phương pháp cm bất đẳng thức

I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ A.Một số ví dụ: Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si) Giải: ( a - b ) = a - 2ab + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ≥ 0) Giải: ( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ≥ 0) Giải: 2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b > 0) + = Giải: Do ab ≤ ⇒ ≥ Hay + ≥ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b < 0) Giải: + = - Do ≥ ⇒ - ≤ -2 Hay + ≤ - Đẳng thức xảy a = -b Chứng minh: (Với a , b > 0) Giải: + - = = ≥ ⇒ + ≥ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh rằng: Giải: 2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c • A≥ B ⇔ A− B ≥ • Cần lưu ý tính chất: A ≥ • Đẳng thức xảy A = • Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp B.Bài tập vận dụng: Chứng minh bất đẳng thức sau a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 10 ≥ a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ 10 11 12 13 14 15 19 > 2a + 12b + 4c a2 – 4ab + 5b2 – 2b + ≥ x2 – xy + y2 ≥ x2 + xy + y2 -3x – 3y + ≥ a2 + 9b2 + c2 + x2 + xy + y2 -5x - 4y + ≥ x4 + x3y + xy3 +y4 ≥ x5 + x4y + xy4 +y5 ≥ với x + y ≥ a4 + b4 +c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 (a2 + b2).(a2 + 1) ≥ 4a2b ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) 16 a2 + b2  a + b  ≥    17 a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   18 19 20 a b c b a c + + ≤ + + (với a ≥ b ≥ c > 0) b c a a c b 12ab a+b ≥ ( Với a,b > 0) + ab a b c 1 + + ≥ + + (Với a,b,c > 0) bc ca ab a b c ===========o0o=========== HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu không nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu ≤; ≥ cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy A – B = ( a + 2c − 2b ) Bài 2: 4A – 4B = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) 2 Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: A – = ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + = ( Y + 3) A – B = ( a − 1) + ( 2b − 3) + 3( c − 1) + A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 Bài 7: A – B = ( a − 2b ) + ( b − 1) Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +   y 2 x2 – xy + y2 =  x −  + x2 – xy + y2 -3x – 3y + = ( x − 1) − ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1) Biến đổi tiếp Tương tự x4 + x3y + xy3 +y4 = x − xy + y ( x + y ) Tương tự 11 Xem ví dụ A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) = ( c − d )( a − b ) ( ( ) ) a + b − ( a + b) A-B= Bài 17: Bài 18: Xem tập 16 A - B = (a-c)(b-a)( Bài 20: 3y Bài 16: Bài 19: b ( a − ) + a ( b − 3) + ab A-B= (Với a ≥ b ≥ c ≥ 0) ( Với a,b > 0) 2 ( ab − bc ) + ( bc − ac ) + ( ac − ab ) A-B= abc (Với a,b,c > 0) ===========o0o=========== TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG - • • b 4ac-b 4ac-b b   + a x + MinP = Nếu a > : P = ax + bx +c = Suy Khi x=÷ 2a 4a 2a  4a  2  b  − a x− Nếu a < : P = ax + bx +c = ÷  4a 2a ÷   a c+b b Suy MaxP = Khi x= a 4a a c+b 2 Một số ví dụ: Tìm GTNN A = 2x2 + 5x + 25 25 − )+7= Giải:A = 2x2 + 5x + = 2( x + x + 16 16 25 56 − 25 31 = 2( x + ) − +7 = + 2( x + ) = + 2( x + ) 8 31 Khi x = − Tìm GTLN A = -2x + 5x + 25 25 − )+7= Giải: A = -2x2 + 5x + = - 2( x − x + 16 16 25 56 + 25 81 = −2( x − ) + + = − 2( x − ) = − 2( x − ) ≤ 8 Suy MinA = Suy MinA = 81 Khi x = Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + ≥ ⇒ MinB = : ⇔ Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - ≤ 10 ⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ BÀI TẬP: Tìm GTNN A = x − x + 2008 Tìm GTLN B = + 3x - x2 Tìm GTLN D = 2007 − x − x Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Tìm GTNN G = x − 10 x + 25 x + 12 10 Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y 11 Tìm GTNN C = ( x − 1) − x − + 12 Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3) 13 Tìm GTNN K = x + y - xy +x + y HƯỚNG DẪN A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 ⇒ MinA = 2001,75 x = 2,5 B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) = G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16 11 C = ( x − 1) − 3x − + * Nếu x ≥ C = (3x - 3) + * Nếu x < C = (3x + 1) + 12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 13 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - * Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào a + b ≥ 2ab (a,b>0) (BĐT Cô-si) (a +b ) ≥4ab 2( a + b ) ≥ ( a + b ) a b + ≥ 2; a, b > b a 1 + ≥ ; a, b > a b a+b a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) ( Bu nhi a cop xki) a b ( a + b) + ≥ x y x+ y a b c ( a + b + c) + + ≥ x y z x+ y+z ab bc ca + + ≥ a + b + c (Với a,b,c > 0) Ví dụ 9:Chứng minh c a b ab bc ca Giải:2A - 2B = + + − 2a − 2b − 2c c a b       = a + −  + b + −  + c + −  b c c b Áp dụng bất đẳng thức  a c c a  b a a b  a b + ≥ 2; a, b > Ta có:2A - 2B ≥ a ( − 2) + b( − ) + c( − 2) ≥ b a Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy a = b = c > Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy + x + y ≥  1 2  ≥2 + = + = 2 + 2 2  xy x + y xy x + y x + xy + y  xy x + y  = = Đẳng thức xảy x = y = ( x + y) Giải: Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a2 b2 c2 a c b + + ≥ + + b2 c2 a2 c b a a2 c a c a2 b2 a b a b2 c2 b c b c Giải: + ≥ = ; + ≥ = ; + ≥ = c a a a a b c c c b c a b b b Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:  a2 b2 c2  a c b 2 + +  ≥ 2 + +  c a  c b a b a2 b2 c2 a c b ⇒ + + ≥ + + c b a b c a Đẳng thức xảy a = b = c Bài tập: 1 1 Cho a,b,c số dương.Chứng minh ( a + b + c )  + +  ≥ a b c Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ Cho số a,b biết a + b = Chứng minh a) a + b ≥ b) a + b ≥ Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + + ≥ Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ Chứng minh rằng: + + ≤ ≤ + + Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a + ≥ b + ≥ 14 Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + ) ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0 1 1 1 + + ≥ + + , a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Cho a,b,c số dương Chứng minh : 10 11 12 13 14 15 a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c Cho a,b,c số dương a2 b2 c2 a+b+c Chứng minh : + + ≥ b+c a+c b+a Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ a b c + + ≥ Với a,b,c > Chứng minh: b+c c+a a+b Chứng minh: a + b + c ≥ abc( a + b + c ) Bài 28: Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz 1 1 + + + + + + Cho A = Chứng minh A > n +1 n + 2n + 2n + 3n + 7 HƯỚNG DẪN: a b a c  b c  A = 3+ + + + + +  ≥ 3+ 2+ 2+ = b a c a c a Áp dụng (a + 1) ≥ 2a a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ b) Áp dụng câu a Xem + + ≤ + + = ++ = + + ≥ ≥ = A = + = ( + ) + ≥ + = ( 2ab ≤ (a+b) ) B = + = 3( +) + (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥ + ≥ ; + ≥ ; + ≥ Cộng theo vế BĐT ta Đpcm Ta có: + = ( + ) ≥ b c 1b c + =  +  ≥ ac ab a  c b  a c a 1 c a + =  +  ≥ ab bc b  a c  b Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c (Hãy kiểm tra lại) a b c ( a + b + c) + + ≥ 10 Áp dụng BĐT x y z x+ y+z 11 a + b ≥ ( a + b ) ≥ ≥ 12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + = (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) = Suy ra: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 13 Áp dụng BĐT ví dụ cho số a + b + c tiếp tục áp dụng lần nửa cho số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm 14 Áp dụng BĐT ( x + y ) ≥ xy Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM 15 A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT hạng thích hợp có đpcm 1 + ≥ ; a, b > Với cặp số a b a+b GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.Dạng: Tìm GTLN A = ⇔ Tìm GTNN ax2 + bx +c Ví dụ: Tìm Max A = x − 2x − Giải: B = x - 2x - = (x - 1)2 - ⇒ MinB = -6 x = 1⇒ MaxA = - x = II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = ⇔ Tìm GTNN(GTLN) Ví dụ: Tìm GTNN B = Giải: B = - Đặt C = ⇒ = (x + ) + ≥ ⇒ Min = = ⇒ MinB = x = x = ⇒ MaxC Tìm GTNN biểu thức sau: với x > với x > -2 x -x + + 4x − 6x + ( x − 1) 2 x − 16 x + 41 x − x + 22 x + 512 x2 + 10 − x + 2x − x − 4x + x2 11 3x x2 +1 Tìm GTLN biểu thức sau: x + 3x + x ( x + 2008) I = (Với x ≠ 0) DẠNG :Có mối quan hệ biến Cho 3x + y = a.Tìm GTNN A = 3x + y b.Tìm GTLN B = xy Cho a , b > a + b = Tìm GTNN C = (1+ ) + (1 + ) Tìm GTLN Biểu thức: a.D = 2x(16 - 2x) với < x < b E = với x > 0; y > 0; x + y = 10 Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN x2 + 2y2 Cho 4x - 3y = Tìm GTNN 2x2 + 5y2 Cho xy = Tìm GTNN x + y Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn : x2 + y2 Cho x y số nguyên dương thoả mãn : x + y = 2009 Tìm GTNN GTLN A = x.y Tìm GTNN P = x + y + x + y với x + y = 10 Tìm GTLN Q = xy +yz + zx Với x + y + z = 11 Cho x + 2y = Tìm GTNN R = x + 2y 12 Cho x + + z = Tìm GTNN H = x + y + z + xy +yz + zx Tìm GTNN GTLNcủa biểu thức sau: 27 − 12 x x2 + 8x + B = 4x + A = 2x + x2 + 3x − x + D = x2 +1 4x + E = x +5 C = 12 = 17 + 4x + 13 = 14 x -x + + 15 16 17 x − 4x + x2 18 4x − 6x + ( x − 1) 2 x − 16 x + 41 x − x + 22 x + 512 20 x +8 21 − x + 2x − 19 22 3x x2 +1 10 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 7: Tìm GTNN biểu thức A = x + y − xy − x + B = x − xy + y + x − 10 y + 17 C = x − xy + y − x − y D = x + xy + y − 3x − y E = x + xy + y − x − 22 y F = x + y − xy − x + 7 G = x + y + z − x − y − z + H = x + y + z − xy − yz − zx Bài 8: Cho x + 2y = Tìm GTNN x2 + 2y2 HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 + y )2 Cho 4x - 3y = Tìm GTNN 2x2 + 5y2  −3 + y.  )  5 Cho xy = Tìm GTNN x + y HD: Viết :4x - 3y = ( x HD: (x + y)2 ≥ 2xy ⇒ x + y ≥ Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn : x2 + y2 HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy ≥ 10 -4(x2 + y2 ) ⇒ 11(x2 + y2 ) ≥ 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 10/11 Cho x y số nguyên dương thoả mãn : x + y = 2009 Tìm GTNN GTLN A = x.y HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2 *xy lớn (x - y) = *xy nhỏ (x - y) lớn 11 [...]...GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức 1 2 3 4 5 A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3 B = x 2 − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17 C = x 2 − xy + y 2 − 2 x − 2 y D = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y E = 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 − 8 x − 22 y 6 F = 2 x 2 +