Vận dụng số phức vào chứng minh một số kết quả hình học

Luận văn Thạc sĩ Tốn học Vận dụng số phức vào Chứng minh số kết hình học Nguyễn Xn Sang ĐHKH Thái Ngun Ngày 01 tháng 04 năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Một vài khái niệm 1.1 Số phức nhúng R vào C 1.2 Tính đóng đại số trường C 1.2.1 C trường đóng đại số 1.2.2 Căn đơn vị 1.3 Cơng thức nội suy đa thức 5 8 12 22 Ứng dụng số phức vào nghiên cứu Hình học sơ cấp 26 2.1 Một vài đồng thức Bất đẳng thức Hình học sơ cấp 26 2.1.1 Đồng thức Bất đẳng thức Ptolemy cho đa giác 26 2.1.2 Bất đẳng thức Hayashi cho đa giác 31 2.1.3 Bất đẳng thức đồng thức (M, N ) 32 2.1.4 Bất đẳng thức Erdos-Mordell cho đa giác 43 2.2 Sử dụng số phức biểu diễn phép quay 45 2.3 Vận dụng Lượng giác 52 2.3.1 Xây dựng đồng thức 52 2.3.2 Kết đa giác 54 2.3.3 Tính chia hết vài đa thức đặc biệt 56 2.3.4 Tính vài tổng tích 60 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời nói đầu Việc vận dụng vài kết đạt Tốn cao cấp để nghiên cứu Tốn sơ cấp nhiều người quan tâm đến Họ dễ dàng giải tốn đặt phát hiện, mở rộng nhiều tốn Đặc biệt, xét tốn trường Q trường R tốn q khó; mang tốn C mức độ khó chúng giảm nhiều Nếu quan tâm đến Hình học sơ cấp, gặp nhiều tốn tam giác giải hình vẽ phức tạp Ta khó mở rộng hay xây dựng kết tương tự cho đa giác tùy ý Vấn đề đặt đây: Tìm phương pháp giải nhanh gọn vài tốn có xây dựng tốn tương tự cho đa giác Một vài vấn đề tương đối thời Hình học sơ cấp nhiều người quan tâm đến: (1) Mở rộng Đồng thức Bất đẳng thức Ptolemy (2) Mở rộng Bất đẳng thức Hayashi (3) Mở rộng Bất đẳng thức Erdos-Mordell (4) Xây dựng đồng thức Bất đẳng thức Ngồi ra, có nhiều Thầy Cơ giáo quan tâm đến việc dạy Chương: Số phức ứng dụng cho học sinh lớp 12: Giải thích số i với i2 = −1 mà họ làm quen với trường Q R Với lý kể trên, luận văn tập trung nghiên cứu: Trường C vận dụng số phức Hình học sơ cấp Luận văn chia làm hai chương Chương tập trung trình bày trường số phức C chứng minh tính đóng đại số trường C, có nghĩa: Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Mục 1.1 dành để trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ số phức nhúng R vào C Mục 1.2 tập trung xét tính đóng đại số trường C Với việc trình bày lại hai cách chứng minh có, Định lý 1.2.4 ra: C trường đóng đại số Một vài cơng thức nội suy đa thức, sử dụng chương 2, đưa Mục 1.3 Chương tập trung trình bày vài ứng dụng số phức vào Hình học sơ cấp Mục 2.1 dành để trình bày việc sử dụng số phức vào mở rộng đồng thức Bất đẳng thức Ptolemy Mệnh đề 2.1.2 Mệnh đề 2.1.3; Bất đẳng thức Hayashi mệnh đề 2.1.7 Bất đẳng thức Erdos-Mordell Mệnh đề 2.1.27 Trong mục chúng tơi xây dựng vài Bất đẳng thức đồng thức Mệnh đề 2.1.9 Mệnh đề 2.1.18, 2.1.19 Mục 2.2 tập trung xét phép quay qua số phức mở rộng vài tốn Hình học sơ cấp, chẳng hạn: Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.4 Mục 2.3 dược dành để trình bày việc phát nhiều hệ thức tính số tổng tích lượng giác Luận văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc em suốt q trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy (Cơ) giảng dạy phòng đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học Thái Ngun Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K5A động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục-Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Hàn Thun- TP Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tâp Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong dạy đóng góp ý kiến q Thầy Cơ Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Thái Ngun, ngày 01 tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Xn Sang Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Về ký hiệu: N ký hiệu cho tập số tự nhiên N∗ ký hiệu cho tập số tự nhiên dương Z ký hiệu cho vành số ngun Q ký hiệu cho trường số hữu tỷ R ký hiệu cho trường số thực C ký hiệu cho trường số phức K ký hiệu cho ba trường Q R C Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một vài khái niệm Chương tập trung nghiên cứu vành đa thức số tốn liên quan Đây phần trọng tâm Đại số Khi xét đa thức, ta thường quan tâm đến nghiệm, tính bất khả quy biểu diễn thành tích nhân tử Ta bắt đầu việc nhắc lại vài khái niệm 1.1 Số phức nhúng R vào C Xét Tích Descartes T = R × R = {(a, b)|a, b ∈ R} đưa định nghĩa: (a, b) = (c, d) a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Để đơn giản, viết (a, b).(c, d) qua (a, b)(c, d) Từ định nghĩa phép nhân: (i) Với i = (0, 1) ∈ T có i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (ii) (a, b)(1, 0) = (a, b) = (1, 0)(a, b) (iii) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T Ký hiệu C tập T phép tốn nêu Ta có kết sau: ´ xạ φ : R → C, a → (a, 0), đơn ánh Bổ đề 1.1.1 Anh thỏa mãn φ(a+a ) = φ(a)+φ(a ), φ(aa ) = φ(a)φ(a ) với a, a ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đồng (a, 0) ∈ C với a ∈ R Khi viết (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi với i2 = (−1, 0) = −1 Như C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} C có kết đây: a + bi = c + di a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i Mỗi phần tử z = a + bi ∈ C gọi số phức với phần thực a, ký hiệu Re z, phần ảo b, ký hiệu Im z; i gọi đơn vị ảo Số phức a − bi gọi số phức liên hợp z = a + bi ký hiệu 2 qua z = a + bi Dễ dàng √ kiểm tra zz = (a+bi)(a−bi) = a +b , z1 z2 = z1 z2 gọi |z| = zz mơđun z Số đối z = c + di −z = −c − di hiệu z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy) Mỗi số phức z = a + bi ta cho tương ứng với điểm M (a; b) Tương ứng song ánh C → R × R, z = a + bi → M (a; b) Khi đồng C với (Oxy) qua việc đồng z với M, mặt phẳng tọa độ với biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss để ghi cơng C F Gauss-người đưa biểu diễn Mệnh đề 1.1.2 Tập C trường chứa trường R trường Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra C vành giao hốn với đơn vị Giả sử z = a + bi = Khi a2 + b2 > Giả sử z = x + yi ∈ C ax − by = a thỏa mãn zz = hay Giải hệ x = ,y = a + b2 bx + ay = b a b − Vậy z = − i nghịch đảo z Tóm lại 2 a +b a +b a + b2 C trường Tương ứng C → C, z → z, tự đẳng cấu liên hợp Đồng a ∈ R với a + 0i ∈ C coi R trường C hay R ⊂ C Chú ý rằng, nghịch đảo z = z −1 = Số hóa Trung tâm Học liệu z z zz −1 = z z = |z|2 z |z|2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.1.3 Cho số phức z = Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (rađian) góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM gọi Argument z ký hiệu qua Arg(z) Góc α = ∠xOM, −π α π, gọi argument z ký hiệu arg z Argument số phức khơng định nghĩa Chú ý rằng, α argument z argument z có dạng α + k.2π với √ k ∈ Z Với z = 0, ký hiệu α + k.2π Argument z Ký hiệu r = zz Khi số phức z = a + bi có a = r cos α, b = r sin α Vậy z = biểu diễn z = r cos α + i sin α biểu diễn gọi dạng lượng giác z Mệnh đề 1.1.4 Với số phức z1 , z2 biểu diễn z1 = r1 cos α1 + i sin α1 , z2 = r2 cos α2 + i sin α2 , r1 , r2 0, ta ln có (i) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, | z1 |z1 | |= |z1 + z2 | z2 |z2 | |z1 | + |z2 | (ii) z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2 (iii) z1 r1 = cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 z2 r2 r > Chứng minh: Hiển nhiên Ví dụ 1.1.5 Với a + bi = x + iy Bài giải: Từ a + bi = x + iy n a2 + b = x + y n n n có a2 + b2 = x2 + y n suy a − bi = x − iy Như Mệnh đề 1.1.6 [Moivre] Nếu z = r(cos α + i sin α) với số ngun dương n có z n = rn cos nα + i sin nα Chứng minh: Kết chứng minh qua quy nạp theo n Hệ 1.1.7 Căn bậc n số phức z = r cos α + i sin α = α + 2kπ α + 2kπ n giá trị khác zk = r1/n cos + i sin với n n k = 1, 2, , n Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 1.2.1 Tính đóng đại số trường C C trường đóng đại số Bây ta rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh định lý nhà tốn học C Gauss (1777-1855) Định nghĩa 1.2.1 Trường K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thc K[x] có nghiệm K Như vậy, K[x] đa thức bậc dương phân tích thành tích nhân tử tuyến tính K trường đóng đại số Bổ đề 1.2.2 Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] có nghiệm thực thuộc R Chứng minh: Giả sử f (x) = a0 x2s+1 +a1 x2s +· · ·+a2s x+a2s+1 ∈ R[x] với a0 = Dễ dàng thấy a0 f (x) tiến +∞ x → +∞ a0 f (x) tiến −∞ x → −∞ Từ suy tồn số thực α > β < thỏa mãn a0 f (α) > 0, a0 f (β) < Do a20 f (α)f (β) < hay f (α)f (β) < Vì đa thức f (x) hàm xác định liên tục R thỏa mãn f (α)f (β) < nên, theo Định lý Weierstrass, đa thức f (x) có nghiệm thực thuộc (α, β) Bổ đề 1.2.3 Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] có hai nghiệm thuộc C Chứng minh: Trước tiên ta ra, với số phức z có hai số phức z1 , z2 để z12 = z, z22 = z Thật vậy, giả sử z = a + bi = giả sử x2 − y = a z1 = x + yi với a, b, x, y ∈ R để z1 = z hay 2xy = b Ta cần xét trường hợp b = trường hợp b = xét tương tự Vì b = nên x = Khi  √   a + a2 + b2 b y = x = ± =0 1,2 hay 2x 4x4 − 4ax2 − b2 =  y = b 2x bi bi Ta có z1 = x1 + z2 = x2 + thỏa mãn z12 = z22 = z 2x1 2x2 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Theo lập luận trên, có hai số phức z1 z2 để z12 = z22 = b2 − 4ac −b + z1 −b + z2 Khi nghiệm phương trình 2 Định lý 1.2.4 [d’Alembert-Gauss, Định lý đại số] Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm thuộc C Chứng minh 1: Cho đa thức tùy ý f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ta ký hiệu đa thức f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an Khi g(x) = f (x)f (x) ∈ R[x] Nếu g(α) = f (α) = f (α) = Từ trường hợp f (α) = ta suy = f (α) = f (α) Tóm lại, g(x) có nghiệm f (x) có nghiệm Chính kết mà ta cần chứng minh định lý cho đa thức với hệ số thực Ta biết cho đa thức f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ R[x] có trường mở rộng K R để K[x] ta có phân tích thành tích nhân tử tuyến tính f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ) Phân tích bậc n = 2d với số ngun dương lẻ Ta chứng minh có αi ∈ C phương pháp quy nạp theo số ngun khơng âm d Nếu d = f (x) đa thức bậc lẻ Nó có nghiệm C theo Bổ đề 1.2.2 Nếu d > 0, ta giả thiết đa thức thuộc R[x] có bậc m với phân tích m = 2e p, p lẻ e < d, có nghiệm thuộc C Với số thực c ta xét phần tử βij = αi αj + c(αi + αj ) với tất cặp số i, j = 1, , n, i < j Số cặp (i, j) n(n − 1) = 2d−1 (2d − 1) = 2d−1 q với số q lẻ Đa thức bậc 2d−1 q sau đây: g(x) = (x − βij ) i[...]... , αj ∈ C Chứng minh 2: Thế x = r(cos t + i sin t) vào đa thức f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ta có thể biểu diễn f (x) = u + iv với u = rn cos nt + · · · , v = rn sin nt + · · · , trong đó các số hạng còn lại của u và v chứa lũy thừa của r với số mũ nhỏ hơn n Khi đó f (x)f (x) = u2 + v 2 Ta chỉ ra sự tồn tại của r và t để u2 + v 2 = 0 ∂u ∂v ∂u ∂v v − u v − u u ∂z ∂r , ∂z = ∂t ∂t Xét hàm số z = arctan... có ít nất một nghiệm phức Vì chỉ có n(n − 1) n(n − 1) cặp i, j với i < j, nhưng có + 1 đa thức g(x) tương 2 2 ứng có nghiệm phức, nên có cặp (i, j) được tính 2 lần Do vậy, có hai số thực c1 và c2 khác nhau để a = αi αj +c1 (αi +αj ), b = αi αj +c2 (αi +αj ) đều thuộc C Ta có hệ:  a−b  αi + αj = , c1 − c2 bc − ac2  αi αj = 1 c1 − c2 nghĩa: Tồn tại βij ∈ C Có tất cả Hệ này có nghiệm phức theo Bổ... (u + v 2 )2 trên hình chữ nhật [0; R] × [0; 2π] nên I1 = I2 Mặt khác, xét tích phân 2 ∂z 2π ∂z 2π ∂ z I1 Ta có 0 dt = = 0, vì là hàm tuần hồn của t với ∂r∂t ∂r 0 ∂r 2 ∂z R R ∂ z chu kỳ 2π Do vậy I1 = 0 Xét tích phân I2 Ta có 0 dr = ∂r∂t ∂t 0 ∂u ∂v Vì u2 +v 2 = r2n +· · · và = −nrn sin nt+· · · , = nrn cos nt+· · · ∂t ∂r Giả sử u2 + v 2 = 0 với mọi r, t Vì hàm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/