Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Chương Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở 1.1 Các bất ñẳng thức ñại số : : 1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM : Với số thực không âm a1 , a , , a n ta có CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n ðể bắt ñầu hành trình, ta không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường Toán học Muốn khám phá ñược hay ñẹp bất ñẳng thức lượng giác, ta cần có “vật dụng” chắn hữu dụng, ñó chương 1: “Các bước ñầu sở” Chương tổng quát kiến thức cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác Theo kinh nghiệm cá nhân mình, tác giả cho kiến thức ñầy ñủ cho “hành trình” Trước hết bất ñẳng thức ñại số ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Tiếp theo ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan tam giác Cuối số ñịnh lý khác công cụ ñắc lực việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý Largare, ñịnh lý dấu tam thức bậc hai, ñịnh lý hàm tuyến tính …) Mục lục : 1.1 Các bất ñẳng thức ñại số bản…………………………………………… 1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM… …………… 1.1.2 Bất ñẳng thức BCS…………………………………………………… 1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen……………………………………………… 13 1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev………………………………………… 16 1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức tam giác…………………………… 19 1.2.1 ðẳng thức…………………………………………………………… 19 1.2.2 Bất ñẳng thức……………………………………………………… 21 1.3 Một số ñịnh lý khác……………………………………………………… 22 1.3.1 ðịnh lý Largare ……………………… …………………………… 22 1.3.2 ðịnh lý dấu tam thức bậc hai………………………………… 25 1.3.3 ðịnh lý hàm tuyến tính…………………………………………… 28 1.4 Bài tập…………………………………………………………………… 29 Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) bất ñẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi ðây bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh bất ñẳng thức Sau ñây hai cách chứng minh bất ñẳng thức mà theo ý kiến chủ quan mình, tác giả cho ngắn gọn hay Chứng minh : Cách : Quy nạp kiểu Cauchy Với n = bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng Khi n = bất ñẳng thức trở thành a1 + a ≥ a1 a ⇔ a1 − a ≥ (ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến n = k tức : a1 + a + + a k k ≥ a1a a k k Ta chứng minh ñúng với n = 2k Thật ta có : (a1 + a + + ak ) + (a k +1 + ak +2 + + a 2k ) (a1 + a + + ak )(ak +1 + ak +2 + + a2k ) ≥ 2k k ( ) ≥ (k k )( a1 a a k k k a k +1 a k + a k ) k = k a1 a a k a k +1 a k Tiếp theo ta chứng minh với n = k − Khi ñó : a1 + a + + a k −1 + k −1 a1a a k =1 ≥ k k a1 a a k −1 k −1 a1a a k −1 = k k −1 a1 a a k −1 ⇒ a1 + a + + a k −1 ≥ (k − 1) a1 a a k −1 Như bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn ðẳng thức xảy ⇔ a1 = a = = a n k −1 Cách : ( lời giải Polya ) The Inequalities Trigonometry The Inequalities Trigonometry Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Gọi A = Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Lời giải : a + a + + a n n Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với a1 a a n ≤ A n (*) Rõ ràng a1 = a = = a n = A (*) có dấu ñẳng thức Giả sử chúng không Như phải có số, giả sử a1 < A số khác, giả sử a > A tức a1 < A < a Trong tích P = a1 a a n ta thay a1 a'1 = A thay a a' = a1 + a − A Như a'1 + a' = a1 + a mà a'1 a' −a a = A(a1 + a − A) − a1a = (a1 − A)(a − A) > ⇒ a'1 a' > a1 a ⇒ a1 a a3 a n < a'1 a' a3 a n Trong tích P ' = a '1 a' a3 a n có thêm thừa số A Nếu P ' thừa số khác A ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm thừa số A Tiếp tục tối ña n − lần biến ñổi ta ñã thay thừa số P A ñược tích A n Vì trình biến ñổi tích thừa số tăng dần ⇒ P < A n ⇒ ñpcm Ví dụ 1.1.1.1 Ta có : cot ( A + B ) = − cot C cot A cot B − ⇔ = − cot C cot A + cot B ⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = Khi ñó : (cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ ⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ Dấu xảy ∆ABC ñều Ví dụ 1.1.1.3 CMR với ∆ABC nhọn n ∈ N * ta có : n −1 tan n A + tan n B + tan n C ≥3 tan A + tan B + tan C Lời giải : Theo AM – GM ta có : Cho A,B,C ba góc tam giác nhọn CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C ) n tan n A + tan n B + tan n C n −3 ≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 tan A + tan B + tan C ⇒ ñpcm ⇒ Lời giải : tan A + tan B = − tan C − tan A tan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương Theo AM – GM ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ ( ) n −3 =3 n n −1 Ví dụ 1.1.1.4 Cho a,b hai số thực thỏa : cos a + cos b + cos a cos b ≥ CMR : cos a + cos b ≥ ⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C ) ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 ðẳng thức xảy ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñều Lời giải : Ta có : cos a + cos b + cos a cos b ≥ ⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ Theo AM – GM : Ví dụ 1.1.1.2 Cho ∆ABC nhọn CMR : cot A + cot B + cot C ≥ The Inequalities Trigonometry Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở The Inequalities Trigonometry Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ (1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở cos A cos B cos B cos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 ⇒ cos a + cos b ≥ Ví dụ 1.1.1.5 Chứng minh với ∆ABC nhọn ta có :  cos C cos A cos B cos C A B B C C A cos A cos B + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A B B C C A 2 2 2 3 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 ≤ A B B C C A  (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3 = A B B C C A  ⇒ ñpcm  sin sin + sin sin + sin sin  + 2 2 2 3  Bước ñầu ta có bất ñẳng thức AM – GM ñẳng thức lượng giác nên sức ảnh hưởng ñến bất ñẳng thức hạn chế Khi ta kết hợp AM – GM BCS, Jensen hay Chebyshev thực vũ khí ñáng gờm cho bất ñẳng thức lượng giác Lời giải : Ta có cos A A A = sin cot A 2 cos cos A cos B A B    =  sin sin  cot A cot B  A B  2   cos cos 2 Theo AM – GM : A B 3   cos A cos B  sin sin + cot A cot B  2  ≤ A B   cos cos   2   1.1.2 Bất ñẳng thức BCS : Với hai số (a1 , a , , a n ) (b1 , b2 , , bn ) ta có : (a1b1 + a2 b2 + + a n bn )2 ≤ (a1 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) Nếu AM – GM “cánh chim ñầu ñàn” việc chứng minh bất ñẳng thức BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) lại “cánh tay phải” ñắc lực Với AM – GM ta phải ý ñiều kiện biến không âm, ñối với BCS biến không bị ràng buộc ñiều kiện ñó, cần số thực ñúng Chứng minh bất ñẳng thức ñơn giản cos A cos B A B   ≤  sin sin + cot A cot B  A B 2 3  cos cos 2 Tương tự ta có : cos B cos C B C   ≤  sin sin + cot B cot C  B C 2 3  cos cos 2 ⇒ Chứng minh : Cách : Xét tam thức : 2 f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a x − b2 ) + + (a n x − bn ) Sau khai triển ta có : 2 2 2 f ( x) = a1 + a + + a n x − 2(a1b1 + a b2 + + a n bn )x + b1 + b2 + + bn Mặt khác f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên : cos C cos A A  C  ≤  sin sin + cot C cot A  C A 2   cos cos 2 Cộng vế theo vế bất ñẳng thức ta ñược : ( ) ( ( )( ∆ f ≤ ⇔ (a1b1 + a b2 + + a n bn ) ≤ a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn 2 2 2 ) ) ⇒ ñpcm a a a ðẳng thức xảy ⇔ = = = n (quy ước bi = = ) b1 b2 bn Cách : The Inequalities Trigonometry The Inequalities Trigonometry Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM ta có : 2 bi + ≥ 2 2 a1 + a + + a n b1 + b2 + + bn Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Thật : (5) bi (a 2 )( 2 + a + + a n b1 + b2 + + bn Cho i chạy từ ñến n cộng vế n bất ñẳng thức lại ta có ñpcm ðây cách chứng minh ngắn gọn mà bạn ñọc nên ghi nhớ! ) ⇔ ab + + 2 2 )( ) +1 b2 +1 ≤ 1+ a + b ab + a2 + b2 + 2 a2 +1 + b2 +1 2 (6) ⇔ a +1 b +1 ≤ Theo AM – GM (6) hiển nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng Từ (1) (5) suy với a,b, α ta có : ⇔ (a ( Bây với tiếp sức BCS, AM – GM ñược tiếp thêm nguồn sức mạnh, hổ mọc thêm cánh, rồng mọc thêm vây, phát huy hiệu tầm ảnh hưởng Hai bất ñẳng thức bù ñắp bổ sung hỗ trợ cho việc chứng minh bất ñẳng thức Chúng ñã “lưỡng long thể”, “song kiếm hợp bích” công phá thành công nhiều toán khó “Trăm nghe không thấy”, ta xét ví dụ ñể thấy rõ ñiều (a )( ) )( ) ( +1 b2 +1 ≤ ) ( ) (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b    ðẳng thức xảy xảy ñồng thời dấu (1) (6) a = b a = b a = b    ⇔ ⇔  a+b ⇔   ab − π a+b a+b = +k  tgα = α = arctg  sin 2α cos 2α ab − ab − 2   Ví dụ 1.1.2.1 CMR với a,b, α ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ +  a + b  (k ∈ Z ) Ví dụ 1.1.2.2   Cho a, b, c > a sin x + b cos y = c CMR : cos x sin y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 Lời giải : Ta có : Lời giải : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin α + (a + b )sin α cos α + ab cos α + cos 2α − cos 2α (a + b ) sin 2α + ab = + = Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : − sin x − cos y 1 c2 + ≤ + − a b a b a + b3 2 c2 sin x cos y ⇔ + ≥ (*) a b a + b3 Theo BCS : (a1b1 + a b2 )2 ≤ a12 + a 2 b1 + b2 2 (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) (1) Theo BCS ta có : A sin x + B cos x ≤ Áp dụng (2) ta có : (2) A2 + B (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ Thay (3) vào (1) ta ñược : (a + b ) ( + (ab − 1) = (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ (1 + ab + ( )( (a )( ) (3) +1 b +1 với )) (4) a2 +1 b2 +1 Ta chứng minh bất ñẳng thức sau ñây với a, b : ( 1 + ab + )) a+b a +1 b2 +1 ≤ +     ( )( The Inequalities Trigonometry )( ) sin x cos y  ; a2 = a1 = b a  b = a a ; b = b b   sin x cos y   a + b ≥ (a sin x + b cos y )2 ⇒  + b   a a + b > a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm ( (5) The Inequalities Trigonometry ) 10 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ ðẳng thức xảy ⇔ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở a1 a sin x cos y = ⇔ = b1 b2 a b Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở a = b = c ðẳng thức xảy  ⇔ ∆ABC ñều M tâm nội tiếp ∆ABC x = y = z  sin x cos y =  ⇔  a2 b a sin x + b cos y = c Ví dụ 1.1.2.4  a 2c sin x = a + b3 ⇔ cos y = b c  a + b3 Chứng minh :  π cos x + sin x ≤ ∀x ∈  ;   2 Lời giải : Ví dụ 1.1.2.3 Áp dụng bất ñẳng thức BCS liên tiếp lần ta có : ( CMR với ∆ABC ta có : 2 cos x + sin x ) ≤ ((1 a +b +c 2R với x, y, z khoảng cách từ ñiểm M nằm bên ∆ABC ñến ba cạnh BC , CA, AB ) ≤ (1 + ) (1 ) + 12 (cos x + sin x ) 2 x+ y+ z≤ 2 )( ) + 12 cos x + sin x = ⇒ cos x + sin x ≤ ðẳng thức xảy x = π A Lời giải : Ta có : S ABC = S MAB + S MBC + S MCA Q + hb x C ) N Lời giải : y hb + hc z hc ≤    Theo BCS ta có : ((1 − x )sin a + x cos a )  x y z  + +  = + hb + hc  hb hc  (ha + hb + hc ) 1 aha = ab sin C ⇒ = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B 2 ab bc ca ⇒ + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + + 2R 2R 2R Từ ñó suy : ab + bc + ca ≤ 2R The Inequalities Trigonometry 2 (( ≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin 2 2 a + cos a = − 2x + x + 4x = + 2x + x ) (( ) ) ≤ (1 + x ) (1 − a )sin a + x cos a ≤ ⇔ ⇒ − x sin a + x cos a 2 2 mà S = x+ y+ z≤ Chứng minh với số thực a x ta có − x sin a + x cos a ≤1 1+ x2 ( M B  x y z ⇒ + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +  hb hc Theo BCS : x y z z y x + + =1 hc hb x + y + z = Ví dụ 1.1.2.5 P S S S ⇔ MAB + MBC + MCA = S ABC S ABC S ABC ⇔ 1+ x2 ⇒ ñpcm a2 + b2 + c2 ⇒ ñpcm 2R 11 The Inequalities Trigonometry 12 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Ví dụ 1.1.3.1 1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen : Hàm số y = f (x) liên tục ñoạn [a, b] n ñiểm x1 , x , , x n tùy ý ñoạn Chứng minh với ∆ABC ta có : [a, b] ta có : sin A + sin B + sin C ≤ i) f ' ' ( x) > khoảng (a, b ) :  x + x + + x n  f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) ≥ nf   n   ii) f ' ' ( x) < khoảng (a, b ) : 3 Lời giải : Xét f ( x) = sin x với x ∈ (0 ; π ) Ta có f ' ' ( x) = − sin x < ∀x ∈ (0 ; π ) Từ ñó theo Jensen :  x + x + + x n  f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) ≥ nf   n   Bất ñẳng thức AM – GM bất ñẳng thức BCS thật ñại gia việc chứng minh bất ñẳng thức nói chung Nhưng riêng ñối với chuyên mục bất ñẳng thức lượng giác ñó lại trở thành sân chơi riêng cho bất ñẳng thức Jensen Dù khó tin ñó thật, ñến 75% bất ñẳng thức lượng giác ta cần nói “theo bất ñẳng thức Jensen hiển nhiên ta có ñpcm” Trong phát biểu mình, bất ñẳng thức Jensen có ñề cập ñến ñạo hàm bậc hai, ñó kiến thức lớp 12 THPT Vì không thích hợp cho số ñối tượng bạn ñọc Cho nên ta phát biểu bất ñẳng thức Jensen dạng khác : x+ y + Cho f : R + → R thỏa mãn f ( x) + f ( y ) ≥ f   ∀x, y ∈ R Khi ñó với   x1 , x , , x n ∈ R + ta có bất ñẳng thức :  x + x + + x n  f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) ≥ nf   n   Sự thật tác giả chưa tiếp xúc với chứng minh thức bất ñẳng thức Jensen phát biểu có f ' ' ( x) Còn việc chứng minh phát biểu không sử dụng ñạo hàm ñơn giản Nó sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy tương tự chứng minh bất ñẳng thức AM – GM Do ñó tác giả không trình bày chứng minh ñây Ngoài ra, số tài liệu bạn ñọc gặp khái niệm lồi lõm nhắc tới bất ñẳng thức Jensen Nhưng cộng ñồng toán học chưa quy ước rõ ràng ñâu lồi, ñâu lõm Cho nên bạn ñọc không thiết quan tâm ñến ñiều ñó Khi chứng minh ta cần xét f ' ' ( x) ñủ ñể sử dụng bất ñẳng thức Jensen Ok! Mặc dù bất ñẳng thức Jensen bất ñẳng thức chặt, có dấu hiệu manh nha bạn ñọc tùy nghi sử dụng π 3  A+ B+C  ⇒ ñpcm f ( A) + f (B ) + f (C ) ≤ f   = sin = 3   ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Ví dụ 1.1.3.2 Chứng minh với ∆ABC ñều ta có : A B C tan + tan + tan ≥ 2 Lời giải :  π Xét f ( x ) = tan x với x ∈  ;   2 sin x  π Ta có f ' ' ( x ) = > ∀x ∈  ;  Từ ñó theo Jensen : cos x  2 A B C  + +  π C B  A f   + f   + f   ≥ f  2  = sin = ⇒ ñpcm   2 2 2     ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Ví dụ 1.1.3.3 Chứng minh với ∆ABC ta có : A   tan  2  2 B  +  tan  2  2 C  +  tan  2  2 ≥ 31− Lời giải : The Inequalities Trigonometry 13 The Inequalities Trigonometry 14 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Xét f ( x ) = (tan x ) 2  π với x ∈  ;   2 ( ) Ta có f ' ( x ) = 2 + tan x (tan x ) (( )( ) Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở ( = 2 (tan x ) 2 −1 ( 2 −1 + (tan x ) )( ) 2 +1 2 −2 ) 2 Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C  sin A + sin B + sin C ≥ sin A + sin B + sin C 3 sin A + sin B + sin C ≤ 3 ⇒ < sin A + sin B + sin C ≤ Xét f ( x ) = x ln x với x ∈ (0 ;1] Ta có f ' ( x ) = ln x + 1 f ' ' ( x ) = > ∀x ∈ (0 ;1] x Bây với Jensen ta ñược : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C ) ln ≤ 3   ) f ' ' ( x ) = 2 2 − 1 + tan x (tan x ) + 2 + 1 + tan x (tan x ) >0 Theo Jensen ta có : A B C 2  + +   π C B  A f   + f   + f   ≥ f  2  = 3 tg  = 31− ⇒ ñpcm   6  2 2 2     ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Ví dụ 1.1.3.4 Chứng minh với ∆ABC ta có : A B C A B C sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 2 2 2  sin A + sin B + sin C  ⇔ ln    sin A+ sin B + sin C ≤ ln(sin A) sin A + ln(sin B ) sin B + ln(sin C ) sin C  sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C  sin A sin B sin C ⇔ ln    ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C )    [ Lời giải :  π Xét f ( x ) = sin x + tan x với x ∈  ;   2 sin x − cos x  π f ' ' (x ) = Ta có > ∀x ∈  ;  cos x  2 Khi ñó theo Jensen : A B C  + +  π  π C  B  A f   + f   + f   ≥ f  2  = 3 sin + tan  = + ⇒ ñpcm 6    2 2 2     ðẳng thức xảy ∆ABC ñều ( ⇔ ) ] (sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C sin A+ sin B + sin C ⇒ (sin A) sin A (sin B )sin B (sin C )sin C ≥ sin A+sin B +sin C   =  3sin A+sin B +sin C   sin A + sin B + sin C 2 ≥  3 3 ⇒ ñpcm 1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev : Với hai dãy số thực ñơn ñiệu chiều a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ta có : a1b1 + a b2 + + a n bn ≥ (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) n Ví dụ 1.1.3.5 Chứng minh với ∆ABC nhọn ta có : (sin A) (sin B ) (sin C ) sin A sin B sin C 2 ≥  3 Theo khả tác giả sử dụng bất ñẳng thức Vì trước hết ta cần ñể ý tới chiều biến, thường phải lại thứ tự biến Do ñó toán cần có yêu cầu ñối xứng hoàn toàn biến, việc xếp thứ tự không làm tính tổng quát toán Nhưng không mà lại phủ nhận tầm ảnh hưởng bất ñẳng thức Chebyshev việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác, có chứng minh ñơn giản ngắn gọn 3 Lời giải : Ta có The Inequalities Trigonometry 15 The Inequalities Trigonometry 16 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Vậy f ( x ) nghịch biến  ; π  Chứng minh :  Bằng phân tích trực tiếp, ta có ñẳng thức : n ∑ (a − a )(b − b ) ≥ ñơn ñiệu chiều nên (a − a )(b − b ) ≥ n(a1b1 + a b2 + + a n bn ) − (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) = i j i j i , j =1 Vì hai dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn i j i j Nếu dãy a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn ñơn ñiệu ngược chiều bất ñẳng thức ñổi chiều 2 Không tổng quát giả sử : sin A sin B sin C A≥ B≥C⇒ ≤ ≤ A B C Áp dụng bất ñẳng thức Chebyshev ta có : ( A + B + C ) sin A + sin B + sin C  ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm B C   A ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Ví dụ 1.1.4.3 Ví dụ 1.1.4.1 Chứng minh với ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C ≤ cos A + cos B + cos C Chứng minh với ∆ABC ta có : aA + bB + cC π ≥ a+b+c Lời giải : Lời giải : Không tổng quát giả sử A ≥ B ≥ C tan A ≥ tan B ≥ tan C ⇒ cos A ≤ cos B ≤ cos C Áp dụng Chebyshev ta có :  tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ⇔ ≤ cos A + cos B + cos C Mà ta lại có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Không tính tổng quát giả sử : a≤b≤c⇔ A≤ B≤C Theo Chebyshev :  a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC   ≤ 3    aA + bB + cC A + B + C π ≥ = ⇒ a+b+c 3 ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Ví dụ 1.1.4.2 Cho ∆ABC góc tù A, B, C ño radian CMR :  sin A sin B sin C  + + 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C )  B C   A Ví dụ 1.1.4.4 Chứng minh với ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin 2C 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C Lời giải : sin x  π với x ∈  ;  x  2 cos x( x − tan x )  π Ta có f ' ( x ) = ≤ ∀x ∈  ;  x2  2 Xét f ( x ) = The Inequalities Trigonometry Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Lời giải : Không tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c 17 The Inequalities Trigonometry 18 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ sin A ≤ sin B ≤ sin C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cos C Khi ñó theo Chebyshev :  sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C   ≥ 3    sin A + sin B + sin 2C ⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ cos A + cos B + cos C ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ∆ABC ñều 2bc cos mb mc 1.2.1 ðẳng thức : a b c = = = 2R sin A sin B sin C b = c + a − 2ca cos B c = a + b − 2ab cos C c = a cos B + b cos A 2ab cos lc = A = ( p − b )( p − c ) B sin = ( p − c )( p − a ) C = ( p − a )( p − b) sin sin 1 a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = = R sin A sin B sin C = pr 4R = ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc bc ca ab r = ( p − a ) tan A B C = ( p − c ) tan A B C = R sin sin sin 2 B = ( p − b ) tan c+a C a+b  A− B tan     A+ B tan     B−C  tan  b−c   = b+c B+C tan    C − A tan  c−a   = c+a C + A tan    Sau ñây hầu hết ñẳng thức, bất ñẳng thức quen thuộc tam giác lượng giác ñược dùng chuyên ñề cần thiết cho trình học toán bạn ñọc Các bạn dùng phần từ ñiển nhỏ ñể tra cứu cần thiết.Hay bạn ñọc chứng minh tất kết tập rèn luyện Ngoài xin nhắc với bạn ñọc kiến thức phần áp dụng vào tập ñều cần thiết ñược chứng minh lại a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C 2ca cos lb = A b+c a−b = a+b 1.2 Các ñẳng thức bất ñẳng thức tam giác : a = b + c − 2bc cos A la = 2b + 2c − a 2c + 2a − b = 2a + 2b − c = ma = Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở b2 + c2 − a2 4S c2 + a2 − b2 cot B = 4S a2 + b2 − c2 cot C = 4S cot A = cot A + cot B + cot C = cos A = p( p − a ) bc tan A = cos B = p( p − b ) ca tan B = cos C = p( p − c ) ab tan C = a2 + b2 + c2 4S ( p − b)( p − c ) p( p − a ) ( p − c )( p − a ) p( p − b ) ( p − a )( p − b ) p( p − c ) S= = A B C p cos cos = 2 R sin A + sin B + sin 2C = sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C = cos sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) A B C r cos A + cos B + cos C = + sin sin sin = + R 2 cos A + cos B + cos C = − cos A cos B cos C p( p − a )( p − b )( p − c ) The Inequalities Trigonometry 19 The Inequalities Trigonometry 20 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các bước ñầu sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin A + sin B + sin C ≤ tan A + tan B + tan C ≥ A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 2 cot A + cot B + cot C ≥ A B C sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) cos(2k + 1) cos(2k + 1) cos(2k + 1) 2 k +1 sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1) sin kA sin kB sin kC k 3 sin A sin B sin C ≤ tan A tan B tan C ≥ 3 cos A cos B cos C ≤ A B C k cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = + (− 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) 2 k cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) cos kA cos kB cos kC tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = cot A cot B cot C ≤ A B B C C A tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 2 2 2 A B C A B C cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1) 2 2 2 k cos kA + cos kB + cos kC = + (− 1) cos kA cos kB cos kC sin kA + sin kB + sin kC = + (− 1) k +1 Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục ñoạn [a ; b] có ñạo hàm khoảng (a ; b ) tồn ñiểm c ∈ (a ; b ) cho : f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a ) b−c < a : ( ( x + y )k ( ≥ k −1 x k + y k ) ) (H ) Chứng minh : k   xk x k ≥ k −1  k + 1 ⇔ f (a ) = (a + 1) − k −1 a k + ≥ với = a > y y    k −1 k −1 Vì f ' (a ) = k (a + 1) − (2a ) = ⇔ a = k = Với k = (H ) ñẳng thức ñúng Do a > > k > ta có : f (a ) ≥ ∀a > > k > (H ) ⇔  x + 1 ( y [ The Inequalities Trigonometry 77 ) ] The Inequalities Trigonometry 78 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác ⇒ (H ) ñược chứng minh Trở lại toán : Từ hệ (1) ta có : k  bd  k  cd  k  cd   bd k Ra ≥  c + b  ≥ k −1  c  +  b   a   a  a   a   bd cd ( Áp dụng bổ ñề (H ) với x = c ; y = b ) a a Tương tự :  ad  k  cd  k  k Rb ≥ k −1  c  +  a    b   b    ad  k  bd  k  k Rc ≥ k −1  b  +  a    c   c   k k k k k k    k  b   c   c   b    k k k k a k a ⇒ Ra + Rb + Rc ≥ k −1 d a   +    + d b   +    + d c   +       c   b    c   a    b   a    ( k k ≥ 2k da + db + dc k ) ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ∆ABC ñều M tâm tam giác Áp dụng (E ) ta chứng minh ñược toán sau : Bài toán : Chứng minh :  1 1 1   (3) + + ≥ 2 + + d a db dc R R R a b c   Giải : Thực phép nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị ta ñược :   1 MA* = MA ' ' = R d a a     1 MB ' ' = MB* = Rb db     1 MC* = MC ' ' = Rc dc   Áp dụng (E ) ∆A ' ' B ' ' C ' ' : MA ' '+ MB ' '+ MC ' ' ≥ 2(MA * + MB * + MC *) The Inequalities Trigonometry ( ) ( ) ( x + y )k ≥ x k + y k (G ) Chứng minh : (G ) ⇔  x + 1 k > xk x k + ⇔ g (a ) = (a + 1) − a k − > (ñặt = a > ) y yk  k −1 Vì g ' (a ) = k (a + 1) − a k −1 > ∀a > ; k > ⇒ g (a ) > ∀a > ; k > ⇒ (G ) ñược chứng minh xong Sử dụng bổ ñề (G ) vào toán (6) : Từ hệ (1) : y [ ] k k cd   bd   cd   bd k Ra ≥  c + b  >  c  +  b  a   a   a   a Tương tự : k k  ad   cd  k Rb >  c  +  a   b   b  k k (ñặt x = bd c cd ; y= b) a a k  ad   bd  k Rc >  b  +  a   c   c  k k k k k k    c  c  b  k k k k b k a k a ⇒ Ra + Rb + Rc > d a   +    + d b   +    + d c   +     c   b    c   a    b   a   ( k k ≥ da + db + dc  1 1 1   ⇔ + + ≥ 2 + + da db dc R R R b c   a ⇒ ñpcm Mở rộng kết ta có toán sau : Bài toán : Chứng minh : k k k k k k k d a + d b + d c ≥ Ra + Rb + Rc (4) ( Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác với > k ≥ −1 Hướng dẫn cách giải : Ta thấy (4) dễ dàng ñược chứng minh nhờ áp dụng (2) phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị ðẳng thức xảy ∆ABC ñều M tâm tam giác Bây với k > từ hệ (1) ta thu ñược : Bài toán : Chứng minh : 2 2 2 Ra + Rb + Rc > d a + d b + d c (5) Xuất phát từ toán này, ta thu ñược kết tổng quát sau : Bài toán : Chứng minh : k k k k k k Ra + Rb + Rc > d a + d b + d c (6) với k > Giải : Chúng ta chứng minh bổ ñề : Bổ ñề : ∀x, y > k > : k ) ⇒ ñpcm Bài toán : Chứng minh : k k k k k k d a + d a + d a > Ra + Ra + Ra với k < −1 ( ) (7) ) 79 The Inequalities Trigonometry 80 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác Hướng dẫn cách giải : Ta thấy (7 ) ñược chứng minh dễ dàng nhờ áp dụng (6) phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị ðẳng thức xảy (6) (7 ) Xét quan hệ (Ra , Rb , Rc ) với (d a , d b , d c ) bất ñẳng thức (E ) mở rộng nó, gặp số bất ñẳng thức hay sau ñây Việc chứng minh chúng xin dành cho bạn ñọc : 1) Ra Rb Rc ≥ 8d a d b d c 2) db + dc da + dc da + db + + ≤3 Ra Rb Rc 3) Ra Rb Rc ≥ (d a + d b )(d a + d c )(d b + d c ) 2 4) Ra Rb Rc ≥ (Ra d a + Rb d b )(Ra d a + Rc d c )(Rb d b + Rc d c ) Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác Ứng dụng ñại số vào việc phát chứng minh bất ñẳng thức tam giác Lê Ngọc Anh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ)  π 1/ Chúng ta ñi từ toán ñại số sau: Với ∀ x ∈  0,  ta có:  2 x x 2x < tg < < sinx < x 2 π 2x x 2x Chứng minh: Ta chứng minh bất ñẳng thức: sin x > tg < π π  π ðặt f ( x) = sin x hàm số xác ñịnh liên tục  0,  x  2 xcos x- sin x  π ðặt g ( x) = xcos x- sin x  0,  Ta có: f '( x) = x2  2 ñó  π g ' ( x ) = − x sin x ≤ ⇒ g ( x ) nghịch biến ñoạn 0,  nên g ( x ) < g ( ) =0 với  2 2x  π  π π  hay sin x > x ∈  0,  Do ñó f ' ( x ) < với ∀x ∈  0,  suy f ( x ) > f   = π 2 π  2  2  π với ∀x ∈  0,   2  π ðặt h ( x ) = tgx xác ñịnh liên tục  0,  x  2 x − sin x  π Ta có h ' ( x ) = > ∀x ∈  0,  nên hàm số h ( x ) ñồng biến, x  2 x cos 2 x 2x x π  π ñó h ( x ) < h   = hay tg < với ∀x ∈  0,  π  2 2 x x Còn bất ñẳng thức tg > sin x < x dành cho bạn ñọc tự chứng minh 2 Bây phần ñáng ý: Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b Gọi A, B, C ñộ lớn góc radian; r, R, p, S bán kính ñường tròn nội tiếp, bán kính ñường tròn ngoại tiếp, nửa chu vi diện tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ứng ñộ dài ñường phân giác, ñường cao, ñường trung tuyến bán kính ñường tròn bàng tiếp ứng với ñỉnh A Bài toán 1: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: pπ p < Acos x + Bcos B + Ccos 2C < 4R R The Inequalities Trigonometry 81 The Inequalities Trigonometry 82 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác Nhận xét: p Từ ñịnh lí hàm số sin quen thuộc tam giác ta có: sin A + sin B + sin B = R A toán ñại số ta dễ dàng ñưa biến ñổi sau Acos2 A < 2tg cos2 A = sin A < Acos2 A , từ π ñó ñưa ñến lời giải sau Lời giải: A p Ta có: Acos A < 2tg cos A = sin A < Acos A ⇒ ∑ Acos A < ∑ sin A = π R p pπ ∑ Acos2 A > ∑ sin A = R ⇒ ∑ Acos2 A > R Từ ñây suy ñpcm π A B B C C A Trong tam giác ta có nhận xét sau: tg tg + tg tg + tg tg = kết hợp 2 2 2 x 2x A 2B 2B 2C 2C A A B B C C A nên ta có với tg < + + > tg tg + tg tg + tg tg = ⇒ π π π π π π π 2 2 2 π2 x x A.B + B.C + C A > (1) Mặt khác tg > nên ta dễ dàng có 2 A B B C C A A B B C C A + + < tg tg + tg tg + tg tg = từ ñây ta lại có 2 2 2 2 2 2 A.B + B.C + C A < (2) Từ (1) (2) ta có toán Bài toán 2: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: π2 < A.B + B.C + C A < 4 Lưu ý: Khi dùng cách ñể sáng tạo toán ñề toán ∆ABC phải nhọn  π toán ñại số ∀x ∈  0,  Lời giải toán tương tự nhận xét  2 Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức ab + bc + ca ≤ A.B + B.C + C A ≤ ( A+ B + C) = π2 π (a + b + c) ta có Từ ñây ta có toán “chặt” “ñẹp” hơn: 〈 A.B + B.C + C A ≤ π2 Bây ta thử ñi từ công thức la, ha, ma, ñể tìm công thức A A Trong ∆ABC ta có: 2S = bc sin A = cla sin + bla sin 2 The Inequalities Trigonometry 83 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác b+c b+c 11 1 ⇒ = > =  +  la 2bccos A 2bc  b c  1 1 1  1  ⇒ + + > + + > + +   la lb lc a b c R  sin A sin B sin C  1 1 1 1 ⇒ + + >  + +  la lb lc R  A B C  Như có Bài toán Bài toán 3: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: 1 1 1 1 + + >  + +  la lb lc R  A B C  R ( sin B + sin C ) bc b+c = = Mặt khác, ta lại có Áp dụng toán ñại số ta la 2cos A π A 2sin  −  2 2 ñược: 2( B + C ) R R(B + C) π R ( B + C ) bc R ( B + C ) bc bc R π ⇒ ⇒ πR > π> > > > > π A + + π π−A la B C l B C la π ( ) a − 2 ab R ca R Hoàn toàn tương tự ta có: π R > > π R > > Từ ñây, cộng chuỗi bất π π lc lb ñẳng thức ta ñược: Bài toán 4: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: 12 R ab bc ca < + + < 3π R π lc la lb h h h h h h Trong tam giác ta có kết sin A = b = c , sin B = c = a sin C = a = b , c b a c b a mà từ kết toán ñại số ta dễ dàng có < sin A + sin B + sin C < π , mà 1 1 1 1 1 1 ( sin A + sin B + sin C ) =  +  + hb  +  + hc  +  , từ ñây ta có ñược Bài b c c a     a b toán Bài toán 5: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: 1 1 1 1 1 1 <  +  + hb  +  + hc  +  < 2π b c c a a b Ta xét tiếp toán sau: Bài toán 6: Chứng minh tam giác nhọn ta có: m + mb2 + mc2 A2 + B + C ) < a < A2 + B + C 2 ( π 3R The Inequalities Trigonometry 84 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác b2 + c2 a2 Nhận xét:Liên hệ với ma tam giác ta có ma2 = − , từ ñó ta suy ma2 + mb2 + mc2 = ( a + b + c ) = 3R ( sin A + sin B + sin C ) từ ñưa ñến lời giải Lời giải: 4x2 A2 Áp dụng toán ñại số ta ñược: < sin x < x2 ta có: < sin2 A < A2 , π 4B2 π2 2 < sin B < B 4C π2 π < sin C < C Cộng chuỗi bất ñẳng thức ta ñược: π (A 2 + B +C )< 2 2 ma2 + mb2 + mc2 = ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) , từ 3R2 ma2 + mb2 + mc2 < A2 + B + C (ñpcm) π 3R Bây ta thử sáng tạo bất ñẳng thức liên quan tới ra, ta có công thức tính A x x 2x A r 2A = ptg , từ toán ñại số < tg < chắn ta dễ dàng tìm thấy < a < 2 π p π B B C 2C , tương tự ta có < < < < , cộng chuỗi bất p π p π A + B + C + rb + rc ( A + B + C ) < < ñẳng thức ta thu ñược ta thu ñược Bài toán π p Bài toán 7: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: A + B + C + rb + rc ( A + B + C ) < < p π Ta tìm hiểu toán sau: Bài toán 8: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: π ( R − r ) < aA + bB + cC < ( R − r ) ñây ta ñược: 2 (A + B2 + C ) < A B C A , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = 2 2 B C A B C = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg dẫn ñến = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg 2 2 + rb + rc = R + r (các kết bạn ñọc tự chứng minh), từ ñó ta suy A A A R + r = 3r + ptg + ptg + ptg nhờ kết ta dễ dàng ñánh giá tổng 2 aA + bB + cC từ toán ñại số nên ta dễ có lời giải sau Lời giải: Nhận xét: Ta có kết quả: = ptg The Inequalities Trigonometry A A A + ptg + ptg > 3r + ( aA + bB + cC ) 2 2 ⇔ ( 2R − r ) > aA + bB + cC Kết hợp ñiều ta có ñiều phải chứng minh Sau ñây toán ñược hình thành từ công thức quen thuộc ñể bạn luyện tập: Bài toán: Chứng minh tam giác ABC nhọn ta có: a/ 2π p − ( R + r ) < aA + bB + cC < 2π p − 2π ( R + r ) ● 4R + r = 3r + ptg sin A + s in B + sin C < A + B + C , mà ta có: ma2 + mb2 + mc2 = 3R ( sin A + sin B + sin C ) ⇔ Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác A B C A B C Ta có: = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = ( p − b) tg = ( p − c) tg , từ 2 2 2 A B C ñó dẫn ñến = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg Mà ta lại có: + rb + rc = R + r 2 A A A suy 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg Áp dụng toán ñại số ta ñược: 2 A A A ● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg < 3r + ( aA + bB + cC ) 2 π ⇔ π ( 2R − r ) < aA + bB + cC 85 b/ πS < ( p − a )( p − b ) + ( p − b )( p − c ) + ( p − c )( p − a ) < 2S c/ abc < a ( p − a ) + b ( p − b ) + c ( p − c ) < π abc 1 1 1 1 1 1 d/ < la  +  + lb  +  + lc  +  < 2π b c c a     a b 2/Chúng ta xét hàm: f ( x ) = x với ∀ x ∈ ( 0,π ) sinx s inx-xcosx ðặt sin x g ( x ) = s inx-xcosx , x ∈ ( 0, π ) , ta có g ' ( x ) = x sin x ≥ ⇒ g ( x ) ñồng biến ñoạn Ta có f ( x ) hàm số xác ñịnh liên tục ( 0, π ) f ' ( x ) = ⇒ g ( x ) > g ( ) = ⇒ f ' ( x ) > nên hàm f ( x ) ñồng biến Chú ý bất ñẳng thức ñại số: 1.Bất ñẳng thức AM-GM: Cho n số thực dương a1 , a2 , , an , ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = = an 2.Bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz: Cho n số ( a1 , a2 , , an ) ( b1 , b2 , , bn ) ñó bi > 0, i = 1, n Ta có: ( 0, π ) The Inequalities Trigonometry 86 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác a ( a + a + + an ) a12 a22 + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn an a1 a2 = = Dấu “=” xảy ⇔ = b1 b2 bn 3.Bất ñẳng thức Chebyshev: Cho dãy ( a1 , a2 , , an ) ( b1 , b2 , , bn ) tăng giảm, tức là: a1 ≤ a2 ≤ ≤ an  b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn a1 ≥ a2 ≥ ≥ an , ta có:  b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn a1b1 + a2b2 + + an bn a1 + a2 + + an b1 + b2 + + bn ≤ n n n  a1 = a2 = = an Dấu “ = ” xảy  b1 = b2 = = bn Nếu dãy ñơn ñiệu ngược chiều ñổi chiều dấu bất ñẳng thức Xét tam giác ABC có A ≥ B (A,B số ño hai góc A,B tam giác theo radian) A B x ● A≥ B ⇒ ≥ ( theo chứng minh hàm f ( x ) = ) sin A sin B sinx A B A a A a ⇒ ≥ ⇒ ≥ , mà A ≥ B ⇔ a ≥ b Như ta suy a ≥ b ≥ a b B b B b 2R 2R (i) A B C ≥ ≥ ta có • Hoàn toàn tương tự : a ≥ b ≥ c ⇒ a b c A B B C C A ( a − b )  −  ≥ , ( b − c )  −  ≥ ( c − a )  −  ≥ Cộng a b c a b c A  A B (1) bất ñẳng thức ta ñược ∑ ( a − b )  −  ≥ ⇔ ( A + B + C ) ≥ ∑( b + c ) a a b cyc cyc A+ B +C vào vế (1) ta thu ñược: - Cộng A B C (2) 3( A + B + C ) ≥ ( a + b + c)  + +  a b c A - Trừ A + B + C vào vế (1) ta thu ñược: ( A + B + C ) ≥ 2∑ ( p − a ) (3) a cyc A ⇔ Chú ý A + B + C = π a + b + c = p nên (2) ⇔ 3π ≥ p ∑ cyc a A 3π A π ≤ (ii), (3) ⇔ ∑ ( p − a ) ≤ (iii) ∑ a a p cyc cyc Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác ● Mặt khác ta áp dụng bất ñẳng thức Chebyshev cho số A B C ≥  ≥ A B C b c  , ,  ( p − a, p − b, p − c) Ta có: a ≥ b ≥ c ⇒  a a b c    p − a ≤ p − b ≤ p − c A A A B C p∑ ( p − a) + + ∑ a ( p − a + p − b + p − c )  a b c  A cyc a cyc ⇔ ∑( p − a) ≤ Mà ⇒ ≤ a 3 3 cyc A A 3π p∑ p∑ p a a A 3π π A A p cyc cyc ≤ ta suy ra: ∑( p − a ) ≤ ≤ hay ∑ ( p − a ) ≤ ≤ (iv) ∑ a p 3 a a cyc cyc cyc ● Ta ý ñến hai bất ñẳng thức (ii) (iii): -Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM cho số A B C , , ta ñược: a b c A  A.B.C  ≥ 3 ∑  kết  a.b.c  cyc a  A.B.C  3π hợp với bất ñẳng thức (ii) ta suy   ≤ 2p  a.b.c  ⇔ a.b.c  p  ≥  (v) Mặt A.B.C  π  1 a  a.b.c 3 p  a.b.c  ≥ 3 , từ ñó ta  , mà theo (v) ta dễ dàng suy   ≥ π  A.B.C   A.B.C  cyc A a 6p (vi) có bất ñẳng thức ∑ ≥ π cyc A -Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có : khác, ta lại có ∑ A2 A ( A+ B +C) π2 ∑ a = ∑ aA ≥ Aa + Bb + Cc = Aa + Bb + Cc cyc (vii), mà ta ñã a/ phần tìm ñược cyc 2π p − ( R + r ) < Aa + Bb + Cc < 2π p − 2π ( R + r ) A π (bài tập trước) nên ∑ a > 2π ( p − R − r ) (viii) (chỉ ñúng với tam giác nhọn) cyc -Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM cho số ( p − a) A B C , ( p − b ) , ( p − c ) ta ñược: a b c A B C ABC S ABC S.ABC + ( p − b) + ( p − c) ≥ 3 ( p − a)( p − b)( p − c) =33 =33 ⇒ a b c abc p 4S.R p.R A p∑ A A S A.B.C π cyc a (4)mà ∑ ( p − a ) ≤ ≤ (theo iv) nên từ (4) ( p − a) ≥ 33 ∑ a p S R a cyc cyc A p∑ 3  A a π  3π  729S A.B.C S A.B.C 729S A.B.C ⇒ 33 ≤ cyc ≤ ⇔ ≤ p4  ∑  ⇒ ≤ p4   4R 4R p 4S R  2p   cyc a  ( p − a) ⇔ 54S A.B.C ≤ π p.R (ix) The Inequalities Trigonometry 87 The Inequalities Trigonometry 88 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác 2  x y   z x   y z  + + + + + ● Xét tổng T =   b By a Ax   a Ax c Cz   c Cz b By        Ta có: T ≥ y+z z+x x+ y 1 1   ⇔ + + − 2 + + ≥ x a2 A y b2 B z c 2C  ab AB bc BC ca CA  y + z bc z + x ca x + y ab  c + + − 2 + x aA y bB z cC  AB y + z bc z + x ca x + y ab  a ⇔ + + ≥ 2 + x aA y bB z cC  BC ⇔ a b  + ≥0 BC CA  b + CA Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác sin A π − A2 Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức cho góc A, B, C ta thu ñược > , A π + A2 2 2 sin B π − B sin C π − C > > , cộng bất ñẳng thức ta ñược: B C π + B2 π + C2 2 2 sin A sin B sin C π − A π − B π − C + + > + + , từ ñây áp dụng ñịnh lí hàm số sin A B C π + A2 π + B2 π + C a b c a π − A2 π − B2 π − C2 a π − A2 R R sin A = ta có + + R > 2 + 2 + 2 hay ∑ > R ∑ 2R A B C π + A π + B π +C π + A2 cyc A c   (5) AB  a b c  abc 3 p + + ≥ 3 (6) Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM ta ñược:  ≥ BC CA AB  ABC  π y + z bc z + x ca x + y ab p Từ (5) (6) ta ñược: + + ≥ (7) x aA y bB z cC π Thay (x, y, z) (7) (p-a, p-b, p-c) ta ñược: bc ca ab 12 p + + ≥ (x) A( p − a) B ( p − b) C ( p − c) π b + c c + a a + b 12 p Thay (x, y, z) (7) (bc, ca, ab) ta ñược: + + ≥ (xi) A B C π 2x  π 3/ Chúng ta xét bất ñẳng thức sau: sinx ≥ với ∀ x ∈ 0,  (phần chứng minh bất π  2 ñẳng thức dành cho bạn ñọc) a Theo ñịnh lí hàm số sin ta có sin A = kết hợp với bất ñẳng thức ta ñược 2R a 2A a 4R a 12 R ≥ ⇔ ≥ , từ ñó ta dễ dàng suy ∑ > 2R π A π π cyc A sin x π - x ≥ với ∀ x ∈ (0,π ] (bất ñẳng thức xem x π + x2 tập dành cho bạn ñọc) sin x x2 x3 Bất ñẳng thức tương ñương ≥ 1− ⇔ sin x ≥ x − (1) x π +x π + x2 3 (2) (bạn ñọc tự chứng minh).Từ (1) Trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin C ≤  A3 3 B3 C3  ≥ ∑ sin A > A + B + C −  + + (2) ta thu ñược ⇒ 2  cyc π + A π + B π +C  4/ Bất ñẳng thức:  A3 3 B3 C3  A3 B3 C3 π 3 > π − 2 + + + + > − ⇔ 2  2 π + A π + B π + C2 π + A π + B π +C  The Inequalities Trigonometry 89 The Inequalities Trigonometry 90 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác Thử trở cội nguồn môn lượng giác Lê Quốc Hán ðại học Sư phạm Vinh “Lượng giác học” có nguồn gốc từ Hình học Tuy nhiên phần lớn học sinh học môn Lượng giác học (giải phương trình lượng giác, hàm số lượng giác …), lại thấy phận môn ðại số học, công cụ ñể giải toán hình học (phần tam giác lượng) mà không thấy mối liên hệ hai chiều môn Trong viết này, hy vọng phần cho bạn cách nhìn “mới” : dùng hình học ñể giải toán lượng giác Trước hết, ta lấy kết quen thuộc hình học sơ cấp : “Nếu G trọng tâm tam giác ABC M ñiểm tùy ý mặt phẳng chứa tam giác ñó thì” : 1 MG = MA + MB + MC − a + b + c (ðịnh lý Lép-nít) Nếu M ≡ O tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC MA + MB + MB = 3R nên áp dụng ñịnh lý hàm số sin, ta suy : OG = R − R (sin A + sin B + sin C ) 9  ⇒ OG = R  − (sin A + sin B + sin C ) (1) 4  Từ ñẳng thức (1) , suy : sin A + sin B + sin C ≤ (2) Dấu ñẳng thức xảy G ≡ O , tức ∆ABC ñều Như vậy, với kiến thức hình học lớp 10 ta ñã phát chứng minh ñược bất ñẳng thức (2) Ngoài ra, hệ thức (1) cho ta “nguồn gốc hình học” bất ñẳng thức (2) , ñiều mà người nghĩ ñến Bằng cách tương tự, ta tính khoảng cách O trực tâm H ∆ABC Xét trường hợp ∆ABC có góc nhọn Gọi E giao ñiểm AH với ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC Thế : ℘H / (O ) = OH − R = HE HA ( ) ( ) Do ñó : OH = R − AH HE (*) với : AF cos A cos A = AB = R sin C = R cos A AH = sin C sin C sin C HE = HK = BK cot C = AB cos B cot C cos C = 2.2 R sin C cos B = R cos B cos C sin C Thay vào (*) ta có : 1  OH = 8R  − cos A cos B cos C  (3) 8  The Inequalities Trigonometry Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác Nếu ∠BAC = 90 chẳng hạn, (3) hiển nhiên Giả sử ∆ABC có góc A tù Khi ñó ℘H / (O ) = R − OH = HA HE ñó AH = −2 R cos A nên ta suy (3) Từ công thức (3) , ta suy : (4 ) ∆ ABC (Dấu ñẳng thức xảy ñều) Cũng bất ñẳng thức (2) , bất ñẳng thức (4) ñã ñược phát chứng minh với kiến thức lớp 10 có “nguồn gốc hình học” ñẹp Cần nhớ rằng, “xưa nay” chưa nói ñến việc phát hiện, riêng việc chứng minh bất ñẳng thức ñó, người ta thường phải dùng công thức lượng giác (chương trình lượng giác lớp 11) ñịnh lý dấu tam thức bậc hai Có ñược (1) (3) , ta tiếp tục tiến tới Ta thử sử dụng “ñường thẳng Ơle” Nếu O, G, H tâm ñường tròn ngoại tiếp, trọng tâm trực tâm ∆ABC O, G, H 1 thẳng hàng : OG = OH Từ OG = OH Từ (1)(3) ta có : − sin A + sin B + sin C = (1 − cos A cos B cos C ) 4 hay sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C Thay sin α − cos α vào ñẳng thức cuối cùng, ta ñược kết quen thuộc : cos A + cos B + cos C + cos A cos B cos C = (5) Chưa nói ñến việc phát (5) , riêng việc chứng minh ñã làm “nhức óc” bạn trẻ làm quen với lượng giác Qua vài ví dụ ñây, hẳn bạn ñã thấy vai trò hình học việc phát chứng minh hệ thức “thuần túy lượng giác” Mặt khác, nêu lên cho câu hỏi : Phải hệ thức lượng giác tam giác có “nguồn gốc hình học” làm bạn ñường ? Mời bạn giải vài tập sau ñây ñể củng cố niềm tin A B C  Chứng minh rằng, tam giác ta có d = R 1 − sin sin sin  ñó 2 2  d khoảng cách ñường tròn tâm ngoại tiếp nội tiếp tam giác ñó Từ ñó suy bất ñẳng thức quen thuộc tương ứng • Cho ∆ABC Dựng mặt phẳng ABC ñiểm O1 O2 cho tam cos A cos B cos C ≤ ( ) giác O1 AB O2 AC tam giác cân ñỉnh O1 ,O2 với góc ñáy 30 cho O1 C nửa mặt phẳng bờ AB, O2 B nửa mặt phẳng bờ AC a) Chứng minh : O1O2 = a + b + c − 3S b) Suy bất ñẳng thức tương ứng : ( 91 The Inequalities Trigonometry ) 92 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác sin A + sin B + sin C ≥ sin A sin B sin C Chứng minh ∆ABC có góc nhọn, : sin A + sin B + sin C cos Giả sử A = max{A, B, C} ≥ , lúc ñó cos 2    Ta có : 1 + + ≥ + sin A + sin B + sin C 2+4 ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Thí dụ Chứng minh với tam giác ABC ta có : ⇒         ≥ 1 + 1 + 1 + 1 + 3  sin A  sin B  sin C   Lời giải Ta có : 3 sin   1 1     + + ≥ 1+ +   = 1+ 1 + 1 + sin A sin B sin A sin B sin A sin B  sin A sin B   sin A  sin B  2       2   ≥ 1 +  = 1 +  = 1 +    ( ) ( ) ( ) − − + cos cos cos sin sin − + A B A B A B A B       2       = 1+  sin A + B      A B  A B + sin + sin   sin 2 ≥ 2  = 1 − cos A + cos B  = 1 − cos A + B cos A − B  2 8 2  8        1 A+ B A B A+ B A+ B ⇒ sin + sin ≥ sin ≥ 1 − cos  = sin 8  2 π C + sin ≥ sin Tương tự ta có : sin 2 Cộng theo vế (7 ) (8) ta ñược : C+    1      ⇒ 1 +  ≥ 1+ 1 +  sin A  sin B   sin A + B      Tương tự :  1    1+ 1 +  sin C  sin π         ≥ 1 + π   C+     sin          (5) The Inequalities Trigonometry (7 ) π (8) π π π  C+  A+ B+C +  A B C 6 A+ B 6 3   ≥ sin sin + sin + sin + sin ≥ sin + sin  2      A B C π ⇒ sin + sin + sin ≥ sin = (9) 2 64 Trường hợp tam giác ABC nhọn, bất ñẳng thức (7 ), (8), (9) ñúng Thí dụ Chứng minh với tam giác ABC ta có : (6) Nhân theo vế (5) (6) ta có :  1     1 + 1 +  1+ 1 +  sin A  sin B  sin C  sin π      >           ≥ 1 +  A+ B       sin       1 +  π C+   sin  (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤ 2       ≥ 1 +  π   sin     95        6   +  4   Lời giải Ta có : (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) = π  π  π  cos A −  cos B −  cos C −  4  4  4  nên bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với : The Inequalities Trigonometry 96 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác 6 π  π  π    (*) cos A −  cos B −  cos C −  ≤  + 4  4  4  4   3π - Nếu max{A, B, C } ≥ vế trái (*) không dương nên bất ñẳng thức ñã cho ñúng 3π π π π    - Nếu max{A, B, C } < : cos A −  > , cos B −  > , cos C −  > 4 4        π π π       nên cos A −  cos B −  = cos A + B −  + cos( A − B ) 4  4 2  2   1 π  π  2 A + B ≤ 1 + cos A + B −  ≤ cos  −  2  4   Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Một số chuyên ñề viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức lượng giác A B C π 3) A cos + B cos + C cos ≤ 1+ 4 4 π  π  π  4) cos − A  cos − B  cos − C  ≥ + cos A cos B cos C 4  4  4  2 với ∆ABC nhọn ( ) ( ) π  π   A+ B π  ⇒ cos A −  cos B −  ≤ cos  −  (10) 4  4 4   Tương tự : π   C + π  π π  π   2 (11) − cos C −  cos −  ≤ cos 4 4 3 4       Do ñó nhân theo vế (10) (11) ta có : π    C + π  π  π  π π   A+ B π   − π  ≤ cos  π − π  −  cos  cos A −  cos B −  cos C −  cos −  ≤ cos     4  4  4 3 4 4 4 3 4       6 π  π  π  π π    ⇒ cos A −  cos B −  cos C −  ≤ cos  −  =  + 4  4  4   3 4  Do ñó : (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤  6   +   3 ðẳng thức xảy tam giác ABC ñều Mời bạn tiếp tục giải toán sau ñây theo phương pháp Chứng minh với tam giác ABC, ta có : A B C 1) tan + tan + tan ≤ 2 1 2) + + ≥ 3.2 n (n ∈ N ) n A n B n C sin sin sin 2 The Inequalities Trigonometry 97 The Inequalities Trigonometry 98 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Bất ñẳng thức hay ? Làm sáng tạo bất ñẳng thức ? Chương : Bất ñẳng thức hay ? Làm sáng tạo bất ñẳng thức ? Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Bất ñẳng thức hay ? Làm sáng tạo bất ñẳng thức ? ðiều khó khăn tiếp cận với bất ñẳng thức khẳng ñịnh có ñúng hay không Thực tế giải toán mang tính “giả thuyết” việc mạo hiểm nhiều thời gian, chí sau cố gắng kết thu ñược phản ví dụ chứng minh bất ñẳng thức sai Nhưng toán học ñiều hoàn toàn bình thường bạn không cần phải e ngại tự phủ ñịnh toán ñặt cả, ñó bước ñầu tiên ñể bạn sáng tạo ñược toán hay có ý nghĩa Lê Hoàng Anh (HS chuyên toán khóa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất ñẳng thức mảng toán khó, lại sân chơi ñể cho học sinh giỏi toán thể lực Bạn ñọc ñã làm quen với bất ñẳng thức từ THCS Bước ñầu bạn học bất ñẳng thức kinh ñiển : AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev, … hay bắt ñầu ñọc SOS, ABC,…Vậy ñã bạn ñọc tự hỏi Bất ñẳng thức hay? Làm sáng tạo bất ñẳng thức ? ðó thực vấn ñề thú vị ñáng ñể quan tâm bình luận Sau ñây số ý kiến giáo viên toán, học sinh chuyên toán vấn ñề : Bất ñẳng thức bất ñẳng thức có phát biểu ñẹp cách chứng minh thật ñặc sắc, khơi gợi học sinh giỏi toán phát triển tổng quát toán Thầy ðặng Bảo Hòa (GV chuyên toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : Lê Ngọc Anh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất kỳ bất ñẳng thức ñều có hay ñẹp riêng ðặc biệt bất ñẳng thức vận dụng nhiều khía cạnh bất biến bất ñẳng thức bất ñẳng thức hay!!! Sáng tạo bất ñẳng thức tập hợp nghiên cứu rời rạc, bất ñẳng thức ñơn lẻ “biến hoá” bất ñẳng thức Khi ñó ta ngày làm chặt Cuối ta có bất ñẳng thức nhìn vào hết biết ñường làm ☺ Thầy Trần Diệu Minh (GV chuyên toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : Trần ðăng Khuê (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Từ bất ñẳng thức ban ñầu mà suy ñược nhiều bất ñẳng thức khác bất ñẳng thức hay!!! Cô Tạ Thanh Thủy Tiên(GV chuyên toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) Bất ñẳng thức ñề tài ñược nhiều người quan tâm Quan hệ chúng rộng, ñi sâu vào khó.Việc chứng minh bất ñẳng thức lỏng tương ñối dễ, việc làm chặt chúng công việc khó khăn ñầy ký thú!!! Nguyễn Huỳnh Vĩnh Nghi (HS chuyên toán khóa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Lấy ý tưởng từ bất ñẳng thức khác (khó!) phát biểu cách khác sau ñã áp dụng số bổ ñề.Tất nhiên ñó trình ñộ phải cao hơn, cách làm phải khó hơn, sáng tạo !!! Lê Phước Duy (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất ñẳng thức có tính tổng quát, khó, ñẹp bất ñẳng thức hay!!! Thầy Trần Phương (Gð Trung tâm hỗ trợ nghiên cứu phát triển sản phẩm trí tuệ, tác giả nhiều sách hay toán học sơ cấp) : Huỳnh Hữu Vinh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Chứng minh bất ñẳng thức công việc ñòi hỏi trí thông minh sáng tạo khéo léo Phạm Kim Hùng (SV khóa Cử nhân tài – Trường ðHKHTN – ðHQGHN, tác giả sách “Secrets in Inequalities”(Sáng tạo bất ñẳng thức) tiếng) : The Inequalities Trigonometry 99 Những bất ñẳng thức dạng tổng quát mà trường hợp ñặc biệt bất ñẳng thức bản, quen thuộc bất ñẳng thức hay!!! The Inequalities Trigonometry 100 [...]... Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh Chương 2 : 2.1 Biến ñổi lượng giác tương ñương : Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất” Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức ðể có... Inequalities Trigonometry Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh 53 a2 + b2 + c2 ≥ 36  2 abc   p + 35  p  The Inequalities Trigonometry 54 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng... khác Tam giác ñều có thể nói là tam giác ñẹp nhất trong các tam giác Ở nó ta có ñược sự ñồng nhất giữa các tính chất của các ñường cao, ñường trung tuyến, ñường phân giác, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác … Và các dữ kiện ñó lại cũng trùng hợp với ñiều kiện xảy ra dấu bằng ở các bất ñẳng thức lượng giác ñối xứng trong tam giác Do ñó sau khi giải ñược các bất ñẳng thức lượng giác thì... cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi lượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2 Các ñẳng thức ,bất ñẳng thức trong tam giác) Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 Các phương pháp chứng minh Chứng minh bất ñẳng thức ñòi hỏi kỹ năng...  4   4  ðây là phần duy nhất của chuyên ñề không ñề cập ñến lượng giác Nó chỉ mang tính giới thiệu cho bạn ñọc một ñịnh lý hay ñể chứng minh bất ñẳng thức Nhưng thực ra trong một số bài bất ñẳng thức lượng giác, ta vẫn có thể áp dụng ñịnh lý này Chỉ có ñiều các bạn nên chú ý là dấu bằng của bất ñẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác ñịnh của các hàm lượng giác 1.4 Bài tập : Cho ∆ABC CMR : 1.4.1... The Inequalities Trigonometry ) 26 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở ⇒ ∆' = 1 − 2(k − 1) ≥ 0 = −(b sin 2 A + c sin 2C ) ≤ 0 Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh xong 2 ⇒k≤ 3 2 ⇒ ñpcm Ví dụ 1.3.2.4 Cho ∆ABC bất kỳ CMR : cos A + cos B + cos C ≤ 1.3.3 ðịnh... vuông : Cuối cùng ta xét ñến tam giác vuông, ñại diện khó tính nhất của tam giác ñối với bất ñẳng thức lượng giác Dường như khi nhận diện tam giác vuông, phương pháp biến ñổi tương ñương các ñẳng thức là ñược dùng hơn cả Và ta hiếm khi gặp bài toán nhận diện tam giác vuông mà cần dùng ñến bất ñẳng thức lượng giác Ví dụ 3.1.3.1 ðẳng thức xảy ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm CMR ∆ABC vuông khi thỏa 3 cos B + 6 sin... THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở ðể ý c ∈ (n ; n + 1) ⇒ 1 ≤ n < c < n + 1 ⇒ n < c < (n + 1) 2 2 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :  y sin C = z sin B ⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c   x = y cos C + z cos B tức x, y, z là ba cạnh của tam giác. .. Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Mục lục : 3.1 ðịnh tính tam giác ………………………………………………………67 3.1.1 Tam giác ñều………………………………………………………… 67 3.1.2 Tam giác cân………………………………………………………… 70 3.1.3 Tam giác vuông……………………………………………………… 72 3.2 Cực trị lượng giác …………………………………………………… 73 3.3 Bài tập…………………………………………………………………… 76 65 The Inequalities Trigonometry 66 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương... sin b cos a cos b Ví dụ 2.1.7 π π Bất ñẳng thức sau cùng hiển nhiên ñúng do 0 < a + b < ≤ α ;β < π 2 ⇒ 0 < cos α ; cos β ≤ The Inequalities Trigonometry π 2 ⇒ ñpcm 1 2 35 The Inequalities Trigonometry 36 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng