Cac dang bai tap ve vdc tich phan va mot so phuong phap tinh tich phan

Microsoft Word BAI GI?NG CHUYÊN SÂU TOÁN 12 docx BÀI 2 TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa tích phân Định nghĩa Cho hàm số  f x liên tục trên đo[.]

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Chẳng hạn: F  x   x3  C nguyên Định nghĩa Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  , với a  b hàm hàm số f  x   3x nên tích phân 1 f  x  dx  F  x   F 1  F   Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x   đoạn  a; b  giá trị F  b   F  a  gọi tích  13  C    03  C   phân hàm số f  x  đoạn  a; b  Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ b Kí hiệu  b thuộc vào số C a Trong tính tốn, ta thường chọn C  f  x  dx  F  x   F  b   F  a  (1) a 0 Cơng thức (1) cịn gọi công thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Chẳng hạn: Hàm số f  x   x  x  có Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x  hàm số liên tục không đồ thị âm đoạn  a; b  Khi đó, tích phân b  f  x  dx C  f  x    x  1  , với x   a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành Ox hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C  , trục Ox hai đường thẳng x  1 x  S   f  x  dx  1 b S   f  x  dx a  x3     x2  x     x  x  1 dx 1  1 Lưu ý: Ta gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x  g  x  hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , đó: a  f  x  dx  a Nếu b  a Chẳng hạn: Cho hàm số f  x  liên tục, có a b Nếu f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  ta có: b   1; 2 f  1  f    1  a f   x  dx  f  x  1 1  f    f  1  9 Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a    f   x  dx a b f  a   f  b    f   x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a  k f  x   h.g  x  dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với k , h   d Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a  b b f  x  dx    f  x  dx a f Nếu f  x   0, x   a; b  b  f  x  dx  a b  f  x  dx  f  x   a g Nếu f  x   g  x  , x   a; b thỏa mãn Khi b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a đạo hàm đoạn b  a b f  x  dx   g  x  dx a h Nếu m  f  x  M  max f  x   a ;b  a ;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b  a b b b a a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I   f  x  dx , a ta phân tích f  x   g  u  x   u   x  ta thực phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u  u  x  , suy du  u  x  dx thêm bước đổi cận + Đổi cận: + Khi x a b u u a u b b ub a ua  I   f  x  dx   g  u  du  G  u  ub ua  G  u  nguyên hàm g  u  Đổi biến dạng Dấu hiệu Cách đặt a2  x2    x  a sin t ; t    ;   2 x2  a2 a2  x2 Lưu ý: Phương pháp đổi biến số x a     ; t   ;  \ 0 sin t  2    x  a tan t ; t    ;   2 , với ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2  x  a  b  x    x  a   b  a  sin t ; t   0;   2 Phương pháp tích phân phần Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I   u  x  v  x  dx cho ta dễ dàng tìm v tích phân a b b a a  vdu dễ tính  udv Hướng dẫn giải u  u  x  du  u  x  dx Đặt   dv  v  x  dx v  v  x  b Khi I   u.v  ba   v.du (cơng thức tích phân a phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f  x  liên tục  a; a  Khi a Đặc biệt  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) + Nếu f  x  hàm số lẻ ta có a  f  x  dx  (1.1) a + Nếu f  x  hàm số chẵn ta có a f  x  dx f  x  dx  1 bx 0 a a a a a  f  x  dx  2 f  x  dx (1.2)   b  1 (1.3) Nếu f  x  liên tục đoạn  a; b  b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx  Hệ quả: Hàm số f  x  liên tục  0;1 , đó:   f  sin x  dx   f  cos x  dx Nếu f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  b  x   f  x  b b ab a xf  x  dx  a f  x  dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân I    x  1 dx  a  b  c , với a, b, c   Giá trị biểu thức x  x x 1 P  a  b  c A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I  x   x  0, x  1; 2 nên 2 x 1  x 1 dx   dx   dx  x  x  x x  x x 1 1      Suy a  4, b  c  2 nên P  a  b  c  Nhân liên hợp x   x Bài tập 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A f 1  3 B f 1  2 C f 1   D f 1  Hướng dẫn giải Chọn C Từ f   x   x  f  x   (1), suy f   x   với x  1; 2 Suy f  x  hàm không giảm đoạn 1; 2 nên f  x   f    , x  1; 2 f  x Chia vế hệ thức (1) cho  f  x   ta  f  x    x, x  1; 2 (2) Lấy tích phân vế đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta f  x  1  dx  1  f  x  1 xdx   f  x       2  x2       1   f 1 f   Do f     nên suy f 1   3 Chú ý đề cho f   , u cầu tính f 1 , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí 1  Bài tập 3: Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   f    1, f 1  2 2x 1 2 Khi f  1  f  3 A 1  ln15 B  ln C 2  ln D 1  ln15 Hướng dẫn giải Chọn A  Ta có 1 f   x  dx  f    f  1 nên suy f  1  f     f   x  dx 1    f   x  dx 1 Tương tự ta có f  3  f 1   f   x  dx  2   f   x  dx Vậy f  1  f  3  1   f   x  dx   f   x  dx  1  ln x  1  ln x  1 Vậy f  1  f  3  1  ln15 Bài tập 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn   f   x  dx  A 1  x f   x  dx  1 Giá trị I   f  x  dx 0 B Chọn C   f   x  dx  (1)  x dx  thỏa mãn f 1  , C Hướng dẫn giải Ta có 0;1   49 x dx  (2) D  14 x3 f   x  dx  14 (3) Cộng hai vế (1), (2) (3) suy dx  mà  f   x   x3     f   x   x   f   x   7 x3 Hay f  x    x4  C 7 f 1     C   C  4 x4  4 Do f  x    Vậy   x4  f  x  dx       dx  4 0 Bài tập 5: Cho f  x  , g  x  hai hàm số liên tục đoạn  1;1 f  x  hàm số chẵn, g  x  hàm số lẻ Biết  f  x  dx  5; g  x  dx  Giá trị A  A 12 B 24  1 C f  x  dx   g  x  dx 1 D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f  x  hàm số chẵn nên Vì g  x  hàm số lẻ nên 1 1  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10  g  x  dx  1 Vậy A  10 Bài tập 6: Cho xdx   x  1  a  b ln với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b A 12 B  C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có xdx   x  1 1  2x 11  1   dx      dx 2  x  1  x   x  1  D 12   1    ln  x  1    x  1  1    ln 1 Vậy a   , b   a  b  12 Bài tập 7: Cho 2x  dx  a ln  b ln 3, với a, b   Giá trị biểu thức a  ab  b  x x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải Ta có 3 2x  2x 1 2   2x 1 2 x  x dx  2 x  x dx  2  x  x  x  x  dx   2x 1 2      dx  ln x  x  ln x  ln x  x  x x x 1 2    5ln  ln a  5   a  ab  b  41 b  Chọn D Bài tập Biết tích phân x 5x  dx  a ln  b ln  c ln 5, với a, b, c số nguyên Giá  5x  trị biểu thức S  a  bc bao nhiêu? A S  62 B S  10 C S  20 D S  10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 5x  5x    1 x2  5x  dx  1  x  2 x  3 dx  1  x   x   dx   ln x   ln x    ln  ln  26 ln Suy a  26, b  4, c  Vậy S  a  bc  26  4.9  10  cos x  sin x.cos x  dx  a  b ln  c ln  , với a, b, c số hữu tỉ Giá Bài tập 9: Cho   cos x  sin x.cos x   trị abc A B 2 C 4 Hướng dẫn giải Chọn C D 6   cos x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x dx  dx   2  cos x  sin x.cos x  cos x  cos x  sin x.cos x  Ta có 4    tan x  tan x  tan x  tan x  dx   1  tan x  d  tan x   cos x 1  tan x   4    tan x    tan x   d tan x    1  tan x      2ln  2ln      ln tan x  3 4   Suy a  1, b  2, c  nên abc  4 x x  e  m, Bài tập 10: Cho hàm số f  x    liên tục   x  x , x  Biết  f  x  dx  ae  b 1  c  a, b, c    Tổng T  a  b  3c B 10 A 15 C 19 D 17 Hướng dẫn giải Chọn C Do hàm số liên tục  nên hàm số liên tục x   lim f  x   lim f  x   f     m   m  1 x0 x0 1 1 1  f  x dx   f  x  dx   f  x  dx  I Ta có 0 1 1 I1   x  x dx   2  I2   x  d   x   32   x  2  x2 2 3 1 16 I    e x  1 dx   e x  x   e  Suy  f  x  dx  I 1  I2  e   22 22 Suy a  1; b  2; c   3 Vậy T  a  b  3c    22  19  Bài tập 11: Biết A   m cos2 x   3 x dx  m Giá trị  B   m  cos2 x   3x dx  C   m Hướng dẫn giải Chọn A D   m