chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa của hằng đẳng thức tan trong tam giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận v...
www.laisac.page.tl NỘI DUNG I.CÁC BÀI TỐN H BẤHỌA ẲNG THỨC BÀNG LƯỢNG GIÁC CHỨNG MIN MINH T Đ Ẳ T Ứ B N L Ợ G Á C Ứ H N M N B Đ N H I N I Trong C HểACnàyHNđược trình bàyTbàiCđơn giảnTRhin mi TAMGIC A I R N quan G A thể O H Ẳ H phÇn A H xin G ĐẲNG T Ứ TAN T ONG T hệ giữaÁ Ó Ủ N N H toán T PhanQuangSn ng thức lượng giác đẳng thức đại số cã chương trình phổ thơng, qua - với ABC không vuông tan A tan B tan C tan A tan B tan C tan A B B C C A tan tan tan tan tan 2 2 2 cot A cot B cot B cot C cot C cot A với ABC với ABC cos2 A cos B cos2 C 2cos A cos B cos C với ABC Sau xin đề cập đến hướng khai thác đẳng thức để tìm lời giải cho tốn bất đẳng thức đại số x, y , z Khi ln tồn ABC cho Bài toán Với xy yz zx A B C +) tan x, tan y, tan z 2 +) cot A x,cot B y,cot C z Chứng minh A B C ; y tan ; z tan Vì x, y , z nên A, B, C 0; 2 A B B C C A Từ giả thiết ta có: tan tan tan tan tan tan xy yz zx 2 2 2 B A C C A tan tan tan tan tan (*) 2 2 2 A C tan tan 2 C A B (Vì vt(*)>0 nên vf(*)>0) tan tan tan 2 AC B tan tan 2 2 Đặt x tan AC B k 2 A, B ,C 0; A B C k 2 A B C Suy A,B,C ba góc tam giác (ĐPCM) Việc chứng minh ý cịn lại hồn toàn tương tự Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu x, y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xy yz zx Bài toán 1.1: Cho P 1 3 x y z x y z Lời giải Đặt x tan A B C ; y tan ; z tan ta có A, B, C 0; , A B C 2 Khi A B C A B C cot cot tan tan tan 2 2 2 A A B B C C A B C cot tan cot tan cot tan tan tan tan 2 2 2 2 2 A B C cot A cot B cot C tan tan tan 2 2 sin A B 2sin C Ta có cot A cot B sin A sin B cos A B cos A B P cot 2sin C 2sin C C tan cos A B cos C cos C A B ; cot C cot A tan Cho nên 2 A B C P cot A cot B cot C tan tan tan 2 2 Vậy MinP A B C x y z tan Tương tự cot B cot C tan Nhận xét:Bài toán suy từ toán A B C tan tan Với ABC 2 x, y , z Bài toán 1.2: Cho Chứng minh xy yz zx 2x 2y 2z 1 2 1 x 1 y 1 z x2 1 y2 1 z2 cot A cot B cot C tan Lời giải Đặt x tan A B C ; y tan ; z tan ta có A, B, C 0; , A B C 2 A B C tan tan 1 BĐT A B C A B C tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 tan Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu sin A sin B sin C cos A B C cos cos 2 Ta có A B AB C A B C cos cos cos cos A, B, C 0; 2 2 A B A, B, C 0; Tương tự sin B sin C cos , sin C sin A cos 2 sin A sin B sin Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét:Bài toán suy từ toán A B C cos cos Với ABC 2 x, y, z Bài tốn 1.3: Cho Tìm giá trị lớn biểu thức: xy yz zx sin A sin B sin C cos x2 1 y2 1 z2 P= 1 y2 1 z2 1 x Lời giải: Đặt x tan A B C ; y tan ; z tan Vì 2 x, y , z nên ta có A, B, C 0; , 2 A B C A B C tan tan 2 2 A B C tan tan 2 2 cos B cos C cos A cos B cos C (Vì A 0; ) tan Khi P= tan = cos A 2sin 2 A B C B C 2 cos cos 1 2 2 A A A 2sin 2 sin sin 2 2 2 Vậy Pmax cos A cos A B C cos A ; B C x 1, y z tan A sin 2 Nhận xét:Bài toán tác giả suy từ đề thi Đại học khối A-2004:Nhận dạng tam giác ABC biết cos A 2 cos B 2 cos C Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu x, y , z Tìm giá trị lớn biểu thức: xy yz zx Bài toán 1.4: Cho P= 2x 2y 3z x2 y z Lời giải: Đặt x tan A B C ; y tan ; z tan ta có A, B, C 0; , A B C 2 Khi A B C tan tan P A B C tan tan tan 2 2 sin A sin B sin C A B A B C 2sin cos sin C cos sin C 2 C Xét hàm số f (C ) cos sin C , C 0; C C C sin 3, C 0; Có f '(C ) sin cos C 2 sin 2 C f '(C ) sin C C0 sin C0 , C0 0; 2 3 C0 C tan + f '(C ) f (C ) - Từ bảng biến thiên ta có P 6 Pmax 3 C z tan 2 C z sin x y A B xy yz zx x y Nhận xét:Bài toán dược suy từ toán chứng minh sin A sin B sin C với ABC Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu x, y , z 4 29 Chứng minh (1) 2 1 x 1 y 1 z xyz x z y Bài toán 1.5: Lời giải: Từ giả thiết ta có xz x 1 z đặt x tan A ; tan B ; z tan C y y y 2 A B B C C A 1 tan tan tan tan tan x z zx nên 2 2 2 y y A, B, C 0; , A B C ,Ta 4 VT(1) A B C tan cot tan 2 2 A B C cos 4sin 5cos 2 2 C cos A cos B 5sin 2 A B A B C cos cos 5sin 2 2 C C AB AB A B 5 sin sin cos cos 5 cos 2 25 Khi tan ta A B 4 A B 29 C 2 A B 5 sin cos cos 5 5 cos 5 5 Dấu “=” (1) xảy C z tan 21 C 21 sin z ,x ,y x y 21 21 A B xyz x z y Nhận xét: a) Bài toán tương tự đề thi OLYMPIC Việt Nam 2002 x, y , z 2 10 Chứng minh x2 y2 z xyz x z y x, y , z b) Tổng quát với ta có xyz x z y 1 k 4k +) với k>0 x2 y z 4k Cho 1 k 4k +) với k0 nên vf(*)>0) tan A tan B tan A B tan C A B C k A, B , C 0; 2 A B C k A B C Suy A,B,C ba góc tam giác (ĐPCM) Việc chứng minh ý cịn lại hồn toàn tương tự x, y , z Chứng minh x y z xyz Bài toán 2.1 Cho 1 x 1 y 1 z Lời giải Đặt tan A x, tan B y, tan C z ,từ giả thiết ta có tan A tan B tan C tan A tan B tan C x, y, z A, B, C 0; , A B C , Khi 2 Giáo viên: Phan Quang Sơn 13 THPT Nam Khoái Châu VT tan A tan B tan C cos A cos B cos C A A BC 4sin 2sin cos 2 A A BC B C B C 4 sin sin cos cos 2 cos 2 2 16 A B C 1 BC B C 4 sin cos cos (Đpcm) cos 4 y z 15 B C Dấu “=” xảy A 15 sin x a, b, c, x, y, z x y z xyz Nhận xét:Tương tự ta chứng minh toán tổng quát: Cho Chứng minh bc x2 ca 1 y2 ab 1 z2 a2 b2 c2 x, y , z x2 y2 z2 43 Chứng minh 2 1 x 1 y 1 z x y z xyz Bài toán 2.2 Cho Lời giải Đặt tan A x, tan B y, tan C z ,từ giả thiết ta có tan A tan B tan C tan A tan B tan C x , y , z A, B, C 0; , A B C , Khi 2 VT sin A sin B sin C cos A cos B 1 1 cos C 2 1 cos C cos A B cos C 2 1 cos A B cos A B cos C 2 2 2 1 43 cos A B 2 B A y x 1 Dấu “=” xảy z cos C 1 x, y , z x y z xyz Nhận xét:Tương tự ta chứng minh toán tổng quát: Cho x2 y2 kz 2k 1 Chứng minh a 2 1 x 1 y 1 z với k>0 x2 y2 kz 2k 1 với k0) 2 cos( A B ) cos C cos C A B C (Vì A, B, C 0; ) 2 x, y , z Bài toán 3.1 Cho 2 chứng minh x y z xyz 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Lời giải x , y , z 0 Đặt cos A x, cos B y, cos C z A, B, C 0; theo chứng minh ta có A B C cos A cos B cos C BĐT cos A cos B cos C A B C tan tan tan 2 A B C Từ A B C tan tan 2 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 2 2 2 A B C A B B C C A Mà tan tan tan tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 A B C Nên ta có tan tan tan (ĐPCM) 2 x, y , z Bài toán 3.2 Cho 2 Tìm giá trị lớn P 1 x x y z xyz 1 y 1 z Lời giải x , y , z 0 Đặt cos A x, cos B y, cos C z A, B, C 0; theo chứng minh ta có A B C Khi P 1 cos A 1 cos B 1 cos C A B C cos 2cos 2 2 A B C cos cos cos 2 A BC B C 1 sin cos cos 2cos A A A 2sin sin sin A A A 2 64 1 sin sin sin 2 27 64 Vậy MaxP 27 Giáo viên: Phan Quang Sơn 18 THPT Nam Khoái Châu A x 2sin A A A 2sin sin sin x ;y z 2 y z B C B C 2 x y z xyz Bài toán 3.3 (TH&TT-T7/386) Các số dương x, y, z thõa mãn điều kiện x2 y2 z2 16 xyz x y z xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức S xy yz xz Lời giải Điều kiện tóan tương đương với (2 x)2 (2 y) (2 z )2 2.(2 x).(2 y ).(2 z ) suy tồn tam giác nhọn ABC có góc thõa x cos A, y cos B, z cos C Gọi p, R, r nửa chu vi, bán kính đường trịn ngọai tiếp bán kính đường trịn nội tiếp ABC Ta có nhận xét sau : cosA, cosB, cosC nghiệm phương trình bậc ba R 2t R( R r )t ( p r R )t (2R r )2 p (*) Thật vậy, ABC nhọn ta có A cos A r Suy cos A cos A p AB ( p AB) R (1 cos A)(1 cos A) r cos A AB R sin A R cos A p AB r cot Bình phương vế, rút gọn ta R cos A R( R r ) cos A ( p r R ) cos A (2 R r ) p , suy cosA nghiệm (*) Tương tự cosB, cosC nghiệm (*) Trở lại tóan, với nhận xét trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có ( kể từ ta kí hiệu tổng hóan vị biểu thức A, B, C ) Rr p2 r 4R2 (2 R r ) p , cos A cos B , cos A cos B cos C R 4R2 4R2 R p Rr r cos A cos B cos C 2R2 p2 r cos A cos A cos B cos C Suy 2S 2 cos2 A 2cos A cos B cos C cos A cos B p r cos A Ta chứng minh 2S 13 Thật điều tương đương với 14 p r 13 p 3r (1) p r 14 p AB AC BC A 13 Vì cot 3 nên (1) suy S r 2r 28 13 Vậy S đạt x y z 28 Giáo viên: Phan Quang Sơn 19 THPT Nam Khoái Châu II.SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC A Cơ sở sáng tạo: Đặt x tan , A 0; ta có 2x x2 2x A x A sin A , cos A , tan A , sin , cos 2 2 1 x 1 x 1 x 2 1 x x2 Ví dụ Từ tốn: tan A tan B tan C 3 với ABC nhọn x, y, z Ta chuyển sang Bài toán : Cho Chứng minh xy yz zx x y z 3 x2 y z 2 Ví dụ .Từ tốn: mọi tam giác ta có cos A cos B cos C x, y , z Chứng minh xy yz zx Bài toán trở thành : Cho x2 y z x2 y z 2 Ví dụ Từ tốn:Trong ABC ta có : sin A sin B sin C 3 Từ toán ta chuyển thành toán: x, y , z x y z 3 Chứng minh 2 1 x 1 y 1 z xy yz zx Ví dụ Từ toán:Trong ABC ta có : Cho cos A B C 3 cos cos 2 2 Từ toán ta chuyển thành toán: x, y , z Chứng minh xy yz zx Cho 1 x2 1 y2 1 z2 3 Ví dụ Từ toán:Trong ABC ta có : sin A B C sin sin 2 2 Từ toán ta chuyển thành toán: x, y , z Chứng minh xy yz zx Cho x x2 y 1 y2 z 1 z2 Ví dụ Từ toán:Trong ABC ta có : Giáo viên: Phan Quang Sơn 20 THPT Nam Khoái Châu A B C A B C sin sin sin cot cot cot 2 2 2 Lời giải : A B C sin sin 2 sin A sin B sin C Theo AM – GM ta có : 2 A B C A B C Mặt khác : cot cot cot cot cot cot 2 2 2 A B C cos cos cos 2 A B C sin sin sin 2 sin A sin B sin C A B C sin sin sin 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A B C 2sin sin sin 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A B C sin sin sin 2 sin Suy : A B 2C A B C sin sin cos cos cos A B C A B C 2 2 2 sin sin sin cot cot cot A B C 2 2 2 sin sin sin 2 A B C cot cot cot 1 2 2 A B C A B C 9 mà ta cũng có : cot cot cot 3 cot cot cot 3 2 2 2 2 2 Từ 1 và 2 sin sin A B C A B C sin sin cot cot cot đpcm 2 2 2 x, y , z Chứng minh xy yz zx Từ toán ta chuyển thành toán: Cho x y z x2 y2 1 z2 1 x y z Ví dụ Từ tốn:Trong ABC ta có : Giáo viên: Phan Quang Sơn 21 THPT Nam Khoái Châu sin A B C A B C sin sin sin sin sin 2 2 2 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : A B C sin sin 2 cos A cos B cos C sin sin A B C sin sin 2 x, y , z Chứng minh xy yz zx Từ toán ta chuyển thành toán: Cho x2 y2 z2 x2 y z xyz 1 x 1 y 1 z 2 Ví dụ Từ tốn:Trong ABC ta có : sin A sin B sin B sin C sin C sin A A B C sin sin sin 2 Lời giải : A B C , nên BĐT tương đương sin A sin B sin B sin C sin C sin A cos A cos B cos C 1 Vì cos A cos B cos C sin sin sin mà : cos A sin B sin C cos B cos C cos B sin C sin A cos C cos A cos C sin A sin B cos A cos B nên : 1 cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2 Thật hiển nhiên ta có : cos A cos B cos B cos C cos C cos A cos A cos B cos C 2 3 Mặt khác ta có : cos A cos B cos C 3 2 đpcm Đẳng thức xảy ABC Từ toán ta chuyển thành toán: x, y , z Chứng minh xy yz zx xy yz zx 2 2 2 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 16 Cho Giáo viên: Phan Quang Sơn 22 xyz 1 x 1 y 1 z 2 THPT Nam Khoái Châu ... tan tan tan 2 2 A B C Việc chứng minh sin sin sin khơng khó 2 2 A B C tan tan tan 1 21 2 c) BĐT A B C tan A tan B tan C tan tan tan 2 2 2 A B C tan tan tan. .. tan tan tan 2 A B C Từ A B C tan tan 2 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 2 2 2 A B C A B B C C A Mà tan tan tan tan tan... tan 2 tan A tan B tan C tan A tan B tan C A B C A B C tan tan tan 3 sin A sin B sin C 3 a) BĐT A B C tan tan tan 2 2 A B C tan tan tan A B C 2 b)