Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến KhởiChuyên đề : Vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông .Định lí Pytago để chứng minh hệ thức hình học.. Ví dụ : Phần đờng trung bì
Trang 1Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
Chuyên đề : Vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông Định lí Pytago để chứng minh hệ thức hình học.
A.Đặt vấn đề
I.Lí do chọn đề tài
* Chúng ta đã biết từ năm 2004 – 2005 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã thay SGK và đổi mới
ph-ơng pháp dạy học ở THCS Môn toán nói riêng đã có sự thay đổi vị trí nội dung các kiến thức
Ví dụ : Phần đờng trung bình trong tam giác từ lớp 7 đợc đa lên lớp 8; phần định lí Pytago từ lớp
8 đợc đa xuống lớp 7 nhằm mục các mục đích sau đây
- Tăng cờng bài tập tính toán và xây dựng thêm trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông
- Xây dựng thêm tập số vô tỉ để lấp đầy trục số
*Khi tôi dậy toán hình về phân định lí pytago và các trờng bằng nhau của tam giác vuông tôi thấy có rất nhiều bài tập vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí
pytago để chứng minh một hệ thức hình học
*Khi dậy toán các lớp 8;9 về môn hình tôi thấy học sinh học rất yêu những loại toán này
Do ba lí do trên và qua trình tìm hiểu và đã đa ra một giải pháp là viết một chuyên để nhằm trang bị cho học sinh những kỹ năng thờng dùng để chứng minh một hệ thức hình học dựa vào kiến thức đã có
II.Đối t ợng nghiên cứu
Học sinh lớp 7 trờng THCS Cơng Chính
III.Nhiệm vụ
1) Nâng cao chất lợng giảng dạy
2) Rèn cho học sinh nhữ thói quen suy nghĩ khi chứng minh một hệ thức hình học
IV.Ph ơng pháp nghiên cứu
1) Phơng pháp phân tích
2) Phơng pháp tổng hợp
3) Phơng pháp so sánh
4) Phơng pháp sơ đồ hoá
B.Nội dung nghiên cứu
1) Trớc hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản và cách vận dung các tr-ờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và định lí pytago Trong phần này đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh nắm kiến thức và bớc đầu vận dụng kiến thức giải các bài tập
đơn giản
2) Giáo viên cần hớng dẫn học sinh những thao tác suy luận khai thác từ những dự kiện đã cho trong bài toán để tìm lời giải của bài toán
3) Trong khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán giáo viên cần chuẩn bị cho mình các câu hỏi những kỹ năng và câu hỏi dẫn dắt có tích lôgíc để hớng dẫn học sinh tứng bớc suy luận
để tìm ra lời giải
3) Khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần phải trải qua các bớc sau :
1) Tìm hiểu đề
2) Tìm lời giải
3) Lập chơng trình giải
4) Trình bày lời giải
5) Kiểm tra lời giải
Trong phần này tôi chia thành bốn dạng toán cơ bản sau :
Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d ,dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kỹ năng
sau tách a = m +n , sau đó chứng minh m = c và n = d hoặc m = d và n = c
Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = m2 , dạng này đòi hỏi học sinh nắm đợc kỹ năng tìm một đoạn n = b ,trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là
m
Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = c2 + m2, dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc
kỹ năng biến đổi sau :
a2 + b2 = c2 + m2 a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 ( trong đó n = d)
Dạng 4: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 + c2 = m2 + 2n2 + 3d2 và b = c,dạng này học sinh năm đợc kỹ năng biến đổi sau :
Biến đổi vế phải
m2 + 2n2 + 3d2 = (m2 +d2) +2(n2+ d2 )
Trang 2Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi = a2 + 2b2
= a2 + b2 + c2
Thông qua bốn dạng này tối rèn cho học sinh kỹ năng chứng minh hệ thức hình học thì ta cần tiến hành nh thế nào, từ đó cũng rền luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi trong hình học
Bài dạy thực nghiệm
Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d
Phơng pháp : Tách a = m + n ,chứng minh c = m ; n = d
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không
cắt đoạn BC Kẻ BD a ; CE a Chứng minh BD + CE = DE
GT của bài toán là gì ?
KL của bài toán là gì ?
Từ GT tam giác ABC cân tại A ,cho ta biết
thêm đợc gì ?
Từ GT BDa;CE a ta suy ra đợc gì ?
Em có nhận xét gì về vị trí của điểm A so với
hai điểm D,E ?
Từ điều này ta suy ra đợc gì ?
KL nói gì ?
Từ (1) và (2) gợi cho ta điều gì ?
Muốn chứng minh AD = CE ta làm nh thế
nào ?
Nh vậy ta phải đi chứng minh hai tam giác
vuông bằng nhau
Muốn chứng minh AD = CE ta phải chứng
GT ABC cân ( A = 900 )
a đi qua A ; BDa;CE a
KL BD + CE = DE
HS: AB = AC ; A = 900 ; B = C = 450
HS: Tam giác ABD vuông tại D ; Tam giác AEC vuông tại E
HS: A nằm giữa D và E
HS: DE = AD + AE (1) HS: Chứng minh DE = BD + CE (2)
HS: Chứng minh AD = CE ; AE = BD Chứng minh hai tam giác ABD bằng tam giác CAE
AD = CE
2
a E
D
C B
A
Trang 3Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi minh đièu gì ?
Muốn chứng minh hai tam giác ABD =
CAE
Ta phải chứng minh những điều kiện gì ?
Yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh
Từ hai tam giác này bằng nhau ta có thể chứng
minh đợc AE = BD không ?
Nh vậy ta có điều phải chứng minh
ABD =CAE
AB = AC ;D = E = 900 ; DAB = ACE
DAB + DBA = 900
DAB + ACE = 900
ABD =CAE AE = BD
Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = m 2
Phơng pháp : Chọn một số n = b , trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
có cạnh huyền là m
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC
Kẻ BH a ; CK a Chứng minh rằng BH2 + CK2 = AB2
GT của bài toán nói gì ?
Ta thấy hệ thức cần chứng minh
BH2 +CK2 = AB2, hệ thức này gợi cho ta nghĩ
tới định lí pytago.Cho nên ta tìm cách gán hai
GT ABC vuông cân tại A Đờng thẳng a đi qua A
BH a ; CK a
KL BH2 + CK2 = AB2
H
K
C B
A
Trang 4Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi cạnh CK,BH về cạnh góc vuông của tam giác
vuông có cạnh huyền là AB
Tam giác ABH là tam giác gì ?
Từ kết quả này ta suy thm đợc gì ?
KL của bài toán nói gì ?
Điều này gợi ý cho ta đợc gì ?
Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng
minh điều gì ?
Muốn chứng minh hai tam giác này bằng nhau
ta phải chứng minh các điều kiện gì ?
Muốn chứng minh ABH = CAK ta phải
chứng minh điều gì ?
Từ hai hệ thức trên ta rút ra đợc gì ?
GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh
Tam giác ABH vuông tại A
BH2+AH2 = AB2
BH2 + CK2 = AB2
AH = CK
ABH = CAK
AB = AC ; K = H = 900 ;
ABH = CAK
ABH + HAB = 900
CAK + ACK = 900
ABH = CAK
Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = c 2 + m 2 (1)
Phơng pháp : Để chứng minh các hệ thc dạng này ta có một số hớng đi nh sau
Cách 1: (1) a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 n = d
Cách 2: Biến đổi vế phải a2+ b2 = d2
Biến đổi vế trái c2 + m2 = d2
đpcm
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH vuông góc với BC.C/mr: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
4
B
A
Trang 5Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
GT của bài toán là gì ?
KL của bài toán là gì ?
Từ GT tam giác ABC vuông tại A cho ta biết
thêm điều gì ?
Từ GT AH BC, ta suy thêm đợc gì ?
Từ kết quả này cho ta biết thêm đợc gì ?
KL của bài toán nói gì ?
Hệ thức này có thể biến đổi ở dạng nào khác
không ?
Hiệu AB2 – BH2 có thể thay bởi bình phơng
của đoạn thẳng nào khác không ?
Hiệu AC2 – CH2 đợc thay bởi bình phơng của
đoạn thẳng nào ?
Từ (3) và(4) ta suy ra đợc gì ?
Nh vậy ta có đièu phải chứng minh
GT ABC ( A = 900 )
AH BC
KL AB2 + CH2 = AC2+ BH2
ABC có :A = 900 AB2 + AC2 = BC2
B + C = 900
Tam giác ABH và ACH vuông tại H
AB2 = BH2 + AH2 (1)
AC2 = CH2 + AH2 (2)
AB2 + CH2 = AC2 + BH2
AB2 – BH2 = AC2 – CH2
AB2 – BH2 = AH2 (3)
AC2 – CH2 = AH2 (4)
AB2 – BH2 = AC2 – CH2
Dạng 4: : Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 + c 2 = m 2 + 2n 2 + 3d 2 và b = c
Phơng pháp : Biến đổi vế này về vế kia,chẳng hạn nh hệ thức trên tôi thờng bắt đầu từ vế cồng
kềnh nhất để thực hiện phép biến đổi
Bài tập 4: Cho tam giác ABC cân tại C,từ điểm B kẻ BD AC ( D AC) Chứng minh
Trang 6Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2
Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những điều kiện
của bài toán đã cho và ghi GT và KL của bài
toán
Từ giả thiết BD AC cho ta biết thêm đợc gì ?
Từ kết quả này ta suy thêm đợc gì ?
KL của bài toán nói gì ?
Ta hãy xuất phát từ VP của hệ thức để biến đổi
GT ABC ( CB = CA)
BD AC ( D AC)
KL AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2
ABD ; BDC vuông tại D
BD2 + CD2 = CB2
AD2 + BD2 = AB2
AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2
Ta có :VP = AD2 + 2CD2 + 3BD2
= (AD2 + BD2 ) + 2( CD2 +BD2 ) = AB2 + 2CB2
= AB2 + CB2 + CB2
= AB2 + CB2 + CA2 (CA = CB) = VT
Vậy VP = VT
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đoạn AC và BD cắt nhau tại O và AC vuông góc với BD Chứng minh rằng :
6
D
C B
A
Trang 7Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
AB2 + AD2 + CD2 + CB2 = 2( OA2 + OB2 + OC2 + OD2 )
Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm O nằm bên trong tam giác Kẻ OD BC ; OE AC ; OF
AB Chứng minh rằng : BD2 + CE2 + AF2 = BF2 + CD2 + AE2
C.Kết luận
Qua việc giảng dạy toán 7 và do liềm đam mê nghề dạy học cũng nh học môn toán, tôi đã đợc tiếp cận nhiều đối tợng học sinh khác nhau Bản thân tôi từ phía chủ quan cũng nh từ kinh nghiệm thực tiễn ,tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phơng pháp giảng dạy theo chơng trình đổi mới.Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót,tôi mong các đồng chí bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày một hoàn thiện hơn
D.Nhận xét và góp ý kiến của tổ
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
