Sử dụng phép suy luận suy diễn để chứng minh hình học

PHÒNG GIÁO DỤC KIM SƠN TRƯỜNG THCS CỒN THOI TỔ TỰ NHIÊN ================= BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÂN TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC TRƯỜNG THCS Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải - Giáo viên trường THCS Cồn Thoi Giáo viên hướng dẫn: Thạc sỹ NGUYỄN VĂN HÀ - Giảng viên trường ĐHSP Hà Nội II Kim S¬n, th¸ng 05 n¨m 2009 Phơng pháp suy luận phân tích Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài này, chúng tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo trong khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, trờng Đại học Hoa L, trờng THCS Cồn Thoi - Kim Sơn Ninh Bình cùng bạn bè đồng nghiệp. Đặc biệt là Ths Nguyễn Văn Hà - Ngời đã hớng dẫn chúng tôi thực hiện đề tài này. Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để đề tài này đợc hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Ninh Bình, tháng 4 năm 2009 Ngời thực hiện Nguyễn Đức Hải Trờng THCS Cồn Thoi 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích Mục lục 1. Phần mở đầu 2. Phần nội dung Chơng I. Cơ sở lí luận Chơng II. Chứng minh iifnh học Chơng III. Bài tập 3. Phần kết luận Trờng THCS Cồn Thoi 3 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phần mở đầu 1) Lí do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói riêng thì việc tìm ra lời giải một bài toán đối với học sinh là tơng đối khó khăn và thờng là không có hệ thống và phơng pháp cụ thể, nhất là những bài toán chứng minh hình học. Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài tập thì dễ hiểu nhng để làm đợc bài thì lại gặp khó khăn. Bởi vì những chứng minh đó đợc lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhng làm sao biết đợc cái trật tự lôgic đó? Làm sao biết đợc phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trớc, làm gì sau? . Một trong những phơng pháp để tìm đợc lời giải là phơng pháp suy luận phân tích, là phơng pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết đợc điều phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết. 2) Đối tợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tợng nghiên cứu: phơng pháp suy luận phân tích. - Phạm vi nghiên cứu: Dùng phơng pháp suy luận phân tích để tìm và giải bài toán chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chơng trình THCS 3) ý nghĩa - Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phơng pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều cần có để chứng minh. - Về mặt ý nghĩa thực tiễn, kết quả nghiên cứu của đề tài này có thể đ- ợc sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phơng pháp chứng minh hình học chơng trình lớp 8 Phơng pháp suy luận phân tích Phần nội dung Chơng I. Cơ sở lí luận I) SUY LUN TON HC 1) Suy lun l gỡ? Suy lun l quỏ trỡnh suy ngh i t mt hay nhiu mnh cho trc rỳt ra mnh mi. Mi mnh ó cho trc gi l tin ca suy lun. Mnh mi c rỳt ra gi l kt lun hay h qu. Ký hiu: X 1 , X 2 , ., X n Y Nu X 1 , X 2, ., X n Y l hng ỳng thỡ ta gi kt lun Y l kt lun logic hay h qu logic Ký hiu suy lun logic: 1 2 n X ,X , ,X Y 2) Suy din Suy din l suy lun hp logic i t cỏi ỳng chung n kt lun cho cỏi riờng, t cỏi tng quỏt n cỏi ớt tng quỏt. c trng ca suy din l vic rỳt ra mnh mi t cỏi mnh ó cú c thc hin theo cỏc qui tc logic. - Quy tc kt lun: X Y,X Y - Quy tc kt lun ngc: X Y,Y X - Quy tc bc cu: X Y,Y Z X Z Trờng THCS Cồn Thoi 5 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích - Quy tc o : X Y Y X - Quy tc hoỏn v tin : ( ) ( ) X Y Z Y X Z - Quy tc ghộp tin : ( ) X Y Z X Y Z 3) Suy lun quy np: Suy lun quy np l phộp suy lun i t cỏi ỳng riờng ti kt lun chung, t cỏi ớt tng quỏt n cỏi tng quỏt hn. c trng ca suy lun quy np l khụng cú quy tc chung cho quỏ trỡnh suy lun, m ch trờn c s nhn xột kim tra rỳt ra kt lun. Do vy kt lun rỳt ra trong quỏ trỡnh suy lun quy np cú th ỳng cú th sai, cú tớnh c oỏn. Vd: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 10 = 7 + 3 Kt lun: Mi s t nhiờn chn ln hn 2 u l tng ca 2 s nguyờn t. a) Quy np khụng hon ton : L phộp suy lun quy np m kt lun chung ch da vo mt s trng hp c th ó c xet n. Kt lun ca phộp suy lun khụng hon ton ch cú tớnh cht c oỏn, tc l nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt. S : A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . A n l B Trờng THCS Cồn Thoi 6 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . A n l 1 s phn t ca A Kt lun: Mi phn t ca A l B b) Phộp tng t: L phộp suy lun i t mt s thuc tớnh ging nhau ca hai i tng rỳt ra kt lun v nhng thuc tớnh ging nhau khỏc ca hai i tng ú. Kt lun ca phộp tng t cú tớnh cht c oỏn, tc l nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt. S : A cú thuc tớnh a, b, c, d B cú thuc tớnh a, b, c Kt lun : B cú thuc tớnh d . c) Phộp khỏi quỏt húa: L phộp suy lun i t mt i tng sang mt nhúm i tng no ú cú cha i tng ny. Kt lun ca phộp khỏi quỏt húa cú tớnh cht c oỏn, tc l nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt. d) Phộp c bit húa: L phộp suy lun i t tp hp i tng sang tp hp i tng nh hn cha trong tp hp ban u. Kt lun ca phộp c bit húa núi chung l ỳng, tr cỏc trng hp c bit gii hn hay suy bin thỡ kt lun ca nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt. Trong toỏn hc phộp c bit húa cú th xy ra cỏc trng hp c bit gii hn hay suy bin: im cú th coi l ng trũn cú bỏn kớnh l 0; Tam giỏc cú th coi l t giỏc khi mt cnh cú di bng 0;Tip tuyn cú th coi l gii hn ca cỏt tuyn ca ng cong khi mt giao im c nh cũn giao im kia chuyn ng n nú. Trờng THCS Cồn Thoi 7 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích II) PHNG PHP CHNG MINH TON HC 1) Phng phỏp chng minh tng hp: Ni dung: Phng phỏp chng minh tng hp l phng phỏp chng minh i t iu ó cho trc hoc iu ó bit no ú n iu cn tỡm, iu cn chng minh. C s: Quy tc lụgớc kt lun S : A B C . Y X Trong ú A l mnh ó bit hoc ó cho trc; B l h qu lụgớc ca A; C l h qu lụgớc ca B; . ; X l h qu lụgớc ca Y. Vai trũ v ý ngha: + Phng phỏp chng minh tng hp d gõy ra khú khn l t ngt, khụng t nhiờn vỡ mnh chn lm mnh xut phỏt nu l mnh ỳng no ú thỡ nú ph thuc vo nng lc ca tng hc sinh. + Phng phỏp chng minh tng hp ngn gn vỡ thng t mnh tin ta d suy lun trc tip ra mt h qu logic ca nú. + Phng phỏp chng minh tng hp c s dng rng rói trong trỡnh by chng minh toỏn hc, trong vic dy v hc toỏn trng ph thụng. 2) Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn: Ni dung: Phng phỏp chng minh phõn tich i lờn l phng phỏp chng minh suy din i ngc lờn i t iu cn tỡm, iu cn chng minh n iu ó cho trc hoc ó bit no ú. Trờng THCS Cồn Thoi 8 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích C s: Quy tc lụgớc kt lun. S : X Y . B A Trong ú: X l mnh cn chng minh; Y l tin lụgớc ca X ; . ; A l tin lụgớc ca B; A l mnh ó bit hoc ó cho trc; Vai trũ v ý ngha: + Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn t nhiờn, thun tin vỡ mnh chn lm mnh xut phỏt l mnh cn tỡm, mnh cn chng minh, hay mnh kt lun. + Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn thng rỏt di dũng vỡ thng t mnh chn l mnh kt lun ta cú th tỡm ra nhiu mnh khỏc nhau lm tin logic ca nú. + Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn c s dng rng rói trong phõn tớch tỡm ra ng li chng minh toỏn hc, trong vic dy v hc toỏn trng ph thụng. Vớ d: Bi toỏn Hai vũi nc cựng chy vo mt b khụng cha nc sau 12 gi thỡ y b. Bit rng lng nc mi gi chy vo b ca vũi 1 gp 1, 5 ln lng nc ca vũi 2 chy vo b. Hi sau mi vũi chy mt mỡnh trong bao lõu s y b? 3) Phng phỏp chng minh phõn tớch i xung : Ni dung: Phng phỏp chng minh phõn tich i xung l phng phỏp chng minh suy din i t iu cn tỡm n iu ó bit no ú. C s: Quy tc lụgớc kt lun. S : X Y . B A Trờng THCS Cồn Thoi 9 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Ph¬ng ph¸p suy luËn ph©n tÝch Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả lôgíc của X ; . ; A là hệ quả lôgíc của B và A là mệnh đề đã biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X. Nguyễn Đức Hải Trêng THCS Cån Thoi 10 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn §øc H¶i [...]... mới 2) Suy luận phân tích cần phải luyện tập nhiều, dần dần có kinh nghiệm và hình thành cái quan trọng nhất là trực giác mà trong đó, sự suy luận phân tích chỉ diễn ra rất nhanh, rất gọn trong não Đó là phản xạ tự nhiên, sự nhạy bén trong phân tích mà ngời học toán cần phải đạt đợc 3) Phép suy luận nói chung và phép suy luận phân tích nói riêng rất cần trong thực tiễn chứ không chỉ riêng trong học toán... phải làm rất nhiều công việc khác để giải quyết vấn đề đó thì chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm cái gì trớc, cái gì sau, sử dụng những cái đã có nh thế nào, những cái còn thiếu thì giải quyết nh thế nào và khi đó thì phép suy luận phân tích đi lên là một cách tối u 4) Do hạn chế của đề tài này, chúng tôi chỉ dừng ở phép suy luận phân tích đi lên Chúng ta có thể sử dụng kết hợp cả phơng pháp phân...Phơng pháp suy luận phân tích Chơng II Chứng minh hình học 1) Ví dụ mở đầu Cho tam giác ABC (ac NE tức là CN > BM ( ) ( ã à à ã à à CEN = E1 + E 2 > ECN = C 2 + C3 ) à à à à E1 > C2... kết hợp cả phơng pháp phân tích đi xuống và sau đó, ta có thể sử dụng phơng pháp chứng minh tổng hợp để hệ thống t duy đợc phát triển đầy đủ Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể hơn và có dịp đợc trình bày đầy đủ hơn, góp phần nâng cao khả năng học hình học của học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! Ninh Bình, tháng 04 năm 2009... O của mỗi đoạn Chứng minh rằng: a) AB = CD, AD = BC b) AB // CD, AD // BC Bài 4 à à Cho tam giác ABC rtong đó B C = 900 Kẻ tia phân giác AD của góc A ã D BC) Chứng minh ADB = 450 Bài 5 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai đờng phân giác BM và CN bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân Trờng THCS Cồn Thoi 16 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích Phần kết luận 1) Cùng một... pháp suy luận phân tích à à nên H 1 = H 2 = 1800: 2 = 900 AB = AE (gt) à à Có: A1 = A 2 (gt) AH chung Vậy BE AD Đủ điều kiện (c.g.c) Ta có thể chứng minh BE AD bằng cách chứng minh AD là đờng trung trực của BE 2) Bài tập 1 Cho tam giác ABC và trung tuyến BD Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN GT KL C AD = CD BM = DM CN = 2BN P D M A Giải: B Phân tích Chứng. .. C D M N A - Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ACE P B E 3) Bài tập 2 Cho tam giác ABC Trên đờng phân giác AD của góc A, lấy một điểm D bất kì BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N Chứng minh rằng nếu BM = A CN thì tam giác ABC cân 1 E 2 1 M N à à A1 = A 2 GT KL 2 K D 2 à D phân giác của A BM = CN ABC cân 1 1 B 2 3 C Giải: Đây là một bài tơng đối khó Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử ABC không... trong CME có E 2 > C3 à à Từ (1) và (7) suy ra E1 > C2 ã đúng vì CKD kề bù với góc nhọn Trờng THCS Cồn Thoi 14 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích ( ã AKD nên là góc tù: ã à CKD > C2 Trờng THCS Cồn Thoi ) ( ã à à ã à à CEN = E1 + E 2 > ECN = C 2 + C3 ) CN > EN (8) Từ (6) và (8) suy ra CN > BM (trái giả thiết) Điều này chứng tỏ điều giả sử là sai Vậy AB = AC tức là tam giác... thực hiện: Nguyễn Đức Hải Phơng pháp suy luận phân tích Chơng III Bài tập Bài 1 (Lớp 7) Một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song m và n lần lợt tại A và B Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tơng ứng song song với nhau Bài 2 (Lớp 7) Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC Kéo dài N và CM những đoạn NB = BN và MC = CM Chứng minh A là trung điểm của BC Bài 3 (Lớp . luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phơng pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều cần có để chứng minh. . ợc sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phơng pháp chứng minh hình học chơng trình lớp 8 Phơng pháp suy luận phân tích Phần nội dung Chơng I. Cơ sở lí luận