Ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thích và bất đẳng thức

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học PH¹M QUANG NGäC øNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Mð ƒu Tõm tt lỵ thuyt ma trn nh thức v 1.1 Ma tr“n, t‰nh ch§t v c¡c ph†p to¡n 1.1.1 1.1.2 1.2 ành thøc cıa ma tr“n vuæng 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Ma tr“n Łi xøng v d⁄ng to n ph÷ìng 1.3.1 1.3.2 Ùng dửng lỵ thuyt nh thức v ma trn v o lỵp c¡c b i to¡n chøng minh flng thøc v 2.1 Chøng minh flng thøc 2.1.1 2.1.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 Chøng minh b§t flng thøc 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 B i ngh v hữợng dÔn gi£i T i li»u tham kh£o Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M Lỵ thuyt u i s tuyn tnh nõi chung v lỵ thuyt ành thøc v ma tr“n nâi ri¶ng l ki‚n thøc cì b£n cıa to¡n håc Nâ l cì sð ” nghiản cứu cĂc lỵ thuyt khĂc ca toĂn hồc nhữ h…nh håc cao c§p, gi£i t‰ch, to¡n kinh t‚ v.v Ngo i nâ cỈn câ øng dưng viằc nghiản cứu mt s ngh nh khoa hồc nhữ vt lỵ, cỡ lỵ thuyt, hõa hồc v mt s ngh nh kÿ thu“t kh¡c Hi»n c¡c b i toĂn v flng thức v bĐt flng thức ta thữớng gp rĐt nhiu cĂc giĂo trnh, cĂc ký thi hồc sinh giọi v cõ rĐt nhiu phữỡng ph¡p gi£i hay v ºc ¡o Trong ph⁄m vi • t i n y chóng tỉi m⁄nh d⁄n tr…nh b y mºt ph÷ìng ph¡p ti‚p c“n kh¡c â l ph÷ìng phĂp giÊi dỹa trản lỵ thuyt ca ma trn v nh thức B cửc ca lun vôn nhữ sau lu“n v«n ngo i c¡c phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i liằu tham khÊo lun vôn gỗm cõ hai chữỡng: Chữỡng 1: Lỵ thuyt ma trn, nh thức v mt s kin thức cõ liản quan Chữỡng 2: ng dửng lỵ thuyt ma trn v nh thức v o lỵp c¡c b i to¡n chøng minh flng thøc v bĐt flng thức Lun vôn ữổc ho n th nh t⁄i Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i hồc ThĂi Nguyản ho n th nh lun vôn n y, tĂc giÊ Â ữổc nhn sỹ hữợng dÔn, gióp ï t“n t…nh cıa PGS.TS Nỉng QuŁc Chinh Nh¥n ¥y, t¡c gi£ xin b y tä lỈng bi‚t ìn sƠu sc tợi thy, ngữới  quan tƠm, hữợng dÔn v õng gõp nhiu ỵ kin qúy bĂu sut qu¡ tr…nh ho n th nh lu“n v«n cıa t¡c gi£ T¡c gi£ xin b y tä lỈng bi‚t ìn sƠu sc tợi th cĂc thy cổ giĂo khoa To¡n HKH - H Th¡i Nguy¶n v… sü d⁄y dØ, gióp ï t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n v«n n y CuŁi còng t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn gia nh v bn b  giúp ù v l nguỗn ng viản tinh thn lợn sut quĂ trnh hồc t“p v ho n th nh lu“n v«n K‚t qu£ t ữổc bÊn lun vôn n y cặn nhiu khi¶m tŁn v ch›c hfln khỉng th” tr¡nh khäi nhœng thiu sõt Do vy, tĂc giÊ rĐt mong nhn ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca thy cổ v cĂc bn b lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ThĂi Nguyản, thĂng 08 nôm 2012 Hồc vi¶n Ph⁄m Quang Ngåc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng Tõm tt lỵ thuyt ma trn nh thức v mt s kin thức liản quan 1.1 Ma trn, tnh chĐt v c¡c ph†p to¡n 1.1.1 C¡c ành ngh¾a @ C C C C C C A ( vỵi i = 1,2, ,m; j =1,2, n ; aij R N‚u m = n th… ta nâi A l ma tr“n vng c§p n, k‰ hi»u t Ma tr“n A = (aji) cºt, cºt th nh dỈng gåi l ma tr“n chuy”n cıa ma tr“n A Ma tr“n vuæng A ÷ỉc gåi l ma tr“n Łi xøng n‚u aij = aji; 8i; j = Ma tr“n vuæng A gåi l Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma tr“n vng A ÷ỉc gåi l ma tr“n ìn n‚u måi phƒn tß nm trản ữớng cho chnh u bng 1, cĂc phn tò cặn li bng v ta k hiằu I n: 1.1.2 T‰nh ch§t v c¡c ph†p to¡n i) Ph†p nhƠn ma trn vợi mt s Tch ca ma trn A vỵi mºt sŁ k l mºt ma tr“n B = k.A ÷ỉc x¡c ành nh÷ sau: ii) Ph†p cºng ma tr“n TŒng cıa hai ma tr“n A = (aij)m n v B = (bij)m nl mºt ma tr“n C = (cij)m n vỵi cij = aij + bij; 8i = 1; m; 8j = 1; n: a11 a B B 21 : :: B B a B m1 B : : : b1n @ : : : b2n ::: ::: : : : bmn Hi”n nhi¶n ta cơng th§y ph†p cºng hai ma tr“n cơng câ t‰nh giao ho¡n v k‚t hæp T‰nh giao ho¡n: A + B = B + A T‰nh k‚t hæp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C iii) Ph†p nh¥n c¡c ma tr“n T‰ch cıa hai ma tr“n A = (aik)m ành ngh¾a nh÷ sau: n v B = (bkj)n C=A:B= p l Ta ỵ php nhƠn ma trn A vợi ma tr“n B ch¿ thüc hi»n ÷ỉc n‚u sŁ cºt cıa ma tr“n A b‹ng sŁ dỈng cıa ma tr“n B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ph†p nh¥n ma tr“n nâi chung khỉng câ t‰nh ch§t giao ho¡n Tøc l A:B 6= B:A: Tuy nhiản php nhƠn ma trn cõ tnh chĐt k‚t hỉp:(A:B):C = A:(B:C): Ma tr“n vngA = (aij)n ÷ỉc gồi l ma trn khÊ nghch nu tỗn ti ma tr“n vuæng B = (bij)n cho A:B = B:A = In: t Ma tr“n vuæng A gåi l ma tr“n trüc giao n‚u A:A = In: Nh“n x†t : Ta th§y t“p hỉp c¡c ma tr“n vng c§p n vợi php cng v nhƠn ma trn lp th nh mt v nh khổng giao hoĂn vợi phn tò khỉng l ma tr“n O v phƒn tß ìn l ma tr“n ìn In: Hìn nœa n‚u th¶m v o php nhƠn vổ hữợng, nõ to th nh mt i s trản trữớng K K hiằu cĂc ma tr“n vng c§p n l M at(n; K), ð ¥y K l tr÷íng R ho°c C 1.2 1.2.1 ành thøc cıa ma tr“n vng C¡c ành ngh¾a v t‰nh ch§t ành thøc cıa ma tr“n vng A = (aij)n l mºt sŁ k‰ hi»u l det(A) ho°c jAj ÷ỉc x¡c ành nh÷ sau: det (A) = X sgn ( 2Sn T nh nghắa ta cõ mt s tnh chĐt v k‚t qu£ sau: )a (1)1::: a (n)n: b) p döng chøng minh: n X (xi i=1 Ta nh“n th§y v‚ tr¡i cıa b§t flng thøc l mºt d⁄ng to n ph÷ìng(x,Ax) câ ma tr“n l A Ta ÷a dng to n phữỡng v dng chnh tc cõ: ( Ơy y = T Theo ỵ a : = + cos i Do i = 2; n n¶n < M°t kh¡c : sin M sin( + 2(2 (do n > n¶n Suy : sin 2 n Do v“y : i=1 (x i ph†p bi‚n Œi trüc giao ð tr¶n(x,x)=(y,y) V… theo V“y ta câ b§t flng thøc cƒn chøng minh 2.2.4 p dửng P nh lỵ Schur nh lỵ (Schur) N‚u A = (aij); B = (bij) l c¡c ma tr“n x¡c ành d÷ìng th… ma tr“n C(aijbij) cơng x¡c ành d÷ìng Chøng minh Gåi ma tr“n trüc giao T Tức l : ữa ma trn A v dng ữớng ch†o A=T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hay nâi c¡ch kh¡c cỉng thøc tr¶n l bi”u di„n tham sŁ cıa c¡c phƒn tß cıa ma tr“n n P t t : k ik jk k=1 x¡c ành d÷ìng A qua c¡c phƒn tß ma tr“n trüc giao T : a ij = Khi â d⁄ng to n ph÷ìng sau: n n P n P aijbijxixj = i;j=1 n P bijxixj( ktiktjk) i;j=1 n P P = k=1 bijxitiktjk) vỵi k( k=1 i;j=1 k >0 i;j=1 P Câ th” xem nh÷ l n d⁄ng to n ph÷ìng cıa c¡c bi‚n xitik Biu thức dữỡng nu t nhĐt mt cĂc bijxitikxjtjk ⁄i l÷ỉng xitik kh¡c ( bði ma tr“n ma tr“n B x¡c ành d÷ìng ) P Nh÷ng v…: i;k xi = i•u n y x¡c l“p nản tnh xĂc nh dữỡng ca ma trn C = (aijbij) V‰ dö 13 2 2 2 Cho a1u + 2b1uv + c1v > ; a2u + 2b2uv + c2v > ; 8u; v cho u + v 6= : 2 2 Chøng minh r‹ng : a1a2u + 2b1b2uv + c1c2v > ; vỵi 8u; v cho u + v 6= : Gi£i : X†t hai d⁄ng to n ph÷ìng 2 2 Q1(u; v) = 2a1u + 2b1uv + c1v : Q2(u; v) = 2a2u + 2b2uv + c2v : Ta th§y Q1(u; v); Q2(u; v) l X1 Ăp dửng nh lỵ ta cõ ma tr“n V“y d⁄ng to n ph÷ìng Q(u; v) = a1a2u + 2b1b2uv + c1c2v câ b§t flng thøc cƒn chøng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.5 p dưng b§t flng thức lêm jAj B 1.( Dng tch phƠn ca bĐt flng thức Holder ) R Cho f(x); g(x) > 0; p; q > cho p + q = v c¡c t‰ch ph¥n tỗn ti Khi õ : Z R R f (x) dV ; R g (x) dV f (x) g (x) dV R p1 Chøng minh Ta x†t ÷íng cong v = u (p > 1) Rª r ng di»n t‰ch cıa h…nh chœ nh“t OvRu nhä hìn ho°c b‹ng tŒng di»n t‰ch OPu v OQv : D§u b‹ng xÊy nảu v = u p : Nhữ v“y, n‚u u; v > 0; uv °t u= Sau thay v o (I) ta câ : f (x) g (x) p q f (x) g (x) :R + :R : p f (x)p dv q g (x)q dv R R LĐy tch phƠn v theo R ta ữổc bĐt flng thức cn chứng minh nh lỵ Nu cĂc ma trn A; B x¡c ành d÷ìng th… : j A + (1 Chøng minh Ta câ : ) Bj > jAj jBj vỵi 6 1: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn Sò dửng dng tch phƠn ca bĐt flng thức Holder sau °t : p= : Khi ;q=1 â: n j , , Suy j A + (1 ) Bj j A + (1 V‰ dö 14 Chøng minh : x + (1 ) Bj > jAj : jBj )y > x :y : vỵi x; y > ; 6 1: GiÊi : p dửng nh lỵ vợi ma trn vuổng xĂc nh dữỡng cĐp :X = (x),Y = (y) ta câ:j x + (1 )yj > x :y : (B§t flng thøc cƒn chøng minh) 2.2.6 p dửng bĐt flng thức Adamar B 2.Nu ma tr“n A x¡c ành d÷ìng th… Chøng minh Thay xi b‹ng jAj (ð ¥y z = e jAj Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 (ð ¥y A = (aij) ; i; j = 2; ).Do â ja11j Tł ¥y suy k‚t qu£ cho n = CĂch chứng minh cho n tũy ỵ cụng tữỡng tỹ nh lỵ 10.(BĐt flng thức Adamar) GiÊ sò B l ma tr“n khæng suy bi‚n Khi â : jBj n Y Xk i=1 t Chøng minh Ta ch¿ cƒn ¡p dưng bŒ • cho ma tr“n xĂc nh dữỡng A = B:B ( theo nh lỵ ) V‰ dö 15 Cho a; b; c; d l c¡c sŁ thüc kh¡c tłng æi mºt Chøng minh r‹ng : (b a) (c 2 2 64a +b +c +d 2 2 Gi£i : Ta th§y v‚ tr¡i l ành thøc Vandermond cĐp bnh phữỡng vợi A jj a) (d a) (c b) (d b) (d c) 4 4 6 6 a +b +c +d a +b +c +d : > ¡p döng ành lỵ 10 ta cõ bĐt flng 2.3 B i ngh v hữợng dÔn giÊi B i1 p döng ma tr“n A = @ a2 2 a1 + a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 B i p döng ma tr“n A = 2 2 a +b +c +d B i Chøng minh rng nu A l ma trn xĂc nh dữỡng, cặn B l ma tr“n Łi xøng th…: +1 Z jA + iBj2 Hữợng dÔn: tnh tch phƠn n y ta l m nh÷ sau : B1 : °t x = Ty, Ơy T l ma trn trỹc giao ữa A v dng ữớng cho B2 : Thỹc hiằn thảm ph†p Œi d§u yk = zk1 k B3 : Trong flng thức nhn ữổc dữợi dĐu tch phƠn n e P k=1 z k i(z;Cz) ta ÷a ma tr“n e v• d⁄ng ch†o b‹ng ph†p bi‚n Œi trüc giao z = Sw B4 : T‰nh t‰ch ph¥n nh“n ÷æc B i 2 2 Cho x1v + 2x2uv + x3v > v y1v + 2y2uv + y3v > vỵi Chøng minh r‹ng: x1y1:x3y3 B (x2y2) > (x1y1 + x2y2)(x2y2 + x3y3) (x2y1 + x3y2)(x1y2 + x2y3): i Chøng minh n‚u vỵi måi xi thüc v v n‚u xi = xn+1 th… : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 http://www.lrc-tnu.edu.vn B i (B§t flng thøc Hilbert) Chøng minh r‹ng: X n n i;j=1 xixj X i+j+1 < i=1 i x B i °t jAjk = 2::: k l c¡c gi¡ trà ri¶ng ca ma trn A xĂc nh dữỡng th vợi 6 1; k = B i Chøng minh r‹ng n‚u a1; a2; :::; an; b1; b2; :::; bn th… ta câ: n ak X i=1 Chøng minh nh÷ flng thøc Cosi vỵi B = Bi9 Chøng minh r‹ng vỵi a1; a2; :::; an; b1; b2; :::; bn; Hữợng dÔn: sò dửng b i toĂn trản vợi jaij = j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 K‚t lu“n Lu“n v«n "ng dửng lỵ thuyt nh thức v ma trn v o vi»c gi£i quy‚t lỵp b i to¡n chøng minh flng thức v bĐt flng thức"  giÊi quyt ữổc nhng vĐn sau Ơy Tõm tt lỵ thuyt cỡ bÊn v ma trn v nh thức cụng nhữ mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan, °c bi»t d⁄ng to n ph÷ìng cıa ma tr“n Chøng minh mºt sŁ ành lỵ, tnh chĐt cỡ bÊn quan trồng l m cỡ sð ¡p dưng cho phƒn sau ÷a ph÷ìng ph¡p ” chøng minh flng thøc, b§t flng thøc düa v o nh lỵ v 4, c biằt l nh lỵ Bine-Cosi ữa cĂch chứng minh flng thức b‹ng c¡ch t‰nh ành thøc, c¡ch dòng ph÷ìng tr…nh ma tr“n vỵi c¡c v‰ dư cư th” Chøng minh ữổc nh lỵ Schur, bĐt flng thức lêm, bĐt flng thøc Adamar theo mºt c¡ch ti‚p c“n kh¡c l düa v o ành thøc v ma tr“n.V ¡p döng chóng mºt sŁ v‰ dư cư th” Do khn kh ca t i nghiản cứu cõ giợi hn v iu kiằn thới gian khổng cho php nản cặn nhiu hữợng m tĂc giÊ khổng thỹc hiằn ữổc nhữ Nghiản cứu cĂc Ăp dửng lỵ thuyt nh thức v ma tr“n v o vi»c gi£i quy‚t ph÷ìng tr…nh v hằ phữỡng trnh Nghiản cứu cĂc Ăp dửng lỵ thuyt nh thức v ma trn v o viằc giÊi quyt bĐt phữỡng trnh v hằ bĐt phữỡng trnh Trong qu¡ tr…nh l m, • t i khỉng tr¡nh khäi nhœng sai sât K‰nh mong b⁄n åc gâp þ ” t¡c gi£ tü i•u ch¿nh v ho n th nh tt hỡn tiny ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca PGS.TS Nổng Quc Chinh v sü nghi¶n cøu, l m vi»c nghi¶m tóc cıa b£n thƠn TĂc giÊ xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n sỹ quan tƠm hữợng dÔn y nhiằt tnh ht sức nghiảm khc ca Thy TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban giĂm hiằu, phặng NCKH- TS H, Khoa to¡n Tr÷íng ⁄i håc khoa håc - i hồc ThĂi Nguyản cĂc thy cổ  gi£ng d⁄y, gióp ï t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh håc t“p T¡c gi£ xin c£m ìn ban gi¡m Łc sð gi¡o dưc o t⁄o th nh phŁ H£i PhỈng, Tr÷íng HHP, ban gi¡m hi»u tr÷íng PhŒ thỉng Nºi tró ç Sìn, H£i PhỈng v c¡c b⁄n çng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiằp  ng viản, giúp ù, to mồi i•u ki»n thu“n lỉi cho t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh • t i nghi¶n cøu khoa håc n y Th¡i Nguy¶n, th¡ng 08 nôm 2012 Hồc viản Phm Quang Ngồc S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn T i li»u tham kh£o [1] Nguy„n Hœu Vi»t H÷ng, ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh, NXB ⁄i håc QuŁc Gia H Ni (2002) [2] Ho ng ức Nguyản, Phan Vôn H⁄p, L¶ …nh Thành, L¶ …nh ành, ⁄i sŁ tuy‚n t ‰nh ( phƒn b i t“p ), NXB Khoa håc v Kÿ thu“t -H Nºi (1997) [3] Nguy„n Do¢n Tu§n, Phan Huy Phó , B i t“p ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh , NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi (2004) [4] Tuy”n t“p • thi Olimpic To¡n håc sinh sinh vi¶n mỉn ⁄i sŁ ( 1993 - 2002 ) [5] Trƒn L÷u C÷íng , Nguy„n Nam B›c, Tỉ Anh Dụng, Huýnh BĂ LƠn, ToĂn Olimpic cho sinh viản II, NXBGD H Nºi 2000 [6] Khu QuŁc Anh, T MÔn, Nguyn Anh Kiằt, Nguyn DoÂn TuĐn ,B i t“p ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh v h…nh håc gi£i t‰ch, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi -1999 [7] o n Quýnh, Khu Quc Anh, T MÔn, Nguyn Anh Kiằt, Nguyn DoÂn TuĐn GiĂo trnh toĂn i cữỡng ( phƒn I ), NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi -1998 [8] Jean Marie Monier, ⁄i sŁ 1, ⁄i sŁ 2, NXBGD H Ni 2000 [9] R.Bellman, M u lỵ thuy‚t ma tr“n , NXB Khoa håc v Kÿ thu“t -H Nºi (1998) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... lƒn bºi T õ suy iu phÊi chứng minh Tnh chĐt Måi ma tr“n Łi xøng A •u ch†o hâa ữổc, tức l tỗn ti ma trn trỹc giao T cho T AT = T AT l ma tr“n ch†o Chøng minh Ta chøng minh b‹ng quy n⁄p theo cĐp... iu phÊi chứng minh n Tnh chĐt Cho A l ma tr“n Łi xøng c§p n Khi â R tỗn ti mt cỡ s trỹc chu'n gỗm nhœng v†c tì ri¶ng cıa A Chøng minh Theo t‰nh ch§t AT =TD â T l ma tr“n trüc giao; D l ma tr“n... ma tr“n vng c§p n, k‰ hi»u t Ma tr“n A = (aji) cºt, cºt th nh dỈng gåi l ma tr“n chuy”n cıa ma tr“n A Ma tr“n vng A ÷ỉc gåi l ma tr“n Łi xøng n‚u aij = aji; 8i; j = Ma tr“n vng A gåi l Số hóa