Sáng tạo bất đẳng thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức bản, việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh việc khai thác thêm tốn từ tốn điển hình, đồng thời biết vận dụng toán đơn giản để giải toán phức tạp điều cần thiết cho cơng tác dạy học tốn, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thông Trong chương trình Tốn THPT bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng khó, lại có vai trò lớn việc phát triển tư logic, óc sáng tạo học sinh Hầu đa kỳ thi, bất đẳng thức câu vận dụng cao, thách thức học sinh để lấy điểm 10 Tuy nhiên, dạy học sinh cách bản, rèn luyện kĩ phân tích, đặc biệt hóa, khái qt hóa từ tốn đơn giản gặp, chắn học sinh giải toán phức tạp Trong Sáng kiến kinh nghiệm tôi, xuất phát từ bất đẳng thức quen thuộc để từ khái quát hóa thành nhiều bất đẳng thức tổng quát, mà từ đưa lớp bất đẳng thức cụ thể hay gặp trường phổ thơng Vì tơi chọn tên Sáng kiến kinh nghiệm là: “Sáng tạo Bất đẳng thức tổng quát từ bất đẳng thức thông dụng” Hy vọng, với Sáng kiến kinh nghiệm tơi góp phần nhỏ việc nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, đặc biệt phần bất đẳng thức trường phổ thơng 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu viết Sáng kiến kinh nghiệm là: Tự học, tự nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ thân, nhằm cải thiện chất lượng giảng dạy cho học sinh tốt Tạo nguồn tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy thân, đồng nghiệp phục vụ cho việc học học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong SKKN này, đối tượng mà hướng đến nghiên cứu bất đẳng thức thông dụng trường phổ thông, để từ khái qt hóa qua nhìn nhiều góc độ để đưa số bất đẳng thức tổng quát tập cụ thể áp dụng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp mà thân sử dụng để nghiên cứu SKKN đặc biệt hóa khái quát hóa, từ tốn bất đẳng thức thơng dụng, thân khái quát thành nhiều bất đẳng thức tổng quát để từ sáng tạo nhiều bất đẳng thức cụ thể Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để nghiên cứu thực thành công SKKN mình, thân dựa vào bất đẳng thức cổ điển thông dụng AM - GM (Sách phổ thơng gọi bất đẳng thức Cauchy) toán chứng minh bất đẳng thức GS TSKH Nguyễn Văn Mậu in nhiều sách bất đẳng thức mà Giáo sư người chủ biên Bất đẳng thức AM - GM (Cauchy) Cho số a1; a2 ; ; an số thực không âm Khi ta có BĐT: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = = an Bài toán chứng minh BĐT ban đầu: Cho a, b, c ≥ 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n + b m+n + c m+ n ≥ a mb n + b mc n + c m a n 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nói đến BĐT nói đến vấn đề khó trường phổ thơng, đa phần học sinh ngại học BĐT, đặc biệt học sinh có học lực trở xuống thường có tâm lí lo sợ chán không muốn học Trường giảng dạy trường THPT Lê Văn Hưu có tình trạng tương tự, Bất đẳng thức giảng dạy lớp mũi nhọn, lớp đại trà khó để giảng dạy chuyên đề cách đầy đủ 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tôi bất đẳng thức thông dụng mà thường gặp tài liệu mơn Tốn bất đẳng thức trường phổ thơng: Bài toán 1: Cho a, b, c ≥ 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n + b m+ n + c m+ n ≥ a mb n + b m c n + c m a n (1) Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ma m+ n + nb m+ n m+ n m+ n m m+n n ≥ a ) ( b ) = a mb n ( m+n m+ n mb + nc m + n m+ n m+ n m m + n n ≥ b ) ( c ) = b mc n ( m+n m+ n mc + ab m+ n m+ n m+ n m m+ n n ≥ c ) ( a ) = c m a n ( m+n Cộng bất đẳng thức ta được: a m+ n + b m+ n + c m+ n ≥ a mb n + b mc n + c m a n (đpcm) Bài tập áp dụng BĐT (1): Bài tập 1: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b3 + c ≥ a 2b + b 2c + c a ≥ ab + bc + ca Bài tập 2: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ a 3b + b3c + c 3a ≥ a 2b + b c + c a ≥ ab3 + bc + ca3 Bài tập 3: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ a 4b + b c + c a ≥ a 3b + b3c + c 3a ≥ a 2b + b c + c a Bài tập 4: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ a 6b + b c + c a ≥ a b3 + b c + c a ≥ a 5b + b c + c a Từ BĐT (1) ta suy BĐT (2) sau: Bài toán 2: Cho a, b, c ≥ 0, m, n, k ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n+ k + b m+ n+ k + c m+ n + k ≥ a mb n c k + b mc n a k + c m a nb k (2) Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ma m+ n+ k + nb m+ n+ k + kc m+n + k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n + k n m+ n + k k ≥ a ( b ( c = a mb n c k ( ) ) ) m+n+k m + n+ k mb + nc m+ n+ k + ka m+ n+ k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n+ k n m+ n + k k ≥ b ( c ( a = bmc n a k ( ) ) ) m+n+k m + n+ k mc + na m+ n+ k + kb m+ n+ k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n+ k n m+ n + k k ≥ c ( a ( b = c m a nb k ( ) ) ) m+n+k Cộng bất đẳng thức ta được: a m+ n + k + b m+ n+ k + c m+n + k ≥ a mb n c k + b mc n a k + c m a nb k (đpcm) Bài tập áp dụng BĐT (2): Bài tập 5: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ a 2bc + b 2ca + c ab Bài tập 6: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b5 + c ≥ a 3bc + b3ca + c3ab ≥ a 2b c + b c a + c a 2b Bài tập 7: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ a 4bc + b 4ca + c ab ≥ a 3b 2c + b3c a + c 3a 2b ≥ a 2b3c + b 2c 3a + c a 3b Từ BĐT (1) ta suy BĐT (3) sau: Bài toán 3: Cho a, b, c > 0, m, n, k ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n b m + n c m +n + n + n ≥ a m + bm + cm n b c a (3) Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a m+ n + a m − nb n ≥ 2a m n b b m+ n + b m − n c n ≥ 2b m n c c m+ n + c m−n a n ≥ 2c m n a Cộng bất đẳng thức ta được: a m + n b m+ n c m + n + n + n ≥ 2(a m + b m + c m ) − ( a m− nb n + b m− nc n + c m−n a n ) n b c a Theo (1) thì: a m + b m + c m ≥ a m−nb n + b m −nc n + c m−n a n Nên: VT ( 3) ≥ (a m + b m + c m ) + (a m + b m + c m ) − (a m −nb n + b m −n c n + c m −n a n ) ≥ a m + bm + cm Bài tập áp dụng BĐT (3): Bài tập 8: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c5 + + ≥ a + b3 + c b c a Bài tập 9: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c + + ≥ a3 + b3 + c3 c a b Bài tập 10: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c5 + + ≥ a + b2 + c b c a Bài tập 11: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b7 c + + ≥ a + b4 + c4 b c a Từ toán (3) tốn (1), ta suy BĐT (4) sau: Bài toán 4: Cho a, b, c > 0, m, n > k ∈ N * a m+ n b m + n c m +n Chứng minh rằng: n + n + n ≥ a m−k + b m− k + c m −k b c a (4) Bài tập áp dụng BĐT (4): Bài tập 12: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c5 + + ≥ a 2b + b 2c + c a b c a ≥ ab + bc + ca Bài tập 13: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c + + ≥ ab + bc + ca b3 c3 a Bài tập 14: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b7 c + + ≥ a 3b + b3c + c3a b c a ≥ ab3 + bc + ca Từ tốn (3) tốn (2), ta suy BĐT (5) sau: Bài toán 5: Cho a, b, c > 0, m, n, p, q ∈ N * Chứng minh rằng: a m + n + p + q b m + n+ p + q c m+ n+ p + q + + ≥ a mb p c q + b m c p a q + c m a pb q n n n b c a (5) Bài tập áp dụng BĐT (5): Bài tập 15: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c + + ≥ a 2bc + b 2ca + c ab b c a Bài tập 16: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b7 c + + ≥ a 3bc + b3ca + c 3ab b c a ≥ a 2b c + b c a + c a b Bài tập 17: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b6 c + + ≥ a 3bc + b3ca + c3ab b c a Từ tốn (3), ta suy BĐT (6) sau: Bài toán 6: Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * Chứng minh rằng: a m+n + p b m+n+ p c m +n+ p + n p + n p ≥ am + bm + cm n p bc ca ab (6) Chứng minh: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a m+ n+ p + a m − n − p b n c p ≥ 2a m n p bc c m+ n+ p + c m− n− p a n b p ≥ 2c m n p ab b m+ n+ p + b m− n− p c n a p ≥ 2b m n p ca Cộng BĐT ta được: a m + n+ p b m + n + p c m+ n+ p + n p + n p ≥ 2(a m + b m + c m ) − ( a m− n− pb nc p + b m − n− p c n a p + c m − n − p a nb p ) n p bc ca ab m m m m −n− p n p b c + b m − n − p c n a p + c m − n − p a nb p ) Mà theo (1) (a + b + c ) ≥ ( a Nên: a m+n+ p b m+ n+ p c m + n+ p + n p + n p ≥ a m + b m + c m (đpcm) n p bc ca ab Bài tập áp dụng BĐT (6): Bài tập 18: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 c5 + + ≥ a + b2 + c2 2 bc ca ab Bài tập 19: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b3 c + + ≥ a+b+c bc ca ab Bài tập 20: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + + ≥ a + b4 + c4 bc ca ab Bài tập 21: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + + ≥ a + b2 + c2 bc ca ab Từ toán (6) tốn (1), ta suy BĐT (7) sau: Bài toán 7: Cho a, b, c > 0, m, n, p, k ∈ N * , m > k a m+n + p b m+n+ p c m +n+ p Chứng minh rằng: n p + n p + n p ≥ a m−k b k + b m −k c k + c m −k a k bc ca ab (7) Bài tập áp dụng BĐT (7): Bài tập 22: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 c5 + + ≥ ab + bc + ca b c c a a 2b Bài tập 23: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b5 c5 + + ≥ a 2b + b c + c a bc ca ab Bài tập 24: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + + ≥ a 3b + b3c + c 3a 2 bc ca ab Bài tập 25: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + 2 + 2 ≥ a 2b + b c + c a 2 bc ca ab Từ toán (6) tốn (2), ta suy BĐT (8) sau: Bài toán 8: Cho a, b, c > 0, m, n, p, q, r ∈ N * , m > q + r Chứng minh rằng: a m+ n+ p b m+ n+ p c m + n + p + n p + n p ≥ a m−q − r b q c r + b m− q −r c q a r + c m−q − r a q b r n p bc ca ab (8) Bài tập áp dụng BĐT (8): Bài tập 26: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + + ≥ a 2bc + b 2ca + c ab bc ca ab ≥ abc(a + b + c) Bài tập 27: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a 2017 b 2017 c 2017 + + ≥ a 2b 2c ( a 2009 + b 2009 + c 2009 ) bc ca ab ≥ abc(a 2012 + b 2012 + c 2012 ) Bài tập 28: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a 6154 b 6154 c 6154 + + ≥ (abc) 2017 ( a + b + c ) bc ca ab 1 Từ (1) ta thay a , b , c , ta BĐT tổng quát (9) sau: a b c Bài toán 9: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+n + b m+ n + c m+n ≥ 1 + m n+ m n a b b c c a m n (9) Bài tập áp dụng BĐT (9): Bài tập 29: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + 2+ 2≥ + + a b c ab bc ca a , b , c > Chứng minh bất đẳng thức: Bài tập 30: Cho 1 1 1 + 5+ 5≥ 2+ 2+ a b c ab bc ca 1 ≥ + + ab bc ca Bài tập 31: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + + ≥ + + a b c a 2b b 2c c a 1 Từ (2) ta thay a , b , c , ta BĐT tổng quát (10) sau: a b c Bài toán 10: Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n+ p + b m+ n+ p + c m+ n + p ≥ 1 + + a mb n c p b m c n a p c m a n b p (10) Bài tập áp dụng BĐT (10): Bài tập 29: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + + ≥ + + a b c a 2bc b 2ca c ab Bài tập 30: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + 5+ 5≥ 2 + 2 + 2 a b c abc bca cab 1 ≥ + + a bc b ca c ab a , b , c > Chứng minh bất đẳng thức: Bài tập 31: Cho a 2020 + b 2020 + c 2020 ≥  1   2017 + 2017 + 2017 ÷ abc  a b c  Từ toán (3), ta suy BĐT (11) sau: Bài toán 11: Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * bn cn an 1 Chứng minh rằng: m+n + m+ n + m+n ≥ m + m + m a b c a b c (11) Bài tập áp dụng BĐT (11): Bài tập 32: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b2 c2 a 1 + + ≥ + + a b3 c3 a b c Bài tập 33: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b3 c3 a 1 + + ≥ + + a b5 c a b c Bài tập 34: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b c a 1 + + ≥ + + a b5 c5 a b c Từ toán (4), ta suy BĐT (12) sau: Bài toán 12: Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * ; m > p Chứng minh rằng: bn cn an 1 + + ≥ m− p p + m− p p + m− p p m+n m+ n m+n a b c a b b c c a (12) Bài tập áp dụng BĐT (12): Bài tập 35: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b c a 1 + 3+ 3≥ + + a b c ab bc ca Bài tập 36: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b3 c3 a 1 + + ≥ + + a b5 c ab bc ca Bài tập 37: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b c a 1 + + ≥ + + a b5 c5 a 3b b3c c 3a Bài toán 13: Cho a, b, c > 0, m, n, p, q ∈ N * ; m > p + q Chứng minh rằng: bn cn an 1 + + ≥ m− p − q p q + m − p − q p q + m − p −q p q m+ n m+ n m+ n a b c a b c b c a c a b (13) Bài tập áp dụng BĐT (13): Bài tập 38: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b c a 1 + 5+ 5≥ + + a b c a bc b ca c ab Bài tập 39: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b2 c2 a2 1 + 7+ ≥ 2 + 2 + 2 a b c abc bca cab Cũng từ (6), (7), (8), ta có BĐT tổng quát sau: Bài toán 14: Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * bnc p cna p a nb p 1 + + ≥ m+ m+ m Chứng minh rằng: m+n + p m + n+ p m+n+ p a b c a b c (14) Bài toán 15: Cho a, b, c > 0, m, n, p, k ∈ N * ; m > k Chứng minh rằng: bnc p cna p a nb p 1 + + ≥ m− k k + m− k k + m −k k m+ n+ p m+ n+ p m+n+ p a b c a b b c c a (15) Bài toán 16: Cho a, b, c > 0, m, n, p, k , r ∈ N * ; m > k + r Chứng minh rằng: bnc p c na p a nb p 1 + m + n + p + m + n + p ≥ m −k − r k r + m − k − r k r + m − k − r k r m+n + p a b c a bc b ca c ab (16) Bài tập áp dụng BĐT (14), (15), (16): Bài tập 40: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: b c c a a 2b 1 + + ≥ 4+ 4+ a7 b c a b c 1 ≥ + + ab bc ca Bài tập 41: Cho a, b, c > Cho a, b, c ∈ ¡ *+ ; a + b + c ≤ : b c c a a 2b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + a b c * Bài tập 42: Cho a, b, c > Cho a, b, c ∈ ¡ + ; a + b + c = : b 2c c a a 2b 243 Chứng minh rằng: P = + + ≥ a b c 625 1 1 243 VT ≥ =  + + ÷≥ abc  a b c   a + b + c  a + b + c 625 HD:  ÷   Từ BĐT (3) gợi ý để ta suy BĐT (17) sau: Bài toán 17: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+ n ( b + c) n + b m+n ( c + a) n + c m+ n ( a + b) n Chứng minh: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: ( b + c) n (17) b m−n ( c + a ) + ≥ n bm n n b m+ n ( c + a) m a + bm + cm ) n ( n c m−n ( a + b ) + ≥ n cm n n c m+ n ( a + b) a m−n ( b + c ) + ≥ n am n n a m+ n ≥ n Cộng BĐT ta được: VT ( ) ≥ ( m n n n a + b m + c m ) − n a m−n ( b + c ) + b m− n ( c + a ) + c m −n ( a + b ) n ( ) Ta có: (a m−n ( b + c) n + b m−n ( c + a ) + c m−n ( a + b ) n n )= n n n k =0 k =0 k =0 = a m− n ∑ Cnk b n −k c k +b m−n ∑ Cnk c n− k a k +c m −n ∑ Cnk a n −k b k n = ∑ Cnk ( a m−nb n−k c k + b m− nc n −k a k + c m −n a n − k b k ) k =0 Mà theo (2) thì: a m + b m + c m ≥ a m − nb n − k c k + b m − n c n − k a k + c m − n a n − k b k Do đó: m n k m m m a + b + c − C a + bm + c m ) ) n ( n ∑ n ( k =0 1 = n ( a m + b m + c m ) − n 2n ( a m + b m + c m ) = n ( am + bm + cm ) VT ( ) ≥ Bài tập áp dụng BĐT (17): Bài tập 43: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài tập 44: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 + + ≥ ( a + b + c) b+c c+a a+b Bài tập 45: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 c3 + + ≥ ( a2 + b2 + c2 ) b+c c+a a+b Bài tập 46: Cho a, b, c ≥ 0; a + b + c ≥ : a3 b3 c3 + + ≥ Chứng minh rằng: b+c c+a a+b Bài tập 47: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b + c) 2 (b + c) (c + a ) (a + b) Bài tập 48: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 c5 3 + + ≥ (a +b +c ) (b + c) (c + a ) (a + b) ≥ ( a 2b + b 2c + c a ) Bài tập 49: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 b7 c7 + + ≥ ( a2 + b2 + c2 ) 5 (b + c) (c + a) (a + b) 32 Bài tập 50: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 10 a7 b7 c7 + + ≥ ( a 2b + b c + c a ) 3 (b + c) (c + a ) (a + b) Từ BĐT (6) gợi ý để ta suy BĐT (18) sau: Bài toán 18: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+2 n ( a + b) ( a + c) n n + b m+2 n ( b + a) ( b + c) n n + c m+2 n ( c + a) ( c + b) n Chứng minh: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a m+2 n ( a + b) ( a + c) n n a m−2 n ( a + b ) + 16n n ( a + c) ( b + a) ( b + c) n n ( c + b) ( c + a) n n (18) m a 4n n c m−2 n ( c + b ) ( c + a ) + ≥ n c m n 16 n c m+ n ≥ m a + bm + cm ) n ( b m−2 n ( b + a ) ( b + c ) + ≥ n b m n 16 n b m+ n n n ≥ n Cộng BĐT ta được: VT ( 18 ) ≥ m n n m m m− n a + b + c − ( a a + b a + c ( ) ( ) ( ) 4n 16n +b m − n ( b + a ) Mà: a m−2 n ( a + b ) n n ( b + c) ( a + c) n n + c m− n ( c + b ) + b m−2n ( b + a ) n n ( c + a) ( b + c) n n ) + c m −2 n ( c + b ) n n n n k =0 k =0 k =0 k =0 n n n ( c + a) n = a m−2 n ∑ Cnk a n −k b k ∑ Cnk a n −k c k + b m −2 n ∑ Cnk b n −k a k ∑ Cnk b n −k c k +c m −2 n ∑ Cnk c n− k a k ∑ Cnk c n− k b k k =0 k =0  n  =  ∑ Cnk ÷ ( a m−2 n a n −2 k b k c k + b m −2 nb n− k a k c k + c m −2 n c n −2 k b k a k )  k =0  = 4n ( a m − k b k c k + b m −2 k a k c k + c m − k b k a k ) ≤ 4n ( a m + b m + c m ) Từ suy ra: VT ( 18 ) ≥ m 1 a + b m + c m ) − n 4n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m ) n ( 16 Bài tập áp dụng BĐT (18): Bài tập 51: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 + + ≥ ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) Bài tập 52: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 11 a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b + c) ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) Bài tập 53: Chứng minh rằng, a, b, c ≥ 0; a + b + c = thì: a4 b4 c4 + + ≥ ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) Bài tập 54: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 ( a + b) ( a + c) 2 + b5 ( b + a) ( b + c) 2 + c5 ( c + b) ( c + a ) 2 ≥ ( a + b + c) 16 Bài tập 55: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 c5 + + ≥ ( a + b3 + c3 ) ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) Từ BĐT (18) gợi ý để ta suy BĐT (19) sau: Bài toán 19: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m+2 n b ( b + c) n n + bm+2n c ( c + a) n n + cm+2n a ( a + b) n n ≥ m a + bm + cm ) n ( Chứng minh: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: bn ( b + c ) a m − nb n ( b + c ) + ≥ n a m n n a m+2 n n n c m−2 n a n ( a + b ) + ≥ n c m n n c m+2 n an ( a + b) b m−2 nc n ( c + a ) + ≥ n b m n n b m+2 n cn ( c + a ) (19) n Cộng BĐT ta được: VT ( 19 ) ≥ m m m n n n a + b + c ) − n (a m − nb n ( b + c ) + b m − n c n ( c + a ) + c m − n a n ( a + b ) ) n ( Mà: a m − nb n ( b + c ) + b m− n c n ( c + a ) + c m −2 n a n ( a + b ) n n n n n n k =0 k =0 k =0 = a m−2 nb n ∑ Cnk b n −k c k + b m −2 n c n ∑ Cnk c n −k a k + c m −2 n a n ∑ Cnk a n −k b k   =  ∑ Cnk ÷( a m− nb nb n −k c k + b m−2 n c nc n −k a k + c m −2 n a n a n −k b k )  k =0  = 2n ( a m −2 nb n−k c k + b m −2 k c n −k a k + c m−2 k a n −k b k ) ≤ 2n ( a m + b m + c m ) n Từ suy ra: VT ( 19 ) ≥ m 1 a + b m + c m ) − n 2n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m ) n ( Bài tập áp dụng BĐT (19): Bài tập 56: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: 12 a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b + c) b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) Bài tập 57: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a4 b4 c4 + + ≥ ( a + b2 + c2 ) b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) ( ab + bc + ca ) ≥ Bài tập 58: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 c5 + + ≥ ( a + b3 + c ) b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) 2 a b + b 2c + c a ) ( ≥ Bài tập 59: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b2 ( b + c ) + b5 c2 ( c + a ) + c5 a2 ( a + b) ( a + b + c) ≥ Bài tập 60: Cho a, b, c ∈ ¡ *+ ; a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: a4 b4 c4 P= + + b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) Từ BĐT (18) gợi ý để ta suy BĐT (20) sau: Bài toán 20: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m +3n ( a + b) ( a + c) 2n n + b m + 3n ( b + a) ( b + c) n 2n c m +3n + ( c + a) ( c + b) 2n Chứng minh: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a m −3 n ( a + b ) + 64n 2n a m +3n ( a + b) ( a + c) 2n n ( a + c) b m −3 n ( b + a ) ( b + c ) + 64n 2n c m −3 n ( c + b ) ( c + a ) + 64n 2n n b m +3n ( b + a) ( b + c) n 2n n c m+3n ( c + b) ( c + a) n 2n n ≥ ≥ ≥ n ≥ m a + bm + cm ) n ( (20) m a 8n m b 8n m c 8n Cộng BĐT ta được: VT ( 20 ) ≥ m 2n n a + b m + c m ) − n ( a m −3 n ( a + b ) ( a + c ) n ( 64 + b m −3 n ( b + a ) n ( b + c) 2n + c m −3 n ( c + b ) n ( c + a) 2n ) Mà: 13 a m −3 n ( a + b ) ( a + c) 2n n = a m −3 n ( a + b ) n ( a + b) ( a + c) n n =a m −3 n  n k  n− k k n −k k n m −3 k k k  ∑ Cn ÷ ( a b ) a c = a b c  k =0  Tương tự ta có: b m −3 n ( b + c ) 2n ( b + a) n = b m−3n ( b + c ) n ( b + c) ( b + a) n n  n k  n−k k n− k k n m −3 k k k =b  ∑ Cn ÷ ( b c ) b a = b c a  k =0  2n n n n n c m −3 n ( c + a ) ( c + b ) = c m −3 n ( c + a ) ( c + a ) ( c + b ) m −3 n =c m −3 n Do đó:  n k  n −k k n −k k n m −3k k k  ∑ Cn ÷ ( c a ) c b = c a b  k =0  a m −3 n ( a + b ) 2n ( a + c) n + b m −3n ( b + a ) n ( b + c) 2n = n ( a m − k b k c k + b m −3 k c k a k + c m −3 k a k b k ) + c m −3 n ( c + b ) n ( c + a) 2n Mà theo BĐT (2) thì: (a m −3 k b k c k + b m −3 k c k a k + c m −3 k a k b k ) ≤ ( a m + b m + c m ) Từ suy ra: VT ( 18 ) ≥ m 1 a + b m + c m ) − n 8n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m ) n ( 64 Bài tập áp dụng BĐT (20): Bài tập 61: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a4 b4 + ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) 2 + c4 ( c + b) ( c + a) ( a + b + c) ≥ Bài tập 62: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a5 b5 + ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) 2 + c5 ( c + b) ( c + a) 2 a + b2 + c2 ) ( ≥ Bài tập 63: Chứng minh rằng, a, b, c ≥ 0; a + b + c = thì: a5 b5 + ( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) 2 + c5 ( c + b) ( c + a) 25 24 ≥ Bài tập 64: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a7 ( a + b) ( a + c) + b7 ( b + a) ( b + c) + c7 ( c + b) ( c + a ) ≥ ( a + b + c) 64 Từ ta đưa hai BĐT sau: Bài toán 21: Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m +3n b2n ( b + c ) n + b m +3n c 2n ( c + a ) n + c m +3n a 2n ( a + b ) n ≥ m a + bm + cm ) n ( (21) Bài toán 22: 14 Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * Chứng minh rằng: a m +3n bn ( b + c ) + 2n b m +3n cn ( c + a ) 2n c m +3n + an ( a + b) 2n ≥ m a + bm + cm ) n ( (22) Bài tập áp dụng BĐT (21, 22): Bài tập 65: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a4 b4 c4 + + ≥ ( a + b + c) b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) Bài tập 66: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a5 b5 c5 + + ≥ ( a + b2 + c2 ) 2 b ( b + c) c( c + a) a ( a + b) Bài toán 23: Cho a, b, c > 0; n ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p ∈ ¡ * Chứng minh rằng: a m+ n ( b + pc ) + n b m+ n ( c + pa ) n + c m+n ( a + pb ) n ≥ ( 1+ p) n (a m + bm + cm ) (23) Chứng minh: Áp dụng AM-GM ta có: a m+ n ( b + pc ) a m− n ( b + pc ) + n ≥ ( 1+ p) (1+ p) n b m− n ( c + pa ) b m+ n + ≥ bm ; n 2n n ( c + pa ) (1+ p) (1+ p) n 2n n am c m+n ( a + pb ) n + c m− n ( a + pb ) ( 1+ p) n 2n ≥ (1+ p) n cm Cộng BĐT ta được: VT ( 23) ≥ ( 1+ p) n (a m + bm + cm ) − ( 1+ p) 2n  a m− n ( b + pc ) n + b m − n ( c + pa ) n + c m − n ( a + pb ) n    n m− n m− n k n−k k k Mà: a ( b + pc ) = a ∑ Cn b p c n k =0 n b m− n ( c + pa ) = b m− n ∑ Cnk c n− k p k a k n n c m− n ( a + pb ) = c m− n ∑ Cnk a n− k p k b k n k =0 k =0 Nên:  a m−n ( b + pc ) n + b m −n ( c + pa ) n + c m −n ( a + pb ) n    n = ∑C p ( a k =0 k n = (1+ p) k n VT ( 23) ≥ = (1+ p) n (a m−n n− k k c +b b +b +c m m (1+ p) (a m n (a m m m − n n −k c a +c k m −n a n −k n ) ≤∑ C k n p k ( a m + bm + c m ) (a m + bm + cm ) k =0 ) + bm + cm ) − b k ( 1+ p) 2n (1+ p) n + bm + cm ) Bài tập áp dụng BĐT 23: Bài tập 67: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: 15 a2 b2 c2 + + ≥ ( a + b + c) ( b + 2c ) ( c + 2a ) ( a + 2b ) Bài tập 68: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a5 b5 c5 + + ≥ ( a + b3 + c ) 2 ( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 16 Bài tập 69: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a5 ( b + 5c ) + b5 ( c + 5a ) + c5 ( a + 5b ) a + b2 + c2 ) ( 216 ≥ Bài tập 70: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Tìm GTNN P a5 P= ( b + 4c ) + b5 ( c + 4a ) + c5 ( a + 4b ) Bài tập 71: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Tìm GTNN P a5 P= ( b + 4c ) + b5 ( c + 4a ) + c5 ( a + 4b ) Bài tập 72: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a4 ( b − 3c ) + b4 ( c − 3a ) + c4 ( a − 3b ) 2 a + b2 + c2 ) ( ≥ Bài tập 73: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a3 ( b − 5c ) + b3 ( c − 5a ) + c3 ( a − 5b ) ≥ ( a + b + c) 16 Bài tập 74: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: 1 1 1  + + ÷ ( b + 2c ) ( c + 2a ) ( a + 2b ) 81  a3 b3 c3  Bài tập 75: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a b c  1 1 + + ≥  + 2+ 2÷ 3 ( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 64  a b c  a b + c + ≥ Bài tập 76: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: 1 11 1 + + ≥  + + ÷ ( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b )  a b c  Bài tập 77: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Tìm GTNN P P= a3 ( b + 2c ) + b3 ( c + 2a ) + c3 ( a + 2b ) Bài tập 78: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a2 ( b − 3c ) + b2 ( c − 3a ) + c2 ( a − 3b ) ≥ 1 1 1  + + ÷ 16  a b c  Bài tập 79: Cho a, b, c > 0; a + b + c ≤ Tìm GTNN P 16 P= a3 ( b − 5c ) + b3 ( c − 5a ) + c3 ( a − 5b ) Một cách tương tự ta chứng minh bất đẳng thức (24) sau: Bài toán 24: Cho a, b, c > 0; n ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p, q ∈ ¡ * Chứng minh rằng: a m+ n ( pb + qc ) n + b m+ n ( pc + qa ) + n c m+ n ( pa + qb ) ≥ n ( p + q) n (a m + bm + cm ) (24) Bài tập áp dụng BĐT 24: Bài tập 80: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a3 ( 2b + 3c ) + b3 ( 2c + 3a ) c3 + ( 2a + 3b ) ( a + b + c) 25 ≥ Bài tập 81: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = 1; n = 4; p = 2; q = −5 ) a5 ( 2b − 5c ) + b5 ( 2c − 5a ) c5 + ( 2a − 5b ) ( a + b + c) 81 ≥ Bài tập 82: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −1; n = 4; p = 2; q = −3) a3 ( 2b − 3c ) + b3 ( 2c − 3a ) + c3 ( 2a − 3b )  1 1 ≥ + + ÷ a b c Bài tập 83: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −3; n = 4; p = 3; q = ) a ( 3b + 5c ) + b ( 3c + 5a ) c + ( 3a + 5b ) ≥  1 1  + + ÷ 642  a b3 c  Bài tập 84: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −2; n = 2; p = 2; q = −3) ( 2b − 3c ) + ( 2c − 3a ) + ( 2a − 3b )  1 1 ≥ + + ÷ a b c  Bài tập 85: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −5; n = 3; p = 1; q = ) a ( b + 2c ) + b ( c + 2a ) + c ( a + 2b ) ≥  1 1  + + ÷ 27  a b5 c  Bài tập 86: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −3; n = 2; p = 3; q = −1) a ( 3b − 1c ) + b ( 3c − 1a ) + c ( 3a − 1b ) 1 1  ≥  3+ + 3÷ 4 a b c  Từ tốn 24 gợi ý cho ta suy BĐT tổng quát sau: Bài toán 25: Cho a, b, c > 0; n, t ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p, q, r , s ∈ ¡ * Chứng minh rằng: a m + n +t ( pa + qb ) ( + sc ) ≥ n t (a ( p + q) ( r + s) n t + m b m + n +t ( pb + qc ) ( rb + sa ) n +b +c m m ) t + c m + n +t ( pc + qa ) ( rc + sb ) n t ≥ (25) Chứng minh: 17 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a m− n −t ( pa + qb ) ( + sc ) ≥ + am n t 2n 2t n t ( pa + qb ) ( + sc ) ( p + q) ( r + s) ( p + q) ( r + s) n t b m− n −t ( pb + qc ) ( rb + sa ) b m+ n+t + ≥ bm n t 2n 2t n t ( pb + qc ) ( rb + sa ) ( p + q) ( r + s) ( p + q) ( r + s) n t c m− n−t ( pc + qa ) ( rc + sb ) c m + n +t + ≥ cm n t 2n 2t n t ( pc + qa ) ( rc + sb ) ( p + q) ( r + s) ( p + q) ( r + s) a m + n +t n t Từ suy ra: VT ( 25 ) ≥ (a m + bm + cm ) − t a m− n−t ( pa + qb ) ( + sc ) + n ( p + q) ( r + s) ( p + q) ( r + s) n t n t + b m− n−t ( pb + qc ) ( rb + sa ) + c m− n −t ( pc + qa ) ( rc + sb ) ) n 2n 2t t Mà: a m− n−t ( pa + qb ) ( + sc ) n t n t = a m− n −t ∑ Cnk p n−k q k a n −k b k ∑ Cti r t −i s i a t −i c i k =0 i =0 n t = ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( a m− k −i b k c i ) k =0 b m − n −t ( pb + qc ) ( rb + sa ) n t =b m − n −t i =0 n ∑C k =0 n k n p n−k k qb n −k t c ∑ Cti r t −i s ibt −i a i k i =0 t = ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( b m− k −i c k a i ) k =0 c m− n −t ( pc + qa ) n ( rc + sb ) t i =0 n t = c m−n −t ∑ Cnk p n−k q k c n −k a k ∑ Cti r t −i s i c t −ib i k =0 i =0 n t k =0 i =0 = ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( c m− k −i a k bi ) Do đó: a m−n −t ( pa + qb ) n n ( + sc ) t + b m− n−t ( pb + qc ) n ( rb + sa ) t + c m− n−t ( pc + qa ) n ( rc + sb ) t = t = ∑ Cnk p n − k q k ∑ Cti r t −i s i  a m − k −i b k c i + b m −k −i c k a i + c m −k −i a k bi  ≤ k =0 i =0 ≤ ( p + q) n ( r + s) t (a m + bm + cm ) Vậy: VT ( 25 ) ≥ = ( p + q) ( r + s) n ( p + q) ( r + s) n t (a m t (a m + bm + cm ) − ( p + q) ( r + s) 2n ( p + q) ( r + s) n 2t t (a m + bm + cm ) + bm + c m ) Bài tập áp dụng BĐT 25: Bài tập 87: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = 2; n = 1; t = 2; p = 2; q = 1; r = 3; s = ) 18 a5 ( 2a + b ) ( 3a + 2c ) + b5 ( 2b + c ) ( 3b + 2a ) + c5 ( 2c + a ) ( 3c + 2b ) ≥ a + b2 + c ) ( 75 Bài tập 88: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = 1; n = 2; t = 2; p = 1; q = 2; r = 1; s = −2 ) a5 ( a + 2b ) ( a − 2c ) 2 + b5 ( b + 2c ) ( b − 2a ) 2 + c5 ( c + 2a ) ( c − 2b ) 2 ≥ ( a + b + c) Bài tập 89: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = 1; n = 1; t = 1; p = 3; q = 2; r = 5; s = 1) a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b + c) ( 3a + 2b ) ( 5a + c ) ( 3b + 2c ) ( 5b + a ) ( 3c + 2a ) ( 5c + b ) 30 Bài tập 90: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −2; n = 2; t = 1; p = 2; q = 3; r = 1; s = ) a b + c + ( 2a + 3b ) ( a + 2c ) ( 2b + 3c ) ( b + 2a ) ( 2c + 3a ) ( c + 2b ) 2 ≥  1 1  + + ÷ 75  a b c  Bài tập 91: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Tìm GTNN P: ( m = −1; n = 2; t = 2; p = 2; q = 1; r = 1; s = ) P= a ( 2a + b ) ( a + 2c ) 2 + b3 ( 2b + c ) ( b + 2a ) 2 + c3 ( 2c + a ) ( c + 2b ) 2 Bài tập 92: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −4; n = 2; t = 1; p = 2; q = 1; r = 1; s = 1) a ( 2a + b ) ( a + c) + 1 a ( 2a + b ) ( b + a) 1 b ( 2b + c ) ( b + a) + ≥  1 1  + + ÷ 50  a b c  ≥ 1 1 1  + + ÷ 18  a b c  c ( 2c + a ) ( c + b ) Bài tập 94: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −4; n = 1; t = 1; p = 2; q = 1; r = 1; s = 1) ( a + c) + b ( 2b + c ) + c ( 2c + a ) ( c + b ) Bài tập 93: Chứng minh rằng, a, b, c > thì: ( m = −4; n = 2; t = 1; p = 2; q = 1; r = 1; s = 1) 2 1 1 1  + + ≥  + + ÷ a ( 2a + b ) ( a + c ) b ( 2b + c ) ( b + a ) c ( 2c + a ) ( c + b )  a b c  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Như nói trên, bất đẳng thức khơng khó học sinh mà vấn đề khó giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng, q trình làm SKKN này, tơi có điều kiện áp dụng việc giảng dạy BĐT cho học sinh buổi học bồi dưỡng Một tín hiệu đáng mừng với cách dạy phát huy tính sáng tạo học sinh việc khái quát hóa từ bất đẳng thức thường gặp để đưa bất đẳng thức lạ hơn, 19 cách thức giải toán cũ Đặc biệt dạy BĐT SKKN tơi, học sinh hào hứng đón nhận bước đầu hình thành học sinh khả tư sáng tạo Với tôi, SKKN tài liệu mà dùng làm tư liệu phục vụ cho công tác giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm thành viên tổ chuyên môn lấy làm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trong khuôn khổ, phạm vi sáng kiến kinh nghiệm, đưa lượng kiến thức trên, số bất đẳng thức khái qt mà tơi chưa có điều kiện đưa vào SKKN Tôi hy vọng, SKKN có ích việc tự học, phát triển tư sáng tạo em học sinh tài liệu hữu ích cho thầy giáo giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng 3.2 Kiến nghị Hàng năm, Sở GD & ĐT Thanh Hóa phát động phong trào viết SKKN cán bộ, giáo viên phổ thông, nhiều SKKN xếp giải cấp ngành, nghe vậy, SKKN chưa phổ biến rộng rãi Vì tơi kiến nghị, SKKN đạt giải nên đóng thành tập san phân trường phổ thông để SKKN áp dụng thực tiễn dạy học Tài liệu tham khảo Lý thuyết sở hàm lồi bất đẳng thức cổ điển Tác giả: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, nhà XB Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2013 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Tôi xin cam đoan nội dung SKKN tự nghiên cứu đánh máy, không chép từ tài liệu khác Tôi xin chịu trách nhiệm trước lời cam đoan Thanh Hóa, tháng năm 2018 Người viết SKKN Phạm Đình Huệ 20 ... áp dụng việc giảng dạy BĐT cho học sinh buổi học bồi dưỡng Một tín hiệu đáng mừng với cách dạy phát huy tính sáng tạo học sinh việc khái quát hóa từ bất đẳng thức thường gặp để đưa bất đẳng thức. .. tương tự, Bất đẳng thức giảng dạy lớp mũi nhọn, lớp đại trà khó để giảng dạy chuyên đề cách đầy đủ 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tôi bất đẳng thức thông dụng mà... c m a n ( m+n Cộng bất đẳng thức ta được: a m+ n + b m+ n + c m+ n ≥ a mb n + b mc n + c m a n (đpcm) Bài tập áp dụng BĐT (1): Bài tập 1: Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a + b3 + c ≥