ONTHIONLINE.NET Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp Bài tập 1: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ) Bài tập Chứng minh đẳng thức sau: a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab; b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc Bài tập 3: Cho a + b + c = 2p Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q ) Bài tập 4: Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2 1 Tính M theo a,b,c biết x = a + b + c 2 Bài tập Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chứng minh rằng: x =y = z Bài tập Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2; Chứng minh rằng: x3 + y3 = a3 + b3 Bài tập Cho a + b = m, a – b = n ; Tính ab a3 - b3 theo m n Bài tập Cho x+ y = Tính giá trị biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + Bài tập Cho a2 + b2 + c2 = m Tính giá trị biểu thức sau theo m: A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2 Bài tập10 Chứng minh đẳng thức sau: a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2; b) x4 + y4 + ( x + y )4 = ( x2 +_xy + y2 )2 Bài tập 11 Cho a2 - b2 = 4c Chứng minh đẳng thức ( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2 Bài tập 12 Chứng minh nếu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2 b a Với x,y khác = y x Bài tập 13 Chứng minh nếu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2 b a c Với x,y,z khác = = y x z Bài tập 14 Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ) Chứng minh rằng: a = b Bài tập 15 Chứng minh a = b = c có điều kiện sau: Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp NguyÔn Thanh Hïng n¨m 2007 Tr êng THCS Tiªn NHa a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c )2 = ( a2 + b2 + c2 ); c) ( a + b + c ) = (ab + bc + ca ) Bài tập 16 Tính giá trị biểu thức: a4 + b4+ c4, biết a + b + c = và: a) a2 + b2 + c2 = ; b) a2 + b2 + c2 =1 Bài tập 17 Cho a + b + c = Chứng minh a4 + b4+ c4 biểu thức: (a + b + c ) a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c) Bài tập 18.Chứng minh đẳng thức: a) ( a + b + c ) − a − b − c = 3( a + b )( b + c )( c + a ) ; ( ) b) a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca ; Bài tập 19 Cho a + b + c = chứng minh a + b + c = 3abc Bài tập 20 Cho x + y = 0, x y = b tính giá trị biểu thức sau theo a, b a) x2 + y2 x3 + y3 b) c) x4 + y4 x5 + y5 d) Bài tập 21 a)Cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 +3xy; b)Cho x - y = Tính giá trị biểu thức: x3 - y3 -3xy; c)Cho x + y = x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 ; d) Cho x + y = a x2 + y2 = b Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 theo a, b Bài tập 22 Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + a2b2 (a + b) Bài tập 23 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc Bài tập 24 Chứng minh ba số a, b, c tồn hai số nếu; a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) Bài tập 25 Chứng minh a2 + b2 = 2ab a = b Bài tập 25 Chứng minh a2 + b2 = 2ab a = b Bài tập 26 Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc a, b, c số dương a = b = c Bài tập 27 Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd a, b, c, d số dương a = b = c = d Bài tập 28 Chứng minh m = a + b + c (am + bc)(bm + ac )(cm + ab) = (a + b) (b + c) (c + a) Bài tập 29 Cho a + b = , c + d = , ac + bd = , chứng minh rằng: ab + cd = Bài tập 30 Cho biết x, y, z # 0, ( ax + by + cz ) x +y +z 2 Bài tập 31 Cho biết ax + by + cz = tính A = = a + b + c Chứng minh rằng: a b c = = x y z bc( y − z ) + ca( z − x) + ab( x − y ) ax + by + cz Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp NguyÔn Thanh Hïng n¨m 2007 Tr êng THCS Tiªn NHa Bài tập 32 Cho biết a + b + c = , a, b, c # Tính B = Bài tập 33 Cho biết ab bc ca + + 2 2 a +b −c b +c −a c + a2 − b2 1 1 1 + + = 2; + + = Chứng minh rằng: a + b + c = abc a b c a b c a b c a2 b2 c2 x y z + + = Bài tập 34 Cho biết + + = Tính giá trị biểu thức: + + x y z x y z a b c 1 Bài tập 35 Cho (a + b + c) = a + b + c a, b, c # Chứng minh rằng: + + = abc a b c a b c b a c Bài tập 36 Cho + + = + + chứng minh ba số a, b, c tồn hai số b c a a c b Bài tập 37 Cho a, b, c khác đôi 1 + + = Rút gọn biểu thức sau: a b c 1 + + ; a + 2bc b + 2ac c + 2ab bc ca ab + + b) M = ; a + 2bc b + 2ac c + 2ab a2 b2 c c) M = + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a) M = Bài tập 38 Cho a, b, c số đôi khác a+b b+c c+a = = c a b a b c Tính giá trị biểu thức: M = 1 + .1 + .1 + b c a 1 Bài tập 39.Cho a.b c = 1, a + b + c = + + Chứng minh ba số a,b,c tồn số a b c 1 1 Bài tập 40 Chứng minh x + y + z = a + + = tồn ba số x, y, z a x y z a 1 Bài tập 41 Các biểu thức x + y + z + + giá trị hay không x y z 1 + + Bài tập 42 Tính giá trị biểu thức M = x+2 y+2 z+2 Biết rằng: 2a = by + cz,2b = ax + cz,2c = ax + by a + b + c = a b 2c + + ; ab + a + bc + b + ac + 2c + a b c + + b) cho a.b.c = Rút gọn biểu thức: N = ab + a + bc + b + ac + c + a a−b 1 1 = − Bài tập 44 Cho = , a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # Chứng minh rằng: + c b−c a a −b b−c c Bài tập 43 a) cho a.b.c = Rút gọn biểu thức: M = Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp NguyÔn Thanh Hïng n¨m 2007 Tr êng THCS Tiªn NHa Bài tập 45 Cho, a # 0, b # 0, c # Rút gọn biểu thức sau: a2 b2 c2 a2 b2 c2 a) A = b) B = + + + + bc ca ab a − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Bài tập 46 Tính giá trị biểu thức sau, biết a + b + c = a b a −b b − c c − a c + + + + . A= a b a −b b − c c − a c Bài tập 47 Chứng minh (a − bc)(b − abc) = (b − ac)(a − abc) số a, b, c a – b khác 1 a + b + c = + + a b c a b c Bài tập 48 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = Chứng minh rằng: ax + bx + cx = x y z xy + yz + xz + = = Bài tập 49 Cho Chứng minh rằng: x = y = z x2y2z2 = y z x a2 b2 c2 + + = b+c c + a a +b 2 a b c b c2 a + + = + + = Bài tập 51 Cho Chứng minh rằng: 2 (c − a ) ( a − b) b−c c −a a −b (b − c) Bài tập 52 Cho x + = a Tính giá trị biểu thức sau theo a: x 1 1 a) x + ; b) x + ; c) x + ; d) x + x x x x (a + b)(b + c )(c + a ) Bài tập 53 Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, ab + bc + ca = Tính P = abc a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( a + b )( b + c )( c + a ) Bài tập 54 Cho a, b, c thoả mãn # + + = + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Chứng minh rằng: a = b = c b c a + + = 1 Chứng minh rằng: Bài tập 50 Cho b+c c + a a +b Bài tập 55 Cho x, y, z # 0, x + y + z = xyz Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + = x y z 1 + + 2 x y z Bài tập 56.Rút gọn biểu thức a) A = 1 + + (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b) b) B = 1 + + a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c (c − a )(c − b) Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp NguyÔn Thanh Hïng n¨m 2007 Tr êng THCS Tiªn NHa c) C = bc ac ab + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c ) (c − a )(c − b) d) D = a2 b2 c2 + + (a − b)(a − c ) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp NguyÔn Thanh Hïng n¨m 2007 Tr êng THCS Tiªn NHa