UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + b) a(x2 +1) – x(a2 + 1) c) x – + xn + 3- xn Bài 2: (3,0 Điểm) Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b Xác định a b để f(x) chia hết cho x – x + 2 So sánh A B biết: 2 16 A = 32 − B = (5 − 4.5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) Cho a, b, c số thỏa mãn abc = Tính giá trị biểu thức: A= a b c + + + a + ab + b + bc + c + ac Bài 3: (1,5 Điểm) Thực phép tính: xy x − y 2x y + + 2x + y x + y y − x x − y a) x + 15 x − b) x − x + 3x x + x + Bài 4: (2,5 Điểm) Cho hình vuông ABCD Trên tia đối BA lấy điểm E, tia đối CB lấy điểm F cho AE = CF 1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân 2) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vuông ABCD, gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác có tổng số đo tất góc góc đa giác 5040 Hỏi đa giác có cạnh - HẾT - UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án a/=x + 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1) b/=ax2 + a – a2x – x =ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax - 1) c/ = (x – 1) + (x3 – 1)(xn) = (x – 1) [1 + ( x + x + 1) x n ] = (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1) 1/ Để f(x) chia hết cho đa thức x – x + ta có f(x) = (x – 1)(x + 2) Q(x) + Với x = => – 3a + + b = => b = 3a (1) + Với x = => -1b -12a – + b = => b = 12a + 20 (2) + Kết hợp (1) (2) ta có a = − 20 − 20 ;b= 2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = … = 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1) Do 24 > => A > B 3/ Thay abc = vào biểu thức A ta có a b bc + + abc + a + ab + b + bc b + bc + abc b bc + + =1 = bc + b + bc + b + bc + b + xy x − y 2x y a / + + 2x + y x + y y − x x −y A= xy.2 + ( x − y ) x y = + 2 x+ y y−x 2x −y ( ) x( x + y ) −y x− y + = =1 2( x + y ) ( x − y ) x − y x − y = x( x + 3) b / = − x − x( x + 3) x + x + 2 x( x + 3) − ( x − 2) x( x + 3) = x( x − 2)( x + 3) ( x + 2)( x + ) 2 x + 5x + x( x + 3) = = x( x − 2)( x + 3) x + x + x − Điểm 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ E I B C F O A D -Vẽ hình đảm bảo a/ Chứng minh ∆ DEF vuông cân ∆ ADF = ∆ CDF (c.g.c) => DE = DF (1) AE//DC => ADE = D1 ( so le trong) Mà ADE = D2 (do ∆ ADE = ∆ CDF) => ADE + AED = D1 + D2 Hay EDF = 900(2) Từ (1) (2) suy ∆ DEF vuông cân b/ O giao điểm AC BD, I trung điểm EF - Ta có ID = 1 EF; IB = EF( Tính chất trung tuyến ứng 2 với cạnh huyền tam giác vuông) => ID = IB, Vậy điểm O, C, I thuộc đường trung trực BD nên ba điểm thẳng hàng - Gọi đa giác cần tìm có n cạnh - Tổng số đo góc tam giác ( n – 2).1800 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ (n − 2).180 => số đo góc tam giác là: n - Do tổng số đo góc tam giác 3600 nên (n − 2).180 ta có 360 + = 5040 => n = 10 n - Vậy đa giác cần tìm thập giác - HẾT -