Chuyên đề bất đẳng thức Cauchy

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức II.. Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức 21.. Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức b... Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thứ

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 + + + ≥ ≥

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 0 2 ≥ ≥

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )≥ +(1 3abc)3 với a , b , c ≥ 0

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

b a b c 3 abc + + ≥ 3 với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

xy

x 2 Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

b abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

Ù a2>a2−(b c− )2 ⇒ a2>(a c b a b c + − )( + − )

Ù b2>b2−(a c ⇒ − )2 b2>(b c a a b c + − )( + − )

Ù c2>c2−(a b ⇒ − )2 c2>(b c a a c b + − )( + − ) ⇒ a b c2 2 2>(a b c+ − ) (2 a c b+ − ) (2 b c a+ − )2 ⇔ abc>(a b c a c b b c a+ − )( + − )( + − )

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0+ + + ≥ ≥

Ù Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

⇒ a b 2 ab+ ≥ , b c 2 bc+ ≥ , a c 2 ac+ ≥

⇒ (a b b c a c+ )( + )( + )≥8 a b c2 2 2 =8abc

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

Ù Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13 Cho a > b > c, Chứng minh: a 3 a b b c c≥ 3( − )( − )

° a=(a b− ) (+ b c− )+ ≥c 3 a b b c c3( − )( − )

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd+ + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

3 thì y đạt GTNN bằng −

362

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

xy

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

() ⇔ a b2 2+2abcd c d+ 2 2≤a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d2 2

⇔ a d2 2+c b2 2−2abcd 0 ⇔ (≥ ad cb− )2≥0

2 Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

Ù Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cosx+ = 1 sinx 1 cosx+ ≤ (1 1 sin x cos x2+ 2) 2 + 2 )= 2

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1 (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2+xy y+ 2 + x2+xz+z2 ≥ y2+yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1>

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ΔABC có 3 góc

nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

2R (a, b, c là các cạnh của ΔABC, R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào?

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các

cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t ≤

13

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

f′(t) = 3 – 32

t =

−

2 2

3Bảng biến thiên:

1 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

13

1 4y4y5

x y4x,y 0

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ≥ 33xyz ⇔ xyz ≥ 33xyz ⇔ (xyz)2 ≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3 Vậy minA = 3 3

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Từ (2) ⇒ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 ⇔ S2 + 2cS + c2 – 4 = 0 ⇔ ⎡⎢ = − +⎣SS= − −c 2c 2

• Với S = – c – 2 ⇒ P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0

⇔ –3c2 – 4c ≥ 0 ⇔ − ≤ ≤4 c 0

• Với S = –c + 2 ⇒ P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 1 12, 2

x y ta có:

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta

được:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log≥ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

b 1 3 b.

c 2 2 c; ⎛ ⎞ + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

3Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1

⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

⎨

⎩

a, b, c > 0 abc = 1 ⇔

y z z x x y Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 thì x = y = z = 1 ⇒ a = b = c = 1 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = 3

2 Vậy minP =

32

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0 ⇒ ac(a – b) ≥ bc(a – b) ⇒ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

n = ∑=n k

n k

k 0

1C

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

b 1 2b

c

2 2

c 1 2c

aa

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2RDấu “=” xảy ra ⇔ ⎧⎨ = =⎩a b cx y z= = ⇔

x y4

x y4 ⇔

f(x) = + +x 1 1

50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48) f′(x) = 1 − 12 = x2−502

5 2

Chuyển về biểu thức f(b) = b2+ +b 50

50b (2 ≤ b ≤ 48, b ∈ N)

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng

khi b biến thiên từ 8 đến 48 Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]

99ttvới t = ( xyz) ⇒ 0 < t ≤ 3 2 ⎛⎜ + + ⎞ ≤⎟

9

⇒ Q(t) ≥ Q ⎛ ⎞⎜ ⎟1

9 = 82 Vậy P ≥ Q(t)≥ 82 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

• Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , ∀x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3) Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

• Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = π + k2π

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

⇒ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Ths : Lê Minh Phấn Tuyển tập Bất đẳng thức

13

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

• Với y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2 1 y+ 2 ≥ 2 5 > 2 + 3 Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3