PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ……….. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N.. c Các điểm E và F có vị trí thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất.
Trang 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS ……….
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014 Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 : (6 điểm)
1) Giải bất phương trình : 3 5 2 3 9 0
x
2) Giải phương trình x 1 x 2 1
Câu 2 : (5 điểm)
1) Tìm đa thức dư khi chia x6 cho x2 x 1
2) Cho đa thức P(x) = x4ax3bx2cxd
Biết P(1) = 10 , P(2) = 20 , P(3) = 30 Tính P(12) + P(-8)
Câu 3 : (3 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh : 1 1 141
ca a
bc c
ab
Câu 4 : (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = À Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N
a) Chứng minh : CM DN = a2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh rằng M ˆ K N = 900
c) Các điểm E và F có vị trí thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
HẾT
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 8
Câu 1 :
1)
1
) 3 ( 0 1 0
) 3 )(
1 (
0 9 3 5
2
2 3
x
x x
x x
x x x
p.tích thành nhân tử (1,5 đ) ;
k.luận (1,5 điểm)
2) x 1pt 1 x 2 x 1 x 1 (không thỏa mãn) (1 đ)
11 x 2pt x 1 2 x 1 0x 0 (đúngx1 x 2 ) (1 đ)
2 1
2 1
Vậy nghiệm của pt : 1 x 2 (1 đ)
Câu 2 :
1) 6 ( 2 1 )( 4 3 2 2 3 5 ) 8 5
x x x x x x x
x
2) Xét đa thức : Q(x) = P(x) - 10x
Có Q(1) = 0 ; Q(2) = 0 ; Q(3) = 0 => x = 1 , x = 2 , x = 3
Là 3 nghiệm của đa thức Q(x) Q(x) (x 1 )(x 2 )(x 3 ) (1 đ)
Q(x) = (x 1 )(x 2 )(x 3 )(x a) (a Q)
P(12) + P(-8) 11 10 9 ( 12 a 8 a) 40 19840 (1 đ)
Câu 3 :
Áp dụng : 1 1 ( , 0 )
4
1 1
y x y
x
ab b c a
c
ab
c
4 ) ( )
(
ca b
ca và c a b a
bc
a
4 1
1 1
4
b a
ca bc c b
ca ab a c
bc ab b
ca a
bc
c
ab
4
1 1 1
1
= ( ) 1
4
1
b c
a
Câu 4 :
a) AB//MN CM BA CE BF FD AF DN BA
K
B
M C
D N
A
F
a
E
Trang 3.DN AB a
b) CMB DAN(c.g.c)
DN
AD CB
CM DN
AB
AB
CM
0
90 ˆ ˆ
ˆ
C M B D A N C M B D N A M K N (2 đ) c) MN nhỏ nhất CM DN nhỏ nhất mà CM DN = a2
không đổi tổng nhỏ nhất CM = DN
MN a DN
CM
nhỏ nhất = 3a
E và F là trung điểm của BC, AD (2 đ)
hết