Phương pháp CM bất đẳng thức từ những bài toán đơn giản

Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chơng trình Đại số lớp 8.. Đó là tinh thần tiến côn

Phần I: Đặt vấn đề.

1 Mục đích phạm vi

Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết

Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chơng trình

Đại số lớp 8

Góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng phổ thông, đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi

2 Lý do chọn đề tài.

2.1 Cơ sở lý luận:

Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngời thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này

Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh

đơn giản Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức

2.2 Cơ sở thực tiễn

Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này

đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Đại

số ở trờng THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang

đậm một nội dung phong phú và đa dạng ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc Tuy nhiên để làm đợc

điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo Việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều

hớng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh Có thể

là một trong những mức độ sau đây:

1 Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán

2 Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính khái quát hơn

3 Khai thác bài toán theo hai chiều "khi và chỉ khi"

Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực

tế giảng dạy trong nhà trờng tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý hớng dẫn các em học sinh từng bớc hình thành phơng pháp suy nghĩ, khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể Trên cơ sở những ví

dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp 8

pHần 2 Nội dung - Biện pháp thực hiện

A Cơ sở lý thuyết.

I- Những kiến thức cần nhớ:

Trớc hết để chứng minh đợc các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm đợc định nghĩa và các tính chất sau đây:

1 Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a  b (hay dạng a  b; a  b; a 

b) là bất đẳng thức

Nếu a  b  a - b  0;

Nếu a  b  a - b  0;

2 Tính chất:

- Nếu a  b  b  a;

- Nếu a  b, c  a + c  b + c;

- Nếu a  b, c  0  ac  bc;

- Nếu a  b, c  0  ac  bc;

- Nếu a  b và a, b  0  1  1

A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

- A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đờng lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau

đồng thời xảy ra:

1 f(x)  m  x (D)

2  x0  (D) : f(xo) = m

Khi đó kí hiệu m = max f(x)

b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu nh hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn:

1 f(x)  m  x (D)

2  x0  (D) sao cho f(xo) = m

Khi đó kí hiệu m = min f(x)

II Một số bài toán minh hoạ

Đầu tiên cho học sinh nắm biết đợc:

A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

- A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

 (a  b)2  0 dấu "="  a =  b;

(ay - bx)2  0 dấu "="  ay = bx;

Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau:

*/ Cách xây dựng:

Từ : (a - b)2  0  a2 + b2 - 2ab  0

 a2 + b2  2ab (1)

1 Cộng hai vế của (1) với a2 + b2 ta đợc:

2(a2 + b2)  (a + b)2

(

a + b

) 2

2 Cộng hai vế của (1)với 2ab ta đợc:



3 Cho a, b  0 từ





Từ 2(a2 + b2)  (a + b)2  (*)

(*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki

với a, b  0; thì từ

(a + b)2  4ab ab 

(

a + b

) 2

2

(a + b)2 4ab

(a + b)  2(a2 + b2)

(a + b)2  4ab a + b  2ab

Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh làm một số bài tập sau:

Bài toán 1.1:

Cho a, b  0; c  0; Chứng minh rằng:

A = a + b + a + c + b + c  6

Hớng dẫn:

A = ( a + c ) + ( b + c ) + ( a + b )  6

(Lu ý:a, b  0; c  0; )

2;

a + b  2;

Nâng dần mức độ bài toán 1 1 thành bài 1.2

Bài toán 1.2:

Cho a, b , c  0; Chứng minh rằng:

A = (a + b)

2

+ (a + c)

2

+ (b + c)

2

 4(a + b + c)

Hớng dẫn:

áp dụng bất đẳng thức Côsi

(a + b)2 + 4c 

2

(a + b)2

4c = 4 (a + b )

Tơng tự:

(a + c)2

+ 4b  4 (a + c) b

(b + c)2

+ 4a  4 (b + c) a

Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh

Từ bài toán 1.2  bài toán 1.3

Bài toán 1.3:

Cho a, b , c  0; Chứng minh rằng:

A = (a + b)

+ (a + c) + (b + c)  4

Hớng dẫn:

(a + b)

với a, b , c  0

có c (a + b)



(a + b + c) 2

1

 2 dấu "="  c = a + b

c (a + b ) a + b + c

a + b

 2 (a + b) dấu "="  c = a + b

c (a + b ) a + b + c

Tơng tự:

c + a

 c + a dấu "="  b = c + a

b (c + b ) a + b + c

b + c

 2 dấu "="  a = b + c

a (b + c ) a + b + c

cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì:

a, b , c  0;  a + b + c  0;

*/ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây:









Bµi to¸n 1.4: Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng:

D = (a + b)

+ (a + c) + (b + c)  3 2

Híng dÉn: Ta cã:

D2 = (a + b) + (a + c) + (b + c)

+ (a+b) (b+c)

+ (a + b)(b+c) + (c+a)(b + c)

Theo kÕt qu¶ bµi to¸n 1.1 ta cã:

a + b

+ a + c + b + c  6 dÊu "="  a = b = c

mÆt kh¸c ta l¹i cã:

(a + b)(c + a)  a + bc

(a + b)(b + c)  b + ac

(b + c)(a + c)  c + ab

D2  6 + 2

(

a + bc

+ b + ac + c + ab )

 D2  6 + 2 + 2 +2 + 2( a

 D2  12 + 2 3  D2  18  D  3 2

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi:

a = b = c;

Khai th¸c bµi to¸n nµy ta thÊy:

Cho a, b , c  0; thì :

Min D = 3 2 khi và chỉ khi a = b = c

với

D = (a + b)

+ (a + c) + (b + c)

Ta có thể đa bài toán sau về bài toán 1.1

Bài toán 1.5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh:

Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để đa bài toán trên về dạng quen thuộc bài 1.1

Đặt: x = b + c - a  0;

y = a + c - b  0;

z = a + b - c  0;

Bài toán 1.1

Sử dụng kết quả của bài toán 1.1 để làm bài tập sau:

Bài toán 1.6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh:

Híng dÉn:

§Æt: x = b + c - a ;

y = a + c - b ;

z = a + b - c ; V× a, b, c lµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c nªn  x, y, z  0;

vµ x + y + z = a + b + c

 a = y + z ; b = x + z ; c = x + y

 H = 2

( y + z

+ x + z + x + y )  3

¸p dông bµi to¸n 1.4



( y + z + x + z + x + y )  3 2

 H = 2

3 2  H  3

2

Bµi to¸n 2.1:

Chøng minh r»ng:

1

Víi a, b  0;

Híng dÉn:

XÐt hiÖu:

H = ( 1

+ 1 )- 4 = b(a+b) + a(a+b) - 4ab = a

2+b2 - 2ab

(a-b)2

 0 (dÊu "=" x¶y ra  a = b) ab(a+b)

VËy 1 + 1  4 (dÊu "=" x¶y ra  a = b)

Sử dụng kết quả bài 2.1 để làm bài toán 2.2

Bài toán 2.2:

1

Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó

Hớng dẫn:

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

nên a, b, c  0; p - a 0; p - b 0; p - c 0;

áp dụng kết qủa bài toán 2.1 ta có:

1

1

1

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta đợc:

Dấu "=" xảy ra  a = b = c;

Bài toán 3.1:

Cho a, b  0; a + b = 2

H = (1 - 4 )( 1- 4 )

Tìm min H?

Hớng dẫn: Ta có:

H = ( a2 - 4 )( b2 - 4 )

H = a

2b2 - 4a2 - 4b2 + 16

a2b2

H = 1 + - 4 (a

2 + b2) + 16

(*)

a2b2

Do a + b = 2  a 2 + b 2 = 4 - 2ab thay vào (*)

H = 1 + - 4 (4 - 2ab) + 16

a2b2

H = 1 + - 16 + 8ab - 16

a2b2

mà a, b  0 và a + b = 2

 ab  ( a + b )2 theo Cô-si

2

H = 1 + 8  ab  1

ab

H = 1 + 8  8  8

ab

Vậy H = (1 - 4 )( 1- 4 )  9

 Min H = 9

Khai thác bài toán 3.1 ta đa ra bài toán 3.2

Bài toán 3.2 :

Nếu cho a, b  0 và a + b = 3

H' = (1 - 9 )( 1- 9 )

Tìm Min H'?

*/ Bằng cách làm tơng tự bài toán 3.1 học sinh cũng chứng minh đợc:

H'  9  min H' = 9

Ta có bài toán tổng quát nh sau:

Nếu a, b  0 và a + b =   R thì bài toán tổng quát có dạng:

M = (1 - 

2

)( 1- 

2

)

Tìm Min M?

*/ Kết quả : Min M = 9;

Phần 3 Kết quả

Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất

đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

và từ những bài toán đơn giản, cơ bản học sinh đã khái quát lên đợc những bài toán mang tính chất tổng hợp hơn Nh vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm đợc cách làm và hiểu bài

Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát chất lợng thực chất lớp 8A :

Với một đề toán: (Thời gian là: 60')

Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)2 4 ab;

Câu 2: (2 đ) Cho a  2; b  2; Chứng minh rằng: ab  a + b

Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng thức:

a ( a + b )2  ab a,b  0

2

b ( a + b + c )3  abc a,b,c  0

3

c ( a + b + c + d )4  abcd a,b,c,d  0

4

*/ Kết quả đạt đợc:

- Kiểm tra lớp 8 A - Tổng số học sinh: 33 h/s;

Điểm 1-2 Điểm 3- 4 Điểm 5 - 7 Điểm 8 trở lên

Phần 4: Bài học kinh nghiệm

Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trớc bức xúc cuả việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dỡng học sinh khá giỏi Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này, hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về bất đẳng thức và qua

đó phát triển t duy sáng tạo cho học sinh Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự

định hớng cho việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dỡng học sinh khá giỏi cho các bạn đồng nghiệp

Phần 5: điều kiện áp dụng

Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra đợc bài học kinh nghiệm:

- Học sinh của chúng ta có rất nhiều đối tợng các em có lực học trung bình, khá, giỏi để cho tất cả đối tợng học sinh của chúng ta ham học, học sinh trung bình thì hiểu bài, học sinh khá giỏi không nhàm chán thì chúng ta nên đa ra các bài tập phù hợp với đối tợng học sinh, đa các em vào hoàn cảnh

có vấn đề Các bài tập mang tính chất cơ bản dành cho các em trung bình, khai thác nâng cao các bài tập đó lên cho các em khá, giỏi

Hệ thống các bài tập trên đợc sắp xếp phù hợp với mọi đối tợng học sinh Bên cạnh những bài tập dễ dành cho những học sinh yếu còn có những bài toán phát triển t duy, năng lực sáng tạo để bồi dỡng học sinh khá giỏi Do đó giáo viên nên đa ra các bài tập phù hợp với từng đối tợng học sinh

Kinh nghiệm này có thể áp dụng giảng dạy cho học sinh toàn khối, bồi

d-ỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh vào cấp 3

Phần 6:

Những vấn đề hạn chế và h ớng đề xuất giải quyết

Về phía học sinh tôi nhận thấy các em đã phần nào hiểu đợc yêu cầu của dạng bài tập này ở các bài tập khác nhau, phần lớn là các em khai thác lời giải theo mức độ thứ nhất Tuy nhiên khả năng tổng hợp khái quát hoá còn nhiều hạn chế

Vậy đối với chơng trình cần dành thêm nhiều tiếp luyện tập để dần dần từng bớc hình thành cho các em phơng pháp kỹ năng và khả năng t duy sáng tạo cho học sinh

Phần 7 kết luận

Khai thác lời dạy của một bài toán nói chung và một bài tập chứng minh bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất lớn đối với các đối tợng học sinh Đối với những học sinh trung bình thì đi từ những bài tập đơn giản, từ những số liệu cụ thể dần dần khai thác tổng quát thành những bài toán khó mang tính khái quát hơn Việc khai thác này giúp các em phát triển t duy một cách linh hoạt, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu

Mặc dù quá trình giảng dạy mới đợc ít năm song đây là toàn bộ kinh nghiệm đợc rút ra trong quá trình phụ đạo học sinh yếu, bồi dỡng học sinh khá giỏi

Để có đợc những kinh nghiệm đó phần lớn là do sự học hỏi, đúc rút kinh nghiệm của các đồng nghiệp và cũng là yêu cầu cấp thiết của học sinh Các ví

dụ mà tôi đa ra trên đây có thê cha khai thác hết các tình huống hoặc cha thật

đã là các ví dụ điển hình Vì vậy tôi rất mong có đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn./



Tài liệu tham khảo 

1/ Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh THCS

Tác giả: Phan Huy Khải

2/ 225 bài toán Đại số chọn lọc

- Tác giả: Vũ Dơng Thuỵ

3/ Toán nâng cao đại số 8

- Tác giả: Vũ Hữu Bình 4/ Tạp chí toán học và tuổi trẻ - Hội toán học Việt Nam.

5/Một số vấn đề phát triển Đại số 8

- Tác giả: Vũ Hữu Bình

6/ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8

- Tác giả: Bùi Văn Tuyên.

7/ Bất đẳng thức chọn lọc cấp II

- Tác giả: Nguyễn Vũ Thanh.