UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (3,0 điểm): 1) Cho biểu thức: A = x2 + x − x + 5x + a- Tìm điều kiện xác định A, rút gọn A b- Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 2) Giải phương trình: x − = x +1 Câu (2,0 điểm): a) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức B = a4 + b4 + c4 b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1 Câui3 (1,0 điểm) Cho a số nguyên Chứng minh biểu thức: P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 bình phương số nguyên Câu (1,0 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM Gọi N trung điểm AM, BN cắt cạnh AC E, CN cắt cạnh AB F Tính diện tích tứ giác AFNE theo S Câu (3,0 điểm): Cho hình bình hành ABCD Qua A kẻ đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD E, K, G Chứng minh: a) AE = EK EG b) 1 = + AE AK AG c) Khi đường thẳng qua A thay đổi tích BK.DG có giá trị không đổi HẾT UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Yêu cầu nội dung Ý Điểm a- ĐKXĐ: 1a Câu1 3,0đ 1b x + x + ≠ ⇔ ( x + )( x + 3) ≠ ⇒ x ≠ −2; x ≠ −3 A= x + x − ( x − 1)( x + ) x − = = x + x + ( x + )( x + 3) x + A= x −1 = 1− x+3 x+3 0,25 đ Để A nguyên 0,75 đ 0,25 đ nguyên hay x+3∈ Ư(4) x+3 Suy ra: x+3 -4 -2 -1 x -7 -5 -4 -2 -1 Vì ĐKXĐ: x ≠ -2 Vậy x nhận giá trị: -7;-5;-4;-1;1 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ * Xét khoảng x ≥ phương trình cho trở thành: x − = x + (1) Với x ≥ pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm 0,25đ Với ≤ x < pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng xét 0,25đ * Xét khoảng x< pt cho trở thành: x + = x + (2) Với − ≤ x < pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm 0,25đ Với x < −3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng xét) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { } 0,25 đ Câu2 2đ a Ta có: 14 = ( a + b + c ) ⇔ 196 = a + b + c + 2a b + 2a c + 2c b ⇔ a +b +c = 196 − a c + a b + b c ( 0,25 đ ) Lại có: a+ b+ c = ⇒ ( a + b + c ) = ⇒ a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc = ⇒ ab + ac + bc = −7 ⇒ ( ab + ac + bc ) = 49 ⇒ a b + a c + b c + 2ab c + 2bc a + 2ca b = 49 0,5đ ⇒ a b + a c + b c + 2abc( a + b + c ) = 49 Do : ⇒ a b + a c + b c = 49 ⇒ B = a4+ b4+ c4 = 196-2.49 = 98 ( b Câu3 1,0 đ ) ( 0,25 đ ) n + n + ⇔ n n + − n − n + ⇔ ( n + 1)( n − 1) ( n + 1) n − n + ⇔ n − n − n + (vì n + ≠ ) 0,5 đ Nếu n=1 chia hết cho Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nên (n-1) chia hết cho n2-n+1 Vậy giá trị n tìm 0,5 đ ( ) P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 = (a +5a + 4)(a + 5a + 6) + Đặt a +5a + = x ta có: P = x( x+ 2)+1= x + 2x + 1= (x + 1) Thay a 2 +5a + = x ta P = ( a +5a + 5) Vì a số nguyên nên ( a +5a + 5) số nguyên, p =( a +5a + 5) bình phương số nguyên Suy điều phải chứng minh 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ A E F K Câu4 1đ N B M C Vẽ MK//CF 0,25 đ ⇒ BK = KF = FA S AKM = S AFN ; S BKM = S AFN 0,25 đ S S ⇒ S AFN = 12 S S = ⇒ S AFNE = 12 ⇒ S ABM = S AFN mà S ABM = 0,25 đ Tương tự có: S ANE 0,25 đ A B E Câu5 3đ K G D C Do BK//AD, nên EK BE = (1) AE ED 0,5 đ Do AB//DG, nên AE BE = (2) EG ED 0,25 đ EK AE = ⇒ AE = EK EG AE EG AE DE AE DE = ⇒ = Ta có: (3) EK EB AK DB Từ (1)(2) ⇒ Tương tự: AE BE = (4) AG BD 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ Công vế (3) (4) ta có: AE AE DE BE BD 1 + = + = = hay = + AE AK AG AK AG DB BD BD BK a KC CG = = Đặt AB=a; AD=b thì: KC CG b DG 0,5 đ 0,5 đ Nhân theo vế hai đẳng thức trên, ta được: BK a = ⇒ BK DG = ab có giá trị không đổi b DG …………………HẾT………………… Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5 đ