UBND HUYỆN KIM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-13 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn : Toán – Lớp Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 1,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) 216 – ( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) x y 1 x − y c) − ÷: ( x + y ) − − ÷ : y x y y x Bài 2: ( điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 b) 3x2 + 11x + c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 Bài 3: (2 điểm) a) Xác định các hệ số a và b cho đa thức 2x + ax + b chia cho x + dư -6, chia cho x – dư 21 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 − 2x + x2 Bài :(1 điểm) Cho 3a2 + b2 = 4ab Tính giá trị của biểu thức P = a −b a+b Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H và I lần lượt là hình chiếu của B và D AC, gọi M, O, K lần lượt là trung điểm của AH, HI và CD a) Chứng minh: B và D đối xứng qua O b) Chứng minh: BM ⊥ MK Bài 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD M là một điểm bất kì cạnh CD AM cắt BD ở O Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC -Hết - UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài ( 1,5 đ) (Mỗi y 0,5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN ĐÁP ÁN a) 216 – ( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (2 – 1)( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – ( 22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (28 - 1)(28 + 1) =216 – (216 - 1) =1 b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) Đặt phép chia: Vậy: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + ĐIỂM 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ x y 1 x − y c) − ÷: ( x + y ) − − ÷ : y x y y x x2 − y2 2( x − y ) y = − x+ y xy x − y xy x − y 2( x − y ) y = − xy x − y xy = Bài 2: ( đ) 0.125đ −1 x 0,25đ a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 =( xy + 1)2 - ( x + y ) 0,25 đ =[ xy + + (x + y)].[xy + b) 3x2 + 11x + = (3x2 + 9x )+ (2x + 6) = 3x( x + 3) + 2(x + 3) = (x+ 3)(3x + 2) Bài 3: (2 đ) 0,125đ (x + y)] c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 = (x2 + 2xy + y2 ) – (3x + 3y) – 10 =( x + y)2 – 3(x + y) – 10 =[ ( x + y)2 + 2(x + y)] – [5(x + y) + 10] =(x + y) (x + y + 2) – 5(x + y + 2) =(x + y + 2)(x + y – 5) a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư -6 => - a + b = -4 (1) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - dư 21 => 2a + b = (2) Từ (1) và (2), suy a = 3; b= -1 0,25 đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ b) Ta có: A = x2 − 2x + = − + = − y + y ( với y = ) x x x x Bài : (1 đ) Bài 5: ( 2,5 đ) A= (y – 2y + 1) +3 = (y – 1) + ≥ với mọi giá trị của y Vậy : GTNN của A bằng y – = ⇔ y = ⇔ x = Điều kiện : a ≠ -b Từ g/t : 3a2 + b2 = 4ab ⇔ 4a2 – 4ab + b2 – a2 = ⇔ ( 2a – b)2 – a2 = ⇔ ( 3a – b)(a – b) = ⇔ a = b/3 hoặc a = b ( tm) +) Nếu a = b/ thì P = -1/2 +) Nếu a = b thì P = Vẽ hình đúng cho câu a) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,125đ 0,125đ 0,125đ 0,125đ 0,25đ 0,125đ 0,125đ 0,25đ D A M H N K O I C B a)-Chứng minh tứ giác BHDI là hình bình hành -có O là trung điểm của HI (gt) => O là trung điểm của BC => B và D đối xứng qua O b) Qua M, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH tại N => MN ⊥ BC, và N là trung điểm của BH => MN là đường trung bình của tam giác AHB => MN // AB và MN = ½ AB * Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành => CN//KM (1) * Tam giác BMC có N là trực tâm => CN ⊥ BM (2) Từ (1) và (2) suy BM ⊥ MK Bài 6: ( đ) D M 0.75 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ C O A B -Chứng minh: SADB = SAMB => SADO = SBOM (1) -Chứng minh: SADB = SBCD =>SDAO + SAOB = SDOM + SBOM + SBMC(2) Từ (1) và (2) Suy S ABO = SDOM +SBCM 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ