chuyên đề bất đẳng thức cauchy potx

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1. Bất đẳng thức CauChy: a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥ a ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b b) Cho 3 a+b+c 0, b 0, c 0 3 ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ a abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c c) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a 2. Ví dụ: 1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng: a) 2 + ≥ a b b a b) ( ) ( ) 1 4 + + ≥ a b ab ab 2) Chứng minh: ( )( )( ) ( ) 3 3 1 1 1 1+ + + ≥ + a b c abc với a, b, c không âm. 3) Chứng minh: 3 9 4 2 3 4 9+ + ≥ a b c abc 4) Chứng minh: + + ≥ + + xy yz zx x y z z x y với x, y, z > 0 5) Chứng minh: a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b với a, b, c > 0 b) 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c b c c a a b 3. Bài tập: 1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: a) ( ) 1 1 4   + + ≥     a b a b b) ( ) 1 1 1 9   + + + + ≥     a b c a b c c) 2 2 2 + + ≥ + + a b c ab bc ca d) ( ) ( ) 2 2 2 9+ + + + ≥ a b c a b c abc e) + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c f) 4 4 4 9 2 2 2 + + ≥ + + + + + + + + a b c a b c a b c a b c g) 1 1 1 + + ≥ + + a b c bc ca ab a b c 2) Cho 1 2 , , , n a a a là các số thực dương thoả 1 2 . 1 = n a a a . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 + + + ≥ n n a a a 3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + x y z x y z y z x y z x 4) Chứng minh: 1 ! ; n N 2 + > ∈ n n n 5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( )( )( ) 8 . 729 x y y z z x xyz+ + + ≤ 6) Cho 1; b 1 ≥ ≥ a Chứng minh rằng: 1 1 − + − ≤ a b b a ab 7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 6 + + + + + ≤a b b c c a 8) Chứng minh ( ) ( ) ( ) 8 + + + ≥ x y y z z x xyz với x, y, z > 0 9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh 1 1 1 3 2 2 2 + + +       + + ≥             n n n x y z 10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5+ + ≥ + + x y z xy yz zx 11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8 8 8 2 2 2 + + ≥ + + a b c a b c 12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 2 4 4 8 3 3 2 − + + ≥ a a 13) Cho , , 0 x y z > và th ỏ a 1 x y z + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 18 2 xyz xy yz zx xyz + + > + 14) Cho a, b, c, d > 0 . Ch ứ ng minh 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 + + + ≥ + + + a b c d b c d a a b c d 15) Cho x, y, z tu ỳ ý khác không. Ch ứ ng minh 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 + + ≥ + + x y z x y z 16) Ch ứ ng minh v ớ i x, y là 2 s ố không âm tu ỳ ý, ta luôn có: 3 3 2 3 17 18+ ≥ x y xy 17) Ch ứ ng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 3 6 1 4 + + − − ≤ + + + a b c d a b c d v ớ i 5, 4, 3, 6 a b c d > − > − > > 18) Cho a, b, c > 0. Ch ứ ng minh ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2   + + + + ≥ + +   + + +   a b c a b c a b b c c a 19) Cho x, y, z > 0 Ch ứ ng minh 1 1 1 8      + + + ≥          x y z y z x 20) Ch ứ ng minh 2 2 3 2 2 x x x + ≥ ∀ ∈ +  21) Ch ứ ng minh 8 6 >1 1 x x x + ≥ ∀ − 22) Cho n s ố 1 2 , , , n a a a không âm tho ả 1 2 1 + + + = n a a a . Ch ứ ng minh 1 2 1 3 1 1 . . . 2 − − + + + ≤ n n n a a a a a a 23) Ch ứ ng minh + 1 1 , 2 n n n n n < + ∀ ∈ ≥  24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Ch ứ ng minh : 1 1 1 1 1 1 64       + + + ≥           x y z 25) Cho 0, 0, 0 ≥ ≥ ≥ x y z và 1 1 1 1 1 1 1 x y z + + ≥ + + + . Ch ứ ng minh 1 8 ≤ xyz 26) Ch ứ ng minh: 1 1 1 1 1 ; 1 n n n n n +     + ≤ + ∀ ∈     +      27) Ch ứ ng minh ( ) + 1.3.5 2 1 n n n n− < ∀ ∈  28) Cho 2 2 1 + = x y Ch ứ ng minh 2 2 − ≤ + ≤x y 29) Cho 3 s ố th ự c x, y, z th ỏ a 3; y 4 ; z 2 ≥ ≥ ≥ x . Ch ứ ng minh 2 3 4 2 3 2 2 6 4 6 − + − + − + + ≤ xy z yz x zx y xyz 30) Cho ( ) ( ) ( ) 4 5 = + − f x x x v ớ i 4 5 − ≤ ≤ x . Xác đị nh x sao cho f(x) đạ t GTLN 31) Tìm GTNN c ủ a các hàm s ố sau: a) 3 ( ) = + f x x x v ớ i x > 0 b) 1 ( ) 1 = + − f x x x v ớ i x > 1 32) Cho 0 4; 0 y 3 ≤ ≤ ≤ ≤ x . Tìm GTLN c ủ a ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 = − − + A y x y x 33) Tìm GTLN c ủ a bi ể u th ứ c: 2 3 4 − + − + − = ab c bc a ca b F abc v ớ i 3; b 4; c 2 ≥ ≥ ≥ a 34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN c ủ a 1 1 1 = + + + + + x y z P x y z ( Đ HNT-1999) 35) Cho 3 s ố d ươ ng a, b, c th ỏ a a.b.c=1. Tìm GTNN c ủ a bi ể u th ứ c: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + bc ca ab P a b a c b c b a c a c b ( Đ HNN – 2000) 36) Ch ứ ng minh các b ấ t đẳ ng th ứ c sau v ớ i gi ả thi ế t , , 0 a b c > : 1. 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2. 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 3. 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 4. 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 5. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + 6. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 7. 3 3 3 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + 37) Cho , , x y z là ba s ố d ươ ng th ỏ a mãn 1 xyz = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + ( Đ H 2005) 38) Cho , , x y z là các s ố d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 4 4 4 3 3 3 1 ( ) 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + ( Đ H 2006) 39) Gi ả s ử , x y là hai s ố d ươ ng thay đổ i th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n 5 4 x y + = . Tìm GTNN c ủ a bi ể u th ứ c 4 1 4 S x y = + ( Đ H 2002) 40) Cho , , x y z là các s ố d ươ ng và 1 x y z + + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82 x y z x y z + + + + + ≥ ( Đ H 2003) 41) Cho , , x y z là các s ố d ươ ng th ỏ a mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 1 1 1 2 2 2 x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + ( Đ H 2005) 42) Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i x ∈  thì 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +             ( Đ H 2005) 43) Cho , , x y z là các s ố d ươ ng th ỏ a mãn 1 xyz = . Ch ứ ng minh r ằ ng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ ( Đ H 2005) 44) Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i , 0 x y > thì 2 9 (1 ) 1 1 256 y x x y     + + + ≥           (ĐH 2005) 45) Cho , , x y z th ỏ a mãn 0 x y z + + = . Ch ứ ng minh 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ ( Đ H 2005) 46) Cho , , a b c là ba s ố d ươ ng th ỏ a mãn 3 4 a b c + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng: 3 3 3 3 3 3 3 a b b c c a + + + + + ≤ ( Đ H 2005) 47) Cho , , x y z th ỏ a mãn 3 3 3 1 x y z− − − + + = . Chứng minh 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z y x z z x y+ + + + + + + ≥ + + + (ĐH 2006) 48) Tìm GTNN của hàm số 2 11 7 4 1 ( 0) 2 y x x x x   = + + + >     (ĐH 2006) 49) Cho , x y là hai s ố d ươ ng th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n 4 x y + ≥ . Tìm GTNN c ủ a bi ể u th ứ c 2 3 2 3 4 2 4 x y A x y + + = + (ĐH 2006) 50) Ba số dương , , a b c thỏa mãn 1 1 1 3 a b c + + = . Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 8 a b c + + + ≥ (ĐH 2001) 51) Giả sử x và y là hai s ố d ươ ng và 1 x y + = . Tìm GTNN c ủ a 1 1 x y P x y = + − − (ĐH 2001) 52) Cho hai số thực 0, 0 x y ≠ ≠ th ỏ a mãn 2 2 ( ) x y xy x y xy + = + − . Tìm GTLN của biểu thức 3 3 1 1 A x y = + (ĐH 2006) 53) Chứng minh rằng nếu 0 1 y x ≤ ≤ ≤ thì 1 4 x y y x − ≤ (ĐH 2006) . 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1. Bất đẳng thức CauChy: a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥ a ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b b) Cho 3 a+b+c 0, b 0, c 0 3 ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ a abc . Đẳng thức xảy ra khi. chỉ khi a= b = c c) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a 2. Ví dụ: 1) Cho 2 số dương a, b . Chứng. y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5+ + ≥ + + x y z xy yz zx 11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8 8 8 2 2 2 + + ≥ + + a b c a b c 12) Chứng minh với mọi số