥ 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 29 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ 1.4.5 1.4.6 1.4.7 1.4.8 1.4.9 1.4.10 1.4.11 1.4.12 1.4.13 1.4.14 1.4.15 B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c ñ u s sin A sin B sin C A− B B−C C−A cos cos cos ≥ sin A sin B sin C 2 + cos A cos B cos C ≥ sin A sin B sin C 1 34 + + ≥ a+b−c b+c−a c+a−b S a b c + + ≥2 m a mb m c cot A + cot B + cot C ≤ m a mb mc 3 + + ≥ a b c m a l a + mb l b + m c l c ≥ p 1 + + > a ma b mb c mc abc ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc + hb + hc ≥ 9r  A + 3B   B + 3C   C + A  sin A sin B sin C ≤ sin  sin  sin         The Inequalities Trigonometry 30 ... ch ∆ABC ñ u 1.2 Các ñ ng th c b t ñ ng th c tam giác : Sau ñây h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c tam giác lư ng giác ñư c dùng chuyên ñ ho c r t c n thi t cho q trình h c tốn... b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n ng n g n The Inequalities Trigonometry 16 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương Các bư c... chung Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen Dù có v khó tin s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo