chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại và bất đẳng thức chebyshev tài liệu, giáo án, bài g...
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT Đ ẲNG TH ỨC S ẮP X ẾP L ẠI V À B ẤT Đ ẲNG TH ỨC CHEB YS HEV Đào Quốc Huy - Tổ Toán – Tin Trường THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam Bất đẳng thức là một chuyên đề quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia. Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì phương pháp áp dụng bất đẳng thức cổ điển thường xuyên được sử dụng, đã có rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức mà lời giải đề cập đến việc sử dụng bất đẳng thức liên hệ giữa Trung bình cộng - Trung bình nhân (AM-GM), bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Schur …. Trong khuôn khổ bài viết, tôi xin đề cập đến bất đẳng thức Sắp xếp lại và một số bài tập sử dụng bất đẳng thức này. Bên cạnh đó, bài viết cũng đề cập đến một phương pháp sử dụng bất đẳng thức Chebyshev (coi như hệ quả của bất đẳng thức Sắp xếp lại) để đánh giá một số bất đẳng thức 3 biến dạng phân thức. I. Bất đẳng thức Sắp xếp lại: Giả sử 1 2 n a a a£ £ £ và 1 2 n b b b£ £ £ ( ) * nÎ¥ là hai dãy các số thực. Ta đặt 1 1 2 2 1 2 1 1 n n n n n A a b a b a b B a b a b a b - = + + + = + + + Gọi 1 2 ( , , , ) n x x x là một hoán vị của 1 2 ( , , , ) n b b b , đặt 1 1 2 2 n n X a x a x a x= + + + Khi đó ta có bất đẳng thức sau A X B³ ³ D ấu đẳng thức xảy ra khi và ch ỉ khi các i a t ất cả bằng nhau hoặc các i b t ất cả bằng nhau. Ch ứng minh : Trư ớc hết ta chứng minh A X³ b ằng ph ương pháp qui n ạp: - V ới 1n = , k ết quả l à hi ển nhiên. - Gi ả sử bất đẳng thức đúng cho n k = , v ới 1 n k = + ta đ ặt 1k i b x + = và 1 k j x b + = . Từ bất đẳng thức ( ) ( ) 1 1 0 k i k j a a b b + + - - ³ ta thu đư ợc 1 1 1 1i j k k k j i k a b a b a b a b + + + + + ³ + , như vậy trong X ta có thể thay đổi i x và 1k x + để thu được tổng lớn hơn. Sau khi đổi ta áp dụng giả thiết qui nạp cho k thành phần đầu tiên của tổng X và suy ra A X³ . Bất đẳng thức X B³ được suy ra từ A X³ bằng cách xét dãy 1 1 n n b b b - - £ - £ £ - thay cho dãy 1 2 n b b b£ £ £ . Với kí hiệu như trên, một cách ngắn gọn ta coi A là tổng các chỉ số “cùng chiều”, B là tổng các chỉ số “đảo chiều”, còn X là tổng các chỉ số “tùy ý”. Bất đẳng thức Sắp xếp lại cho ta: tổng cùng chiều ³ tổng tùy ý ³ tổng đảo chiều. tranminhsg123@gmail.com sent to www.laisac.page.tl Vic ỏp dng bt ng thc Sp xp li quan trng nht ch bin i bt ng thc cn chng minh v dng cú cỏc v l tng ca tớch cỏc phn t tng ng ca 2 dóy m th t ca chỳng liờn quan vi nhau (cựng th t hoc ngc th t). Chng hn hai dóy { } , , a b c v { } 3 3 3 , , a b c cú cựng th t, cũn vi , , 0x y z > thỡ hai dóy { } , , x y z v 1 1 1 , , x y z x y z ỡ ỹ ớ ý + + + ợ ỵ ngc th t. II. S dng bt ng thc Sp xp li: Mc dự bt ng thc Sp xp li c phỏt biu cho cỏc s thc nhng trong cỏc bi tp di õy gi thit thng cho iu kin cỏc s dng hoc khụng õm, iu ny nhm mc ớch sp xp 2 dóy cựng chiu ca gi thit c tha ỏng. Bờn cnh ú, nu khụng cú gỡ c bit tỏc gi xin khụng trỡnh by trng hp xy ra du ng thc ( bi vỡ nú hon ton nh phỏt biu trờn, ng thc xy ra khi 1 trong 2 dóy l dóy dng ), ng thi tỏc gi xin c s dng kớ hiu ồ thay th cho cyc ồ trong cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc quay vũng ca 3 bin. Ngoi cỏch ỏp dng bt ng thc Sp xp li, cú nhiu bi toỏn trong s nhng bi di õy hon ton cú th gii bng nhng phng phỏp khỏc, v bờn cnh s dng bt ng thc Sp xp li ta cũn ỏp dng mt s bt ng thc c in khỏc. Bi toỏn 1 : Cho n s thc ( , 2) n nẻ Ơ : 1 2 , , , n a a a tha món 1 2 1 2 0 1 n n a a a a a a + + + = ỡ ù ớ + + + = ù ợ Chng minh rng 1 2 1 2 2 n n a a na - + + + Ê Bi gi i: Kớ hi u 1 2 , , , t j j j v 1 2 , , , k s s s l cỏc phn t { } 1,2, ,nẻ sao cho 1 2 1 2 0 t k j j j s s s a a a a a a T gi thit ta suy ra 1 2 1 2 t j j j a a a+ + + = v 1 2 1 2 k s s s a a a+ + + = - . Khụng gim tớnh tng quỏt, ta cú th gi s 1 2 2 0 n a a na+ + + ( vỡ nu trỏi li ta dựng phộp t ' i i a a= - ). Theo bt ng thc Sp xp li ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) 1 1 1 1 2 k k t k k t n s s s j j s s s j j a a na a a ka k a na n a a a na na - - + + + Ê + + + + + + + - Ê + + + + + + Ê Bt ng thc ó cho c chng minh. Bi toỏn 2 : Cho cỏc s thc , , 0a b c tha món 1a b c+ + = . Chng minh rng 2 2 a b b c + + ồ Bi gii : Ta cú 2 2 ( ) ( ) 1 a b a b a b c a a b b c b c b c + + + + + = = + + + + ồ ồ ồ bt ng thc cn chng minh tr thnh ( ) a a b a b c b c + + + + ồ (*) Chỳ ý l 2 dóy { } , , a b c v 1 1 1 , , b c c a a b ỡ ỹ ớ ý + + + ợ ỵ cú cựng th t, theo bt ng thc Sp xp li ta cú 2 ( ) ( ) a ab ca ab a b c b c b c b c b c + + = + + + + + + ồ ồ . Vy (*) c chng minh. Bi toỏn 3 : Cho , , 0. x y z > Ch ng minh rng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 y x z y x z x y z y z x z x y - - - ộ ự ộ ự ộ ự + + + Ê ở ỷ ở ỷ ở ỷ Bi gii: t ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , ,a x y z b y z x c z x y= + = + = + . L y lụgarit t nhi ờn 2 v, a b t ng thc cn chng minh v dng: ln ln x c x a Ê ồ ồ , b t ng thc ny ỳng theo bt ng thc Sp xp li vi nhn xột r ng 2 dóy { } , , x y z v { } , ,a b c cựng th t, ng thi h m lnt ng bin tr ờn ( ) 0;+Ơ nờn dóy { } ln ,ln ,lna b c cng cú th t nh 2 dóy trờn, ta suy ra iu phi chng minh. Bi toỏn 4: Cho tam giỏc nhn ABC . Chng minh rng 3 1 sin sin 2 A B- ồ Bài giải: Sử dụng định lý sin, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( ) 2 2 2 2 3 3 4 4 0 0 4 R ab R R ab R ab R R ab R - £ - Û - - ³ Û ³ - + å å å (*) ( ở đây a,b,c,R theo thứ tự là độ dài các cạnh BC,CA,AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Từ bất đẳng thức quen thuộc 2 2 2 2 9a b c R+ + £ mà 2 2 3 2ab ab ab a b- = £ + ta thu được: ( ) 2 2 3 3 R ab c ab - ³ - (1). Ta sẽ chứng minh 2 2 2 4 4 c ab R ab R R ab R ³ - + - + å å (2). Vì 2 dãy { } , ,a b c và 2 2 2 1 1 1 , , 4 4 4 R bc R R ca R R ab R ì ü í ý - + - + - + î þ có cùng thứ tự nên theo bất đẳng thức Sắp xếp lại ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 c a b ab R ab R R ab R R ab R R ab R ³ + ³ - + - + - + - + å å å å Vậy (2) được chứng minh, kết hợp với (1) ta suy ra (*) được chứng minh. Bài toán 5: Cho , , 0.a b c > Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a b c a + + + + + ³ + + + + + Bài gi ải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 a b a b a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b b a ab b a a b + + + ³ + + = + + + ³ + + + + + + + Þ + = ³ = + + + + + å å å å å å Theo bất đẳng thức Sắp xếp lại ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a a b a b b b b b b b b + = + ³ + = + + + + + å å å å å å . Từ đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 a a b a b b a b a b a a b a b b æ ö æ ö + = + + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø æ ö æ ö + + + + ³ + + + = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + + è ø è ø å å å å å å å å hay 2 2 1 1 a a b b + ³ + å å (đpcm). Bài toán 6 : Cho , , 0a b c ³ thỏa mãn 1 a b c + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 4 3 9 a b c abc+ + + ³ Bài giải: Ta cần chứng minh 2 2 2 3 4 ( )( ) 3 ( ) 9 a b c a b c abc a b c+ + + + + ³ + + Khai triển rồi đưa bất đẳng thức về dạng ( ) 3 5 3 3a abc ab a b+ ³ + å å - Theo bất đẳng thức Schur: có ( ) 3 3a abc ab a b+ ³ + å å (1). - Theo b ất đẳng thức Sắp xếp lại: có 3 2 2 2 a a b b c c a³ + + å và 3 2 2 2 a ab bc ca³ + + å , c ộng từng vế ta thu đ ược ( ) ( ) 3 3 2 4 2 a ab a b a ab a b³ + Û ³ + å å å å (2). Cu ối c ùng, cộng từng vế của (1) v à (2) ta có đpcm. Bài toán 7 : Cho , , , 0a b c d ³ th ỏa mãn 4a b c d+ + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 4a bc b cd c da d ab+ + + £ Bài giải: Giả sử ( ) , , ,p q r s là hoán vị của ( ) , , ,a b c d sao cho p q r s³ ³ ³ . Khi ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 4 2 a bc b cd c da d ab a abc b bcd c cda d dab p pqr q pqs r prs s qrs pq rs pr qs pq rs pr qs p q r s p s q r + + + = + + + Ê + + + = + + ộ ự + + + + + + ổ ử ổ ử Ê = + + Êộ ự ờ ỳ ỗ ữ ỗ ữ ở ỷ ố ứ ố ứ ờ ỳ ở ỷ (bt ng thc u tiờn l bt ng thc Sp xp li, hai bt ng thc sau l bt ng thc AM-GM) ý l 4p q r s a b c d+ + + = + + + = , ta cú pcm. III.Bt ng thc Chebyshev dng mu s Bt ng thc Chebyshev c in cú th coi nh l h qu ca bt ng thc Sp xp li (xem bi tp ỏp dng 1 phn V), t dng c in ny ngi ta m rng bt ng thc Chebyshev theo mt vi hng, sau õy l mt dng m rng cú nhiu ng dng chng minh bt ng thc: Bt ng thc Chebyshev dng mu s (cũn gi l dng Engel) c phỏt biu nh sau: a) Nu ta cú 1 2 1 2 1 2 n n n a a a x x x x x x ỡ ù ớ ù ợ hoc 1 2 1 2 1 2 n n n a a a x x x x x x ỡ Ê Ê Ê ù ớ ù Ê Ê Ê ợ thỡ ta cú ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n a a a a a a x x x x x x + + + + + + Ê + + + b) N u ta cú 1 2 1 2 1 2 n n n a a a x x x x x x ỡ Ê Ê Ê ù ớ ù ợ ho c 1 2 1 2 1 2 n n n a a a x x x x x x ỡ ù ớ ù Ê Ê Ê ợ thỡ ta cú ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n a a a a a a x x x x x x + + + + + + + + + (Ch ng minh 2 kt qu n y bng cỏch s dng trc tip bt ng thc Chebyshev) Hai kt qu trờn, kt hp vi vic thờm cỏc biu thc phự hp, tr nờn hiu qu trong vic ỏnh giỏ cỏc bt ng thc i 3 bin cú cha phõn thc, mc dự chỳng ch l m rng n gin t bt ng thc Chebyshev. lm rừ thờm, chỳng ta xột mt vi vớ d sau: Bi toỏn 1 : Cho , , 0a b c > tha món 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + Chứng minh rằng a b c ab bc ca+ + ³ + + Lời giải: Ta có 1 1 1 1 1 1 a b c a b b c c a ab ac a bc ba b ca cb c + + = + + + + + + + + + + + + + + Không giảm tính tổng quát, giả sử c b a £ £ , thế thì c ca ca b bc ba a ab ac+ + £ + + £ + + Lại có a b c ab ac a bc ba b ca cb c ³ ³ + + + + + + luôn đúng (vì bất đẳng thức này a b cÛ ³ ³ ) Do đó theo a) thì ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 2 a b c a b b c c a ab ac a bc ba b ca cb c a b c a b c ab bc ca + + = + + + + + + + + + + + + + + + + £ + + + + + Kết hợp với giả thiết ta suy ra ( ) ( ) 3 1 2 a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + ³ Û + + ³ + + + + + + + Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = . Bài toán 2 : Cho , , 0 a b c > th ỏa m ãn 3a b c+ + = . Ch ứng minh rằng 4 9 4 9 4 9 13 ab bc ca ab a b bc b c ca c a + + + + + ³ + + + + + + L ời giải: Không m ất tính tổng quát, giả sử a b c³ ³ , khi đó t ừ bất đẳng thức luôn đúng ( )( ) 1 0 a b c+ - ³ ta suy ra ab a b ac a c+ + ³ + + . Tương tự ta thu đ ư ợc ab a b ac a c bc b c+ + ³ + + ³ + + Cũng từ bất đẳng thức luôn đúng ( )( )( ) 3 3 0b c a a- - + ³ ta thu được 4 9 4 9ab ca ab a b ca c a + + £ + + + + , tương tự ta có 4 9 4 9 4 9ab ca bc ab a b ca c a bc b c + + + £ £ + + + + + + Do đó theo b) VT của bất đẳng thức cần chứng minh ( ) ( ) ( ) 12 81 12 81 2 6 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + + ³ = + + + + + + + + Ta chỉ cần chứng minh ( ) 3 4 27 13 3 6 ab ab ab + ³ Û £ + å å å bất đẳng thức cuối cùng này đúng do ( ) 2 3 3 a b c ab bc ca + + + + £ = . Bài toán 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng 1 1 1 3 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 2 3 A B B C C A + + £ + + + + + + + Lời giải: Tương tự Bài toán 1 ta có bất đẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 2 tan tan tan tan tan tan A B B C C A A B C A B C A B B C C A + + + + + + + + + + £ + + + + + Từ bất đẳng thức ( ) 3ab bc ca abc a b c+ + ³ + + và đẳng thức tan tanA A= å Õ có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 tan tan tan tan tan tan 2 tan tan tan tan tan tan 3 3 2 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan 1 1 2 tan tan tan tan 3 3 1 2 3 3 tan 1 2 tan A B C A B C A B B C C A A B B C C A A A A B C A A A + + + + + + + = £ + + + + + + = = + + å Õ å Õ å Ta có điều phải chứng minh. Bài toán 4: Cho , , 0a b c > thỏa mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) 9 1 1 1 2 a b b c c a ab bc ca a b c + + + + + £ + + + + + Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 0 0 1 a b a b c a b c ab ac bc a b c ab ab + + + æ ö + + - - - - ³ Û ³ ç ÷ + + + + è ø å å Không giảm tính tổng quát, giả sử 1 1 1a b c ab ac bc³ ³ Þ + ³ + ³ + Ta cần tiếp tục kiểm tra bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 2 3 2 0 2 2 3 3 3 2 2 0 2 1 2 1 2 3 3 0 2 2 a b c ab ac bc a c b ac ab bc ab ac b c a b c a b c abc b c a b c a b c b c b c a a abc ab abc ac a b a c b c b a c a abc a a a b c ab ac b c b c b c + + - - - + + - - - £ + + Û - - - + - - - + - - - ³ Û - + - - - + + + - - ³ Û - - + - + + - + + + + ³ Û - + + + ( ) 2 2 2 2 0 abc ab ac + + ³ bất đẳng thức trên luôn đúng, tương tự ta thu được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 a b c ab ac bc a c b ac ab bc b c a bc ab ca ab ac bc + + - - - + + - - - + + - - - £ £ + + + Do đó theo b) ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 12 3 2 2 0 1 3 3 a b c ab ac bc a ab a b c ab ac bc ab ab ab + + - - - - + + - - - ³ = ³ + + + å å å å å å Ta có đi ều ph ải chứng minh. Bài toán 5 : Cho các số thực , , x y z sao cho 1 x y z + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 9 1 1 1 10 x y z x y z + + £ + + + Lời giải: Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z + + £ + + + + + + + + Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp , , 0x y z > . Không mất tính tổng quát, giả sử x y z ³ ³ , khi đó 2 2 2 1 1 1x y z+ ³ + ³ + Tiếp tục, ta kiểm tra ( )( ) 2 2 1 0 1 1 x y x y xy x y ³ Û - - ³ + + Vì 1 2 1 x y z x y xy xy + + = ³ + ³ Þ < nên bất đẳng thức trên đúng. Tương tự ta có 2 2 2 1 1 1 x y z x y z ³ ³ + + + Do đó theo a) ta thu được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 1 1 1 1 3 10 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z + + + + £ £ = + + + + + + + + + Ta có điều phải chứng minh. Bài toán 6 : Cho , , 0a b c > thỏa mãn 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2ab bc ca + + ³ + + + Chứng minh rằng 3a b c abc+ + ³ Lời giải: Ta có 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 a b c ab bc ca a abc b abc c abc + + = + + + + + + + + Không giảm tính tổng quát, giả sử a b c³ ³ , thế thì 2 2 2a abc b abc c abc + ³ + ³ + l ại có 2 2 2 a b c ab ac bc a abc b abc c abc ³ ³ Û ³ ³ + + + ( luôn đúng ) do đó theo a) ta có ( ) 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 a b c a b c ab bc ca a abc b abc c abc a b c abc + + + + = + + £ + + + + + + + + + kết hợp với giả thiết ta suy ra ( ) 3 1 3 6 a b c a b c abc a b c abc + + ³ Û + + ³ + + + Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = Bài toán 7: Cho , , 0a b c > thỏa mãn 3ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng [...]... 0 CMR: 3 ( a + b + c ) ³ a 2 + 8bc + b 2 + 8ca + c 2 + 8ab Bài tập 10: Chứng minh rằng với a, b, c ³ 0 và 2 ³ k ³ 0 ta có bất đẳng thức a 2 - bc b 2 - ca c 2 - ab + 2 2 + 2 ³0 b 2 + c 2 + ka 2 a + c + kb 2 b + a 2 + kc 2 V Tài liệu tham khảo: 1 G.H Hardy, J.E Littlewood, G Polya, Bất đẳng thức 2 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức ( tập 1) 3 VIMF (Nhiều tác giả), Discovery Inequalities (Third version)... Và ta cũng có giả sử a³b³c, khi đó 1 - bc 1 - ac 1 - ba ³ ³ 1 + abc ( 3 - bc ) 1 + abc ( 3 - ac ) 1 + abc ( 3 - ba ) (vì 3 = ab + bc + ca ³ 3 3 a 2b 2 c 2 Þ abc £ 1 ) Do đó theo b) ta có 3 ( 3 - ab - bc - ca ) 1 - bc 1 - ac 1 - ba + + ³ =0 1 + abc ( 3 - bc ) 1 + abc ( 3 - ac ) 1 + abc ( 3 - ba ) 3 + abc ( 9 - ab - bc - ca ) Ta có điều phải chứng minh IV Một số bài tập áp dụng Bài tập 1: (bất đẳng thức. .. ³ =0 1 + abc ( 3 - bc ) 1 + abc ( 3 - ac ) 1 + abc ( 3 - ba ) 3 + abc ( 9 - ab - bc - ca ) Ta có điều phải chứng minh IV Một số bài tập áp dụng Bài tập 1: (bất đẳng thức Chebyshev) Kí hiệu A, B giống như trong bất đẳng thức Sắp xếp lại CMR: A ³ ( a1 + a2 + + an )( b1 + b2 + + bn ) ³ B n Bài tập 2: Cho n số thực dương c1 , c2 , , cn (với 2 2 RMS = é( c12 + c2 + + cn ) n ù , AM = ( c1 + c2 + + cn... ca + log abc2 ab Bài tập 5: Kí hiệu a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC , CA, AB của tam giác nhọn ABC CMR: a+b b+c c+a + + ³ 4(a + b + c) cos C cos A cos B Bài tập 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 2b ( b - c ) b 2 c ( c - a ) c 2 a ( a - b ) a) + + ³0 a+b b+c c+a b) a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 + + ³ a+b+c b2 + c2 c 2 + a2 a 2 + b2 a5 b5 c5 a2 + b2 + c2 c) 3 3 + 3 3 + 3 ³ 2...1 1 1 3 + + £ 2 2 1 + a ( b + c ) 1 + b ( c + a ) 1 + c ( a + b ) 1 + 2abc 2 Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 1 1 1 + + ³0 2 2 2 1 + 2abc 1 + a ( b + c ) 1 + 2abc 1 + b ( c + a ) 1 + 2abc 1 + c ( a + b ) Û Û a (1 - bc ) + b (1 - ac ) + c (1 - ba ) 1 + a ( 3 - bc ) 1 + b ( . phương pháp sử dụng bất đẳng thức Chebyshev (coi như hệ quả của bất đẳng thức Sắp xếp lại) để đánh giá một số bất đẳng thức 3 biến dạng phân thức. I. Bất đẳng thức Sắp xếp lại: Giả sử 1 2 n a. thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Schur …. Trong khuôn khổ bài viết, tôi xin đề cập đến bất đẳng thức Sắp xếp lại và một số bài tập sử dụng bất đẳng thức này. Bên cạnh. xuyên được sử dụng, đã có rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức mà lời giải đề cập đến việc sử dụng bất đẳng thức liên hệ giữa Trung bình cộng - Trung bình nhân (AM-GM), bất đẳng thức Cauchy