Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề de 1

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN LỚP TRƯỜNG THCS CAO VIÊN Đề thi có 01 trang Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm)Giải phương trình = Câu (3,0 điểm) giải bất phương trình sau : Câu (5,0 điểm) a)Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức : x3 – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá trị biểu thức x2 + x + b) Tìm tất số tự nhiên m n cho 2m – 2n = 448 Câu (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải 18 18 + = x + 2x − x + 2x + x + 2x + (x − 1)(x + 3) ≠  x ≠  x + 2x − ≠   2  x + 2x + ≠ ⇔  ( x + 1) + ≠ ⇔  x ≠ −3 ĐKXĐ    x ≠ −1   x + 2x + ≠ ( x + 1) ≠ điểm 0,5 Câu (3.0 điểm) Đặtt = x2 + 2x + = (x+1)2 , ta có : 18 18 + = ( t > ; t≠ ) t − t +1 t 0,5 t ( t + ) + 18t(t-4)= 18(t+1)(t-4) t2 - 17t + 72 =  ( t – ) ( t – ) = => t = t = 0,75 Với t = (x+1)2 = => x+1 = ± => x = ± -1 Với t = (x+1)2 = => x+1 = ±3=> x =2 x = -4 0,75 Kết hợp với ĐKXĐ ta có tập nghiệm pt : S = { x = ± -1 ; x =2 ; x = -4} 0,5 giải bất phương trình sau : Câu (3.0 điểm) Câu (5.0 điểm) x +1 x + x + + + ≥ −3 99 96 95 x +1 x+4 x+5 ⇔ +1+ +1+ +1≥ 99 96 95 x + + 99 x + + 96 x + + 95 ⇔ + + ≥0 99 96 95 x + 100 x + 100 x + 100 ⇔ + + ≥0 99 96 95 1   ⇔ ( x + 100 )  + + ÷≥  99 96 95  ⇔ x + 100 ≥ ⇔ x ≥ −100 Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = {x/x≥ -100} Thực phép chia x3 – 3x2 – 3x -1cho x2 + x + thương x- dư Suy giá trị x3 – 3x2 – 3x -1chia hết cho giá trị x2 + x + 1khi chia hết cho x2 + x + 1,do : 1 0,5 0,5 x2 + x + = ± x2 + x + = ± a -2,5 Biến đổi 0,5 Suy x2 + x + > với x Vậy loại trường hợp x2 + x + = - x2 + x + = - Từ x2 + x + = => x = ; x = -2 x2 + x + = 1=> x= ; x= -1 Vậy có giá trị nguyên x x = ± ; x= ; x = -2 Ta thấy 2m – 2n = 448> nên m > n 2m – 2n = 2n ( 2m-n – )= 64 (1) b -2,5 0,5 Từ (1) ta thấy 2n ( 2m-n – ) chia hết cho 64 mà 64 (2m-n – 1) nguyên tố nên 2n 64 (2) Từ (1) ta thấy 64 2n mà ( ; 2n ) = nên 64 2n (3) Từ (2) (3)=> 2n = 64 => n = Mặt khác 2m-n – 1= => 2m-n = =>2m-6 = 23 => m – = => m = Vậy m = ; n = Câu 0,5 0,5 (7 điểm) E A B H F D C M N ∠ DAM= ∠ ABF (cùng phụ ∠ BAH) AB = AD ( gt) (7.0 điểm) ∠ BAF= ∠ ADM = 900 (ABCD hình vuông) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác ∠ DAE= 900 (gt) Ta có 0.75 0.5 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có ∆ ABH => 0.5 ∆ FAH (g.g) 0.75 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có ∠ HAB= ∠ HBC (cùng phụ ∠ ABH) => ∆ CBH 0.75 ∆ EAH (c.g.c) 2 SΔCBH SΔCBH  BC   BC  = ⇒ = = nên BC2 = (2AE)2 (gt) ⇒  ÷ , mà S ÷ SΔEAH  AE  ΔEAH  AE  ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.75 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  + = + = = =1 ÷  ÷  ÷  ÷ MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) 2 1 AD   AD  ⇒  (đpcm) ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z Thật vậy, với a, b ∈ R x, y > ta có a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 0.5 (*) (**) y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) 0.75 ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) (2.0 điểm) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: + + = a + b + c a (b + c) b (c + a) c ( a + b) ab + ac bc + ab ac + bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 0.5 2 1 1 1 1 1 + +  ÷  + + ÷ a + b2 + c ≥  a b c  =  a b c  (Vì abc = ) ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) 1 1 2 + + ÷ a b c 1 2 11 1 Hay a + b + c ≥  + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc  a b c  1 Mà + + ≥ nên a b c Vậy 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) Điểm toàn 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với câu 4, học sinh vẽ hình sai không vẽ hình không chấm