Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 6

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ……………… ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu : (6 điểm) 1) Giải bất phương trình : x + x + 3x − > 2) Giải phương trình x − + x − = Câu : (5 điểm) 1) Tìm đa thức dư chia x6 cho x − x − 2) Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx + d Biết P(1) = 10 , P(2) = 20 , P(3) = 30 Tính P(12) + P(-8) Câu : (3 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : ab bc ca + + ≤ c +1 a +1 b +1 Câu : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = À Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh : CM DN = a b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh MKˆ N = 900 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN Câu : x + 5x + 3x − > 1) ↔ ( x − 1)( x + 3) > ↔ x − > 0( x ≠ −3) ↔ x >1 p.tích thành nhân tử (1,5 đ) ; k.luận (1,5 điểm) x < pt ↔ − x + − x = ↔ x = (không thỏa mãn) 2) 11 ≤ x ≤ pt ↔ x − + − x = ↔ x = 0(đúng∀x1 ≤ x ≤ 2) x > pt ↔ x − + x − = ↔ x = (không thỏa mãn) Vậy nghiệm pt : ≤ x ≤ (1 đ) (1 đ) (1 đ) Câu : 1) x = ( x − x − 1)( x + x + x + 3x + 5) + x + Đa thức dư 8x+5 2) Xét đa thức : Q(x) = P(x) - 10x Có Q(1) = ; Q(2) = ; Q(3) = => x = , x = , x = Là nghiệm đa thức Q(x) → Q(x)  ( x − 1)( x − 2)( x − 3) → Q(x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − a ) (a∈ Q) → P(12) + P(-8) 11.10.9(12 − a + + a) + 40 = 19840 Câu : (3 đ) (1 đ) (1 đ) 11 1 ≤  + ( x, y > 0) x+ y 4 x y ab ab ab  1  = ≤ +   c + (c + a ) + ( c + b )  c + a c + b  bc bc  1  ca ca  1  ≤  + ≤  + và  T2 : a +1  a + b a + c  b +1  b + a b + c  ab bc ca  ab + bc ab + ca bc + ca  → + + ≤  + +  c +1 a +1 b +1  c + a b+c a+b  = (a + b + c) = Dấu = xẩy ↔ a = b = c Áp dụng : Câu : (1,5 đ) (0,5 đ) (1 đ) K a A B F E M N D C CM CE AF BA = = = BA BF FD DN → CM DN = AB = a CM AB CM AD = → = → ∆CMB∞∆DAN (c.g c) b) AB DN CB DN → CMˆ B = DAˆ N → CMˆ B + DNˆ A = 90 → MKˆ N = 90 c) MN nhỏ ↔ CM + DN nhỏ mà CM DN = a2 không đổi → tổng nhỏ ↔ CM = DN → CM = DN = a → MN nhỏ = 3a ↔ E F trung điểm BC, AD a) AB // MN → hết (2 đ) (2 đ) (2 đ)