chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa

chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA

BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN

Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH

Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?

- Từ điều kiện , ,a b cR ab bc ca,    luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho 1

tan , tan , tan

a b c

- Từ điều kiện , ,a b cR ab bc ca,   abc bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho tan , tan , tan

a A b B c C

a b c R a b c  bc

    với  (0; 2)  Tồn tại tam giác ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……

a b c  abc a b c  luôn tồn tại a=cosA,b=cosB,c=cosC với

A B C

Một số kết quả cơ bản

* Khi ta đặt

2

* a,b,cR, ab+bc+ca=1 1 a2 (ab a)( c),1b2 (bc b)( a),1c2 (ca c b)(  )(1)

* a,b

1

1

ab R

(2) Thật vậy (2) tương đương với

1ab (1a )(1b )2aba b

2

1

a b c R ab bc ca



Thật vậy trước hết ta chứng minh

1



a b b c c a a b b c c a

kết quả (1))a b c(  )b c( a) 1 abab bc ca   1

Vì

1

1

ab

a b





 đpcm

*

a b c

a b c R ab bc ca

kientoanqb@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl

Thật vậy trước hết ta chứng minh 2 2

(2) ta có điều phải chứng minh

* Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác

- Ta thấy BĐT (2)

rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng

- Ta thấy (3) sin sin 2 osC

2

A B c

A B c c   c   

- Ta thấy (4) osA+cosB 2sinC

2

c

C osA+cosB=2sin os( ); os( ) 1

A B A B

Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn

2

3

a b c ab bc ca Cmr

Giải:

Ta thấy (1) sin sin 6 sin 2 10

2

C

A B

2

A B c nên ta sẽ chứng minh C

C

c

  Theo BĐT Bunhiacopxki

C

Ví dụ 2) , , 0, 1 : 2 2 2 2 3 2 10

a b c abc a c Cmr

a b c

Giải:

Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy abc a c 1 ac a c 1

b b

       từ đó ta đặt 1

tan , tan , tan

b

2 cos 2 sin 3cos ( osA+1)-(1-cosB)+3(1-sin )

c

C A B  C

A B



2

2 sin 3sin

VT

chứng minh 2sinC 3sin2C 1  2 sinC 3sin2 C10 3(sinC 1)2 0 Điều

Ví dụ 3) Cho x, y ,z là các số dương thỏa mản x(x + y +z)=3yz

Chứng minh rằng: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A) Giải:

Đặt a = x +y , b = y + z, c = z +x thì a, b, c là các số dương và

2

; 2

;

2

c b a z b a c y a

c

b

x         Điều kiện bài toán trở thành cho a, b,c là các số dương thỏa mãn a2 b2 c2 bc

5

3abc a c

b    (*) Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác ta suy ra góc A=600

Ta có BĐT (*)(bc)(b2 bcc2)3abca2(bc)3abc5a3 a(bc)3bc5a2

vận dụng điều kiện góc A=600 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC

BĐT cần cm 2 3(sinBsinC)12sinB.sinC15 mặt khác ta có

sinB + sinC

4

3 4

)]

2 sin(

2 [ 4

) sin (sin

sin sin , 3 ) 2 sin(

2

2 2

















C B C

B C

B C

B

Ta suy ra đpcm; dấu bằng xảy ra khi a=b=c x y z

Ví dụ 4) Cho a b c, , 0,a2b2c22abc4 Chứng minh rằng a b  c abc2(4)

Giải:

Từ giả thiết suy ra a b c , , 0; 2 do đó tồn tại A,B,C[0; ]

2



sao cho a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC và a2b2 c2 2abc suy ra A,B,C là các đỉnh của tam giác 1 nhọn ABC

(4) osA+cosB+cosC 4cosA.cosB.cosC+1 sinAsin sin osA.cosB.cosC

B C

A c   c  

  Tương tự có 2 bất đẳng thức nữa Sau đó nhân vế với vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5) Cho

:

2

CMR









Giải:

Đặt x=tanA, y=tanB,z=tanC với A,B,C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với sin sin sin 3 3

2

A B C

Tacó

0 0

A B   c       C    

Từ đó suy ra

0

A B C

A B C       

hay

3 3 sin sin sin

2

Ví dụ 6) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1 Tìm GTLN của:

P x y xyz

x yz y zx z xy

xy z P

0 0

A B











Ta có: 1 x y z xy xz yz xz xz yz

z y x y y x

A B

tg tg



2

A B  C A B

C tg

Mặt khác:

A B







P     

Đẳng thức xảy ra khi:

6

3

3

C

C











2 3; 7 4 3

x y z

Ví dụ 7) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: 1 1 1 1

x  y  z  xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu

y

P



Giải:Ta có: 1 1 1 1 x y y z z x 1

x  y  z  xyz     Điều này cho ta hướng giải

lượng giác Đặt tan ; tan ; tan

x  y  z 

Nếu A B C, , 0;,AB C  thì tan tan tan tan tan tan 1

A B B C C A

C A B C

P A B C   

2

2

P        

Vậy max 3

2

2

3

tan

6

C

x y

A B

















MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1) Cho a, b,c không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca1

Chứng minh rằng: 1 1 1 5

2

a b bcca 

2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2b2c2abc CRM: 4

3

a b  c

3) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xy  1 z

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3

2

x y P

x yz y zx z xy



4) Chox y z, , là những số thực dương thỏa mãn: xy z xyz, CMR:

4

5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 1 16

4

xyz

x y z   Chứng minh rằng

x y z xyz

xy yz zx

  



TÀI LIỆU THAM KHẢO: MATH.VN; TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ; OLYMPIC 30-04