chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...
Trang 1CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN
Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH
Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?
- Từ điều kiện , ,a b cR ab bc ca, luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho 1
tan , tan , tan
a b c
- Từ điều kiện , ,a b cR ab bc ca, abc bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho tan , tan , tan
a A b B c C
a b c R a b c bc
với (0; 2) Tồn tại tam giác ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……
a b c abc a b c luôn tồn tại a=cosA,b=cosB,c=cosC với
A B C
Một số kết quả cơ bản
* Khi ta đặt
2
* a,b,cR, ab+bc+ca=1 1 a2 (ab a)( c),1b2 (bc b)( a),1c2 (ca c b)( )(1)
* a,b
1
1
ab R
(2) Thật vậy (2) tương đương với
1ab (1a )(1b )2aba b
2
1
a b c R ab bc ca
Thật vậy trước hết ta chứng minh
1
a b b c c a a b b c c a
kết quả (1))a b c( )b c( a) 1 abab bc ca 1
Vì
1
1
ab
a b
đpcm
*
a b c
a b c R ab bc ca
kientoanqb@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl
Trang 2Thật vậy trước hết ta chứng minh 2 2
(2) ta có điều phải chứng minh
* Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác
- Ta thấy BĐT (2)
rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng
- Ta thấy (3) sin sin 2 osC
2
A B c
A B c c c
- Ta thấy (4) osA+cosB 2sinC
2
c
C osA+cosB=2sin os( ); os( ) 1
A B A B
Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn
2
3
a b c ab bc ca Cmr
Giải:
Ta thấy (1) sin sin 6 sin 2 10
2
C
A B
2
A B c nên ta sẽ chứng minh C
C
c
Theo BĐT Bunhiacopxki
C
Ví dụ 2) , , 0, 1 : 2 2 2 2 3 2 10
a b c abc a c Cmr
a b c
Giải:
Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy abc a c 1 ac a c 1
b b
từ đó ta đặt 1
tan , tan , tan
b
2 cos 2 sin 3cos ( osA+1)-(1-cosB)+3(1-sin )
c
C A B C
A B
2
2 sin 3sin
VT
chứng minh 2sinC 3sin2C 1 2 sinC 3sin2 C10 3(sinC 1)2 0 Điều
Trang 3Ví dụ 3) Cho x, y ,z là các số dương thỏa mản x(x + y +z)=3yz
Chứng minh rằng: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A) Giải:
Đặt a = x +y , b = y + z, c = z +x thì a, b, c là các số dương và
2
; 2
;
2
c b a z b a c y a
c
b
x Điều kiện bài toán trở thành cho a, b,c là các số dương thỏa mãn a2 b2 c2 bc
5
3abc a c
b (*) Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác ta suy ra góc A=600
Ta có BĐT (*)(bc)(b2 bcc2)3abca2(bc)3abc5a3 a(bc)3bc5a2
vận dụng điều kiện góc A=600 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC
BĐT cần cm 2 3(sinBsinC)12sinB.sinC15 mặt khác ta có
sinB + sinC
4
3 4
)]
2 sin(
2 [ 4
) sin (sin
sin sin , 3 ) 2 sin(
2
2 2
C B C
B C
B C
B
Ta suy ra đpcm; dấu bằng xảy ra khi a=b=c x y z
Ví dụ 4) Cho a b c, , 0,a2b2c22abc4 Chứng minh rằng a b c abc2(4)
Giải:
Từ giả thiết suy ra a b c , , 0; 2 do đó tồn tại A,B,C[0; ]
2
sao cho a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC và a2b2 c2 2abc suy ra A,B,C là các đỉnh của tam giác 1 nhọn ABC
(4) osA+cosB+cosC 4cosA.cosB.cosC+1 sinAsin sin osA.cosB.cosC
B C
A c c
Tương tự có 2 bất đẳng thức nữa Sau đó nhân vế với vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 5) Cho
:
2
CMR
Giải:
Đặt x=tanA, y=tanB,z=tanC với A,B,C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với sin sin sin 3 3
2
A B C
Tacó
0 0
A B c C
Từ đó suy ra
0
A B C
A B C
hay
Trang 43 3 sin sin sin
2
Ví dụ 6) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1 Tìm GTLN của:
P x y xyz
x yz y zx z xy
xy z P
0 0
A B
Ta có: 1 x y z xy xz yz xz xz yz
z y x y y x
A B
tg tg
2
A B C A B
C tg
Mặt khác:
A B
P
Đẳng thức xảy ra khi:
6
3
3
C
C
2 3; 7 4 3
x y z
Trang 5Ví dụ 7) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: 1 1 1 1
x y z xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu
y
P
Giải:Ta có: 1 1 1 1 x y y z z x 1
x y z xyz Điều này cho ta hướng giải
lượng giác Đặt tan ; tan ; tan
x y z
Nếu A B C, , 0;,AB C thì tan tan tan tan tan tan 1
A B B C C A
C A B C
P A B C
2
2
P
Vậy max 3
2
2
3
tan
6
C
x y
A B
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho a, b,c không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca1
Chứng minh rằng: 1 1 1 5
2
a b bcca
2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2b2c2abc CRM: 4
3
a b c
3) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xy 1 z
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
2
x y P
x yz y zx z xy
4) Chox y z, , là những số thực dương thỏa mãn: xy z xyz, CMR:
4
5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 1 16
4
xyz
x y z Chứng minh rằng
x y z xyz
xy yz zx
TÀI LIỆU THAM KHẢO: MATH.VN; TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ; OLYMPIC 30-04