Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 30 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
30
Dung lượng
803,5 KB
Nội dung
A: §Æt vÊn ®Ò !" ##$ %% &'% ( ) *%% &%"+,'+ -.%)/% &#), *#.## % &0 1#.## (% &#)2 3 4/5%67!8#.###4*#095% % &(#!8 *#.##): %#)#;*##.##*#-0 <% & *=!8!"% )%+=#.%#.+#. 3%+ >?@/%(000 *67!8 =#"000A=B6CD#), *'D .%)% &0 D)!"BEFG1H63#2 )%% &%% &F)IJ#.## > 6K > *?)%093=/ 6G1H"D)2!B;! 6 $$%D=!8D)!"%=# 0 !/ K *=#?+6;#.## B *67!8% &L!4 >M%D NO . .!4% & P%D#.###)000000 6;%=#=!8Q$#6%?$$3#% B=!8% &$#6( >? * #.##$.% & %0 R S ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#. ##% & T! UB @'"D *6#T/B ( *+.KV). W B giải quyết vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu X)!"B?#3#6;%=#% &B6 $$+%=#B >? 3%+ 6E % ++(%=#! B ? B+CD#)?!I66;#. ##% &!8/% &+ CD6 ($#6D% & +6%=#% & Phần II: các phơng pháp nghiên cứu P.## Y.## ; Y.##+ Phần III: nội dung của đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bấtđẳngthức Z@.%-+[% Z?.%-+\% Z@.3%Q%-+[% Z?.3%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bấtdẳngthức : -]L\%[^\%[ %-_L\%%\^\\ H;`*6a(@a(a(%a(BDa( bcddeR]cR f -cL\%[^\Z\%Z G+)L\%[^\O\%O Z\%[^\\%O !-gL\%\!^\Z\%Z! \%[!^\O\%O! J-eL\%\d^\\%! \%[d^\[%! h-RL\%\di\!\d^\\%! -WL\%\d^\ \% \%[^\ \% ?j0 -fL\%i%\d^\ 3, Một số bấtđẳngthức thông dụngL < &16L A?_6;!.%L ab ba + 2 k &K)BL^% %< &<#KL A?6;i%iKiBLlKZ%Bm _ l _ Z% _ mlK _ ZB _ m k &K)B[^\ y b x a = < &>B+ ;L baba ++ k &K)BL% d II : Một số phơng pháp chứng minh bấtđẳngthức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa OXDLa(n\<Kb+nO<on O<\d0 OpTLn _ d?ni!qq^qqK)Bn^d0 r OA-!8L Bµi 1.1 : A?6;LKBsQLK _ ZB _ Zs _ Zc ≥ _lKZBZsm Gi¶i : Kb+LG^K _ ZB _ Zs _ ZcO_lKZBZsm ^K _ ZB _ Zs _ ZcO_KO_BO_s ^lK _ O_KZ]mZlB _ O_BZ]mZls _ O_sZ]m ^lKO]m _ ZlBO]m _ ZlsO]m _ klKO]m _ ≥ d?K lBO]m _ ≥ d?B lsO]m _ ≥ d?s ^\G ≥ d?KBs GBK _ ZB _ Zs _ Zc ≥ _lKZBZsm?KBs0 k%QK)B[^\K^B^s^]0 Bµi 1.2L 1%!J6;L 1QL _ Z% _ Z _ Z! _ ZJ _ ≥ l%ZZ!ZJm Gi¶i : tb+LG^ _ Z% _ Z _ Z! _ ZJ _ Ol%ZZ!ZJm ^l b a − 2 m _ Zl c a − 2 m _ Zl d a − 2 m _ Zl e a − 2 m _ kl b a − 2 m _ ≥ d?% kl c a − 2 m _ ≥ d? kl d a − 2 m _ ≥ d?! kl e a − 2 m _ ≥ d?J ^\G ≥ d?%!J kqq^qqK)B[^\%^^!^J^ 2 a Bµi 1.3 :1% &L 2 22 22 + ≥ + baba ]d Giải : tb+LG^ 2 22 22 + + baba ^ 4 )2()(2 2222 bababa +++ ^ 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba 0A?%0 kqq^qqK)B^%0 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . OXDL<D N% &C. .?% & $3% & P * $0 O96;% &F!4L lnZ<m _ ^n _ Z_n<Z< _ lnO<m _ ^n _ O_n<Z< _ lnZ<Z1m _ ^n _ Z< _ Z1 _ Z_n<Z_n1Z_<1 lnZ<m c ^n c Zcn _ <Zcn< _ Z< c lnO<m c ^n c Ocn _ <Zcn< _ O< c uuuuuuuuuuu0 A-!8L Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: k4#b#%D N. .i clZ]Z%Z]m glZ]ml%Z]m r gl%ZZ%Z]mlZ%^]m r g%Zf] g%lZ%m _ g% < &; $0HB #)0 Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g 1QLlZ%ml%ZmlZm c % c c Giải: vLlZ%m _ g%lZ%Zm _ ^ [ ] cbacba )(4)( 2 +++ ^\]R glZ%m^\]RlZ%m glZ%m _ ]R% ^\Z% % .L%Z % Z % ]] ^\lZ%ml%ZmlZm ≥ c % c c Bµi 2.3L1% &L 3 33 22 + ≥ + baba i \di%\d Gi¶i : k4#b#%D N. .LA?\di%\d^\Z%\d 3 33 22 + ≥ + baba + ≥+− + 2 ).( 2 22 ba baba ba 0 2 2 + ba _ O%Z% _ ≥ 2 2 + ba g _ Og%Zg% _ ≥ _ Z_%Z% _ c _ OR%Zc% _ ≥ cl _ O_%Z% _ m ≥ d < &;4 $i6BL 3 33 22 + ≥ + baba Bµi 2.4: 1_6;%)PZ%^]019w c Z% c Z% ≥ 2 1 Gi¶i : L c Z% c Z% ≥ 2 1 [^\ c Z% c Z%O 2 1 ≥ d [^\lZ%ml _ O%Z% _ mZ%O 2 1 ≥ d [^\ _ Z% _ O 2 1 ≥ d0AZ%^] [^\_ _ Z_% _ O] ≥ d [^\_ _ Z_l]Om _ O] ≥ dl%^O]m [^\g _ OgZ] ≥ d [^\l_O]m _ ≥ d < &;4 $0A=B c Z% c Z% ≥ 2 1 kqq^qqK)B^%^ 2 1 Bµi 2.5 :1% &L 3 33 22 + ≥ + baba L\d%\d0 Gi¶i : ]_ A?\d%\d^\Z%\d L 3 33 22 + + baba [^\ ( ) 2 22 22 . 2 + + + + baba baba ba [^\ 2 22 2 + + ba baba [^\g _ Og%Zg% _ _ Z_%Z% _ [^\cl _ O_%Z% _ m d [^\clO%m _ d0< &B $ ^\ 3 33 22 + + baba kqq^qqK)B^%0 Bài 2.6LA?\d%\d01% &L a b a a b b Giải : k4#b#%D N. .L a b a a b b l )() baabbbaa ++ d [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 0))(( + baba < &; $i6BL a b a a b b 3. Phơng pháp 3: dùng bấtđẳngthức quen thuộc . OXDLk4% &JL16<#K % &!>B+ ; (%D N 96;+)v% &LK _ ZB _ _KB A?%\d 2 + a b b a 1-!8L Bài 3.1Lx)67%6;!.QL 2 > + + + + + ba c ac b cb a ]c Gi¶i #!8<a1BL Zl%Zm )(2 cba +≥ cba a cb a ++ ≥ + 2 . *L cba b ac b ++ ≥ + 2 cba c ba c ++ ≥ + 2 k%Q/%<a( oFK)B L ^%Z%^Z^Z%Z%Z^dl?)D% 6;!.m0 v 6BL 2 > + + + + + ba c ac b cb a Bµi 3.2: 1KB_6;)PL K _ ZB _ ^ 22 11 xyyx −+− 1QLcKZgB ≤ e Gi¶i : ¸#!8% &<#KL lK _ ZB _ m _ ^l 22 11 xyyx −+− m _ l 1 ≤ x i 1 ≤ y m ≤ lK _ ZB _ ml]OB _ Z]OK _ m ^\K _ ZB _ ≤ ] "LlcKZgBm _ ≤ lc _ Zg _ mlK _ ZB _ m ≤ _e ^\cKZgB ≤ e a&K)B = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx = = 5 4 5 3 y x a+L 2 5 2 3 ≤≤ x Bµi 3. 3:1% ≥ diZ%Z^]01QL 6 ≤+++++ accbba % 5,3111 <+++++ cba Gi¶i ¸#!8%!&<#K?_%c6;L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++≤+++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba ^\ ( ) 6)22.(3 2 =++≤+++++ acbaaccbba ]g ^\ 6 ≤+++++ accbba 0 kqq^qqK)BL^%^^ 3 1 %¸#!8% &16L 1 22 1)1( 1 += ++ ≤+ aa a .L 1 2 1 +≤+ b b i 1 2 1 +≤+ c c 1vD/c% & *L 5,33 2 111 =+ ++ ≤+++++ cba cba k &K)B^%^^d?)DLZ%Z^ ] A=BL 5,3111 <+++++ cba Bµi 3.4L16;!.%)PLZ%Z^]0 1QL 9 111 ≥++ cba Gi¶i : L 0 >+ a b b a %\d L =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ 0]^ ) 111 ( cba ++ 0lZ%Zm ^ 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a ^ ≥++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a cZ_Z_Z_^r ^\ 9 111 ≥++ cba kqq^qqK)BL^%^^ 3 1 Bµi 3.5 1KB\d01QL yxyx + ≥+ 411 Gi¶i ¸#!8% &16L xyyx 2 ≥+ yx 11 + ≥ xy 2 ^\lKZBml yx 11 + m ≥ g ]e [...]... Theo bất đẳngthức Côsi Mà : x + y + z 1 nên suy ra 1 1 1 + + 9 x y z 9.Phơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh một bấtđẳngthức đúng với n > 1 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bấtđẳngthức đúng với n = 1 (n = n0) 22 + Giả sử bấtđẳngthức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bấtđẳngthức đúng với n = k + 1 + Kết luận bấtđẳng thức. .. hay áp dụng các bấtđẳngthức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bấtđẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳngthức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bấtđẳngthức Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bấtđẳngthức chứa dấu giá... > n ( ) m > ( ) n (2) b b b b a Bấtđẳngthức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên > 1 và m>n vậy bấtđẳngthức (1) b (1) luôn đúng a m bm a n bn áp dụng bấtđẳngthức trung gian m m > n n vối a>b>0 và m>n nên khi a +b a +b a1996 b1996 m=1996, n=1995 thì bấtđẳngthức phảI chứng minh luôn đúng a1996 + b1996 a1995 b1995 > 1995 1995 a +b 6 phơng pháp 6: Dùng bấtđẳngthức về 3 cạnh của tam giác a , b,... 2 AB + AC 3 11 Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bấtđẳngthức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phơng pháp đó iii : ứng dụng của bấtđẳngthức 1- Dùng bấtđẳngthức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất... Vậy bấtđẳngthức dẫ đợc chứng minh 7 Phơng pháp 7 : Chứng minh phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bấtđẳngthức nào đó đúng , ta hãy giả sử bấtdẳngthức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳngthức cần chứng minh là đúng Một số hình thức. .. = 6 Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = x x 1 với x > 1 b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 x HD : áp dụng bấtđẳngthức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : 2 - Dùng bấtđẳngthức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bấtđẳngthức , các phơng pháp chứng minh bấtđẳngthức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình 2 Nếu... Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 4 Dùng bấtđẳngthức để giải phơng trình nghiệm nguyên Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bấtđẳngthức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc các kiến thức về bấtđẳngthức thì mới vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bấtđẳngthức để giải phơng trình nghiệm nguyên Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên... tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 5.phơng pháp 5 : Dùng bấtđẳngthức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên Bài 5.1: Cho a>b>0 CMR: a1996 b1996 a1995 b1995 > a1996 + b1996 a1995 + b1995 Giải : Để chứng minh bấtđẳngthức trên , ta chứng minh bấtđẳngthức trung gian sau nếu a>b>0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì a m bm a n bn > (1) a m... phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn 33 VII: Phạm vi áp dụng đề tài Chuyên đề ((một số phơng pháp chứng minh bấtđẳngthức và ứng dụng của bấtđẳngthức )) đợc áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tợng là học sinh khá giỏi C: Kết luận Các bài tập về bấtđẳngthức thờng là tơng đối khó đối với học sinh ,... khá giỏi C: Kết luận Các bài tập về bấtđẳngthức thờng là tơng đối khó đối với học sinh , nhng khi hớng dẫn học sinh xong đề tài ((một số phơng pháp chứng minh bấtđẳngthức và ứng dụng của bấtđẳngthức )), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bấtđẳngthức sẽ rễ hơn Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin . phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai . ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp. của đề tài này không hệ thống ra những phơng pháp đó . iii : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị . OXDLzDhlKm hlKm>@0 zDhlKm