48.Chuyen de Bat dang thuc

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a. đặt vấn đề 1. lý do chọn đề tài Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày xã hội loài ngời càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài ngời cha từng có. Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại. Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí mới giải đợc. Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thờng có bài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức . Trong thực tế ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thờng không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 1 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác . Trong nội dung của đề tài này xin đợc tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã biết , phơng pháp phản chứng, tam tức bậc hai ., một số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . Qua đề tài (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong đợc sự góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài đợc hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn! 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. - kỹ năng giải các bài toán chứng mih bất đẳng thức - kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phơng trình, phơng trình nghiệm nguyên, phơng trình vô tỉ. 3. đối tợng nghiên cứu. - Học sinh trung học cơ sở - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó. 4- Phơng pháp nghiên cứu : Qua quá trình học tập từ trớc đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 2 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng thể hiện trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn Toán 5. phạm vi nghiên cứu. Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức ở chơng trình toán trung học cơ sở b. GIảI QUYếT VấN Đề. Phần I. Cơ sở lý luận. Để giải đợc bài toán đòi hỏi mổi ngời phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phơng pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tơng tự nh bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải cha đợc rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài. Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy khả năng t duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải đợc nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn. Phơng pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chơng trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhng việc các em vận dụng nó nh thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm đợc điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng đợc bài toán. Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải đợc bài toán mà còn phải khái quát đợc dạng của nó để đua ra phơng pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự. Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành đợc lôgic của toán học. Thời lợng chơng trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 3 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng PHầN 2. nội dung của đề tài. i> các kiến thức cần lu ý. 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b + a lớn hơn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b , 2) môt số tính chất của bất đẳng thức: a) Nếu a b> và b c> thì a c> (tính chất bắc cầu) b) Nếu a b> và c bất kì thì a c b c+ > + Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều. c) Nếu a b c> + thì a b c > Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó. d) Nếu a b> và c d> thì a c b d+ > + Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: Không đợc cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều e) Nếu a b> và c d< thì a c b d > Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Chú ý: Không đợc trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. f) Nếu a b> và c 0> thì ac bc> Nếu a b> và c 0< thì ac bc< Tức là: Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dơng thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều. g) Nếu a b 0> > và c d 0> > thì ac bd> Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dơng thì ta đợc một bất đẳng thức cung chiều. Chú ý: Không đợc nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngợc Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 4 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng chiều. h) Nếu a b 0> > thì 1 1 0 b a > > Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dơng thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức. k) Nếu a b 0> > và n nguyên dong thì n n a b> Nếu a b> và n nguyên dong thì n n 1 a b + + > 3. Một số bất đẳng thức thông dụng + 2 2 A 0( A 0 A 0); A A = = = + A B B A B (B 0) + A B A B A B + A B A B+ + . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng dấu + A B A B . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A B 0 hoặc A B 0 + 2 2 A B A B> > + 2 2 a 0 (a 0 a 0) = = + 2 2 a b 2ab+ . (Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b= ) + a b 2 b a + (Với a, b cùng dấu) Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thờng dùng. II> các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. 1. Pơng pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A B (hoặc A B> ) ta chứng minh A B 0 (hoặc A B 0 > ) - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài toán 1.1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 5 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ) a b * ab a,b R 2 + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b= Thật vậy, a b 2 ab a b 2 ab 0 ( a b) 0 2 + + Với mọi a,b 0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b= . Bài toán 1.2. Chứng minh 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 ữ + + + + với mọi số thực a, b, c Phân tích: Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải. Lời giải: Xét hiệu 2 2 2 a b c 3 + + 2 a b c 3 ữ + + = 2 2 2 2 3a 3b 3c (a b c) 9 + + + + = 2 22 (a b) (b c) (c a) 0 9 + + Vậy 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 ữ + + + + Dấu = xảy ra a b c= = Do đó 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 ữ + + + + Khai thác bài toán: - Bằng phơng pháp xét dấu của hiệu A B ta xét đợc sự đúng đắn của bất đẳng thức A B . Để ý rằng với 2 số thực bất kì , u v ta củng có: 2 2 2 u v u v 2 2 ữ + + Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 6 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng - tơng tự nh chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau Bài toán 1.3 . Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Lời giải: Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Khai thác bài toán: Tơng tự ta có thể chứng minh bài toán sau: Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) Bài toán 1.4. Chứng minh rằng: a b 2 a b + với mọi a, b cùng dấu Lời giải: Ta có: 2 2 2 a b 2ab (a b) a b 2 a b ab ab + + = = a, b cùng dấu ab > 0 2 (a b) ab 0 Vậy a b 2 a b + dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b 0 = hay a b= Khai thác bài toán : 1.4.1 Chứng minh tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc bài Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 7 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Toán sau .21xx-5 :cóta ,5x1 mãnthoả x mọi vớirằng minh Chứng + H ớng dẩn: ( ) ( )( ) ( )( ) = = +++ 1x 5x khibằng dấu úngĐ 01xx52 41xx524421xx-521xx-5 2 1.4.2 Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 ab bc ca c + + < với a ,b là cạnh góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền. H ớng dẩn: Ta có : ab + bc + ca < 2.c 2 hay ab + bc + ca < a 2 + b 2 + c 2 Xét: a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 2 1 a b (b c) (c a) 0 2 + + = + + > Bài toán 1.5. Chứng minh rằng nếu . 1a b thì: 2 2 1 1 2 . 1 a 1 b 1 ab + + + + Phân tích: Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng đợc giả thiết a.b 1 ( ab 1 0 ) Lời giải: Xét hiệu: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 8 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 2 2 2 2 2 2 1 11 1 2 1 1 1 a 1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 b 1 ab (b a) (ab 1) 0 (1 ab)(1 a )(1 b ) + + + + + + + + + + + = + = Khai thác bài toán: - Với 3 số dơng a, b, c mà abc 1 , bất đẳng thức sau đúng hay sai? Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu đợc, hãy phát biểu bài toán tổng quát. 2 2 2 1 1 1 3 1 a 1 c 1 b 1 abc + + + + + + - Với 2 số x, y mà x y 0+ ta có: 2 y x x y 1 1 1 4 1 4 1 2 + + + + + 2. Phơng pháp biến đổi tơng đơng - Để chứng minh A B ta biến đổi tơng đơng A B C D trong đó bất đẳng thức cuối cùng C D là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức A B . Sau khi khẳng định đợc tính đúng đắn của bấtđẳng thức C D ta kết luận bất đẳng thức A B đúng - Một số hằng đẳng thức thờng dùng : (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (A-B) 2 =A 2 -2AB+B 2 (A+B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A-B) 3 =A 3 -3A 2 B+3AB 2 -B 3 Bài toán 2.1. Chứng minh rằng a, b, c, d R thì 2 2 2 2 2 a b c d e a(b+c+d +e)+ + + + Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 9 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Lời giải. Bất đẳng thức đang xét tơng đơng với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) 2 2 2 2 2 2 2 2 (a 4ab 4b ) (a 4ac 4c ) (a 4ad 4d ) +(a 4ae 4e ) 0 + + + + + + 2 2 2 2 (a 2b) (a 2c) (a 2d) (a 2e) 0 + + + là hằng đúng . Bài toán 2.2. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 a b 1 ab a b+ + + + Lời giải: Bất đẳng thức 2 2 a b 1 ab a b+ + + + 2 2 (a b 1) 2(ab a b) 0+ + + + 2 2 2 2 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 + + + + + 2 2 2 (a b) (a 1) (b 1) 0 + + đúng Điều cần chứng minh Khai thác bài toán: Tơng tự nh bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 2 ca a c bc ab b ữ + + + + Bài toán 2.3. x,y chứng minh rằng 4 4 3 3 x y xy x y+ + Lời giải: Ta có: 4 4 3 3 3 3 2 2 2 x y xy yx x (x y) y (x y) y 3y (x y) (x ) 0 2 4 + = = + + Vậy 4 4 3 3 x y xy x y+ + Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 10 . còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 1 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và. điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 2 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng thể hiện trên nhiều đối tợng học sinh khác. đói với các em có học lực trung bình, khá. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 3 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng PHầN 2. nội dung của đề tài. i> các kiến