Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
491,06 KB
Nội dung
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP BẤT ĐẲNG THỨC I Các kiến thức Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a b; a �b; a �b ) bất đẳng thức �A �B � A B �0 � �A �B � A B �0 Các tính chất �a b �a c � b c � a Bắc cầu: WORD=>ZALO_0946 513 000 b Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a b � a c b c Hệ 1: a b � a c b c c Cộng, trừ vế bất đẳng thức chiều bđt chiều với bđt cho a b� �� a c b d c d� ( lưu ý: khơng có tính chất trừ vế với vế ) d Nhân hai vế bddt với số �a b � a b � a b � � (c 0) � � c c �a b � � �a b; c � a.c b.c a b � � (c 0) � � �c c �a b; c � a.c b.c � Hệ quả: � ab � �ac bd � e Trừ vế bđt ngược chiều: �c d f Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a b �0; c d �� ac �bd g Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: n n - a b0�a b - n n - a b � a b (n : le) a b � a n b n (n : chan) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP h Lấy a b 0, n ή N * n anb 2 2 Hệ quả: a, b 0, co : a b � a b ; a, b �0 � a �b � a �b i Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bđt hai vế dấu - a b �0 1 a b a b, ab � 1 a b WORD=>ZALO_0946 513 000 II Các đẳng thức 2 a �0; a �0 a �a � a �0 a �0 � a a b �a b � ab �0 �ab a b �a b � � �a �b III Các bổ đề hay sử dụng a b �2ab ab ) �ab � ( a b) �4ab(cosi) 2 1 � ( a, b 0) a b a b a b �2(a, b 0) b a 2 ( 2 2 (a b )( x y ) �( ax by) (bunhiacopski) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP IV Các dạng tốn Dạng 1: Dùng định nghĩa phép biến đổi tương đương - Để chứng minh: A �B ta xét A – B chứng minh A B �0 WORD=>ZALO_0946 513 000 2 Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a b c �ab bc ca (1) Lời giải (1) � 2a 2b 2c �2ab 2bc 2ca � (a b) (b c )2 (c a )2 �0(dung ) Dấu “ = ” xảy � a b c Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca) �3abc( a b c)(1) Lời giải (1) � a 2b b 2c c a a 2bc ab 2c abc �0 � 2( ) �0 � (ab bc )2 (bc ca )2 (ca ba )2 �0 Dấu “ = ” xảy � ab bc; bc ca; ca ab � a b c 2 2 Bài 3: Chứng minh rằng: a b c d e �a(b c d e)a, b, c, d , e �R Lời giải a b c d e �a (b c d e) � a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d ae e �0 4 4 a a � ( b)2 ( e)2 �0(dung ) 2 a b c b a c a �b �c.CMR : � b c a a c b Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: Lời giải TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Xét hiệu: a b c b a c 1 � ( a c ab bc b 2c ba ac ) (a c b c ) (b a ab ) (c 2b ac ) � � � b c a a c b abc abc 1 � c(a b)( a b) ab(a b) c (a b) � (a b)(b c )(c a ) �0(do : a �b �c) � � abc abc a b c 1 �2( ) a b c với a, b, c > Bài 5: Chứng minh rằng: bc ac ab Lời giải Xét hiệu: � a b c bc ac ab 2( ) �0 � a b c 2bc 2ca 2ab �0 � (a b c) �0 bc ac ab abc abc abc WORD=>ZALO_0946 513 000 3 4 Bài 6: Chứng minh a b �2 a b �a b Lời giải 4 3 3 3 Xét hiệu: a b a b a (a 1) b (b 1) a (a 1) (a 1) (a 1) b (b 1) (b 1) (b 1) (a 1)(a 1) (b 1)(b3 1) a b ( a 1) ( a a 1) (b 1) (b b 1) a b �0 4 Bài 7: Chứng minh a, b, c ta ln có: a b c �abc(a b c) Lời giải a b c abc(a b c) a b c a 2bc b ac c ab (2a 2b 2c 2a 2bc 2b ac 2c ab) � (a 2a 2b b ) 2a 2b (a 2a 2c c ) 2a 2c (b 2b 2c c ) 2b 2c a 2bc b ac c ab � � 2� � ( a b )2 (a c )2 (b c ) (a 2b b 2c 2ab 2c ) (b 2c c a 2abc ) (a 2b c a 2a 2bc ) � � � � ( a b )2 (b c )2 (c a )2 (ab bc )2 (bc ca )2 (ab ac )2 � � ��0a, b, c TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP WORD=>ZALO_0946 513 000 Dạng 2: Dùng phép biến đổi tương đương - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT BĐT chứng minh - Nếu A B � C D , với C < D Bài 1: Cho a, b, c, d, e số thực, CMR: a a 2 b2 �ab 2 b a b �ab a b a2 b2 c abc �( ) 3 d 2 c a 4b 4c �4ab 4ac 8bc Lời giải a � a2 b2 ab �0 � 4a b �4ab � (2a b) �0( dung ) 2 2 2 b a b �ab a b � 2(a b 1) �2(ab a b) � (a b) (a 1) (b 1) �0 � a b 2 2 2 c � (a 4ab 4b ) 4c (4ac bc) �0 � (a 2b) 2(a 2b).2c (2c) �0 � (a 2b 2c) �0 a2 b2 c2 a bc �( ) � 3( a b c ) �( a b c) a b c 2ab 2bc 2ca 3 d � (a b) (b c)2 (c a ) �0(dung ) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Bài 2: Cho ba số a, b, c �R thỏa mãn: abc = abc 1 a b c a Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) b Chứng minh tồn ba số a, b, c nhỏ Lời giải a Ta có: (a 1)(b 1)(c 1) � abc ab bc ca a b c � abc (a b c ) (ab bc ca ) � (a b c ) (ab bc ca ) 0(1) WORD=>ZALO_0946 513 000 abc 1 ab bc ca � abc � a b c ab bc ca (2) a b c abc Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh b Giả sử tồn ba số a, b, c lớn � abc ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy tồn số nhỏ 10 10 2 8 4 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a b )(a b ) �(a b )(a b )(1) Lời giải (1) � (a10 b10 )(a b ) (a b8 )(a b ) �0 � a12 a10b a 2b10 b12 a12 a 8b a 4b8 b12 �0 � (a10b a8b ) (a 2b10 a 4b8 ) �0 � a 8b (a b ) a 2b8 (a b ) �0 � (a b ) a 2b (a a 2b b ) �0 Bài 4: Chứng minh rằng: 1 a b c 2(a, b, c 0) ab bc ca Lời giải Ta có: ab abc � 1 a a � ab a bc a b a bc b b c c a b c ; 1(*) Tương tự: b c a b c a c a b c Vậy a b b c c a Lại có: a ab � a ac b ab c cb ; ; ab abc bc abc ca a bc TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP a b c 2(**) � dpcm Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: a b b c c a Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ] 3 2 3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b b c c a a b b c c a Lời giải a 3b b3c c 3a a 2b3 b 2c c a � a 3b a 2b3 b3c c a c 3a b 2c � a 2b (a b) c (b a3 ) c (a b ) � ( a b) � a 2b c (b ab a ) c ( a b) � � � WORD=>ZALO_0946 513 000 � (a b)(b c)(c a )(ab bc ca ) 0(luon.dung ) Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ] a 5(a 1) 11 � 2a Chứng minh rằng: a Lời giải a 5(a 1) 11 a 5( a 1) ( a 1) 5a a ( a 1) ( a 1) 9( a 1) � � � � � � a2 2a a2 2a 2( a 1) a( a 1) 2a(a 1) (nhan.voi.2) �0, dau " " � a Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ] x2 y x y �3( )(1) y x Chứng minh với số thực x, y �0 ta có y x Lời giải (1) � x2 y x y x y x y x y x y x y 3( ) �0 � ( ) 2( ) ( ) �0 � ( 2)( 1) �0 y x y x y x y x y x y x y x ( x y )2 ( x xy y ) 2( x y )2 ( x xy y ) ( x y ) (2 x xy y ) � �0 � �0 � �0 x2 y x2 y x2 y � ( x y ) ( x y ( x y )2 ) �0(luon.dung x, y ) � x y �0 x2 y2 Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ] TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP 2 Cho a �4, b �4.CMR : a b ab �6(a b) Lời giải Do a �4, b �4 � a �0; b �0 2 Đặt x a 4( x �0); y b 4( y �0) � (1) �� ( x 4) ( y 4) ( x 4)( y 4) �6( x y 8) � x y xy 6( x y ) �0(dung.do : x, y �0) � x y � a b Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ] 4x2 y2 x2 y2 x, y �0, CMR : �3(1) 2 ( x y ) y x Cho hai số thực WORD=>ZALO_0946 513 000 Lời giải (1) � x2 y x2 y2 x y ( x y )2 x y x y ( x y ) ( x y )2 � � � � �0 ( x y )2 y x2 ( x y )2 x2 y ( x y )2 x2 y 2 2 2 4 2 �1 � 2 (x y ) x y 2 x y x y � ( x y ) �2 � � ( x y ) � � ( x y ) �0 � x �y 2� x y ( x2 y )2 x2 y ( x2 y )2 �x y ( x y ) � Bài 10: [ Lớp ] 2a a2 b2 a b � ab (1) 2 Cho số thực a,b Chứng minh rằng: a b Lời giải a b 2a ( a b) a b ; ab a b 2(a b) 2 Ta có: a b2 ab ( a b) 2 � a2 b2 � a b2 ab � ab � � � � � � � (a b) � 1 � (1) � �0 � (a b) � 2a 2b 2(a b ) ab ��0 2 � � � a b a b� ab � � � � � 2a 2b 2( a b ) ab �0(*) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP a b ab ( a b ) - Ta có: (a b) ( a b ) 2 ; a b 2( a b ) ( a b )2 2(a b2 ) (a b) � � (*) � (a b) � ��0 � (a b) � 2(a b ) a b ( a b ) ��0 2 � � ( a b ) � 2(a b ) (a b) � � � 2(a b ) 4ab � (a b) � 2(a b ) ab ��0 � (a b) �0 � � � 2(a b ) ab 2(a b) 2(a b ) ab WORD=>ZALO_0946 513 000 Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) - 1 � a b a b 1 � - a b c a bc 1 n2 � � a1 a2 ana, a1 , , an an a1 a2 an - a1 a2 1 3 � Bài 1: Cho a, b, c > CMR: a b c a 2b b 2c c 2a Lời giải 1 � Áp dụng bất đẳng thức dạng: a b c a b c ( tự chứng minh bđt) 1 1 1 � ; � ; � a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a �0 � a b TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Cộng vế bất đẳng thức ta được: VT �VP � a b c Bài 2: Cho a, b, c > CMR: 4( )� ab ca bc a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng: 1 1 1 1 1 1 1 � � � � �2( ); � � �3.( ); � � �4( ) x y x y a b a b ab a b ca c a a c c a b c b c b c b c Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: WORD=>ZALO_0946 513 000 4( )� a b c a bc a b c a b c � (1) Bài 3: Cho a, b, c > CMR: a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b Lời giải (1) � 3a 3b 3c 3a 3b �1 � ( 1) ( 1) ( ) �4 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c 4a � 4(a b c )( 1 1 1 ) �4 � � (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 � Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z VT (2) � � dpcm 9( a b c ) a b c Ta được: Bài 4: Cho a, b, c > thỏa mãn: a b c Tìm GTLN A a b c 2a 2b 2c Lời giải Cách 1: B 2A 2a 2b 2c 1 1 1 1 3 B 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 � 1 2a 2b 2c 2(a b c) A B �2 � A �1 � a b c 10 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1 a a � � � � � (1 ) � � x y z x y z a a a a 2a a 2a 9 b b c c � ; � Tương tự: 2b 9 2c 9 abc A� 1� a b c 9 Cộng ba vế bất đẳng thức ta được: ab bc ca abc � Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh a b 2c b c 2a c a 2b WORD=>ZALO_0946 513 000 Lời giải 1 � Áp dụng bất đẳng thức: x y x y VT ab 1 1 1 1 bc ca � ab( ) bc( ) ca.( ) (a c) (b c) ac bc 4 bc ca ab bc ab bc abc ( ) ab bc ac Bài 6: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Tìm GTNN: A 1 2 abc a b c Lời giải a bc 1 1 � ; 2 2 � 9 abc abc ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca (a b c )2 Lại có: 3(ab bc ca ) �(a b c ) � Cộng theo vế ba bất đẳng thức: A �3 � �21 ab bc ca ab bc ca 9 � 30 � A �30 � a b c ab cb ca ab bc ca BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1 4 � Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b Lời giải 11 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP 1 4 2 � ; � (1) Ta có: (a c)(b c) a c b c a b 2c a c b c a b Lại có: 1 1 1 4 2 2 2 1 � ; � ; � � � � 2( ) �2( )(2) ac a c bc b c a b a b ac bc ab a b c a c bc a b a b c Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh 7 �9( ) a 2b b 2c c 2a Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c WORD=>ZALO_0946 513 000 Lời giải 1 1 2 � ; � � � a bb a b c bc c b c c bc c b c c Ta có: 1 3 � � � acc c a a caa c a a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm a b c � (1) Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b Lời giải 15 (1) ۳�3.VT �� 3.VT � 4 3.VT (5a 5b 5c)( 2a 5b 5c 1 ) 5(a b c) 12( a b c) Dạng 4: Dùng bất đẳng thức phụ 2 - x y �2 xy 2 - x y �xy , � x y 12 45 15 12 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP - ( x y )2 �4 xy;( x y ) �2( x y )(do : ( x y ) �0) - a b �2 b a - ( x y )( y z )( z x) �8xyz 3 - x y �xy ( x y ) a b3 � Bài 1: Cho hai số a b thỏa mãn: a + b = Chứng minh rằng: Lời giải 3 2 2 Ta có: a b (a b)(a ab b ) a ab b WORD=>ZALO_0946 513 000 2 2 Từ: a b � a 2ab b 1; ( a b) �0 � a 2ab b �0 � 2a 2b �1 � a b � (1) a b2 a 2ab b �0 � a b �2ab � ab � (2) Lại có: 1 1 1 � ab � � ab � � a b2 ab � ( dpm) � a b 4 4 Từ (1)(2) Bài 2: Cho a + b > Chứng minh rằng: a b4 Lời giải 2 2 2 Từ a b � (a b) � a 2ab b 1;(a b) �0 � a b 2ab �0 1 � a b � � (a b ) � � a b 2a 2b � (1) 4 1 (a b )2 �0 � a b 2a 2b �0(2) � 2a 2b � � a b � (dpcm) Có tiếp: a b2 c c b a 2 2� Bài 3: Chứng minh rằng: b c a b a c Lời giải 2 Ta có: ( x y ) �0 � x y �2 xy (� x y ) 13 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP a b2 a b a b2 c2 b a2 c2 b � ; � ; �2 2 2 b c c c a a b a c Áp dụng: b c a b c � 2VT �2( ) � VT �VP( dpcm) c a b 2 2 Bài 4: Cho a, b, c, d, > abcd = CMR: a b c d a(b c) b(c d ) d (c a) �10 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: a b �2ab; c d �2cd � a b c d �2(ab cd ) 1 1 1 abcd � ab ; ac ; ad ; bc ; bd ; cd ; ad cd bd bc ad ac ab bc Từ : WORD=>ZALO_0946 513 000 Có: 2(ad bc) 2(ab 1 � ab � ) �2.2 � : ( ) �0 � ab �2 � ab ab ab � � 2 2 Vậy a b c d �4 Lại có: 1 ab ac bc bd cd ad (ad bc ) (ac bd ) (bc ad ) (ab ) (ac ) (bc ) � VT �10 ac 14 ab 43 14 14 bc 43 �2 �2 �2 Bài 5: Cho x, y, z �0 CMR: ( x y)( y z )( z x) �8 xyz (1) Lời giải (1) � ( x y ) ( y z )2 ( z x )2 �64 x y z 2 2 2 2 2 Lại có: ( x y ) �4 xy;( y z ) �4 yz;( z x) �4 xz � ( x y ) ( y z ) ( z x) �64 x y z � dpcm � x y z Bài 6: Cho a, b, c 0; abc CMR: (a 1)(b 1)(c 1) �8 Lời giải (a 1) �4a;(b 1) �4b;(c 1) �4c � ( a 1)(b 1)(c 1) �(8abc) � ( a 1)(b 1)(c 1) �8abc Ta có: 2 2 Bài 7: Cho a, b, c, d 0; abcd CMR: a b c d ab cd �6 Lời giải 14 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP 2 2 Có: a b c d ab cd �2ab 2cd ab cd 3(ab cd ) Lại có: 3(ab cd ) 3(ab ) �3.2 6(dpcm) ab Bài 8: Cho x y z x2 y z2 � a CMR: xy yz zx � b Lời giải 2 2 2 2 2 a Ta có: ( x y ) �0x, y � x y �2 xy; y z �2 yz; x z �2 xz � x y z �2( xy yz zx ) WORD=>ZALO_0946 513 000 ( x y z)2 1 � 3x y z �x y z 2( xy yz xz ) ( x y z ) � x y z � �xyz 3 b Theo chứng minh trên: x y z �2( xy yz zx) � x y z �xy yz zx � ( x y ) �3( xy yz zx) � �3( xy yz zx ) 1 � xy yz zx � � x y z 3 Bài 9: Cho a, b, c �0 thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a b 2c �4(1 a)(1 b)(1 c) Lời giải 2 Ta có: ( x y ) �4 xy � xy �( x y ) Áp dụng ta được: �a, b, c �1 � c �0 � 4(1 a )(1 b) �(1 a b) (1 c) � VP �(1 c) (1 c) (1 c )(1 c) �1 c � ab � a b c � VP �a b 2c � � � c0 � Mà: 1 3 �1 3 a , b , c Bài 10: Cho thỏa mãn: abc Chứng minh rằng: a b b c c a Lời giải x3 y �xy ( x y ) � ( x y )( x y) �0x, y 15 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Áp dụng ta có: a b3 �ab(a b) abc ab( a b c ) � 1 abc c � a b ab( a b c ) ab(a b c) a b c a b � ; � 3 Tương tự: b c a b c c a a b c Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh 1 � 2 Bài 11: Cho a, b, c �1 Chứng minh rằng: a b c abc Lời giải WORD=>ZALO_0946 513 000 Chứng minh: 1 � x, y 0; xy �1 � (2 x y )(1 xy) �2(1 x )(1 y ) � xy xy ( x y ) �x y x y 2 x y xy � ( x y) ( xy 1) �0( : xy �1) 1 2 1 1 � � ; � ; � 2 2 2 Áp dụng: a b ab abc b c abc c a abc Cộng vế bất đẳng thức thức ta điều phải chứng minh Bài 12: Cho x, y, z 0; x y z Tìm GTNN: A x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) yz zx xy Lời giải A x2 y x2 z y z y x z x z y 3 Ta có: a b �(a b) aba, b 2 Thật � (a b)(a ab b ) (a b)ab �0 � (a b)(a b) �0a, b �0 2 2 3 Hoặc: a b ab �aba, b � (a b)(a ab b ) �ab(a b) � a b �ab(a b) x y x3 y y2 z2 z2 x2 �x yx, y 0; �y z; �x z xy z y x z Áp dụng: y x Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: A �2( x y z � A � x y z 16 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Bài 13: Cho x, y, z 0; x y z Tìm GTNN: 2 A Lời giải A2 x2 y y z x2 z 2 2 z2 x y mà: a b �2ab x2 y2 y2 z �2 y 2 x Áp dụng: z A �3 � x y z � A 3 WORD=>ZALO_0946 513 000 Tương tự ta có: 17 xy yz xz z x y TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG WORD=>ZALO_0946 513 000 - Muốn chứng minh bất đẳng thức A �B đúng, ta giả sử A �B sai, tức A < B - Sau chứng minh A < B sai � A �B 2 Bài 1: Cho a b �2 CMR: a b �2 Lời giải 2 Giả sử a b , bình phương hai vế ta được: (a b) � a 2ab b 4(1) 2 2 Mặt khác ta lại có: a b �2ab � 2(a b ) �(a b) 2 Mà 2(a b ) �4(do, gt ) � (a b) �4 Điều mâu thuẫn với (1) nên � a b �2 a2 b c �b(a c) c(a b) Bài 2: Với số thực a, b, c chứng tỏ: Lời giải a2 a2 a2 b c b(a c) c(a b) � b c ab bc ac bc � b c ab ac 2bc 4 Giả sử: a � ( b c ) 0(vo.ly ) Vậy điều giả sử sai � a2 b c �b(a c) c(a b) 18 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP 3 Bài 3: Cho: a b 2.CMR : a b �2 a b � ( a b)3 � a3 b3 3ab( a b) � 3ab( a b) � ab( a b) � ab( a b) a b3 2 Giả sử � (a b)(a ab b ) ab(a b) � (a b)(a b) (voly ) Bài 4: Cho số thực a, b, c �(0; 2).CMR : có ba bất đẳng thức sau sai a(2 b) 1; b(2 c) 1; c(2 a) Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức đúng, nhân chúng với theo vế, ta được: WORD=>ZALO_0946 513 000 a(2 b).b(2 c).c(2 a ) � a (2 a).b(2 b).c(2 c) Mặt khác, a �(0; 2) nên a a � a.(2 a) (a 1) �1 Tương tự: b.(2 b) �1;0 c(2 c) �1 Do đó: a(2 a).b(2 b).c(2 c) �1 ( mâu thuẫn ) Vậy ta có đpcm Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] 2 2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a b ab bc ca 0.CMR : a b c Lời giải 2 Giả sử a b �c , đó: a b 2(ab bc ca) a b �a b c 2(ab bc ca ) � 2(a b ab bc ca ) �(a b c ) 2 2 Kết hợp với gỉa thiết: 2(a b ab bc ca) �(a b c) � (a b c) ( mâu thuẫn ) Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 0; ab bc ca 0; abc Chứng minh ba số a, b, c dương Lời giải Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng tính tổng quát, ta giả sử: a �0 Mà lại có: abc � a �0 � a 19 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP Lại có: a b c � b c � a(b c) Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a(b c) bc � bc Vì abc < ( mâu thuẫn ) Đpcm Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi khác CMR: Tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a b c) Lời giải Giả sử: WORD=>ZALO_0946 513 000 9ab �( a b c) ;9bc �( a b c )2 ;9ca �( a b c ) � 3(a b c) �9(ab bc ca ) � (a b c) �3(ab bc ca ) a b c �ab bc ca � (a b) (b c) (c a) �0(1) 2 Theo đầu bài: a, b, c đôi khác nên: (a b) (b c) (c a) 0(2) Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 ] 3 2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y x y.CMR : x y Lời giải Do x, y dương � x, y 0; x y 2 3 Giả sử: x y �1; gt � x y x y � x3 y �( x y )( x y ) � x y �x x y yx y � xy yx y �0 � y ( xy x y ) �0(*) � � � y� x( y x) y ��0(vo.ly ) 14 43 � � � 0 � x y � y x 2 Do (*) khơng thể xảy � x y 1(dpcm) �1 �x y �1(1) CMR : x �2; y �2 � � x y xy � 1(2) � Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện sau: Lời giải 20 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Ta chứng minh: x 2 Giả sử +) +) x 2 , � 2 x x 2, (1) � y �1 x 1 � xy 2 x 2, (1) � y �1 x � xy 2 Do x � xy 2 Ta chứng minh y 2 � x �2 Mà x y �1 � x y xy 1 ( mâu thuẫn với 2) ( tương tự chứng minh x 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 ) Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ] 2 Cho a, b, c �0; a b c �abc.CMR : a b c �abc Lời giải +) Nếu ba số bất đẳng thức chứng minh Ta xét: a, b, c > 2 2 2 Giả sử ngược lại: a b c abc � abc a b c a � a bc Tương tự ta có: b ac; c ab � a b c ab bc ca (1) 2 2 2 Lại có: a b c �ab bc ca � abc a b c �ab bc ca � abc ab bc ca (2) Từ (1)(2) � abc a b c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử sai Bài 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c �abc Chứng minh có hai 6 �6; �6; �6 b c a c a b số bất đẳng thức sau đúng: a b c Lời giải Ta có: a b c �abc � 1 �1(do : abc 0) bc ca ab 1 x; y; z � x, y, z 0; xy yz xz �1 b c Đặt a 21 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Ta phải chứng minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x y z �6; y 3z x �6; x z y �6 Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x y z 6; y 3z x Cộng vế hai bất đẳng thức: x y z 12 Từ giả thiết: yz yz xy yz zx �1 � x ( y z ) �1 yz � x � , do.do :12 y z � 12( y z ) 8(1 yz ) (5 y z )( y z ) yz yz � y yz z 12 y 12 z � y y(3 z 2) z 12 z y y WORD=>ZALO_0946 513 000 � ( y z 2) 4( y 1) 0(vo.ly ) � dpcm Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac �2(b d ) Chứng minh có 2 bđt sau sai: a 4b; c 4d Lời giải Giả sử hai bđt � a c 4(b d )(1) 2 Theo giả thiết: ac �2(b d ) � 2ac �4(b d )(2) � a c 2ac � (a c) 0(voly ) 22 ... b ) �(a b )(a b )(1 ) Lời giải (1 ) � (a10 b10 )(a b ) (a b8 )(a b ) �0 � a12 a10b a 2b10 b12 a12 a 8b a 4b8 b12 �0 � (a10b a8b ) (a 2b10 a 4b8 ) �0 � a 8b (a ... b a b a (a 1) b (b 1) a (a 1) (a 1) (a 1) b (b 1) (b 1) (b 1) (a 1)(a 1) (b 1)(b3 1) a b ( a 1) ( a a 1) (b 1) (b b 1) ... 2( a b ) ( a b )2 2(a b2 ) (a b) � � (* ) � (a b) � ��0 � (a b) � 2(a b ) a b ( a b ) ��0 2 � � ( a b ) � 2(a b ) (a b) � � � 2(a b ) 4ab � (a b) � 2(a