Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 18

TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu ( điểm ) Giải phương trình: a, 2x2+ 11x +12 =0 b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + = Câu (2điểm ) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca) Câu (5điểm ) Tìm số a, b để đa thức A (x) chia hết cho đa thức B (x) : A (x) = 2x3 +7x2 + ax + b ; B (x)= x2 + x – với x є Q Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Câu ( điểm ) Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x6 + y6 Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A M trung điểm BC Lấy điểm D E theo thứ tự thuộc cạnh AB , AC cho = Chứng minh rằng: a, ∆ BDM đồng dạng với ∆ CME b, BD CE không đổi c, DM phân giác - Hết - TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC Híng dÉn chÊm thi olympic N¨m häc 2013 - 2014 M«n thi : To¸n Líp Câu Nội dung a, 2x2+ 11x +12 = ( 2x + ) (x + 4) =0 Điểm 1,0đ 1,0đ 3 S = {−4; −  2 b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + = (1) Ta thấy x = nghiệm phương trình (1) Chia hai vế (1) cho x2 ≠ ta :   1  6 x +  − 5 x +  − 38 = = x x   x  1 Đặt x + = y x + = y2 -2 ta : x x 6x2 -5x -38 - + Câu (4đ) 6(y2 -2) -5y - 38 =  6y2 -5y -50 =  (3y -10) ( 2y +5) =  y∈{ ;- } 0,5đ 0,5đ x + Với y = x + =  3x2 -10x + =  ( 3x-1) ( x-3) =  x1 = x2 = 0,5đ x + Với y = - x + =  2x2 +5x + =  ( 2x+1) ( x+2) =  x1 = -2 x2 = - Vậy S = 3; 1 ; -2 ;3 Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên : Câu a < b +c =>a a < a ( b+c ) => a2 < ab + ca (2đ) Tương tự ta có : b2 < ab + bc ; c2 < ca + bc Do a2 + b2 + c2 < ab + ca +ab + bc+ ca +bc => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) Thực phép chia A (x) cho B (x) ta số dư (a - 3) x + b + Để đa thức A(x)  B(x) ( a - 3) x + b + đa thức => a - = => a = b + = => b = -5 Vậy để đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) a=3 ; b = -5 0,5đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 Ta có : ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 = (x + 2) ( x + 8) (x + 4) ( x + 6) + 2008 Câu = ( x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 (1) (5đ) Đặt ( x2 + 10x + 16)= t Thay vào biểu thức (1) ta có : t (t+ 8) + 2008 = t2 +8t +2008 = t2 +3t +5t +15 + 1993 = ( t +3 ) (t + 5) + 1993 = ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993 Vì ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) ( x2 + 10x + 21) Nên ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993 chia x2 + 10x + 21 dư 1993 Vậy số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 1993 Ta có A = x6 + y6 = ( x ) + ( y ) = (x2 + y2)(x4 + y4 - x2y2) = x4 + y4 - x2y2 (Vì x2 + y2 = 1) = (x2 + y2)2 - x2y2 = - 3x2y2 Câu Vì x2y2 ≥ với x, y nên 3x2y2 ≥ ⇒ 1-3x2y2 ≤ với x, y 2điểm Hay A ≤ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,75 đ 0,25đ  x2 = ⇒ max A = ⇔ x2y2 = ⇔  (1) y =  x = 0; y = ±1 Mà x2 + y2 = nên (1) ⇔   y = 0; x = ±1 0,25đ Vậy max Q = ⇔ x = ; y = ±1 x = ±1 ; y = 0,25đ Câu (7đ) 0,5đ A Vẽ hình : D B C a) Xét ∆ BDM có : + + = 1800 + + = 1800 mà = (GT)  = E 0,5đ M C Xét ∆ BDM ∆ CME có : Bˆ = Cˆ = => ∆ BDM ∽∆ CME ( g.g) 2,5 đ b) Từ ∆ BDM ∽∆ CME ( cmt) : => 2đ BD BM DM = = CM CE ME  BD CE = CM BM = 1 BC2 ( CM = MB = BC) Vây BD CE không đổi c) c/m : ∆BDM ∽ ∆MDE ( c.g.c) => = ( góc tương ứng ) => DM phân giác 2đ - Mọi cách giải khác cho điểm tối đa Xác nhận tổ KHXH Tân Ước, ngày 22 tháng 03 năm 2014 Người thực Vũ Thị Liêm Xác nhận Ban giám hiệu