Chứng minh bất đẳng thức bằng đạo hàm

Th vin ti liu trc tuyn phớ - Ch kin thc Bài 1: Chứng minh http://chukienthuc.com e x >1 x với x Giải x Xét hàm số f x = e - - x liên tục khả vi với x f , x = e x - , f x f , x e x f x đồng biến (1) e x - - x > e x > x f x > f , x Nếu x f x e f x nghịch biến (2) e x -1- x > e x > x f x > f x Từ (1),(2) e > x với x đpcm Bài : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội ) Chứng minh bất đẳng ex x x2 với x Giải Yêu cầu toán x x e x < x x2 x e x Ta có f , x = x e x , f ,, x e x x Do f , x nghịch biến x 0; f , x < f , =0 với x 0; Xét f x f x nghịch biến x 0; f x < f x x x x e x 0 với x f x đồng biến f x > f =0 với x3 x3 x < sin x với x 6 x3 Từ (1),(2) x < sin x x với x (2) x sin x x Bài 4: Chứng minh sin x tan x x với x Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: sin x tan x sin x 2 tan x sin x 2 sin x tan x f , x = cos x 1 cos x 2 cos x cos x f , x f x đồng biến f x = sin x tan x x sin x tan x x hay 2 sin x tan x , cos i f cos x , chứng minh cos x ) f x f với x sin x tan x x với x sin x sin x tan x x Bài 5: (ĐH Dược ) Với x sin x tan x với x sin x tan x x (vì cos x cos x với x = 2 tan x x1 xét hàm số f x = sin x tan x x với x sin x tan x Yêu cầu toán Việc chứng minh đpcm tan x Giải đpcm x 3x với o x 2 cos x cos x Ta có f , x cos x cos i 2 cos x 2 2 cos x cos x cos x 3.3 f , x x 0; f x đồng biến 2 cos x 3x khoảng sin x tan x x 0; 0; f x f 2 x sin x tan x x 0; Đẳng thức xảy x 2 Xét hàm số f x sin x tan x Mà 2 sin x tan x 2 sin x tan x 2 sin x tan x 2 2 3x 2 sin x tan x x Do Bài Cho Xét hàm số Ta có f , x x 0; 3x 2 sin x , x3 f x Bài 8: với a b a x x 2.b x b với a x a b x b 2 x b f a a a 2.b a a 2.b b 3 2.a b 2.a b Giải , f a f f x f x đồng biến đpcm Ta có f b b a a 2.b a a 2.b b 3 2.a b 2.a b 3 59 0; , f x 18 x3 2.cos b cos a Giải Yêu cầu toán a sin a cos a > b sin b cos b Xét hàm số f x = x sin x cos x với 0< x f , x sin x x cos x sin x f , , f ,, x cos x cos x x sin x cos x x sin x (vì x sin x ) nên f ,, x f , x 0< x f x hàm số giảm khoảng 0; a sin a cos a > b sin b cos b hay a sin a b sin b > 2.cos b cos a Bài 9: f a f b với a b đpcm Chứng minh tan tan tan tan 10 Giải Xét hàm số f x Ta có f , x x sin x x cos 2 x tan x x với x với 50 chứng minh x2 y2 z2 z x y Giải Bất đẳng thức x y z y x z x2 y2 z2 x y.z 2 3 x3 z2 z3 x2 x z x2 z2 x y z y x z xz x y z y y y y y y y y y x z đặt u= , v = ta có u v y y nên bất đẳng thức có dạng u v u v u.v u v ) f f , tức 180 180 sin tan ( ta có hàm số f x đồng biến x Bài 10: u v u v u.v v v (2) Nếu v=1 (2) có dạng u 2.u tức (2) Nếu v xét hàm số f u u v u v u.v v v Ta có f , u 3.u v 2.u.v v v với v đpcm f ,, u 6.u1 v 2.v (do v u ) f , u hàm số đồng biến u nên u ta có f , u f ' mà f ' = v 4.v (v 1)(v v 3) >0 nên f , u f (u) hàm số đồng biến u Tức ta có f(u) f(1) = v2 - 2v + = (v- 1)2 > Vậy u3(1 - v) + u2v2 - u2v3 - uv (1 + v2) + v2 1>v>0 Hay x y y z z x x y z với x y z z x y Bài 11: Chứng minh đpcm x2 ln x x với x x Giải x ln x x x2 x2 Xét f x = ln1 x x , x , f , x = x 0, x x x Suy f x đồng biến với x Ta chứng minh x x2 x2 ,x0 x ln x với x (1) 2 Ta chứng minh ln1 x x, x Đặt g x x ln1 x , với x , g o x g , x , x x x g x , x x ln1 x 0, x ln x x , với x (2) ln x x Từ (1),(2) Bài 12 x x2 ln x < x Chứng minh x ,với x x2 x x đpcm với x x Giải Do x nên x x2 x x x Hướng dẫn học sinh đưa chứng minh Ta chứng minh x 1 Vì x nên x x , x x 1 x11 x x1 x x x 1 (1) Ta chứng minh x 1 x x x , g x 1 , với x hàm số đồng biến với x g , x x g x g với x x x x x x x x2 x x Vậy đpcm x , x x 2 x x Bài 13: Chứng minh : sin x x với x Đặt g x x Giải Yêu cầu toán sin x x Xét hàm số f x = sin x x với x Ta có f , x =-2 sin x cos x x với x x 2.sin x cos x sin x cos x x0 sin x.cos x với x 0; 0; với x 0; Hay sin x x đpcm Bài 14: cos x cos x sin x , g , g x > g f x đồng biến Do sin x x sin x đặt g x = sin x.cos x x , x0 cos x sin x với x g ,, x g ,, = đồng biến 0; g , x > g , g x đồng biến f x f 2 x g ,, x g , x cos x vế dương x sin x g , x cos x Cho a,b,c>0 a b c chứng minh x 0; a b c 3 2 2 b c c a a b (1) Giải Từ giả thiết b c a thay vào (1) ta có 2 , a b c c2 a b2 3 a b c a b c a2 b2 c2 2 2 2 2 2 2 b c c a a b a b c a a b b c c ( a, b ,c dương ) f x x x x x , x 0;1 Xét hàm số f , x x f , x 0 x 0; 3 0< f x f f x 3 Do 0< a a 3 2 a a 3 a 3 a 2 a a b2 3 b 2 b b Tương tự c2 3 c 2 c c Do a b c 3 2 2 b c c a a b đpcm Bài 15: Cho e x1 x x n y1 y y y m chứng minh n i i i i y Giải Xét hàm số f x m x i y yi m x y i n ln x ln x với x ta có f , x x e x x2 Nên f x hàm số nghịch biến Từ giả thiết ta có ln x n ln y1 ln y ln y n ln x1 ln x x1 x2 xn y1 y2 yn Từ ta có ln y1 y1 ln y1 ln x x y1 ln x1 x1 ln x n x n Hay ln y1 y1 n ln y1 n ln y1 m x i y i y1 i y1 i i ln y Lại có ln y y y1 ln y1 ln y y y1 ln x i (1) ln y1 y1 m ln y1 m y i ln y i y1 i i ln y n y n Từ (1) (2) n m i i m i i n ln x i ln y i x y hay (2) đpcm i y Loại 2: Dùng định lý lagrange: 1.Cơ sở để giải vấn đề Định lý lagrange: Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b khả vi a; b tồn số c cho a 2n Xét hàm số f x ln x khả vi 2n;2n theo định lý lagrang c 2n;2n để f , c Do 2n c 2n nên Vậy 1 c 2n 1 xn x < 2ne f 2n f 2n 2n 2n ln 2n ln 2n c ln 2n ln2n > 2n với x 0;1 n đpcm Bài 8: Cho 0[...]... hay Bài 7: 1 x 1 1 1 x x đpcm với x>0 Cho n chứng minh rằng : x n 1 x < 1 2ne với mọi x 0;1 Giải Hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tương tương với chứng minh bất đẳng thức x 2 n 1 x < x 2 n 2n1 x < 1 e 1 2 ne với mọi x 0;1 ta có x.xx x x (2n 2nx ) x 2n1 x x 2n 2nx 2n 2nx 2n 1 cos i 2n 1 và 2 ta sẽ chứng minh từ 2n 1ln2n 1 ln2n > 1 2n 2n 1 1 2... chuyên đề đạo hàm và định lý lagrange III Kết luận: Hiện nay sách tài liệu, sách tham khảo, nâng cao rất nhiều ,nhất là môn toán ,môn học được nhiều người yêu thích và đã có bề dày truyền thống Nên việc hệ thống các dạng bài tập cho học sinh là rất quan trọng.Trên đây chỉ là một trong các phương pháp để giúp học sinh giải quyết những bài tập thuộc dạng chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đạo hàm và... n.a n 1 b a n.c n 1 b a n.b n 1 b a a n 1 c n 1 b n 1 ( vì nb a 0 ) Bất đẳng thức đúng vì o 2n 1 với mọi x 0;1 và n đpcm Bài 8: Cho 0