CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Chú ý các tính chất sau: 2 a b 0 ; 2 2 2 A B C 0 ; 2 2 2 A B C 0 ,( 0) ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức . Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a b a b 2 2 b) 3 3 3 a b a b 2 2 c) 2 2 a b 2ab c) 2 2 2 a b b ab bc ca d) 2 2 2 a b c 3 2 a b c e) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e f) 2 2 a b 1 ab a b Bµi 2 : Chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 a b c 2ab 2ac 2bc b) 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0 d) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0 e) 4 4 2 2 x y z 1 2x xy x x 1 f) Bµi 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 ab bc ca a b c 2 ab bc ca b) abc a b c b c a c a b c) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 a b b c c a a b c 0 d) 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b 4abc a b c e) 2 2 2 a b a b b c b c c a c a 0 f) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc Bµi 4 : Chứng minh: x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 với mọi số thực x. Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P x xy y 3x 3y 1998 Bµi 6 : Cho abc=2 và 3 a 72 . CMR: 2 2 2 a b c ab bc ca 3 . Bµi 7 : CMR: a) Nếu 2 2 a b 2 thì a b 2 b) Với a b thì 3 2 2 3 2 a ab a b b b a b c) Nếu x 1, y 1 thì x y 1 y x 1 1 xy d) Nếu 0 x y z . CM: 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z e) Nếu 2 2 2 a b c 1 thì : 1 ab bc ca 1 2 . f) Cho a > 0. CMR: 5 2 a a 3a 5 0 Bµi 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b b c c a Bµi 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì 2 2 2 1 a 1 b 1 c bằng bình phương của một số thực ( a, b, c là các số thực). Bµi 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 2 2 2 2 a b c d ab bc cd d 0 5 . Bµi 11 : Cho các số dương a, b, c. CMR: a b c 1 2 b c a c a b . Bµi 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện : ap 2bn cm 0 và 2 ac b 0 . CMR: 2 mp n 0 . Bµi 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và c ab . CMR: 2 2 2 2 a c b c a c b c . Dạng 2: DÙNG CÁC BĐT: 1 a 2, a 0 a ; a b 2, a.b 0 b a Bµi 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương) a) 1 1 a b 4 a b b) 1 1 1 a b c 9 a b c c) 2 2 2 a b c a b c 9abc d) bc ac ab a b c a b c e) a b c 3 b c a c a b 2 f) 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2 g) 4 4 4 9 a 2b c 2a b c a b 2c a b c ; h) a b c 1 1 1 bc ac ab a b c i) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 4x 1 4 x P , x 0 x b) 2 x 2x 1 Q , x 2 x 2 c) 2 2 1 T a 4 a a a 1 . Bµi 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1 . DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ . Bµi 17 : Tìm GTNN của : a) 2 2 2 f x,y x y 1 x 1 y 2 b) 2 2 2 f x,y x y x 2xy 4x 1 c) 2 2 2 2 4y 4x 6xy f x,y x y . Bµi 18 : Tìm GTLN của : a) 2 f x 3 4x x b) f x x 3 15 x c) 2 2 2 3x 4xy f x,y x y Bµi 19 : Tìm GTNN của : a) 2 x 4x 4 f x x 0 x b) 3 2 x 1 f x x 0 x c) x 5 f x 0 x 1 1 x x d) f x tgx cotgx (x là góc nhọn) Bµi 20 : Tìm GTLN của : a) f x 2x 1 3 5x b) 3 f x 1 x 1 x c) 2 x f x x 2 d) 2 3 2 x f x x 2 e) 2 2 f x a x a x 0 x a Bµi 21 : Tìm GTLN, GTNN của : a) f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5 b) 2 f x 3x 4 3 x 3 x 3 c) o o f x 3sinx 4cosx 2 0 x 180 Bµi 22 : Cho 2 2 x y 2, x 0,y 0 . Hãy tìm : a) GTNN của : 1 1 A x y b) GTLN của : B x y xy c) GTLN của : 2 C xy Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của : a) 2 2 A x y b) 4 4 B x y c) C x 1 4y 3 d) 2 2 D x y x 9 y y 9 x Bµi 24 : Cho 2 số thực dương a và b. Tìm GTNN của : a) a x b x y , x 0 x b) b y ax, x 0 x c) b y ax , x a x a d) y 2 x 1 x 2 x 3 e) y x 1 x 2 x 3 x 4 . CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Chú ý các tính chất sau: 2 a b 0 ; 2 2 2 A B C 0 . ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức . Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a. 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1 . DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ . Bµi 17 : Tìm GTNN của : a) 2 2 2 f x,y