Nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn

1 MỞ ĐẦU Trong đề thi HSG cấp tỉnh THCS năm gần đây, phần kiến thức "Số học" câu mức độ “vận dụng”; câu mức (điểm 15-18) Hầu hết học sinh trường THCS, học sinh học trường miền núi thường gặp khó khăn làm câu Trong thực tế giảng dạy thấy, muốn cho học sinh đạt điểm 15 trở lên kỳ thi thi HSG cấp tỉnh phải hướng dẫn em học tốt nội dung câu Một phần kiến thức quan trọng phần kiến thức về: Sử dụng phương pháp chặn để giải toán số học Với mong muốn học sinh đạt giải cao kỳ thi chon HSG cấp tỉnh Tôi mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm: "Nâng cao kỹ giải số dạng toán số học cách sử dụng phương pháp chặn" Do khả hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều hạn chế số trang nên SKKN tơi có phần chưa hồn chỉnh Rất mong đóng góp q báu q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! 1.1 Lí chọn đề tài Số học phần kiến thức mà em học từ năm lớp với nội dung đơn giản Nhưng kỳ thi HSG cấp tỉnh câu mức “vận dụng” Đối với học sinh miền núi, Từ thực tế giảng dạy tơi nhận thấy giải toán số học phải sử dụng phương pháp chặn để giải nhiều học sinh gặp khó khăn, lúng túng, chưa biết cách sử dụng đặc biệt khai thác kiện toán, loại trừ khả xảy ra, từ đến vấn đề trọng tâm chủ động đưa cách giải cách đơn giản đến kết Vì việc tơi lựa chọn cách để viết SKKN cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi viết SKKN với mục đích: - Thơng qua đề tài tìm yếu điểm HS giải tốn số học có sử dụng phương pháp chặn - Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ số kiến thức phương pháp chặn, cách nhận biết dạng toán lựa chọn cách trình bày cho phù hợp nhằm nâng cao lực học toán, giúp học sinh tiếp thu chủ động sáng tạo công cụ giải tập có liên quan - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán liên quan đến phương pháp chặn - Giúp GV phát bồi dưỡng HS giỏi, học sịnh có khả học tốn - Phổ biến đến thành viên tổ chuyên môn nơi công tác, giúp em học sinh đạt điểm cao kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh Nếu đồng nghiệp trường khác thấy có ích tơi sẵn sàng chia sẻ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết lớp tốn số học có sử dụng phương pháp chặn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tôi nêu lên phần lí thuyết số tính chất hay dùng trình sử dụng phương pháp chặn - Nêu lên số dạng toán cách suy nghĩ để giải dạng - Một số tập vận dụng nâng cao NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận SKKN Bản chất phương pháp là: “Muốn tìm số hay mệnh đề thỏa mãn tính chất điều kiện cho trước” ta phải giới hạn (chặn) số nhằm giới hạn phạm vi áp dụng số mệnh đề lại sau kết hợp với tính chất điều kiện cho khác đề có liên quan để đưa kết Phương pháp cụ thể: Muốn tìm số a thỏa mãn tính chất đó, ta giả sử a ≥ m Dùng lập luận kết hợp với điều kiện cho toán để suy a ≤ n Kết hợp hai điều kiện ta tìm khoảng giới hạn a từ m đến n ( m≤ a ≤ n) tức ta chặn Sau kết hợp điều kiện đề cho thử giá trị khoảng suy giá trị cần tìm a 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Số học môn học em học lớp nhiều dạng toán đề thi học sinh giỏi cấp học sinh thường gặp, nhiên nhiều em gặp thường bỏ khơng làm, làm khơng đúng, có giải dài khơng đầy đủ, dụng điều kiện đề tính chất số Vì kết đạt thường khơng cao Khi giải tốn số học, quan trọng thường có cách giải tìm cách hạn chế giá trị biến để kết quả, cách làm gọi chung "cách chặn" Việc áp dụng phương pháp chặn để giải dạng toán số học sử dụng để giải nhiều tập nhiều ví dụ có nhiều người sử dụng, song việc áp dụng chưa thật chủ động, chưa rộng, chưa có tài liệu, sách giới thiệu cách đầy đủ, chi tiết phương pháp giải, đặc biệt nhiều thầy cô giảng dạy chưa tổng hợp, phân dạng để hình thành tư phương pháp kĩ cho học sinh, nên gặp dạng toán tương tự với chữa, làm em làm Tuy nhiên với thay đổi liệu khác với ví dụ làm em mơ hồ, chưa xác định phương pháp giải cách rỏ ràng gặp nhiều khó khăn việc giải tập, tập số học Qua khảo sát 16 em học sinh đội tuyển toán lớp hai năm học liên tiếp: 2016-2017 2017- 2018 trường THCS Cẩm Phong việc sử dụng phương pháp chặn để giải dạng toán số học thường có đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm gần đây, kết nhận sau: Điểm Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % 50 43,75 6,25 Từ thực trạng trên, trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao hiệu dạy học dạng tơi tìm hiểu, nghiên cứu phân dạng tốn có sử dụng phương pháp chặn để hướng dẫn học sinh cách trình bày thơng qua xây dựng cho em tư phương pháp kỹ cho em để giải dạng toán cách cụ thể, có hiệu Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giúp cho học sinh nắm phương pháp giải xác định cách làm dạng, tham khảo tài liêu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn khối lớp, đề thi học sinh giỏi khối lớp nhiều năm, chuyên đề qua mạng internet để nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, nhờ giúp cho tơi hiểu cách sâu sắc phương pháp chặn, từ tơi tổng hợp, xây dựng hệ thống tập phong phú Với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó theo dạng, thơng qua dạng toán giúp học sinh tự rút kinh nghiệm hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ giải, giúp em dễ dàng nghi nhớ, dễ dạng phân biệt áp dụng vào giải toán dạng đạt kết cao hơn, cụ thể thực dạy sau: 1/ Trang bị lại cho học sinh kiến thức việc sử dụng phương pháp chặn Ví dụ như: Tìm số a thỏa mãn tính chất cho trước Cách làm: + Giả sử a ≥ m a ≤ n + Dùng lập luận kết hợp với điều kiện cho để suy + Kết hợp hai điều kiện suy khoảng giới hạn a m ≤ a ≤ n , tức ta chặn a + Kết hợp điều kiện đề cho thử giá trị khoảng suy giá trị cần tìm a Ngồi học sinh cần nắm vũng kiến thức sau: Tính chất số + abc =100a +10b +c Với a, b, c ∈ N < a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ + Với a, m Ỵ N; a thìam + Vi a, b ∈ N ta ln có < a ≤ b suy 1 ≥ a b Tính chất số phương + Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn + Số phương có hai dạng 4n 4n+1 Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) + Số phương có hai dạng 3n 3n +1 Khơng có số phương có dạng 3n + (n ∈ N), Tính chất chia hết Tính chất bất đẳng thức số, 2/ Trang bị cho học sinh kỹ tự đặt câu hỏi tự trả lời câu hỏi H? Yêu cầu toán gì? Để thực u cầu ta có hướng suy nghĩ nào? H? đề cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có cách giải toán ta làm theo cách nào? sao? * Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ? H? Ta gặp khó khăn đâu? Có phần giả thiết chưa sử dụng khơng? H? Ta gặp tốn tương tự chưa? 3/ Các dạng toán Dạng Sử dụng phương pháp chặn vào tốn tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: a) Biết 6x < 37, x ∈ N x lớn Tìm x thỏa mãn điều kiện b) Biết 37 < 6y , y ∈ N y nhỏ Tìm y thỏa mãn điều kiện */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn Vì x ∈ N x lớn chia hai vế 6x < 37 cho ta chặn x  Hướng dẫn học sinh làm tốn cụ thể Vì 6x < 37 chia hai vế cho ta x < 6,1666 ⇒ x < Vì x ∈ N x < => x ∈ { 0;1;2;3;4;5;6} Kết hợp điều kiện thứ là: x lớn ta suy được: x = Vậy số x cần tìm thỏa mãn điều kiện x = b Tương tự câu a giáo viên cho học sinh đề xuất cách giải cho câu b + Vì 37 < 6y chia hai vế cho ta y > 6,1666 => y > + Vì y số tự nhiên y > => y= 7; 8; 9; Vì y nhỏ nên y =7 Vậy số y thỏa mãn điều kiện y = Lời bình: Trong bài1 đơn giản, nhiên để tìm giá trị x hay y ta vào ba điều kiện mà đề cho, sau muốn tìm số lớn ta chặn trên, tìm số nhỏ chặn Việc chặn hay nhằm mục đích giới hạn giá trị x, y lại từ suy giá trị cần tìm Bài Tìm ba số tự nhiên x , y , z biết x +y + z = xyz < x < y < z Đây toán mà ta gặp nhiều loại sách tham khảo có đề thi học sinh giỏi số năm, thường cho nhiều dạng khác như: Tìm ba số nguyên dương khác nhau, biết tổng chúng tích chúng Tuy nhiên dù phát biểu theo dạng giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn số ba số để sử dụng phương pháp chặn cho phù hợp Cụ thể giáo viên có hướng dẫn sau: Hướng dẫn: Vì ba số x, y, z z số lớn nên để chặn ta cần thay số x, y (các số nhỏ hơn) z, ta có: Vì < x < y < z nên x + y + z < z + z + z = 3z , kết hợp với điều kiện đề cho x + y + z = xyz ⇒ xyz < 3z Chia hai vế cho z ta được: xy < Vì x, y ∈ N , x, y > , nên suy xy > = >0 < xy < Do xy ∈{1;2} Vì y > x nên y = x = Thay vào đề ta được: z + + = 1.2.z ⇔ z = Vậy ba số phải tìm x =1; y = 2; z =3 Lưu ý tập ta chặn z trực tiếp số cụ thể mà sử dụng điều kiện < x < y < z , để suy z số lớn ba số phải tìm ta chặn được, sau kết hợp với điều kiện số tự nhiên lớn không y > x suy xy > , tức ta chặn dưới, từ suy kết Khi giải xong học sinh thắc mắc lại chặn theo z mà khơng chặn theo x y giáo viên cần giải thích rỏ cho học sinh hiểu đồng thời thơng qua chốt phương pháp làm cho học sinh, là: Giả sử ta chặn theo x, x số nhỏ ba số nên ta có x + y + z < x + x + x = x kết hợp với điều kiện đề cho x + y + z = xyz ⇒ xyz > 3x , chia hai vế cho x ta được: yz > tức ta chặn Sau tiếp tục sử dụng điều kiện: Vì y, z số tự nhiên lớn z > y nên suy yz > Như ta lại tiếp tục chặn dưới, từ hai điều kiện ta suy yz > 3, khó tìm điều kiện để chặn tích yz, việc tìm kết khó khăn Tương tự với trường hợp chặn theo y ta gặp khó khăn việc tìm điều kiện để chăn nên việc tìm kết khó Vì tốn dạng số phải tìm cần số lớn chặn theo số đó, ta tìm kết cách dễ dạng Bài 3: (sách nâng cao chuyên đề tốn 6) a) Tìm số tự nhiên x, y biết x,y∈ { 33;45;148;27;51} 100 < x − y < 110 b) Tìm số tự nhiên x, y biết x,y∈ { 17;18;35;43;96} 50 < x − y < 60 */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn + x, y số tự nhiên, 100 < x − y < 110 + Đề chặn số mà hiệu + Cần chuyển từ chặn hiệu thành chặn số để sử dụng điều kiện cho lại biết x,y∈ { 33;45;148;27;51} Hướng dẫn: Vì ta biết x,y∈ { 33;45;148;27;51} số khơng nhiều nên dùng phương pháp khác để giải dễ dàng, nhiên vấn đề đặt rèn kỹ giải phương pháp chặn, Do giải sau: Vì 100 < x − y < 110 , cộng vế với y ta có 100 + y < x < 110 + y Đặt A= { 33;45;148;27;51} Do y ∈ A , nên y ≥ 27 ⇒ x > 100 + 27 = 127 Mà x ∈ A ⇒ x = 148 Ta lại có 100 + y < x ⇒ 100 + y < 148⇒ y < 58 Và 110 + y > x ⇒ 110 + y > 148⇒ y > 48 ⇒ 48 < y < 58 ⇒ y = 51 Vậy x = 148, y = 51 b) Tương tự câu a ta có: Đặt B = { 17;18;35;43;96} x ≥ 50 ⇒ x = 96 Cộng vế với y, ta được: 50 + y < x < 60 + y Do y > ⇒  x ∈ B  50 + y < 96 ⇒ y < 46 ⇒ ⇒ 36 < y < 46 Mà y∈ B ⇒ y = 43 60 + y > 96 ⇒ y > 36  Vậy hai số cần tìm là: x = 96; y = 43 Qua tốn vừa xét tơi nhận thấy với học sinh lực khá, giỏi giải dạng với em khơng khó khăn, nhiên giáo viên cần đưa để hướng dẫn em cách sử dụng phương pháp chặn cách chọn biến để chặn cho phù hợp, qua dần hình thành cho em kỹ sử dụng phương pháp Dạng Sử dụng phương pháp chặn vào tốn tìm chữ số số Khi dạy cho học sinh tốn dạng tơi nhận thấy đa phần em lúng túng đâu, với dạng điều kiện khơng cho cách tường minh mà em phải hiểu tính chất chữ số số, tính chất số tự nhiên,…, sau dùng lập luận kết hợp với điều kiện trước để giới hạn chữ số cần tìm (tức chặn số đó), từ suy kết cần tìm Sau ta xét số tập thường gặp dạng: Bài 1: (đề thi HSG lớp trường THCS cẩm Phong, năm 2015- 2016) Tìm số tự nhiên a, b, c cho a6.4bc = 17064 (1) Hướng dẫn Có nhận xét số 4bc ? Là số có chữ số? Vậy số nhận giá trị khoảng nào? ( Với gợi ý học sinh dễ dàng trả lời được: số có chữ số, chữ số hàng trăm nên nhận giá trị từ 400 đến 499) Như ta giới hạn số 4bc Ta có : 400 ≤ 4bc ≤ 499 Vì theo ta có a6.4bc = 17064 , có nhận xét kết phép nhân? ( số có chữ số) Từ kết kết hợp với đề suy a nhận giá trị khoảng nào? Vì sao? HS: Có thể trả lời: Vì a6.4bc = 17064 , nên suy < a < Vì: Nếu a ≤ ⇒ 26.499 = 12974 < 17064 Nếu a ≥ ⇒ 46.499 = 1840 > 17064 Suy < a < ⇒ a = Khi thay vào (1) ta 36 4bc = 17064 ⇒ 4bc = 17064:36 = 474 ⇒ b = 7,c = Vậy a = 3, b = 7, c = Lưu ý: Trong toán ta chặn theo giá trị a Ngoài cách chặn ta chặn sau: 17064 a6.4bc = 17064 ⇔ a6 = 400 ≈ 43 < 46 => Vậy a = a= a = Như ta giới hạn lại a giá trị, ta dễ dàng giải tiếp kết luận Tuy nhiên giải cần lưu ý không nên chặn theo giá trị b c có giải lời giải phức tạp dễ gây nhầm lẫn Do nên chọn số có chữ số để chặn Sau ta xét thêm số dạng Bài (đề thi HSG lớp trường THCS cẩm phong, năm 2015- 2016) Tìm số tự nhiên a, b, c, biết: abc + ab + a = 874 Hướng dẫn : Ta có abc + ab + a = 100a + 10b + c + 10a + b + a = 874 ⇒ (100a + 10a + a ) + (10b + b ) + c = 874 => aaa + bb + c = 874 (1) Từ (1) ta suy ra: a < a ≥ , ta có: aaa + bb + c > 888 + bb + c > 874 Mặt khác a > a ≤ ta có: aaa + bb + c < 666 + 99 + = 774 < 874 Vậy ta suy < a < a ∈ N, nên a = => aaa = 777 bb + c = 874 − 777 = 97 (2) Từ (2) ta có: b < 9, b ≥ => bb + c ≥ 99 + c > 97 => Và b > 7, b ≤ bb + c ≤ 77 + = 86 < 97 ⇒ < b < , b ∈ N ⇒ b = ⇒ c = 97 − 88 = Vậy ba số a, b, c phải tìm 7, 8, Khi giải trọng tâm vấn đề giáo viên phải hướng dẫn học sinh tách số abc ; ab thành dạng tổng lũy thừa 10, sau nhóm số có chứa a, b,c với cho tao thành dạng số tự nhiên có chữ sơ giống nhau, vào đề tính chất số để chặn Cần khắc sâu cho học sinh thứ tự chặn số dạng là: + Chặn chữ số hàng lớn trước (bài ta chặn chữ a hàng trăm, có chữ số hàng nghìn lớn ln phải chặn hàng cao trước) + Tiếp theo chặn theo thứ tự chữ từ trái qua phải dạng số Sử dụng nhận xét trên, yêu cầu học sinh áp dụng giải tiếp tập sau: Bài (đề thi HSG lớp 7, huyện Cẩm Thủy năm 2013-2014) Tìm số tự nhiên, biết số cộng với tổng chữ số kết 249 Hướng dẫn: Đối với đọc đề học sinh thấy khó khơng giống với làm, số tự nhiên cần tìm chưa biết số có chữ số, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ thành quen cách bám vào đề để rút nhận xét số cần tìm, sau gọi số số thực giải, cụ thể ta làm sau: Gọi số tự nhiên cần tìm n tổng chữ số T(n) Theo ta có: n + T (n) = 249 (1) Vì tổng số có ba chữ số nên : n phải số có chữ số, n có hai chữ số ta có: n + T (n) ≤ 99 + + = 117 < 249 tất nhiên n khơng thể có nhiều chữ số Do n có ba chữ số nên n = abc , từ (1) ta suy ra: abc + a + b + c = 249 (2) Vì a, b, c ∈ N < a ≤ ; ≤ b, c ≤ ≤ b, c ≤ ⇒ a + b + c ≤ 27 ⇒ abc ≥ 249 − ( a + b + c ) ≥ 249 − 27 = 222 abc < 249 ⇒ 222 ≤ abc ≤ 249 ⇒ a = Thay vào (2) ta được: 2bc + + b + c = 249 ⇔ 200 + bc + + b + c = 249 ⇔ bc + b + c = 249 − 202 ⇔ bc + b + c = 47 => b ≤ Ta lại có b + c ≤ 18 ⇒ bc ≥ 47 − 18 = 29 ⇒ b ≥ ⇒ ≤ b ≤ ⇒ b ∈ { 2;3;4} + Nếu b = ta có 2c + + c = 47 ⇔ 22 + 2c = 47 ⇔ 2c = 25 ( loại ) + Nếu b = ta có: 3c + + c = 47 ⇔ c = + Nếu b = ta có thay tương tự ta ⇔ 2c = ( loại ) Vậy a= 2; b = 3; c = Số phải tìm 237 Như qua toán vừa xét ta nhận thấy, việc sử dụng phương pháp chặn để tìm số chữ số biết sử dụng hợp lý làm cho toán đơn giản, dễ hiểu, lời giải ngắn gọn nhiều Dạng Sử dụng phương pháp chặn vào tốn liên quan đến số phương Một dạng tốn khó số học liên quan đến số phương, đề thi học sinh giỏi lại hay gặp Để giải dạng tốn tơi thường hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp chặn để giải Bài 1: (đề thi HSG lớp 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2012- 2013) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab − ba số phương Hướng dẫn: Để giải cần yêu cầu học sinh nắm tính chất chữ số, tính chất số phương, kết hợp đề cho để chặn cho phù hợp Theo ta có: ab − ba = (10a + b ) − (10b + a ) = 9a − 9b = 9( a − b ) = ( a − b ) Do ab − ba số phương, nên a - b số phương Ta có: ≤ a, b ≤ a > b > ⇒ ≤ a − b ≤ ⇒ a − b ∈ {1;4} * Với a − b = ⇒ ab ∈{21;32;43;54;65;76;87;98} , ab số nguyên tố nên loại hợp số tập lại số 43 số nguyên tố * Với a −b = ⇒ab ∈{51;62;43;73;94;95} Tương tự ta 73 số nguyên tố Vậy ab 43 73 Khi ta có: 43 - 34 = = 73 - 37 = 16 = (thỏa mãn đề bài) Bài (Các chuyên đề bồi dưỡng HSG tốn 7) Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Hướng dẫn: Gọi số cần tìm p = aabb (a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ 9) Ta có p = aabb = 1100 a + 11b = 11(100a + b ) = 11.a0b Do a0b = 11k (k ∈ N) Vì a0b số có ba chữ số nên suy 100 ≤ 11k ≤ 999 , chia hai vế cho 11 ta được: ≤ k ≤ 82 ⇒ ≤ k ≤ Lần lượt cho k 4, 5, 6, 7, 8, ta được: 11 11 a0b = 11k thứ tự 176, 275, 396, 539, 704, 891 số vừa tìm có số 704 có chữ số hàng chục thỏa mãn dạng số a0b => k =8 Vậy với k = aabb = 11.11.8 = 7744 Số cần tìm thỏa mãn đề 7744 Bài 3: (thi HSG toán 8, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Hướng dẫn : Vì n số có chữ số ⇒ 10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 20 ≤ 2n ≤ 198 ⇒ 21 ≤ 2n + ≤ 199 Vì 2n+1 số lẻ, nên 2n+1 nhận số lẻ số phương Trong khoảng có số lẻ số phương 25, 81, 121, 169 Tương ứng với n =12, 40, 60, 84 Khi 3n+1 có giá trị tương ứng : 37, 121, 181, 253 số có số 121 số phương Vậy số cần tìm n = 40 * Trong vừa xét có điểm chung để chặn bám vào điều kiện số a0b số có chữ số, ta chặn 100 ≤ 11k ≤ 999 n số tự nhiên có hai chữ số nên suy ra: 10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 20 ≤ 2n ≤ 198 ⇒ 21 ≤ 2n + ≤ 199 tức chặn n, từ suy kết tốn Tuy nhiên khơng phải dựa vào số chữ số số cần tìm, mà nhiều tốn số phương thường dựa vào chữ số tận kết hợp với dạng số để chặn cho thích hợp, hay có khơng cho biết số phương sử dụng điều kiện có đề để suy số phương, nhằm mục đích để sử dụng tính chất số phương tính chất số để chọn cách chặn cho phù hợp Sau ta xét số vậy: Bài (thi HSG toán 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015) Tìm số phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị số phương viết dạng (5n + 4) Với n ∈ N */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp tốn - Số có dạng 5n + có tận => bình phương số có tận bao nhiêu, xét trường hợp theo tận +/ Câu trả lời mong muốn 10 - 5n + có tận - (5n + 4) có tận - Cần xét số (5n + 4) ứng với hai trường hợp Hướng dẫn Ta có: 5n + có tận 9, nên (5n + 4) có tận * Với (5n + 4) có tận suy số cần tìm có dạng * *6 bình phương số có tận Xét hai số có tận liên tiếp 74 84 Ta có 74 = 5476 < * *6 < 7056 = 84 Vậy khơng có số có tận mà bình phương lên có dạng * *6 * Với (5n + 4) có tận là1 suy số cần tìm có dạng * *1 bình phương số có tận Ta có 29 = 841 < * *1 < 2401 = 49 Mà hai số 29 49 số 39 = 1521 Vậy số cần tìm 1521 Bài (Tuyển tập tốn chọn lọc THCS) Tìm số tự nhiên ab cho ab = ( a + b) Hướng dẫn Theo ta có: ( a + b ) = ab số phương nên a + b số phương Đặt a + b = n ( n ∈ N ) ⇒ ab = ( a + b ) = n ⇒ n = ab < 100 ab > ⇒ < n < 100 ⇒ < n < ⇒ n = 3;4 n ∈ N * * Với n = ⇒ ab = ( a + b ) = 36 = 729 = 27 = ( + ) ⇒ n = 3( tm ) *Với n=4 ⇒ ab = ( a + b ) = = 4096 = 64 ≠ ( + 4) = 1000 ⇒ n = 4( loai ) Vậy số cần tìm là: ab = 27 Lời bình: Qua tốn vừa xét Tơi thấy dạng tốn khó Do dạy tơi thường lưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát phương pháp khai thác cụ thể bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ đặc điểm để vận dụng, đặc biệt việc sử dụng tính chất số thường xuyên, cần yêu cầu em phải nắm vững tính chất để nhận xét, đánh giá khía cạnh sát với ý tưởng lời giải, em dễ nhập với giải Phương pháp chặn lúc phát huy tác dụng cách tích cực Dạng Sử dụng phương pháp chặn chứng minh số nguyên tố Bài 1: (Sách nâng cao chuyên đề tốn 6) Tìm tất số tự nhiên n để số sau số nguyên tố: n + ; n + ; n + ; n + ; n + 13 ; n + 15 Hướng dẫn: Vì n số tự nhiên, cho n giá trị từ đến ta được: 11 * Với n = ta có số n + ; n + ; n + 15 không số nguyên tố * Với n=1 ta có số n + ; n + ; n + ; n + 13 ; n + 15 không số nguyên tố * Với n = ta có số n + ; n + 13 không số nguyên tố * Với n=3 số n + ; n + ; n + ; n + ; n + 13 ; n + 15 không sốnguyên tố * Với n = ta có số n + ; n + ; n + ; n + ; n + 13 ; n + 15 có giá trị 5, 7, 11,13,17,19 số nguyên tố * Ta xét với n ≥ 5, n nhận dạng sau: n = 5k ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ( k ∈ N ) Lần lượt thay n vào số ta *Với n = 5k ⇒ n + 15 = 5k + 155 ⇒ n + 15 > nên n + 15 hợp số * Với n = 5k + ⇒ n + = 5k + + = 5k + 105 5k + 10 > , nên n + hợp số * Với n = 5k + chứng minh tương tự ta n + 13 , n + hợp số * Với n = 5k + chứng minh tương tự ta n + hợp số * Với n = 5k + , chứng minh tương tự ta n + hợp số Với n ≥ làm cho số cho không số nguyên tố Vậy với n = số cho số nguyên tố Bài (đề thi HSG lớp 9,tỉnh Hải Dương,năm 2014-2015) Tìm số nguyên tố p cho số p − 1; p + 3; p + số nguyên tố Hướng dẫn Vì p số nguyên tố nên p ≥ 2, cho p = 2, 3, 5, thay vào số cho ta được: * Với p = thay vào p + =16 => p + hợp số (loại) * Với p = thay vào 2p + = 21 => 2p + hợp số (loại) * Với p = thay vào 2p − = 49 => 2p − hợp số (loại) * Với p=7 thay vào p − = 97; p + = 101; p + = 151 số nguyên tố Xét với p > ⇒ p = k + i ; i ∈Z ; i ∈{±1;±2;±3} ( tức số chia dư 1, 2, 3, 4, 5, 6) Khi p chia cho dư: 1;4;2 * Nếu p chia cho dư (tức p=7k ± 1) p + chia hết trái GT * Nếu p chia cho dư (tức p =7k ± 2) p − chia hết trái GT * Nếu p chia cho dư (tức p=7k ± 3) p + chia hết trái GT 12 Vậy với p = số p − 1; p + 3; p + số nguyên tố Qua hai vừa xét cần lưu ý học sinh phương pháp giải là: Dù số n cần tìm số tự nhiên hay số nguyên tố ta thay số giá trị n (nếu n số tự nhiên cho n = 0, 1, 2, 3, ; n số nguyên tố cho n= 2, 3, 5, 7) thay vào số cho làm cho tất số số nguyên tố dừng lại ( kinh nghiệm dạng số thay vào thường không nhiều) Ta xét với n lớn số vừa làm cho tất số số nguyên tố (Ở xét với n ≥ 5, ta xét với p > 7) suy dạng số (Ở 1với n ≥ => n = 5k ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + (k ∈ N ) Còn với p>7=> p =7k+i; k,i nguyên, i ∈ { ±1; ±2; ±3} ( tức số chia dư 1, 2, 3, 4, 5, 6) Sau thay giá trị n vào số cho chứng tỏ cho chúng hợp số Việc áp dụng phương pháp chặn dạng ít, nhiên lại quan trọng, khơng chặn giá trị n (chủ yếu chặn dưới) ta khơng suy dạng tổng qt n từ giới hạn số cần tìm để kết luận toán Sau ta xét thêm số toán dạng Bài (Đề thi HSG lớp 9, vòng huyện Cẩm Thủy, năm 2017- 2018) Tìm tất số nguyên tố p để 2p + p số nguyên tố */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn: + Cho p =2, 3, 5, , đến làm cho 2p + p số nguyên tố + xét với p lớn số vừa làm cho 2p + p số nguyên tố, chứng tỏ cho biểu thức hợp số kết luận  u cầu học sinh làm tốn cụ thể Vì p số nguyên tố nên suy p ≥ đặt M = 2p + p * Nếu p = M = 2p + p = 22 + 22 = hợp số * Nếu p = M = 2p + p = 23 + 32 = 17 số nguyên tố Xét với p > mà p số nguyên tố nên p số lẻ p p Khi ta có M = + p = ( + 1) + ( p − 1) p M ⇒ M M Lại có M > nên M hợp số Vì p số lẻ nên 2p + 1M Vậy với số nguyên tố p > làm cho M hợp số Do tìm số nguyên tố p = thỏa mãn yêu cầu toán Bài 4: (sách dạng toán phương pháp giải tốn 7) 13 Tìm ba số ngun tố liên tiếp cho tổng bình phương ba số số nguyên tố Hướng dẫn Gọi số nguyên tố liên tiếp cần tìm m, n, q Gọi tổng bình phương ba số M (M nguyên tố) Theo ta có: m < n < q Do m, n, q nguyên tố nên m + n + q = M Giả sử M = m2 + n + q > Nếu m, n, q khơng chia hết cho có dạng 3k + 3k + ( k ∈ N) m ;n ;q chia cho có số dư ⇒ M = m2 + n + q2 M mà M > nên M hợp số trái với giả thiết (loại) m nguyên tố nên Vì m số nguyên tố nhỏ số trên, nên mM 2 m = ⇒ n = 5;q = Khi M = + + = 83 số nguyên tố Vậy ba số nguyên tố liên tiếp thỏa mãn đề 3, 5, Cách Ta sử dụng cách giải tập là: Gọi số nguyên tố liên tiếp cần tìm m, n, q, tổng bình phương ba số M (M ngun tố) Theo ta có: m + n + q = M Vì ba số cần tìm ba số nguyên tố liên tiếp, nên giả sử m < n < q Với m = 2,n = 3, q= thay vào M ta M = 22 + 32 + 52 = 38 hợp số (ktm) Với m=3, n =5, q= thay vào M ta M = 32 + 52 + = 83 số nguyên tố Vì số m số nhỏ nên ta xét với m > suy hai số lại hiển nhiên lớn lớn m, mà số lớn có hai dạng 3k + 3k +2 ( k ∈ N) m ;n ;q chia cho có số dư Lập luận tương tự cách M hợp số kết luận Dạng Sử dụng phương pháp chặn toán nghiệm nguyên Trong nhiều đề thi học sinh giỏi thường có tốn nghiệm nguyên, tùy khối mà đề hỏi nhiều dạng khác : tìm số nguyên dương, tìm nghiệm nguyên, , dạng tốn khó có nhiều phương pháp giải, phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp, tính chất phép tốn, tính chất số, bất đẳng thức giải Một phương pháp thường phối hợp sử dụng để giải dạng hiệu phương pháp chặn Ta xét số tập sau Quay trở lại toán 2, dạng Bài tốn cho dạng sau: Bài (đề thi HSG toán huyện Cẩm Thủy năm 2014- 2015) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = xyz (1) 14 Hướng dẫn: Bài khác với toán dạng chỗ, nghiệm nguyên dương phải tìm số nguyên dương chưa thứ tự số, cần hướng dẫn học sinh thứ tự số sau giải dạng được, nhiên này muốn hướng dẫn học sinh giải theo cách khác sau: 1 Chia hai vế (1) cho xyz ≠ ta được: yz + xz + xy = Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z Ta có: 1= 1 1 1 3 + + ≤ + + = ⇒ ≥ ⇒ x2 ≤ ⇒ x = yz yx zx x x x x x Thay x = vào đầu ta có: + y + z = yz ⇒ y − yz + + z = ⇒ y (1 − z ) − (1 − z ) + = ⇔ ( y − 1)( z − 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) Bài (Đề thi HSG tốn 9, huyện Cẩm Thủy năm 2010 -2011) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 1 + = x y Hướng dẫn: Vì x, y có vai trò nên giả sử x ≥ y Dùng tính chất bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ hai số 1 1 y, ta có: Vì x + y = => y < ⇒ y > (1) 1 Mặt khác ta lại có: x ≥ y ≥ => x ≤ y 1 1 2 Do = x + y ≤ y + y = y = > y ≥ = = > y ≤ (2) Từ (1) (2) suy ra: ≤ y ≤ => y ∈ { 4; 5; 6} * Với y = thay vào đề ta tìm x = 12 * Với y = => khơng có giá trị x thỏa mãn x khơng ngun * Với y = => x = Vì x, y có vai trò nên giá trị tìm x y ngược lại Do cặp số nguyên dương cần tìm (4; 12); (12; 4); (6; 6) Lưu ý: Ngoài cách chặn y ≤ cách giải giáo viên hướng dẫn học sinh cách chặn sau: 1 1 1 1 Giả sử x ≥ y => y ≥ x = > y + y ≥ ( x + y ) = : = = > y ≤ 15 Bài 3: (Các toán với nghiệm nguyên) Tìm số nguyên dương biết tổng nghịch đảo chúng */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn: - Bài tương tự 2, có nhiều biến Nên giải tương tự  Yêu cầu học sinh làm toán cụ thể Gọi số nguyên dương a, b, c Khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ 1 1 1 ≥ ≥ Theo ta có + + = (1) a b c a b c 1 ⇒ ≤ + + = ⇒ a ≤ (2) Từ (1) ⇒ a > (3) Từ (2),(3) ⇒ a = 2;3 a a a a Với a = ta có 1 1 + = 1− = ≤ ⇒ b ≤ b c 2 b Kết hợp với b > (Vì 1 + = ) ⇒ < b ≤ ⇒ b = 3,4 b c Với b = ⇒ 1 1 = − = ⇒c=6 c Với b = ⇒ 1 1 = − = ⇒c=4 c 4 Trường hợp a = ⇒ 1 2 + = − = ≤ ⇒ b ≤ Vì b ≥ a ⇒ b ≥ , Suy b = b c 3 b Vậy cặp ( a;b;c ) nhận ( 2;4;4 ) ; ( 2;3;6 ) ; ( 3;3;3 ) Và hốn vị a, b, c ta có cặp ( 4;4;2 ) ; ( 4;2;4 ) ; ( 2;6;3 ) ; ( 3;2;6 ) ; ( 3;6;2 ) ; ( 6;2;3 ) ; ( 6;3; ) Bài Cho biết x ≤ y ≤ z ≤ t Tìm x, y, z, t biết 1 1 + + + =1 x y z t */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn: - Bài tốn trường hợp có chứa biến nên cách làm tương tự - Bài chọn biến để chặn tổng phân số  Yêu cầu học sinh làm toán cụ thể ( Giải tương tự 3) 16 Bài (đề thi HSG lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm 2014- 2015) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x − 18 y + z + y z − 18 x = 27 Hướng dẫn Từ giả thiết ⇔ ( x − 3) − 18 y + z + y z = 54 (1) Vì 3( x − 3) 3;18 y 3;3x y 3;54 3 ⇒ z 3 => z M3 ⇒ z M3 ⇒ z M9 ⇒ z ≥ (*) (1) ⇔ 3( x − 3) + z + y ( z − 6) = 54(2) (2) ⇒ 54 = 3( x − 3)2 + z + y ( z − 6) ≥ 3( x − 3) + 2.9 + y ( x − 3) + y ≤ 12 Vì biểu thức tổng lớn tổng biểu thức bé 12, nên suy ra: y ≤ 12 => y ≤ ⇒ y = 1; y = y nguyên dương 72 +Nếu y = ⇔ y = ⇒ (1) ⇔ ( x − 3) + z = 72 ⇒ z ≤ 72 ⇒ z ≤ ⇒ z = ⇒ z = (vì có(*) Khi ( x − 3) = 27 ⇒ ( x − 3) = , x nguyên dương nên tìm x=6 2 +Nếu y = ⇔ y = (vì y ngun dương) (1) có dạng: ( x − 3) + 14 z = 126 ⇒ 14 z ≤ 126 ⇒ z ≤ ⇒ z = ⇒ z = (vì z nguyên dương) Suy ( x − 3) = ⇒ x = (vì x nguyên dương) x = x =   Đáp số  y = 2;  y = z = z =   Tóm lại: Để làm tập dạng việc sử dụng phương pháp chặn giáo viên cần lưu ý hướng dẫn học sinh quan tâm vận dụng nhiều đến tính chất khác học phép tính tốn thơng thường, bên cạnh bước đầu học sinh bắt đầu quen với việc sử dụng tính chất bất đẳng thức số Trong thực tế giảng dạy ta sử dụng phương pháp chặn để giải nhiều dạng toán khác như: Các toán chứng minh chia hết, so sánh tổng dãy số với số biểu thức, toán liên quan đến lũy thừa, giá trị tuyệt đối, cực trị, bất đẳng thức… Trong phạm vi SKKN xin giới thiệu số dạng sử dụng dạy phù hợp với học sinh khối 6,7 thường hay có đề thi học sinh giỏi khối Tuy nhiên học sinh hiểu áp dụng tốt kiến thức học SKKN nêu, hình thành kỹ năng, biết cách để suy luận việc mở rộng tiếp cho dạng lại khơng khó khăn, dạng mà chọn dạy nội dung sáng kiến bản, dễ hiểu, dễ suy luân, sở cho dạng lại 4/ Bài tập tự luyện 17 Bài1 Tìm số tự nhiên a, b, c, biết: abc + ab + a = 1037 (đề thi HSG lớp huyện Cẩm Thủy, Năm 2016- 2017) Bài Tìm STN có chữ số, biết số 45 lần tích chữ số (Đề thi HSG lớp huyện Lý Nhân năm 2015- 2016) Bài Tìm chữ số a, b, biết a - b = a5b1 chia hết cho (nâng cao phát triển toán 6) Bài Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab − ba số phương (tuyển tập tốn chọn lọc THCS) Bài Tìm số tự nhiên x cho x + x = x (HSG lớp trường THCS Cẩm Phong năm 2017- 2018) Bài Tìm bốn số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng.( HSG lớp trường THCS Cẩm Phong năm 2017- 2018) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với cách làm chia sẻ tổ chuyên môn áp dụng vào giảng dạy cho học sinh giỏi trường, thu kết khả quan Học sinh biết sử dụng phương pháp chặn số dạng tốn số học nói chung, giải tốn tìm số nhanh hơn, xác định hướng làm lựa chọn cách trình bày đơn giản Học sinh tránh sai sót bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Học sinh có nhìn tổng qt dạng tốn học tự hình thành cho phương pháp Tạo hứng thú học tập, tâm lí vững vàng tự tin cho học sinh trước yêu cầu tốn đặc biệt dạng tốn khó Bồi dưỡng khả tìm tòi, sáng tạo áp dụng kiến thức học vào số toán số học toán khác Đặc biêt HS khá, giỏi giải tốt dạng toán tiếp thu phát triển tập vận dụng dạng toán, nâng cao yêu cầu bài, giúp em phát huy lực học toán dễ dàng tiếp cận với dạng khó khác, hình thành kỹ giải toán Cải thiện đáng kể kết đội tuyển dạng toán số học, từ tạo cho học sinh chủ động học tập, biết phát triển dạng toán học để vận dụng vào giải dạng tốn có liên quan Sau áp dụng đề tài vào thực tế ôn thi học sinh giỏi 16 em đội tuyển lớp hai năm học gần đây, kết đạt cụ thể sau: Điểm Điểm - 6,5 Điểm - 8,5 Điểm - 10 18 SL % SL % SL % SL % 6,25 25 37,5 31,25 Đối với học sinh khối lớp nhà trường học có dạng tốn số học, sử dụng phương pháp chặn vào dạng toán em học chương trình tơi thu kết tương đối tốt, nhiều học sinh hiểu phương pháp, biết áp dụng vào làm tốt số dạng tập số học tìm số, tìm chữ số… Do kết mơn học cải thiện đáng kể, nhiều em "cứ gặp dạng toán dùng chặn" Sau trao đổi với đồng nghiệp nội dung đề tài đồng nghiệp ủng hộ, vận dụng vào dạy ôn thi học sinh giỏi khối khác, tùy theo yêu cầu khối mà giáo viên lựa chọn nội dung giảng dạy cho phù hợp, vào dạng đề tài mà giáo viên phát triển thành nhiều dạng phù hợp với yêu cầu khối, dựa sở sử dụng phương pháp cách thức khai thác tập đề tài thu kết khả quan, đa số em học sinh giỏi đội tuyển vận dụng làm tốt dạng toán áp dụng phương pháp cho nhiều dạng có liên quan, nhiều em biết tự tìm tòi khai thác toán nhiều cách giải khác nhau, phát triển dạng toán, đáp ứng yêu cầu đội tuyển KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy vận dụng SKKN đạt kết tốt Rất nhiều HS giỏi nâng cao kỹ giải dạng toán số cách sử dụng phương pháp chặn, nhiều em chủ động tìm tòi định hướng cách làm chưa có hướng dẫn GV, em tự phát dạng toán cách làm dạng, biết cách phát triển khai thác toán nhiều cách khác nhau, tạo hứng thú, tự tin trình học Trình bày sáng kiến sở, động lực giúp tơi có thêm kinh nghiệm, phương pháp giảng dạy, bổ sung thêm dạng tốn q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời cung cấp cho HS phương pháp giải nhiều dạng toán, tự phát triển dạng toán phương pháp giải, thơng qua phát bồi dưỡng học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm mà tơi trình bày chắn nhiều hạn chế khiếm khuyết cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức … mong nhận đóng góp chân thành bạn bè đồng nghiệp để tơi bổ sung hồn thiện, góp phần cải thiện phương pháp nâng cao chất lượng giảng dạy 3.2 Kiến nghị Không 19 Cẩm Thủy, ngày 10 tháng 03 năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Nguyễn Huy Tuấn Trần Thị Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán 6, 7, 8, Toán nâng cao chuyên đề lớp 6, 7, 8, Các dạng toán phương pháp giải toán 6,7 Toán nâng cao phát triển lớp 6, 7,8,9 Các toán với nghiệm nguyên Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6, 7, 8, 7.Tuyển tập toán chọn lọc THCS Các chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học sở năm 10 Tham khảo thêm số tài liệu qua mạng Internet 11 Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh năm 12 Đề thi HSG huyện năm 20 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… 21 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD VÀ ĐT …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… \ 22 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….…………… 23 ... phương pháp chặn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tôi nêu lên phần lí thuyết số tính chất hay dùng trình sử dụng phương pháp chặn - Nêu lên số dạng toán cách suy nghĩ để giải dạng - Một số tập vận dụng. .. nhiều phương pháp giải, phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp, tính chất phép tốn, tính chất số, bất đẳng thức giải Một phương pháp thường phối hợp sử dụng để giải dạng hiệu phương pháp chặn. .. dụng SKKN đạt kết tốt Rất nhiều HS giỏi nâng cao kỹ giải dạng toán số cách sử dụng phương pháp chặn, nhiều em chủ động tìm tòi định hướng cách làm chưa có hướng dẫn GV, em tự phát dạng toán cách