Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC CƠ BẢN 1. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch chøng minh: - Hai gãc ®ã ®ỵc t¹o thµnh bëi tia ph©n gi¸c cđa mét gãc kh¸c - Hai gãc ®ã cïng b»ng gãc thø ba - Hai gãc ®ã b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc ®ã b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc ®ã cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc ®ã cïng nhän hc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hc vu«ng gãc - Hai gãc ®ã so le trong, so le ngoµi hc ®ång vÞ - Hai gãc ®ã ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc ®ã ë ®¸y mét tam gi¸c c©n - Hai gãc ®ã lµ hai gãc cđa mét tam gi¸c ®Ịu - Hai gãc ®ã t¬ng øng cđa hai tam gi¸c b»ng nhau hc ®ång d¹ng - Hai gãc ®ã néi tiÕp (hay t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung) cïng ch¾n mét cung hc ch¾n hai cung b»ng nhau. - Hai gãc ®èi cđa h×nh b×nh hµnh; hay hai gãc kỊ mét ®¸y cđa h×nh thang c©n…… 2. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau - Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của tam giác cân. - Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh của tam giác đều. - Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. - Hai đoạn thẳng đó có cùng số đo. - Hai đoạn thẳng đó cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. - Hai ®o¹n th¼ng đó cïng b»ng tỉng, hiƯu, trung b×nh nh©n,… cđa 2 ®o¹n th¼ng b»ng nhau ®«i mét. - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai ®o¹n bÞ chia tõ mét c¹nh bëi mét ®êng trung tun cđa tam gi¸c. - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai c¹nh ®èi cđa h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai c¹nh bªn cđa h×nh thang c©n - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai ®êng chÐo cđa h×nh thang c©n (h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng) - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai d©y cã hai cung t¬ng øng b»ng nhau trong mét ®êng trßn hc hai ®- êng b»ng nhau. - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai d©y c¸ch ®Ịu t©m trong mét ®êng trßn. - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai tiÕp tun c¾t nhau cđa mét ®êng trßn. - Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai kho¶ng c¸ch tõ mét ®iĨm trªn tia ph©n gi¸c cđa mét gãc ®Õn hai c¹nh cđa gãc ®ã…… 3. D¹ng 3: Chøng minh hai ® êng th¼ng song song - Hai ®êng th¼ng ®ã cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba - Hai ®êng th¼ng ®ã cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba - Hai ®êng th¼ng ®ã cïng t¹o víi mét c¸t tun hai gãc ë vÞ trÝ so le trong (so le ngoµi; ®ång vÞ) b»ng nhau hc hai gãc trong cïng phÝa bï nhau. - Hai ®êng th¼ng ®ã lµ hai c¹nh ®èi cđa mét h×nh b×nh hµnh (h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng). - Hai ®êng th¼ng ®ã cã mét ®êng th¼ng chøa ®êng trung b×nh, ®êng th¼ng cßn l¹i chøa c¹nh ®¸y cđa tam gi¸c (hay hai ®¸y cđa h×nh thang). - Sư dơng ®Þnh lÝ Ta-let ®¶o…… 4. D¹ng 4: Chøng minh hai ® êng th¼ng vu«ng gãc - Hai ®êng th¼ng ®ã t¹o thµnh gãc b»ng 90 0 - Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai c¹nh (gãc vu«ng) cđa mét tam gi¸c vu«ng. - Hai ®êng th¼ng ®ã song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c: NÕu a / /bvà c / /d và a c⊥ th× b d⊥ - Sư dơng kiÕn thøc: NÕu a / /bvà c a⊥ th× c b⊥ - Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai ®êng chÐo cđa mét h×nh thoi (h×nh vu«ng). - Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc kỊ bï (hay ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi t¹i mét ®Ønh cđa mét tam gi¸c). - Mét ®êng th¼ng lµ ®êng cao (®êng trung trùc), ®êng th¼ng cßn l¹i chøa mét c¹nh cđa mét tam gi¸c. Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học - §êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm d©y vµ d©y. - TiÕp tun vµ b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm cđa mét ®êng trßn. 5. D¹ng 5: Chøng minh ba ® êng th¼ng ®ång quy. - Chøng minh mét ®êng th¼ng ®i qua giao ®iĨm hai ®êng th¼ng cßn l¹i. - Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tun, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cđa hai gãc kia) 6. D¹ng 6: Chøng minh ba ®iĨm A, B, C th¼ng hµng. - Chøng minh AB + BC = AC, suy ra A, B, C th¼ng hµng. - Chøng minh BA, BC cïng song song víi mét ®êng th¼ng. - Chøng minh BA, BC cïng vu«ng víi mét ®êng th¼ng. - Chøng minh · 0 ABC 180= . - Chøng minh BA, BC lµ hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc ®èi ®Ønh. 7. D¹ng 7: Chøng minh tam gi¸c c©n, ®Ịu, vu«ng. a) Chøng minh tam gi¸c c©n: - Chøng minh hai c¹nh cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau. - Chøng minh hai gãc cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau. - Chøng minh mét ®êng cao (trung tun, trung trùc, ph©n gi¸c) võa lµ ®êng ph©n gi¸c (trung tun, trung trùc, ®êng cao). b) Chøng minh tam gi¸c ®Ịu: - Chøng minh ba c¹nh cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau. - Chøng minh ba gãc cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau. - Chøng minh tam gi¸c ®ã c©n vµ cã mét gãc b»ng 60 0 . c) Chøng minh tam gi¸c vu«ng: - Chøng minh tam gi¸c ®ã cã mét gãc vu«ng. - Chøng minh tam gi¸c ®ã cã b×nh ph¬ng mét c¹nh b»ng tỉng b×nh ph¬ng hai c¹nh cßn l¹i (§Þnh lÝ Pytago ®¶o). - Chøng minh tam gi¸c ®ã cã mét ®êng trung tun b»ng nưa c¹nh t¬ng øng. - Chøng minh tam gi¸c ®ã néi tiÕp nưa ®êng trßn. 8. D¹ng 8: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hỵp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Trêng hỵp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Trêng hỵp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã c¹nh hun vµ mét gãc nhän b»ng nhau (c¹nh hun-gãc nhän). - Cã c¹nh hun b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau (c¹nh hun-c¹nh gãc vu«ng). 9. D¹ng 9: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g.g) - Cã cỈp gãc b»ng nhau xen gi÷a hai cỈp c¹nh t¬ng øng tû lƯ (c.g.c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lƯ (c.c.c) 10. D¹ng 10: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc Gi¶ sư ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD: - Ta cã thĨ chøng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB hc ∆MAD ∼ ∆MCB. - Cã thĨ dùa vµo hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ®Ĩ suy ra ®ccm. - Cã thĨ ¸p dơng: §Þnh lý Talet thn, ®¶o vµ hƯ qu¶ hc tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c * Trêng hỵp ®Ỉc biƯt, chøng minh: MT 2 = MA.MB ta cã thĨ chøng minh ∆MTA ∼ ∆MBT 11. D¹ng 11: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tỉng hai gãc ®èi b»ng 180 0 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm (®iĨm ®ã lµ t©m cđa ®êng trßn). - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α. 12. D¹ng 12: Chøng minh MT lµ tiÕp tun cđa ® êng trßn (O;R) - Chøng minh OT ⊥ MT t¹i T ∈ (O;R) - Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh R. Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học - Sư dơng ®Þnh lÝ ®¶o vỊ tÝnh chÊt cđa gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung: Chøng minh · » sđTA MTA 2 = (víi TA lµ d©y cđa (O;R) vµ » TA n»m bªn trong · MTA ) . minh ba ®iĨm A, B, C th¼ng hµng. - Chøng minh AB + BC = AC, suy ra A, B, C th¼ng hµng. - Chøng minh BA, BC cïng song song víi mét ®êng th¼ng. - Chøng minh. Chøng minh · 0 ABC 180= . - Chøng minh BA, BC lµ hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc ®èi ®Ønh. 7. D¹ng 7: Chøng minh tam gi¸c c©n, ®Ịu, vu«ng. a) Chøng minh tam