Phòng GD & ĐT Long Mỹ Trường THCS Lương Tâm oo0oo ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn Thi: TOÁN (KHỐI 8) Thời gian:120 Phút Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức a) b) ( ) ( x n − x + y − y x n − + y n −2 ) x7 + x + x5 + x + x3 + x + x + x8 − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a) 15n + + 15n chia hết cho 226 với n n∈ Ν b) x − x y + y + > với số thực x y Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x + xy + y − z ( ) ( ) ( a b2 − c + b c − a + c a − b b) Bài 4: (2 điểm) Tìm a để đa thức x Bài 5: (2 điểm) Tính ) − x − x + a chia hết cho đa thức x − 1 1 + + + + x ( x + 1) ( x + 1) ( x + ) ( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 ) Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình a) x − 11x + 30 = b) x x2 + = +4 x Bài 7: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, với AM đường trung tuyến Tia phân giác góc ∠ AMB cắt cạnh AB D, tia phân giác góc ∠ AMC cắt AC E a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Chứng minh DE // BC c) Với điều kiện ∆ABC ∆MDE tam giác vuông cân d) Cho AB = cm; AC = cm • Tính độ dài AM • Tính diện tích tam giác ∆DEM -Hết - c) ĐÁP ÁN Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức n−2 2 n−2 a) x = b) = = = = = +y )−y (x + y n−2 ) x n − 2+ + x n −2 y − y x n −2 − y 2+ n −2 xn − yn = = (x (0,5 đ) (0,5 đ) x7 + x6 + x5 + x + x3 + x + x + x8 − ( x + x + x5 + x ) + ( x3 + x + x + 1) (x ) −1 x ( x3 + x + x + 1) + ( x3 + x + x + 1) ( )( ) x4 − x4 + ( x3 + x + x + 1)( x + 1) ( x4 − 1) ( x4 + 1) (0,25 đ) (0,25 đ) ( x3 + x ) + ( x + 1) x4 − x ( x + 1) + ( x + 1) ( x ) −1 ( x + 1) ( x + 1) ( x2 − 1) ( x2 + 1) 2 (0,25 đ) (0,25 đ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) (0,25 đ) = ( x −1) (0,25 đ) Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a) 15n + + 15n chia hết cho 226 với n∈ Ν Ta có: ( Với n∈ Ν ) 15n + + 15n = 15n.152 + 15n (0,25 đ) = 15n (152 + 1) = 15n (225 + 1) (0,25 đ) = 15n.226 Hay: 15n + + 15n = 226.15n Suy ra: 15n + + 15n chia hết cho 226 với n∈ Ν (đpcm) b) x4 − x2 y + y + > với số thực ( ) x − 2x y + y + = x Ta có: = ( x2 − y ) 2 Vậy (0,25 đ) y − x y + y + +1 (0,25 đ) ( ) ≥ với số thực x y 2 ⇒ ( x − y) +1 ≥ 2 ⇒ ( x − y) +1 > x2 − y Vì x (0,25 đ) x4 − x2 y + y + > với số thực (0,25 đ) (0,25 đ) x y (đpcm) Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 = x + xy + y − z a) ( x + xy + y − z ) (0,25 đ) = ( x + y) − z2 (0,25 đ) = (0,25 đ) = b) = = = (0,25 đ) [ ( x + y) − z] [ ( x + y ) + z] [ x + y − z] [ x + y + z] (0,25 ( ) ( ) ( ) a ( b2 − c ) + b ( c + b − b − a ) + c ( a − b ) a ( b − c ) + b − ( b − c ) − ( a − b ) + c ( a − b ) a ( b2 − c ) − b ( b − c ) − b ( a − b ) + c ( a − b ) a b2 − c2 + b c − a + c a − b2 2 2 2 2 (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) đ) = ( b2 − c2 ) ( a − b ) − ( a − b2 ) ( b − c ) = ( b + c) ( b − c) ( a − b) − ( a + b) ( a − b) ( b − c) ( b − c) ( a − b) [ ( b + c) − ( a + b) ] = ( b − c) ( a − b) ( b + c − a − b) = (0,25 đ) (0,25 đ) ( b − c) ( a − b) ( c − a) (0,25 đ) Bài 4: (2 điểm) Tìm a để đa thức x − x − x + a chia hết cho đa thức x − = _ _ x3 − x − x + a x3 − x22 2x − 7x + a x2 − 6x x −3 x2 + 2x − (1,25 đ) −x+ a _ −x+ a−3 Để đa thức x3 − x − x + a chia hết cho đa thức x − dư a − = hay a = đ) Vậy a = đa thức x3 − x − x + a chia hết cho đa thức Bài 5: (2 điểm) Tính (0,5 x − (0,25 đ) 1 1 + + + + x ( x + 1) ( x + 1) ( x + ) ( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 ) Ta có: 1 x +1 x x +1− x − = − = = x x + x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) 1 = − Hay x ( x + 1) x x + 1 1 = − Tương tự: ( x + 1) ( x + ) x + x + ( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) = 1 − x + 98 x + 99 = 1 − x + 99 x + 100 Suy ra: 1 1 + + + + x ( x + 1) ( x + 1) ( x + ) ( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 ) (0,25 đ) = = = = 1 1 1 1 1 − + − + − + + − + − x x +1 x +1 x + x + x + x + 98 x + 99 x + 99 x + 100 1 − x x + 100 x + 100 x − x ( x + 100 ) x ( x + 100 ) x + 100 − x x ( x + 100 ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) 100 x ( x + 100 ) Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình a) x − 11x + 30 = = (0,25 đ) ⇔ x − x − x + 30 = (0,25 đ) ⇔ x( x − 5) − 6( x − 5) = (0,25 đ) ⇔ ( x − 5)( x − 6) = (0,25 đ) x − = x = ⇔ ⇔ x − = x = (0,5 đ) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { ; } b) + = +4 x x2 ⇔ + − −4=0 x x x x ĐKXĐ x≠0 ` (0,25 đ) (0,25 đ) ⇔ + x − x − x3 = (0,25 đ) ⇔ (1 + x) − ( x + x3 ) = ⇔ (1 + x) − x (1 + x) = (0,25 đ) ⇔ (1 + x)(1 − x ) = (0,25 đ) 1 + x = x = −1 x = − ⇔ ⇔ ⇔ 1 − x = x = x = ±1 (0,25 đ) Ta thấy giá trị biến x vừa tìm thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có (0,25 đ) tập nghiệm l S = −1; − ;1 { } Bài 7: (6 điểm) A D B (0, đ) E C M a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Tam giác vuông ABC có AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Ta có: AM = BM = CM = BC (0,25 đ) Suy ra: ∆ MAB cân M, ∆ MAC cân M • Xét tam giác cân MAB có ∠ AMD = ∠ BMD ⇒ MD ⊥ AB ⇒ ∠ AMD = 900 • Xét tam giác cân MAC có ∠ AME= ∠ CME ⇒ ME ⊥ AC ⇒ ∠ AEM = 900 • Tam giác ABC vuông A ⇒ ∠ BAC = 900 (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) Tứ giác AEMD có ∠ AMD = 900 900 ∠ BAC = 900 ∠ AEM = Suy ra: tứ giác AEMD hình chữ nhật (đpcm) b) Chứng minh DE // BC • Xét tam giác cân MAB có ∠ AMD = ∠ BMD (0,25 đ) ⇒ (0,25 đ) AD = BD ( 1) • Xét tam giác cân MAC có ∠ AME = ∠ CME ⇒ ( 2) AE = CE (0,25 đ) Từ (1) (2) ⇒ DE đường trung bình tam giác ABC Suy ra: DE // BC (đpcm) c) Với điều kiện ∆ABC ∆MDE tam giác vuông cân Tứ giác AEMD hình chữ nhật nên ∆MDE vuông M ∆MDE tam giác vuông cân ⇔ ME = MD ME = AD MD = AE (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) ⇔ AD = AE Vì AB AC ⇔ = 2 AB AD = Vì (D trung điểm AB, E trung điểm AC) AE = AC (AEMD hình chữ nhật) (0,25 đ) ⇔ AC = AB ⇔ ∆ABC tam giác vuông cân (0,25 đ) Vậy ∆ABC tam giác vuông cân ∆MDE tam giác vuông cân d) Cho AB = cm; AC = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta có: (0,25 đ) BC2 = AB + AC = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ⇒BC = (0,5 đ) 100 = 10 • Tính độ dài AM Vì AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = BC 10 = = (cm) 2 (0,25 đ) Vậy AM = (cm) • Tính diện tích tam giác ∆DEM MD.ME = AE.AD = = (cm ) (0,25 đ) S DEM = AE = AD = Với AC = = (cm) 2 AB = = (cm) 2 (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) Vậy S DEM = (cm ) (0,25 đ) -Hết - Chú ý: học sinh giải phương pháp khác