Sử dụng ma trận và định thức để chứng minh một số kết quả hình học

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C Ø V«n H£i SÛ DƯNG MA TR N V NH THC CHNG MINH MáTSăK TQU HNHHC LU NV NTH CS TO NHC ThĂi Nguyản - Nôm 2013 Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ I H¯C TH I NGUY N TRìNG I HC KHOA HC ỉ Vôn HÊi SÛ DÖNG MA TR N V ÀNH THÙC CHÙNG MINH MáTSăK TQU HNHHC LU NV NTH CS TO NHC Chuyản Ng nh: PH×ÌNG PH P TO N SÌ C P M s: 60460113 Ngữới hữợng dÔn khoa hồc:PGS.TS M V N NH ThĂi Nguyản - Nôm 2013 Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tr÷íng Cỉng tr…nh ÷ỉc ho n th nh t⁄i ⁄i håc Khoa Håc ⁄i Håc ThĂi Nguyản Ngữới hữợng dÔn khoa hồc: PGS.TS m Vôn Nh¿ Ph£n bi»n 1: GS.TSKH Nguy„n Tü C÷íng Ph£n bi»n 2: PGS.TSKH Lả Th Thanh Nh n Lun vôn  ữổc bÊo vằ trữợc hi ỗng chĐm lun vôn hồp t⁄i: Tr÷íng ⁄i Håc Khoa Håc - ⁄i Håc Th¡i Nguyản Ng y 27 thĂng 09 nôm 2013 Cõ th t…m hi”u t⁄i Trung t¥m håc li»u ⁄i Håc Th¡i Nguyản Thữ viằn trữớng i Hồc Khoa hồc H ThĂi Nguy¶n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Möc löc Möc löc Mð ƒu Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 1.2 1.3 Ma tr“n, c¡c ph†p toĂn v nh thức v mt s ỗng n V nh ma tr“n K[A] Chữỡng Vn dửng hnh hồc sỡ cĐp 2.1 2.2 2.3 2.4 K‚t lu“n Số hóa trung tâm học liệu Ph†p bi‚n Œi tåa º °c bi 2.1.1 Ph†p tành ti‚n 2.1.2 2.1.3 Ph†p quay 2.1.4 2.1.5 Ph†p tü 2.1.6 Di»n t‰ch, b¡n k‰nh ÷í 2.2.1 2.2.2 Th” t‰ch, b¡n k‰nh m°t 2.3.1 2.3.2 Th tch, bĂn kn 2.3.3 ỗ th phflng 21 - i”m K3 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mð ƒu V“n dưng ma tr“n v ành thøc còng mºt sŁ k‚t qu£ ⁄i sŁ tuy‚n t ‰nh v o nghi¶n cứu ToĂn sỡ cĐp ang ữổc nhiu thy, cổ giĂo quan tƠm.Vợi sỹ giúp ù ca nh thức v ma trn ta cõ th thu ữổc nhiu kt quÊ mợi qua vi»c bi‚n Œi tåa º gi£i h» ph÷ìng tr…nh bc nhĐt nhiu 'n v i s hõa mt s b i hnh sỡ cĐp Do vy, lun vôn n y t vĐn dửng nh thức ma trn v o x†t mºt sŁ b i to¡n h…nh håc sỡ cĐp Ni dung ca lun vôn ữổc chia l m hai ch÷ìng Ch÷ìng I: Ki‚n thøc chu'n bà v• ma tr“n,c¡c ph†p to¡n v• ma tr“n, ành thøc v mt s ỗng nhĐt thức c in, V nh ma tr“n K[A] Ch÷ìng II: V“n dưng ành thøc ma tr“n h…nh håc c§p Mưc 2.1 Tr…nh b y ph†p bi‚n Œi tåa º °c bi»t m°t phflng Möc 2.2 Tr…nh b y di»n t‰ch , b¡n knh ữớng trặn ngoi tip qua tồa nh , º d i c¡c c⁄nh tam gi¡c Mưc 2.3 Sß döng ành thøc t‰nh th” t‰ch qua tåa º ¿nh , º d i c¡c c⁄nh Möc 2.4 X†t b i toĂn ỗ th phflng 21 - im K3 Lun vôn n y ữổc ho n th nh vợi sỹ hữợng dÔn v ch bÊo tn tnh ca PGS-TS m Vôn Nh - i hồc Sữ phm H Ni Em xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc i vợi sỹ quan tƠm, ng viản v sỹ ch bÊo hữợng dÔn ca thy Em xin trƠn trồng cÊm ỡn tợi cĂc Thy cổ Trữớng i Hồc Khoa Hồc - i Hồc ThĂi Nguyản, phặng o To Trữớng i Hồc Khoa Hồc Tổi xin cÊm ỡn tợi Sð Gi¡o döc - o t⁄o T¿nh H Giang, Ban GiĂm hiằu Trữớng THPT Viằt LƠm - Huyằn V Xuyản ¢ t⁄o i•u ki»n cho tỉi håc t“p v ho n th nh k‚ ho⁄ch håc t“p Th¡i Nguy¶n, ng y 08 th¡ng 08 n«m 2013 T¡c gi£ Ø V«n H£i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Ma tr“n, c¡c php toĂn v ma trn 1) Ma trn nh nghắa 1.1 Ma tr“n cï m th nh m dỈng, n ct nhữ sau: n : Mt bÊng gỗm m.n sŁ ÷ỉc vi‚t a21 a 11 B B B B ::: ::: ::: ::: ::: ::: C B B B B B @ C ai1 ai2 : : : aij B ::: ::: ::: ::: ::: ::: C : : : amn am1 am2 : : : amj ÷ỉc gåi l mºt ma tr“n ki”u (m A n) MØi sŁ aij ÷ỉc gåi l mºt th nh phƒn cıa ma tr“n Nâ ð dỈng thø i v cºt thø j Ta th÷íng k‰ hi»u ma tr“n bði c¡c chœ in hoa: A, B Câ th” vi‚t ma tr“n (1.1) mºt c¡ch ìn gi£n bði: A = (aij)m n Khi  bit rê m v n th cặn cõ th” vi‚t l : A = (aij): Ma tr“n dỈng: Ma tr“n cï n gåi l a1 a2 : : : a j Ma tr“n cºt: Ma tr“n cï m gåi l a1 a :a: : B B j B B B B @ : :: A an Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ma tr“n vuæng: Ma tr“n cï n n gåi l ma tr“n vng c§p n (hay ma tr“n c§p n) v vi‚t A = (aij)n n Trong ma trn vuổng A = (aij)n n dÂy cĂc phn tò câ ch¿ sŁ h ng b‹ng ch¿ sŁ cºt a 11; a22; :::; ann gåi l ÷íng ch†o ch‰nh cıa ma tr“n A ành ngh¾a 1.2 Ta gåi ma tr“n a12 B B B B B B B B B B ::: @ a1n a2n : : : ain : : : l ma tr“n chuy”n cıa ma tr“n (1.1) v t Nh÷ v“y ma tr“n A thu ÷ỉc tł A b‹ng c¡ch Œi dỈng thø i cıa A th nh t t cºt thø i cıa A v n‚u A l ma tr“n ki”u m n th… ma tr“n chuy”n A l ma tr“n ki”u n m 2) C¡c ph†p to¡n v• ma tr“n Ph†p cºng hai ma tr“n ành ngh¾a 1.3 TŒng cıa hai ma tr“n A = (aij)m n v B = (bij)m n l ma tr“n: A + B = (aij + bij)m n nh nghắa 1.4 Vợi cĂc ma trn vuổng cĐp hai d⁄ng: A= a21 â: A + B = nh nghắa 1.5 Vợi cĂc ma trn vuổng cĐp ba d⁄ng: A= A : â: A + B = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Quy t›c cºng ma tr“n: MuŁn cºng hai ma tr“n ta ch¿ vi»c cºng c¡c th nh phƒn t÷ìng øng (còng dỈng, còng cºt) cıa chóng: (a ) ij m n + (b ) ij m n = (a + b ) ij ij m n : Ph†p nh¥n ma trn vợi mt s nh nghắa 1.6 Tch ca phn tò k K vợi ma trn A = (aij)m n Mm n[K] l ma tr“n: kA = (kaij)m n a Vợi ma trn vuổng cĐp hai: A = a A=@ 11 21 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a12 a , ta câ: 22 a13 a23 A a33 Vợi ma trn vuổng cĐp ba: A = A= T‰ch cıa hai ma tr“n ành ngh¾a B= ( ) jk m n l x¡c ành nh÷ sau: P n cik = (aijbjk), j=1 â (1 i m; k p) ành ngh¾a 1.8 Vợi cĂc ma trn vuổng cĐp hai dng: A= â: AB = 55 °t X = xi; Y = yi v Z = zi; °t Va = 6VOB1C1D1 : i=1 Ta biu P Va = Kỵ hiằu: T = x2 XYZ1 x y x4 y4 z4 vợi viằc chồn dĐu +; mt cĂch thch hổp T suy ra: x Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56 Do v“y: V 27V ABCD 27V OB1C1D1 OC1D1A1 27V 27V OD1A1B1 OA1B1C1 = 0: Tł â suy kt quÊ: Tỗn ti mt cĂch chồn thch hổp u; v; t f1; 1g ” jV OB1C1D1 + uV OC1D1A1 + vV OD1A1B1 + tV OA1B1C1 2.3.3 j= 27 V ABCD : Khai th¡c b i to¡n vctỡ ca tứ diằn Mằnh 2.21 Vợi im O tø di»n ABCD v i”m O n‹m ngo i tø di»n ABCD; nhœng gâc tam di»n ¿nh A ta luæn câ ~ ~ IA:sa + IB:sb + IC:sc + ID:sd tø di»n ~0 ~0 ~0 (ii) O A:VO0BCD + O B:VO0CDA + O C:VO0DAB + O Chøng minh: Düng ~0 ~ D:VO0ABC = 0: B(b1; b2; b3); (c1; c2; c3) v ữợc 6V OABC b1 c1 d 6u1 = a1 b2 c2 d2 b3 c3 d3 = a1 b1 a1 b1 a b a3 b3 Vỵi tø di»n ABCD V‰ dư 2.37 Gi£ sß tø di»n ABCD câ BC = a; CA = b; AB = c; DA = x; DB = y; DC = z v I l t¥m m°t cƒu nºi ti‚p tø diằn Khi õ ta cõ ỗng 2 2 nh§t thøc saIA + sbIB + scIC + sdID = a2sbsc + b2scsa + c2sasb + x2sasd 2 + y sbsd + z scsd : sa + sb + sc + sd Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 57 B i gi£i: Tł IA:sa + IB:sb + IC:sc + ID:sd = theo M»nh • ?? suy = 2 2 = sa IA + sb IB + 2 sc IC 22 saIA + 2sasdIA:ID + 2sbscIB:IC + 2sbsdIB:ID + 2scsdI + sd ID + sasb(IA + IB 2 + sasc(IA + IC 2 sbsca + sbsd(IB + ID 2 2 = (saIA + sbIB + scIC + sdID )(sa + sb + sc + sd) 2 2 2 2 (a sbsc + b scsa + c sasb + x sasd + y sbsd + z scsd): 2 D d ng suy ỗng nhĐt thức saIA + sbIB + scIC + sdID = a sbsc + 2 2 b scsa + c sasb + x sasd + y sbsd + z scsd : sa + s b + s c + s d V‰ dư 2.38 Vỵi i”m M n‹m ngo i tø di»n ABCD; nh÷ng n‹m gâc tam di»n ¿nh A ta luæn câ MB:VMCDA + MC:VMDBA + MD:VMBCA > MA:VMBCD: ! ! B i gi£i: Tł h» thøc M B:VM CDA + M C:VM DAB + M D:VM ABC ! ! = 2.21 ta suy bĐt flng thức sau ¥y: MB:VMCDA + MC:VMDBA + MD:VMBCA > MA:VMBCD: M A:VM BCD theo Mằnh 2.4 ỗ th phflng 21 - i”m K3 Gi£ sß tam gi¡c ABC câ º d i ba c⁄nh a = BC; b = CA; c = AB: Kỵ hiằu a l ữớng thflng ct ữớng thflng AC t⁄i i”m c¡ch •u hai i”m A v B; ct ữớng thflng AB ti im cĂch u hai im A v C: Kỵ hiằu b l ữớng thflng ct ữớng thflng BA ti im cĂch u hai im B v C; c›t ÷íng thflng BC t⁄i i”m c¡ch u hai im B v A: Kỵ hiằu c l ÷íng thflng c›t ÷íng thflng CB t⁄i i”m c¡ch •u hai i”m C v A; c›t ÷íng thflng CA t⁄i i”m c¡ch •u hai i”m C v B: Gåi A0; B0; C0 l nhœng i”m Łi xøng vỵi A; B; C qua BC; CA; AB; t÷ìng øng Gåi A1; B1; C1 l nhœng i”m Łi xøng vỵi A; B; C qua a; b; c; t÷ìng øng Gåi i”m E l nhœng i”m thäa m¢n aEA = bEB = cEC; gåi 2 i”m F l nhœng i”m nh…n c¡c cnh tam giĂc ABC dữợi gõc hay : Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 58 Gåi A2; A3 l c¡c ¿nh cıa c¡c tam gi¡c •u BCA 2; BCA3; gåi B2; B3 l c¡c ¿nh cıa c¡c tam gi¡c •u CAB2; CAB3 v gåi C2; C3 l cĂc nh ca cĂc tam giĂc u ABC2; ABC3:BƠy giớ s tm khai trin dữợi dng phƠn thức liản tửc ca s thỹc Trong chữỡng 1,  bit cĂch khai trin dữợi dng phƠn thức li¶n tưc cıa sŁ hœu t Trong phƒn n y, trữợc tiản ta xem xt li quĂ trnh n y, sau â, b‹ng ph÷ìng ph¡p t÷ìng tü, ta t…m khai trin phƠn thức liản tửc cho s vổ t a c A0 C0 C2 b B1 V‰ dö 2.39 X¡c ành ph÷ìng tr…nh a bi‚t tåa º A; B; C: B i gi£i: Düng h» tåa º Oxy cho A(0; 0); B(x2; kx2); C(x3; hx3): i”m P0(p; hp) c¡ch •u A v B v ch¿ x3 V“y P0 ch¿ N0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 59 2(1 + hk) hay a : + k2 2(1 + hk) 1+h Mằnh 2.22 GiÊ sò ABC cõ d i c⁄nh a; b; c: Khi â 21 i”m nảu trản u thuc K3 tĐt cÊ cĂc im M thäa m¢n Chøng minh: Khi M Khi â b2 1a+MA aMA c2 + MC c 2MC K3: T÷ìng tü B 2 2 2 V… a + HA = b + HB = C + HC = 4R n¶n c2 + HC2 c2HC2 = 1 4R a 4R 4R2 c2HC 1a V… b c b + OA + OB + OC2 °t aEA = u: V… hai i”m E công thuºc °t v = AA2 = V… n¶n A K : T÷ìng tü A Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 60 Gi£ sß F nh…n ba c⁄nh dữợi mt gõc 2 F C: Khi â a = y + z + yz; b 2 2 1a + FA a FA F := c2 + F C2 F = v d„ d ng th§y F 2 c = x + xy + y : Nh÷ v“y hai i”m F công thuºc K3: v Vi»c ki”m tra ba i”m cặn li l b i V dử 2.40 iu ki»n cƒn v ı ” trång t¥m G cıa ABC thuºc K3 l tam gi¡c ABC c¥n B i gi£i: Ta câ Nh÷ v“y 2 a + GA a GA g = b c2 2 = 3(b c )(c V“y G K3 v ch¿ 2 a )(a 2 = b = b b ): ABC c¥n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 61 M»nh • 2.23 N‚u tam gi¡c ABC khỉng •u th… b“c cıa K3 óng b‹ng Chøng minh: c : Nh÷ v“y 2 °t u = M A ; v = M B ; t = M C v =a ; =b ; = 0= = vt 2 2 Bi”u di„n u = x + y + a1x + b1y + c1; v = x + y + a2x + b2y + c2 2 2 v t = x + y + a3x + b3y + c3; Khi â h» sŁ cıa (x + y ) úng bng + + = 0: Vy K3 l ỗ b“c 3: D„ d ng ki”m tra b“c cıa K3 b‹ng tam gi¡c ABC khỉng •u Chú ỵ 2.1 Phữỡng trnh K3 thổng quanh thức rĐt phøc t⁄p (a 2 2 2 b )M A :M B + (b 2 a c (M A 2 2 c )M B :M C + (c M C ) + c b (M C 2 2 2 a )M C :M A = M B ) + b a (M B 2 M A ): Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 62 K‚t lun Lun vôn  trnh b y v t ữổc mºt sŁ k‚t qu£ sau: Tr…nh b y mºt sŁ mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n cıa Ma tr“n, c¡c ph†p to¡n v• ma tr“n; ành thøc v mºt s ỗng nhƠt thức c in; V nh ma trn K[A], c¡c ph†p to¡n bi‚n h…nh nh÷ ph†p tành ti‚n, ph†p Łi xøng trưc, Łi xøng t¥m v ph†p tü thæng qua ma tr“n ành thøc Tr…nh b y mºt sŁ ph†p bi‚n Œi tåa º °c bi»t v v“n döng gi£i c¡c b i to¡n h…nh håc c§p thỉng qua ành thøc Dòng ành thøc v ph÷ìng ph¡p tåa º ” bi”u di„n ph†p bi‚n Œi, x¥y düng v t‰nh to¡n Qua â câ th” sß dưng mºt sŁ k‚t qu£ cıa ⁄i sŁ tuy‚n t ‰nh v o x†t c¡c b i to¡n di»n tch, bĂn knh ữớng trặn ngoi tip thổng qua tồa º ¿nh v º d i c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c Th” t‰ch b¡n k‰nh m°t cƒu ngo⁄i ti‚p v ÷a mºt sŁ v‰ dư cư th” Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 63 T i li»u tham kh£o [1] W Grobner, Matrizenrechnung, Bibliographisches Institut AG, Mannheim 1966 [2] Nguyn Vôn Mu vm Vôn Nh, ỗng nhĐt thức v phữỡng phĂp tồa Hnh hồc, Nh XuĐt BÊn HQG H Nổi 2012 [3] m Vôn Nh¿, SŁ phøc gi£i To¡n c§p, T⁄p ch‰ Khoa håc HSP H Nºi sŁ -2006, 40-48 [4] m Vôn Nh, Ma trn vuổng v dÂy s, BÊn tin D⁄y v Håc nh tr÷íng HSP H Nºi s -2012 [5] m vôn Nh, M rng BĐt flng thøc Ptolemy v Hayashi cho a gi¡c, T⁄p ch‰ To¡n håc v TuŒi tr· sŁ 426, 12 2012 [6] D V Nhi, Proving some geometric identities by using the determinants, Journal of Science and Arts, Year 12, No (21) 2012, 385-394 [7] A Pogorelov, Geometry, Mir Publishers Moscow 1987 [8] Tuy”n t“p: The IMO Compendium 1959-2004 [9] Nguy„n Duy Thu“n - Næng QuŁc Chinh- Phi M⁄nh Ban, ⁄i SŁ Tuy‚n T‰nh, NXB ⁄i håc s÷ ph⁄m, (2003) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... (aij): Ma tr“n dỈng: Ma tr“n cï n gåi l a1 a2 : : : a j Ma tr“n cºt: Ma tr“n cï m gåi l a1 a :a: : B B j B B B B @ : :: A an Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ma tr“n vng: Ma tr“n... v n‚u A l ma tr“n ki”u m n th… ma tr“n chuy”n A l ma tr“n ki”u n m 2) C¡c ph†p to¡n v• ma tr“n Ph†p cºng hai ma tr“n ành ngh¾a 1.3 TŒng cıa hai ma tr“n A = (aij)m n v B = (bij)m n l ma tr“n: A... nghắa ữổc ma trn t‰ch AB l sŁ cºt cıa ma tr“n A b‹ng sŁ h ng cıa ma tr“n B Ma tr“n ìn v: Ma trn E cĐp n cõ cĂc ữớng cho chnh bng 1, cĂc phn tò ngo i ữớng cho ch‰nh •u b‹ng gåi l ma tr“n ìn và: E=