Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.. và M là trung điểm của BC.. CE không đổi... CE không đổi.
Trang 1TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang
Câu 1 ( 4 điểm )
1 Giải phương trình:
a, 2x2+ 11x +12 =0
b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0
Câu 2 (2điểm )
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca)
Câu 3 (5điểm )
1 Tìm các hằng số a, b để đa thức A (x) chia hết cho đa thức B (x) :
A (x) = 2x3 +7x2 + ax + b ; B (x)= x2 + x – 1 với mọi x є Q
2 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x8 2008 cho đa thức x2 10x 21
Câu 4 ( 2 điểm )
Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6
Câu 5 ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB , AC sao cho = Chứng minh rằng:
a, ∆ BDM đồng dạng với ∆ CME
b, BD CE không đổi
c, DM là phân giác của
- Hết
N¨m häc 2013 - 2014 M«n thi : To¸n Líp 8
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 a, 2x2+ 11x +12 = ( 2x + 3 ) (x + 4) =0
S =
2
3
; 4
1,0đ 1,0đ
Câu 1
(4đ)
b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0 (1)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
Chia hai vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta được :
6x2 -5x -38 - + 2
6
x
x x
x
Đặt x1x = y thì 2 12
x
x = y2 -2 ta được : 6(y2 -2) -5y - 38 = 0
6y2 -5y -50 = 0
(3y -10) ( 2y +5) = 0
y { ; - }
+ Với y = thì x1x = 3x2 -10x + 3 = 0
( 3x-1) ( x-3) = 0 x1 = 3
x2 = 13
+ Với y = - thì xx1= -
2x2 +5x + 2 = 0
( 2x+1) ( x+2) = 0 x1 = -2
x2 = - 21
Vậy S = 3;
3
1
; -2
;-2 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 2
(2đ)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên :
a < b +c =>a a < a ( b+c ) => a2 < ab + ca
Tương tự ta có : b2 < ab + bc ; c2 < ca + bc
Do đó a2 + b2 + c2 < ab + ca +ab + bc+ ca +bc
=> a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca )
1,0đ 1,0đ
1 Thực hiện phép chia A (x) cho B (x) ta được số dư là
(a - 3) x + b + 5
Để đa thức A(x) B(x) khi ( a - 3) x + b + 5 là đa thức 0
=> a - 3 = 0 => a = 3
và b + 5 = 0 => b = -5
Vậy để đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) thì a=3 ; b = -5
1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 3Câu 3
(5đ)
2 Ta có : x 2 x 4 x 6 x 8 2008
= (x + 2) ( x + 8) (x + 4) ( x + 6) + 2008
= ( x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 (1)
Đặt ( x2 + 10x + 16)= t Thay vào biểu thức (1) ta có :
t (t+ 8) + 2008
= t2 +8t +2008
= t2 +3t +5t +15 + 1993
= ( t +3 ) (t + 5) + 1993
= ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993
Vì ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) ( x2 + 10x + 21)
Nên ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993 chia x2 + 10x + 21
dư 1993
Vậy số dư trong phép chia của biểu thức
x2 x4 x6 x82008 cho đa thức x2 10x 21 là 1993
0,5đ
1,0đ 0,5đ 0,5đ
Ta có A = x6 + y6 = x2 3 y2 3 = (x2 + y2)(x4 + y4 - x2y2)
= x4 + y4 - x2y2 (Vì x2 + y2 = 1)
= (x2 + y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
0,75 đ
Câu 4
2điểm
Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y
max A = 1 x2y2 = 0
2
2
0 0
x y
Mà x2 + y2 = 1 nên (1) x y0;0;y x11
0,25đ
0,5đ
Câu 5
(7đ)
Vẽ hình đúng :
a) Xét ∆ BDM có :
+ + = 1800
+ + = 1800
mà = (GT)
=
Xét ∆ BDM và ∆ CME có :
C
Bˆ ˆ và =
0,5đ
A
D
E
C M
B C
Trang 4=> ∆ BDM ∽∆ CME ( g.g)
2,5 đ
=> CM BD BM CE DM ME
4
1
2
1
BC) Vây BD CE không đổi
2 đ
c) c/m : BDM ∽ MDE( c.g.c)
=> = ( 2 góc tương ứng )
- Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa.
Tân Ước, ngày 22 tháng 03 năm 2014
Xác nhận của tổ KHXH Người thực hiện
Vũ Thị Liêm
Xác nhận của Ban giám hiệu