Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P3 new 2010

Trng THPT chun Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Chương : Áp dụng vào số vấn đề khác “Có học phải có hành” Sau ñã xem xét bất ñẳng thức lượng giác phương pháp chứng minh ta phải biết vận dụng kết vào vấn đề khác Trong chương trước ta có ví dụ bất ñẳng thức lượng giác mà dấu thường xảy trường hợp ñặc biệt : tam giác ñều, cân hay vng …Vì lại phát sinh dạng : định tính tam giác dựa vào ñiều kiện cho trước Mặt khác với kết chương trước ta dẫn đến dạng tốn tìm cực trị lượng giác nhờ bất đẳng thức Dạng hay : kết ñược “giấu” đi, bắt buộc người làm phải tự “mị mẫm” tìm đáp án cho riêng Cơng việc thật thú vị ! Và tất nhiên muốn giải tốt vấn đề ta cần có “vốn” bất ñẳng thức “kha khá” Bây kiểm tra hiệu bất ñẳng thức lượng giác chương : “Áp dụng vào số vấn đề khác” Mục lục : 3.1 ðịnh tính tam giác…………………………………………………………67 3.1.1 Tam giác ñều………………………………………………………… 67 3.1.2 Tam giác cân………………………………………………………… 70 3.1.3 Tam giác vuông……………………………………………………… 72 3.2 Cực trị lượng giác……………………………………………………… 73 3.3 Bài tập…………………………………………………………………… 76 The Inequalities Trigonometry 66 Trng THPT chun Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác 3.1 ðịnh tính tam giác : 3.1.1 Tam giác : Tam giác nói tam giác đẹp tam giác Ở ta có đồng tính chất ñường cao, ñường trung tuyến, ñường phân giác, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác … Và kiện lại trùng hợp với ñiều kiện xảy dấu bất ñẳng thức lượng giác ñối xứng tam giác Do sau giải bất đẳng thức lượng giác ta cần phải nghĩ đến việc vận dụng trở thành phương pháp nhận dạng tam giác Ví dụ 3.1.1.1 CMR ∆ABC thỏa : ma + mb + mc = R Lời giải : Theo BCS ta có : (ma + mb + mc )2 ≤ ma + mb + mc ( ) a + b2 + c2 ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ R sin A + sin B + sin C mà : sin A + sin B + sin C ≤ 81 ⇒ (ma + mb + mc ) ≤ R ⋅ = R 4 ⇒ m a + mb + mc ≤ R ðẳng thức xảy ∆ABC ñều ⇒ ñpcm ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ ( ) ( ) Ví dụ 3.1.1.2 CMR thỏa sin A B ab sin = 2 4c ∆ABC Lời giải : Ta có : The Inequalities Trigonometry 67 Trng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác A− B A+ B A− B cos cos ab a + b R(sin A + sin B ) 2 = ≤ ≤ = = C C C A+ B 4c 8c R.8 sin C R.8.2 sin cos sin cos 2 2 A B ⇒ sin sin ≤ A+ B 2 cos A+ B A B ⇔ cos sin sin ≤ 2 A+ B A− B A+ B ⇔ cos − cos  −1 ≤  cos  2  A+ B A+ B A− B ⇔ cos − cos +1 ≥ cos 2 2 R.2 sin A+ B A− B  A−B ⇔  cos − cos ≥0  + sin 2   ⇒ đpcm Ví dụ 3.1.1.3 CMR ∆ABC thỏa : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c ) Lời giải : ðiều kiện ñề tương ñương với : r r r 2.2 p + +  = (a + b + c ) a b c r r r + + = a b c 1 ⇔ + + = A B B C C A cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 Mặt khác ta có :    A B 1 1   =  tan + tan  ≤ + A B 4 A B 4 2 cot + cot cot   cot 2 2  Tương tự : ⇔ The Inequalities Trigonometry 68 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng ≤ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác B C 1  tan + tan  4 2 B C + cot 2 C A 1 ≤  tan + tan  C A 4 2 cot + cot 2 A B C 1 1 ⇒ + + ≤  tan + tan + tan  A B B C C A 2 2 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 A B C A B C 1 ⇒ ≤  tan + tan + tan  ⇔ tan + tan + tan ≥ 2 2 2 2 ⇒ đpcm cot Ví dụ 3.1.1.4 CMR thỏa S = 3Rr ∆ABC Lời giải : Ta có : A B C A B C sin sin cos cos cos 2 2 2 A B C A B C A B C = R sin sin sin R cos cos cos = r R cos cos cos 2 2 2 2 3 3 ≤ r 4R = Rr ⇒ ñpcm S = R sin A sin B sin C = R 2.2.2 sin Ví dụ 3.1.1.5 CMR ∆ABC thỏa ma mb mc = pS Lời giải : Ta có : 1 A ma = (2b + 2c − a ) = (b + c + 2bc cos A) ≥ bc(1 + cos A) = bc cos 4 2 mà : The Inequalities Trigonometry 69 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 A cos A = ⇒ cos −1 = 2bc 2bc 2 2 b + c − a + 2bc (b + c ) − a p( p − a ) ⇒ cos A = = = bc 4bc 4bc ⇒ ma ≥ p( p − a ) Tương tự : mb ≥ p( p − b )  mc ≥ p( p − c ) ⇒ ma mb mc ≥ p p( p − a )( p − b )( p − c ) = pS ⇒ ñpcm 3.1.2 Tam giác cân : Sau tam giác tam giác cân đẹp khơng Và xét bất đẳng thức có dấu xảy hai biến khác biến thứ ba Ví π 2π Vì khó trường hợp xác định tam giác dụ A = B = ; C = Ví dụ 3.1.2.1 CMR ∆ABC cân thỏa điều kiện tan A + tan B = tan A+ B nhọn Lời giải : sin ( A + B ) sin ( A + B ) sin C = = cos A cos B cos( A + B ) + cos( A − B ) cos( A − B ) − cos C C cos( A − B ) ≤ ⇒ cos( A − B ) − cos C ≤ − cos C = sin 2 C C sin cos sin C sin C 2 = cot C = tan A + B ⇒ ≥ = C C cos( A − B ) − cos C 2 sin 2 sin 2 A+ B ⇒ tan A + tan B ≥ tan Ta có : tan A + tan B = A+ B  tan A + tan B  Từ giả thiết : tan A + tan B = tan ≤ 2  2   2 2 ⇔ tan A + tan B ≤ tan A + tan B + tan A tan B 2 ( The Inequalities Trigonometry ) 70 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác ⇔ (tan A − tan B ) ≤ ⇔ tan A = tan B ⇔ A=B ⇒ đpcm Ví dụ 3.1.2.2 CMR ∆ABC cân thỏa = bc cos A Lời giải : Trong tam giác ta có : ≤ l a = 2bc A cos b+c bc 2bc ≤ = bc b+c bc 2bc A A A ⇒ cos ≤ bc cos ⇒ ≤ bc cos b+c 2 ðẳng thức xảy ∆ABC cân ⇒ ñpcm mà b + c ≥ bc ⇒ Ví dụ 3.1.2.3 CMR thỏa r + = R sin B ∆ABC cân Lời giải : Ta có : B B B B B r + = ( p − b ) tan + p tan = (2 p − b ) tan = (a + c ) tan = R(sin A + sin C ) B 2 2 cos B B sin sin − A+C A−C B A C = R cos cos = R sin B cos A − C ≤ R sin B cos = R sin ⋅ ⋅ B B 2 2 2 cos cos 2 sin ⇒ r + ≤ R sin B ðẳng thức xảy ∆ABC cân ⇒ ñpcm The Inequalities Trigonometry 71 Trng THPT chun Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Ví dụ 3.1.2.4 CMR S = a + b ∆ABC cân ( ) Lời giải : Ta có : a + b ≤ 2ab ⇒ ⇒ 1 a + b ≥ ab ≥ ab sin C = S 2 ( ) a + b ≥ S ⇒ ∆ABC cân thỏa ñiều kiện đề ( ) Ví dụ 3.1.2.5 CMR ∆ABC cân thỏa cos A + cos B + cos C = Lời giải : Ta có : A B+C B−C  cos A + cos B + cos C = 21 − sin  + cos cos 2 2  = −4 sin 1 A A B−C A B −C   B−C − + + sin cos − + = − sin − cos  + cos 2 4 2  4  2 B−C 9 A B−C   + ≤ = − sin − cos  − sin 2  4  ðẳng thức xảy B = C ⇒ đpcm 3.1.3 Tam giác vng : Cuối ta xét đến tam giác vng, đại diện khó tính tam giác ñối với bất ñẳng thức lượng giác Dường nhận diện tam giác vuông, phương pháp biến ñổi tương ñương ñẳng thức ñược dùng Và ta gặp toán nhận diện tam giác vng mà cần dùng đến bất đẳng thức lượng giác Ví dụ 3.1.3.1 CMR ∆ABC vng thỏa cos B + sin C + sin B + cos C = 15 Lời giải : The Inequalities Trigonometry 72 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Theo BCS ta có : 3 cos B + sin B ≤ + cos B + sin B =  6 sin C + cos C ≤ + sin C + cos C = 10 ⇒ cos B + sin B + sin C + cos C ≤ 15 ðẳng thức xảy :  cos B sin B   = tan B = 3 cos B + sin B = π ⇔ ⇔ ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C =  6 sin C + cos C = 10  sin C = cos C cot C =    ⇒ ñpcm ( ( )( )( ) ) 3.2 Cực trị lượng giác : ðây lĩnh vực vận dụng thành cơng triệt để bất đẳng thức lượng giác vào giải toán ðặc biệt dạng này, gần ta người sa mạc khơng biết phương hướng đường đi, ta khơng biết trước kết mà phải tự dùng bất đẳng thức biết để tìm đáp án cuối Vì lẽ mà dạng tốn thường “khó xơi”, ñòi hỏi ta phải biết khéo léo sử dụng bất ñẳng thức cần vốn liếng kinh nghiệm bất đẳng thức khơng nhỏ Ví dụ 3.2.1 Tìm giá trị nhỏ hàm số : a sin x + b cos y a cos x + b sin y + f (x , y ) = c sin x + d cos y c cos x + d sin y với a, b, c, d số dương Lời giải : ðặt f ( x , y ) = af + bf với f = sin x cos x + c sin x + d cos y c cos x + d sin y f2 = cos x sin x + c sin x + d cos y c cos x + d sin y ( ) ( Ta có : c + d = c sin x + cos x + d sin y + cos y Do : The Inequalities Trigonometry ) 73 Trng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác  sin x cos x + 2 2  c sin x + d cos y c cos x + d sin (c + d ) f1 = [(c sin x + d cos y ) + (c cos x + d sin y )]   y   sin x cos x  =1 ≥  c sin x + d cos y + c cos x + d sin y 2 2  c sin x + d cos y c cos x + d sin y   ⇒ f1 ≥ c+d Tương tự : f ≥ Vậy c+d f ( x , y ) = af + bf ≥ a+b c+d Ví dụ 3.2.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = cos A + cos 3B − cos 3C Lời giải : Ta có : cos 3C = cos 3[π − ( A + B )] = cos[3π − 3( A + B )] = − cos 3( A + B ) nên  A+ B  A− B  A+ B P = cos A + cos 3B + cos 3( A + B ) = cos 3  cos 3  −1  + cos 3        A− B  A+ B  A+ B ⇒ P + = cos 3  cos 3  + cos 3  + = f (x , y )        A− B ∆' = cos 3  −1 ≤ ⇒ P ≥ −   ∆ ' =  P=− ⇔  A− B  A+ B cos 3  = − cos 3       Vậy Pmin   A− B cos 3  =    ⇔ cos 3 A + B  = − cos 3 A − B       A = B  A = B  A = 2π  ⇔ ⇔  cos A  = −   4π  A =   5π 2π  A = B = ,C = =− ⇔  A = B = 4π , C = π  9 The Inequalities Trigonometry 74 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn đề khác Ví dụ 3.2.3 Tìm giá trị lớn biểu thức : sin A + sin B + sin C P= cos A + cos B + cos C Lời giải : Ta có : −1 cos A + cos B + cos C = −1 − sin A + sin B + sin C ≤ −1 = 3− Do : Pmax = ⇔ ∆ABC P= ( ) Ví dụ 3.2.4 Tìm giá trị lớn nhỏ y = sin x − cos x Lời giải : ðiều kiện : sin x ≥ , cos x ≥ Ta có : y = sin x − cos x ≤ sin x ≤ sin x = π Dấu xảy ⇔  ⇔ x = + k 2π cos x = Mặt khác : y = sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 sin x = ⇔ x = k 2π Dấu xảy ⇔  cos x = π   y max = ⇔ x = + k 2π Vậy   y = −1 ⇔ x = k 2π Ví dụ 3.2.5 Cho hàm số y = + cos x Hãy tìm Max y miền xác định sin x + cos x − The Inequalities Trigonometry 75 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Lời giải : Vì sinx cosx khơng đồng thời nên y xác ñịnh R + cos x Y0 thuộc miền giá trị hàm số Y0 = có nghiệm sin x + cos x − ⇔ Y0 sin x + (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + có nghiệm (2Y0 + 2)2 ≤ Y0 + (Y0 − 1)2 ⇔ 2Y0 + 10Y0 + ≤ − − 19 − + 19 ≤ Y0 ≤ 2 − + 19 = ⇔ Vậy y max 3.3 Bài tập : CMR ∆ABC ñều thỏa đẳng thức sau : 3.3.2 sin A + sin B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 + + = + tan A tan B tan C 3.3.3 sin A sin B sin 2C 2 3.3.1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A =   a2 + b2 + c2 a 2b 2c  = 3.3.4  A B C  cot A + cot B + cot C  tan tan tan 2 a cos A + b cos B + c cos C = 3.3.5 a+b+c A B C 3.3.6 ma mb mc = abc cos cos cos 2 A B C 3.3.7 l a lb l c = abc cos cos cos 2 A B C 3.3.8 bc cot + ca cot + ab cot = 12 S 2 26     3.3.9 1 + 1 + 1 +  = 5+  sin A  sin B  sin C  sin A sin B sin C 3.3.10 = (sin A + sin B + sin C ) The Inequalities Trigonometry 76 ... phân giác, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác … Và kiện lại trùng hợp với ñiều kiện xảy dấu bất ñẳng thức lượng giác ñối xứng tam giác Do ñó sau giải ñược bất ñẳng thức lượng giác. ..Trng THPT chun Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác 3.1 ðịnh tính tam giác : 3.1.1 Tam giác ñều : Tam giác ñều nói tam giác đẹp tam giác Ở ta có đồng tính chất... − sin 2  4  ðẳng thức xảy B = C ⇒ đpcm 3.1.3 Tam giác vng : Cuối ta xét đến tam giác vng, đại diện khó tính tam giác ñối với bất ñẳng thức lượng giác Dường nhận diện tam giác vuông, phương