Chuyen de chung minh he thuc hinh lop8

Chuyên đề: Rèn kỹ năng vận dụng tam giác đồng dạng để chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 8 A.Đặt vấn đề I.Lí do chọn đề tài Trong chơng trình THCS có nhiều dạng toán, một tr

Chuyên đề: Rèn kỹ năng vận dụng tam giác đồng dạng để

chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 8

A.Đặt vấn đề

I.Lí do chọn đề tài

Trong chơng trình THCS có nhiều dạng toán, một trong những dạng toán và khó và thơng gặp khi giải toán là chứng minh đẳng thức Việc chứng minh một đẳng thức A

= B hay a.d = b.c trong số học không khó và có thể áp dụng một số phơng phát nh sau :

- Chứng minh VT - VP = 0

- Biến đổi vế trái về vế phải

- Biển đổi vế trái và vế phải về cùng một kết quả chúng

Nói chung việc chứng minh một đẳng thức số thì không khó đối với học sinh, nhng việc chứng minh một đẳng thức trong hình học THCS thì vẫn còn là một câu hỏi Liệu

có thể sử dụng các phơng pháp chứng minh đẳng thức trong số học vào để chứng minh một đẳng thức trong hình học hay không , nếu đợc thì cần áp dụng nh thế nào? Qua thời gian giảng dạy toán THCS và kiến thức vốn có bản thân, học hỏi kinh nghiệm của những ngời thầy đi trớc tôi rút ra một kinh nghiệm để giải các bài toán dạng chứng minh đẳng thức tích trong hình học

Nh ta đã biết đẳng thức a.d = c.b có thể viết dới dạng các tỉ lệ thức nh sau

a = ; = ; = ; =c a d b c b d

d b c b d a c a mà trong hình học thì khi nói đến các tỉ lệ thức thì ta liên t-ởng đến ngay các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đ ờng phân giác trong tam giác; Định lý Talét

Vậy để làm đợc các bài toán nh trên đã đặt ra thì giáo viên phải nắm các kiến thức trên một cách chắc chắn, và phải truyền đạt cho học sinh hiểu một cách tờng minh các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đờng phân giác trong tam giác; Định lý Talét

Sau đây tôi xin minh hoạ bằng cách hớng dẫn học sinh giải một số bài toán dạng trên trong chơng trình Toán Hình học 8

II.Đối t ợng nghiên cứu : Học sinh lớp 8 trờng THCS Cơng Chính

III.Nhiệm vụ :

1) Nâng cao chất lợng khi giảng dạy nội dung này

2) Rèn cho học sinh những thói quen chứng minh hệ thức nh các phép biến đổi

t-ơng đt-ơng ; các phép bình pht-ơng hai vế, các cách chia một đoạn thẳng thành nhiều

đoạn thẳng …

IV.Ph ơng pháp nghiên cứu

1) Phơng pháp phân tích

2) Phơng pháp tổng hợp

3) Phơng pháp so sánh

4) Phơng pháp tổng hợp

5) Phơng pháp sơ đồ hoá

B.Nội dung nghiên cứu

1.Trớc hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về các chứng minh hai tam giác đồng dạng

- Nắm đợc các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác, các tính chất của đờng phân giác trong tam giác và định lí ta lét , hệ quả của định lí ta lét

- Nắm đợc các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông

* Trong phần đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh giúp học sinh nắm kiến thức và bớc đầu vận dụng kiến thức Theo tôi đây là cong vệc dễ nhng rất khó Vì thực tế hiện nay học sinh thơng xa vào chơi điện tử nên rất ngại học ,tôi chỉ nói đến

vấn đề học thuộc định lí thôi các em cũng không học đợc.Tôi cho rằng biện pháp hữu

ích nhất là “lạt mềm buộc chặt”.Cụ thể :

+) Khi lên lớp giáo viên phải dạy học sinh những kiến thức thật cơ bản và trọng tâm vận dụng phơng pháp ôn cũ dạy mới và một công việc vô cùng quan trọng là giáo viên thờng xuyên kiểm tra vở làm bài tập của học sinh Kết hợp động viên các em thông qua các bài tập câu hỏi dễ và có các điểm tốt khen các em

* Sau đó giáo viên cần nâng cao rèn luyện kỹ năng chính minh thành thạo các dạng bài tập thờng gặp vừa sức với mỗi đối tợng học sinh

2) Giáo viên cần trang bị cho học sinh những kỹ năng cơ bản nh vẽ hình , ghi GT và

KL ,khai thác GT và hiểu kết luận và biến đổi kết luận ,GT theo những cách khác nhau, để từ đó tìm ra điểm tiếp xúc với GT và KL

3)Một nhiệm quan trong khi dạy phần này là ngời giáo viên luôn phải đặt ra các câu hỏi mang tính lôgic để hớng dẫn học sinh tờng bớc suy luận tìm lời giải ,trong nhiều trơng hợp có thể dùng các phép suy luận nh : Phân đi lên ; phân tích đi xuống mà một

phơng pháp không thể thiếu là” chuyển động hai đầu ”

4) Khi hớng dẫn học sinh giải toán giáo viên phải tuân theo các quy tắc nhất định ví

dụ nh các bớc tìm lời giải bài toán, chẳng hạn :

Bứơc1: Tìm hiểu đề

Bớc 2: Tìm lời giải

Bớc 3:Lập chơng trình giải

Bớc 4: Trình bày lời giải

Bớc 5: Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải

Sau đây tôi xin minh hoạ các vấn đề nói trên bằng các bài tập cụ thể

Ví dụ 1 (Bài 39 SGK T8_2 tr 79)

Cho hình thang ABCD ( AB // CD ).Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và

BD Chứng minh rằng : OA.OD = OB.OC

- Dựa vào nội dung của bài toán vẽ hình

và ghi GT,KL của bài toán

- GT của bài toán là gì ?

- KL của bài toán là gì ?

- Kết luận này còn có thể viết ở dạng nào

khác không ?

GT ABCD (AB// CD) , O = AC BD

KL OA.OD = OB.OC

ABCD là hình thang ( AB//CD) OA.OD = OB.OC (1)



OD

OB OC

OA

D

C

B A

O

- Điều này gợi cho ta nhớ tới định lí ta

lét ; tam giác đồng dạng và hệ quả định lí

ta lét

- Ta thấy nếu (2) đúng thì (1) cũng đúng

vì ta đã dùng phép biến đổi tơng đơng

- GT cho AB //CD , từ điều kiện này ta rút

ra đợc gì không ?

- Để có các tỉ lệ thức trên ta cần có tam

giác đồng dạng

- Trớc hết từ hệ thức cho ta dự đoán sau :

OAB OCD hoặc

OAC OBD

- Hai tam giác OAB và OCD có những

yếu tố nào về góc bằng nhau hoặc những

yếu tố nào về cạnh tỉ lệ với nhau rồi ?

- GV yêu cầu học sinh bảng trình bày lời

giải

Nhận xét :

Ta thấy để chứng minh

OA.OD = OB OC ta đã phải biến đổi hệ

thức này thành các hệ thức dới dạng tỉ lệ

Nó gợi ý cho chúng ta nhơ tới tam giác

đồng dạng ,Vậy còn cách nào để có đợc

ngay hệ thức (2) không

Học sinh phát hiện các cặp góc bằng nhau

Và chọn đợc OAB OCD Vì : AOB = COD ( đổi đỉnh ) ABO = CDO ( so le trong )

 OAB OCD

HS: ta có thể vận dụng hệ quả của định lí

ta lét trong tam giác OAB và có CD// AB

Ví dụ 2: ( Bài 48 SBT T8 _ 2 tr 75)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Chứng minh rằng : AH2 = BH.CH

- GV yêu cầu học sinh đọc đề

- GV đọc đề

- Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những

điều kiện của bài toán đã cho ?

- GV hớng dẫn học sinh phân tích để

chứng minh

AH2 = BH.CH



AH.AH = BH.CH



AH

CH BH

AH





?

- Để có đợc hệ thức

AH

CH BH

AH

 ta phải tìm

ra hai tam giác đồng dạng

- Lấy hai cạnh trên hai tử và hai cạnh trên

hai mẫu lập thành hai tam giác và ta kiểm

tra xem hai tam giác đó có đồng dạng hay

Tam giác ABC vuông tại A nên:

B + C = 900 (1) Tơng tự : HAB + B = 900 (2) HAC + C = 900 (3)

Từ (1) và (2)  C = HAB

Từ (1) và (3)  B = HAC Hai tam giác HAB và HCA có:

C = HAB

B = HAC Vậy HAB  HCA 

AH

CH BH

AH

  AH2 = BH.CH

B

A

không ?hoặc ghép hai cạnh trong một tỉ

số để đợc các tam giác đồng dạng

-GV yêu cầu học sinh chứng minh

Nhận xét :

Ngoài kết quả AH2= BH.CH, ta còn có

thể chứng minh đợc các hệ thức sau :

AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC

AB.AC = AH.BC

Ví dụ 3: Tam giác ABC, phân giác AD Qua B kẻ Bx sao cho CBx = BAD Tia

Bx cắt tia AD tại E Chứng minh rằng : BE2= DE.AE

- Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những

điều kiện của bài toán đã cho

-GT của bài toán là gì ?

- KL của bài toán là gì ?

- Gv kết luận này còn có thể biểu diễn ở

dạng nào khác không ?

- GV muốn có hệ thức

BE

DE AE

BE

 ta cần chứng minh điều gì ?

HS: BAD = CAD ; CBx = BAD

BE2= DE.AE

BE BE = DE AE

BE

DE AE

BE



ABE BDE

E

B

A

- GV ta có sơ đồ sau

BE2= DE.AE



BE BE = DE AE



BE

DE AE

BE





ABE BDE

*Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra cho học sinh nh sau

- Để chứng minh đẳng thức a,b = c.d hoặc a2 = b.c, ta áp dụng khái niệm khái niệm hai tam giác đồng dạng, đờng phân giác trong tam giác

- Nừu đẳng thức có dạng a,b = c.d ta có thể lập đợc hai cặp tam giác đồng dạng nhng chỉ có một cặp là đồng dạng

Nhng một vấn đề đặt ra là nêu vào các dạng bài toán chứng minh hệ thức phức tập hơn thì sao ?

Chúng ta nghiên cứu tiếp các loại toán phức tập hơn để thấy rõ các phơng pháp trên

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại

O Đờng thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M,N Chứng minh :

a) OM = ON b)

MN AB CD

2 1 1



Theo các làm bài tập 20 (sgk_tr68)

Ta sẽ chứng minh đợc câua của bài toán

này

- Ta thấy MN = 2OM nên kết luận bài

toán này đợc biến đổi nh sau

OM AB

2 1

1



CD

AB

OM

1



CD

OM +

AB

ON = 1( vì OM = ON ) (**)

Vậy để chứng minh hệ thức (*) ta sẽ

chứng minh hệ thức (**)

- Ta thấy

CD

OM

=

AC

OA

(1) ( vì OM//CD)

AB

ON

=

AC

OC

(2)

Từ (1) và (2) ta sẽ chứng minh đợc (**)

- GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng

minh

Học sinh lên bảng chứng minh

Qua bài toán này ta rút ra đợc nh sau :Để chứng minh tổng các tỉ số bằng một số không đổi nào đó ta chuyển các tỉ số đó về cùng một đờng thẳng,để tính tổng các tỉ

số

N M

O

B A

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC trung tuyến AD, trọng tâm G Một đờng thẳng qua G cắt

hai cạnh AB và AC tại E và Q Chứng minh rằng :

AE

AB

+ AQ AC = 3

-Ta chuyển tỉ số trong vế trái của đẳng

thức về đờng thẳng AG

- Vì sao lại chọn AG ?

-Kẻ BN và CM song song với EQ (M,N

thuộc AD)  ND = MD

Và

AE

AB

=

AG

AN

; AQ AC =

AG

AM



AE

AB

+ AQ AC

=

AG

AN

+

AG

AM

=

AG

AN

AM 

Bài toán chuyển về tính AM + AN theo

AG

Ta dễ dàng biến đổi để chứng minh đợc

AM + AN = 3AG

- GV yêu cầu học sinh lên bảng làm theo

hớng dẫn

Học sinh lên bảng làm

*Qua bài toán này ta rút ra đợc gì ?

Qua bài toán ta rút ra đợc kỹ năng sau :

- Chọn đờng thẳng để ta ra các đờng thẳng song song ,chuyển các tỉ số trên cùng một đờng thẳng đã chọn

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có B = 2C Chứng minh rằng : AC2 = AB(AB + BC)

- GV: Kết luận của bài toán còn biến đổi

nh thế nào ?

- Hệ thức (*) cho ta thấy để vận dụng đợc

tam giác đồng dạng hay định lí ta lét ta

cần thay AB + BC = AE

- Khi đí hệ thức (*) trở thành hệ thức

nào ?

- Điều này gợi ý cho ta tạo thên điểm E

sao cho BC = BE

- Nh vậy trên tia đối của tai BA ta lấy

điểm E sao cho BC = BE

Lấy điểm E trên tia đối của BA sao cho

HS: AC2 = AB(AB + BC)

 AC.AC = AB( AB + BC)



AB

AC =

AC

BC

AB  (*)

G

N

Q E

M

B A

E

C B

A

BC = BE nên : Tam giác BEC cân tại B,do

đó B = 2E = 2BCE

 E = C

Do đó tam giác ABC đồng dạng với tam

giác ACE

GV yêu cầu học sinh lên bảng làm

*Qua bài toán này ta thấy để chứng minh hệ thức hình có nhiều bài toán ta phải biết thay đổi góc và đọc thẳng để chứng minh hệ thức

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC phân giác AE.Chứng minh rằng AE2 = AB.AC- BE.CE

- Ta thay đổi kết luận bằng cách nh sau

AE2 = AB AC – BE.CE

 AE AE = AB.AC - BE.CE

Tách đoạn AE thành hiệu của hai đoạn

thẳng AE = AF - EF ,thay AE.AE =

AE.AF - AE.EF

Khi đó ta có :

AE.AF - AE.EF = AB.AC - BE.CE

điều này gợi cho ta chứng minh

AE.AF = AB.AC và AE.EF = BE.CE

Điều này gợi cho ta tạo ra điểm F sao cho

ABF AEC ,nh vậy ta cần tạo ra

ABF = AEC

Hớng dẫn : Trên nửa mặt phẳng bờ là AB

có chứa điểm C sao cho ABx = 

AEC , Bx cắt tia đối của tia EA tại F

Dễ dàng chứng minh đợc các cặp tam

giác ABF, AEC và BEF, AEC đồng dạng

Gv yêu cầu học sinh lên bảng làm

Học sinh lên bảng trình bày

*Qua bài toán này ta thấy không phải lúc nào cũng chứng minh một hệ thức hình học mà chỉ dựa vào GT đã có mà còn phải biết mò mẫm biến đổi để tạo ra đợc các cặp tam giác đồng dạng ( Phơng pháp phân tích của Ptoneme)

Bài tập ứng dụng

Bà1: (Bài54 SBT T8_2 tr76) : Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD cắt

nhau tại O, ABD = ACD Gọi E là giao điểm của hai đờng thẳng AD và

BC Chứng minh rằng : EA.ED = EB EC

Bài 2:(Bài 55 SBT T8 _ tr77) :Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng quy

tại H.Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH

F

B

A

Bài3: Cho hình bình hành ABCD, F trên cạnh BC Tia à cắt BD và DC lần lợt ở E và

G Chứng minh AE2 = EF.EG

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A,đờng cao AH,phân giác BD.Gọi I là giao điểm

của AH vàBD Chứng minh rằng AB.BI = BD.HB

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH.Gọi M,N lần lợt là hình chiếu

của H trên AB,AC Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD,E là trung điểm của AB Tia DE cắt AB tại F cắt CB

tại G Chứng minh FD2 = EF.FG

Bài 7: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của tia BA, DA tơng ứng tại M,N Chứng minh rằng :BM.DN

Bài 8:Cho tam giác ABC nhọn,các đờng cao AD, BE,CF cắt nhau tại H Chứng minh

rằng :

a) AE.AC = AF.AB b) EB là phân giác của góc FEB

c) BH.BE + CH.CF = BC2

Bài 9:Cho tam giác ABC nhọn Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H Trên đoạn HB

và HC lấy hai điểm M và N sao cho AMC = ANB = 900 Chứng minh rằng tam giác AMN cân

Kết luận

Qua năm học 2008 - 2009 do liềm đam mê nghề dạy học cũng nh học môn toán , tôi

đã đợc tiếp cận nhiều đối tợng học sinh khác nhau Bản thân tôi từ phía chủ quan cũng

nh từ kính nghiệm thức tiễn tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phơn pháp dạy học theo chơng trình đổi mới Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót Tôi mong các đồng chí và bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày một hoàn thiện hơn