Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3)

Câu 4: 4 điểm Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD AB//CD.. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.. Chứng minh BD > AC.

UBND HUYỆN KIM SƠN

MÔN: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,5 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4  2011x2  2010x 2011



xy

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3 axb chia cho x 1 dư 7;

chia cho x 2dư 4

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

















b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất:

x2 2x22011

B

Câu 3: (2 điểm)

Chứng minh rằng:

a)

2000 2011

11 2011 2000

2011

11 2011

3 3

3 3











b) Nếu ;m n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4m2m 5n2 n thì :

m-n và 5m5n1 đều là số chính phương

Câu 4: (4 điểm)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N

b) Chứng minh AB1 CD1 MN2

c) Biết S AOB a2 ;S COD b2 Tính S ABCD ?

d) Nếu Dˆ Cˆ  90 0 Chứng minh BD > AC

UBND HUYỆN KIM SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG

MÔN: TOÁN 8

1























x x x



xy























0 1 3 3

1

2

y x y x x

26

y

x y





0,25 0,25



























6 1 3 3 1

x y x x

y

x y





  

0,5

c/ Vì x3axb chia cho x 1 dư 7 nên ta có: x3axb=x 1.Q(x)  7

do đó với x   1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)

0,25

Vì x3axb chia cho x 2 dư 4 nên ta có: x3axb=x 2.P(x)  4

do đó với x  2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)

0,25

2

















A= x2 y2 5 2x 4y x y 12 2xy















4 ) 2 ( 2 4 2 4 2 2 2 2 1 4

2

2

2

































x

0,25

Thayx 2 2011 ;y 16 503  2 4 503  2 2012 vào A ta có: A=2 2 2 2011  2 2012 4  4 0,25

x

x

x  

2011

2011 2011

2 2011

x

x

2011

2010 2011

2011 (

2011

2010 2011

2011 2010

2

2 2

2 2













x

x x

x

Dấu “=” xảy ra khi x 2011

0,25 Vậy GTNN của B là 20102011 đạt được khi x 2011

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3 2000 2011

11 2011

c ac a c a

b ab a b a c a

b a

























0,25 Thay a=b+c vào a2  abb2 bc2  bcbb2 b2 bcc2 0,25

a2 acc2 bc2 bccc2 b2bcc2 0,25 Nên a2 abb2 a2  acc2

0,25

11 2011 2000

2011

11 2011

2 2

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3





































c a

b a c ac a c a

b ab a b a c a

b a

b/Ta có4m2m 5n2 n 5m2  n2m nm2  m n5m 5n 1m2(*) 0,5

Mặt khác từ (*) ta có: m2  d2  m d Mà 10m+1 d nên 1 d  d=1

0,25

N M

O

D

C

Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,

thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

0,25

4

a/ Ta có

BD

OB AC

OA



DC

ON DC

OM

0,5

0,5 b/ Do MN//AB và CD  OM CD AM AD và OM AB DM AD Do đó:

1



(1)

0,25

AB

ON DC

ON

AB

MN DC



MN AB DC

2 1 1



c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2

cạnh đáy tương ứng Do vậy : S S OD OB

AOD

AOB

 và S S OC OA

COD

AOD



0,25

Nhưng OD OB OC OA 

COD

AOD AOD

AOB S

S S

S

  S2AOD  SAOB SCOD  a2 b2 nên S AOD ab

Tương tự S BOC ab.Vậy S ABCD ab2

0,5

0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

Do Dˆ Cˆ 90 0 nên H, K nằm trong đoạn CD

Ta có A EˆDB CˆDCˆ Dˆ  ADAE

Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH

0,25

0,25

H

DB BK DK AH CH AC (Do AH2 BK2) BD AC

HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa