Tai lieu chuyen de ung dung cua tich phan trong hinh hoc

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm  a; b  Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành đường thẳng= x a= , x b là: b S = ∫ f ( x)dx a Bài toán liên quan Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục đoạn a;b  , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = b ∫ f (x ) dx a y y = f (x) O a c1 c2 y = f (x)  y = (H )  x = a x = b  c3 b x S = b ∫ f (x ) dx a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục đoạn a;b  hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = y (C2 ) a c1 c2 ∫ f (x ) − g(x ) dx a (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) O b b x = S b ∫ f (x ) − f (x ) dx a Page 103 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chú ý: - Nếu đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) không đổi dấu thì: b ∫ f (x ) dx = a b ∫ f (x )dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g(y ) , x = h(y ) hai đường thẳng y = c , y = d xác định: = S d ∫ g(y ) − h(y ) dy c Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f2 ( x) là: = S xn ∫ x1 f ( x) − g( x) dx Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình f ( x) = g( x) II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S (x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a ≤ x ≤ b) Giả sử S (x ) hàm số liên tục đoạn [a;b ] (V ) O x a b x V b = ∫ S (x )dx a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f (x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y = f (x) O a b (C ) : y = f ( x )  b (Ox ) : y = Vx = π ∫ [ f ( x )] dx  x x = a a  x = b Page 104 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y ) , trục hoành hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d O c (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b Ox: V π ∫ f (x ) − g (x ) dx y = f (x ) , y = g(x ) hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục= a II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi= y f ( x), Ox= , x a= , x b Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối +) Tính chất: Hàm số y = f ( x ) liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi đó, ta có b f ( x ) dx ∫= a c ∫ a b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c Phương pháp trắc nghiệm: y f ( x ) , Ox= , x a= , x b - Xác định yếu tố cần thiết công thức= - Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính Chú ý: Nếu đề chưa cho= x a= , x b ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = để tìm cận tích phân Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = Câu 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − tích 1 , trục Ox hai đường thẳng= x = , x có diện x Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số= y x − x trục hồnh Page 105 CHUN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c ∈ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ đây: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x , trục hoành, đường thẳng x = x = π Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số = y x3 − x , trục hoành, đường thẳng x = −2 x = Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x) = x = x = Câu 8: x −1 , trục hoành, hai đường thẳng x Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn [ 0; 4] hình vẽ có diện tích = S1 11 Tính = , S2 tích phân I = ∫ f ( x )dx Câu 9: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn S= S= [ −2; 2] hình vẽ bên có diện tích 22 76 Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx , S= 15 15 −2 Page 106 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành hai đường thẳng x= −1, x = Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số= y sin x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = x = Câu 13: 7π = Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x.ln ( x + 1) , trục hoành hai đường thẳng= x 0;= x Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x , trục Ox , trục Oy đường thẳng x = Câu 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x − x + trục Ox = Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x3 + x trục hồnh Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = − x + x trục hoành là: Câu 18: 0, x + y − = Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y + x − = Câu 19: Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x − x + , trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 0; ) có hệ số góc k chia thành hai phần có diện tích Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn = y f ( x),= y g ( x),= x a= , x b Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) hai đường thẳng= x a= , x b xác định công thức: = S b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: * Giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm x1 , x2 , , xn ∈ ( a; b ) , ( x1 < x2 < < xn ) Tính: S = = ∫ x1 a f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ x2 x1 f ( x ) − g ( x ) dx + + ∫ b xn f ( x ) − g ( x ) dx ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx x1 b a xn Ngoài cách trên, ta dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x y = x đường thẳng x= −2, x = Page 107 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số = y x3 + x; y = x đường thẳng x= −1, x = xác định cơng thức Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x= 3, x= e + tính bằng: Câu 4: 2x +1 ; tiệm cận ngang hai đường thẳng x−2 Hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , = y x + hai đường x = 0, x = Cơng thức sau tính diện tích hình phẳng ( H ) ? Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 , y = − x2 , x = Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y = đường thẳng x = Câu 7: x+2 , tiệm cận ngang ( C ) , trục tung x +1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C ) : y = hai đường thẳng = x 1,= x Câu 8: 2x +1 , tiệm cận ngang (C ) x +1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường ( P ) : y = x − x + 2, trục tung, tiếp tuyến ( P ) M ( 3;5 ) là: Câu 9: y x + , tiếp tuyến với đường điểm Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol: = M ( 2;5 ) trục Oy Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn = y f= ( x), y g (x) Phương pháp giải: Dạng: Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) liên tục đoạn [ a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = g ( x= ) S β ∫ f ( x ) − g ( x ) dx Trong α , β α nghiệm nhỏ lớn phương trình f ( x ) = g ( x ) ( a ≤ α < β ≤ b ) Cách giải: Bước 1: Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) tìm giá trị α , β Bước 2: Tính = S β ∫ f ( x ) − g ( x ) dx α Page 108 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN S Chú ý: Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [ a; b]= b ∫  f ( x ) − g ( x ) dx a Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; y= x + bằng? Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol P : y  x  4x  hai tiếp tuyến ( P ) điểm A 1; 2 , B 4;5 là: Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y =x + 3, y =x − x + là: Câu 4: y x= , y x là: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi= Câu 5: y x − 12 x y = x là: Diện tích hình phẳng giới hạn đường = Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + x − 1, y = x + x − là: Câu 7: 2 x,= y x − là: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= Câu 8: 0, x + y = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y − y + x = là: Câu 9: Gọi S diện tích mặt phẳng giới hạn parabol y = x + x − đường thẳng = y kx + với k tham số thực Tìm k để S nhỏ Page 109 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x  b quanh trục Ox : Phương pháp giải: y y = f (x) O a b (C ) : y = f ( x )  b (Ox ) : y = V = π  x ∫a [ f ( x )] dx x x = a  x = b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d O c x (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x =  y = c  y = d d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c x Câu 1: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = e x , x = , x = y = quanh trục Ox là: y x − x y = Tính thể tích vật thể Câu 2: Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số = tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Câu 3: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x ln x , trục hoành đường thẳng x = e quay quanh Ox Câu 4: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường= y x 2= ; y 0;= x Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay ( H ) quanh trục Ox Câu 5: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = − x2 , y = Tính thể tích V khối trịn xoay hình thành cho ( H ) quay xung quanh Ox Câu 6: Câu 7: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường = y ,= y 0,= x 1,= x a ( a > 1) quay xung quanh trục Ox x x Cho hình phẳng ( D ) giới hạn đồ thị hàm số y = e trục Ox hai đường thẳng x = 0, x = Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay quay hình ( D ) quay quanh trục Ox Page 110 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 8: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường Câu 9: y= x − x, y = 0, x = x = Cho hình ( H ) giới hạn bở đồ thị ( C ) : y = x ln x , trục hoành đường thẳng x = , x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hồnh = y f= Dạng Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường ( x) , y g ( x) , thức: V π , x b quay quanh trục Ox tính cơng = = x a= b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P) : y = x đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox bằng: Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số = y x − x y = − x quay quanh trục Ox Câu 3: Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường = y 0,y = x ln( x + 1) x = xung quanh trực Ox là: Câu 4: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = x x = y2 quay quanh trục Ox bao nhiêu? Câu 5: Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục hồnh phần hình phẳng giới hạn đường y = x y = x Page 111 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm  a; b  Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành đường thẳng= x a= , x b là: b S = ∫ f ( x)dx a Bài tốn liên quan Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục đoạn a;b  , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = b ∫ f (x ) dx a y y = f (x) O a c1 c2 y = f (x)  y = (H )  x = a x = b  c3 b x S = b ∫ f (x ) dx a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục đoạn a;b  hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = y (C2 ) a c1 c2 ∫ f (x ) − g(x ) dx a (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) O b b x = S b ∫ f (x ) − f (x ) dx a Chú ý: Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A V = B V = 3 C V = D V = π Lời giải Do vật thể có đáy đường trịn cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox thiết diện tam giác vật thể đối xứng qua mặt phẳng vng góc với trục Oy điểm O Cạnh tam giác thiết diện là:= a − x2 Diện tích tam giác thiết diện là: S= Thể tích khối cần tìm là: 1 0 V= ∫ Sdx = 2∫ Câu 42: a2 = (1 − x ) 3   (1 − x = )  x − x3 = 3  0 Sân vận động Sport Hub sân có mái vịm kỳ vĩ giới Đây nơi diễn lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân elip ( E ) có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vng góc với trục lớn ( E ) cắt elip M , N ta thiết diện ln phần hình trịn có  = 900 Để lắp máy điều hịa khơng khí kỹ tâm I với MN dây cung góc MIN sư cần tính thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, coi mặt sân mặt phẳng thể tích vật liệu mái khơng đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? Page 30 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hình A 57793m3 B 115586m3 C 32162m3 D 101793m3 Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ Ta cần tìm diện tích S ( x ) thiết diện Gọi d ( O, MN ) = x (E): x2 y2 + = 752 452 x2  x2 2 Lúc MN = 2y = 45 1 −  = 90 − 75  75  ⇒ R= MN 90 x2 x2  902  = − ⇒ R 2= 1 −  75  75  2 Page 31 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 1 1 2025  x2  S ( x) =π R − R = 1 − (π − )   π − R = 2  752  4 Thể tích khoảng khơng cần tìm V= 75 ∫ (π − ) −75 Câu 43: 2025  x2  1 −  ≈ 115586m3  75  Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang đường elip có trục lớn 1m , trục bé 0,8m , chiều dài 3m Đươc đặt cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng Biết chiều cao dầu có thùng 0,6m Tính thể tích V dầu có thùng A V = 1,52m3 B V = 1,31m3 C V = 1, 27m3 D V = 1,19m3 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ x2 y + = Theo đề ta có phương trình Elip 4 25 Gọi M , N giao điểm dầu với elip π S1 π= ab π = Gọi S1 diện tích Elip ta có= 5 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn Elip đường thẳng MN Theo đề chiều cao dầu có thùng 0,6m nên ta có phương trình đường thẳng MN y = Mặt khác từ phương trình Do đường thẳng y = x2 y + = ta có = y − x2 4 25 3 cắt Elip hai điểm M , N có hồnh độ − nên 4 4 4 1 4 = S ∫  −x − = d x − x dx −  ∫ 5 10  3 − − Page 32 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ∫ I = Tính − − x dx 1 sin t ⇒ d= cos tdt x 2 x Đặt = Đổi cận: Khi x = − 3 π π t = − ; Khi x = t = 4 3 π π 1  2π 3 cos d I= t t = (1 + cos 2t ) dt = +  ∫π 2 ∫ π 8  − − 3  2π 3 π + = − Vậy S =   − 8  10 15 20 π π 3 Thể tích dầu thùng V =  − +  = 1,52  15 20  Câu 44: Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu 280 cm Giả sử h ( t ) chiều cao mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều t + lúc đầu hồ bơi khơng có nước Hỏi sau bao 500 h′(t ) cao mực nước giây thứ t là= độ sâu hồ bơi ? B 34 giây C 35 giây lâu bơm số nước A 36 giây D 36 giây Lời giải Gọi x thời điểm bơm số nước độ sâu bể ( x tính giây ) x x 3 140000 210 ⇒ ( t + 3) = t + 3dt = Ta có: ∫ 105000 ⇒ ( x + 3) x + − 3 = 500 0 ⇒ ( x + 3) +3 = 3 + 140000 ⇒ x= (3 3 + 140000 ) ⇒ = x (3 3 + 140000 ) −3 ⇒ x ≈ 7234,8256 Câu 45: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h ( t ) thể tích nước bơm sau t giây Cho h′= ( t ) 6at + 2bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 90m3 , sau giây thể tích nước bể 504m3 Tính thể tích nước bể sau bơm giây A 1458m3 B 600m3 C 2200m3 D 4200m3 Lời giải ∫ ( 6at + 2bt ) dt = 90 ⇔ ( 2at + bt ) = 90 ⇔ 54a + 9b = 90 Page 33 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ∫ ( 6at + 2bt ) dt = 504 ⇔ ( 2at + bt ) = 504 ⇔ 432a + 36b = 504 0  a = Từ , ⇒  Sau bơm giây thể tích nước bể là: b = = V ∫( 4  4t + 12t dt =  t + 6t  = 1458 ( m3 ) 3 0 ) Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;5] đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đoạn [ 0;5] cho hình bên Tìm mệnh đề A f= ( ) f ( ) < f ( 3) B f ( 3) < f ( ) = f ( 5) C f ( 3) < f ( ) < f ( ) D f ( 3) < f ( ) < f ( ) Lời giải Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( 3) > , f ( 5) > f ( 3) 3 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 3) − f ( ) < , f ( 3) < f ( ) ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( ) < , f ( 5) < f ( ) Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a < b < c hình vẽ Mệnh đề đúng? Page 34 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) B f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( c ) > f ( b ) > f ( a ) Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Ta có= S1 b ∫ f ′ ( x= ) dx a b ∫ a c c b b f ′ ( x= f (b) − f (c ) − ∫ f ′ ( x )dx = )dx f ( b ) − f ( a ) , S2 = ∫ f ′ ( x ) dx =  S1 < S ⇔ f ( b ) − f ( a ) < f ( b ) − f ( c ) ⇔ f ( c ) < f ( a )  Vì  b ⇒ f (c ) < f ( a ) < f (b)  ∫ f ′ ( x )dx > ⇔ f ( b ) > f ( a ) a Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ Phương trình f ( x ) = có nghiệm thực phân biệt A f ( ) < < f ( m ) B f ( ) > C f ( m ) < < f ( n ) D f ( ) < < f ( n ) Lời giải Chọn A x = Xét f ′ ( x ) =0 ⇔  x =m   x = n Bảng biến thiên: Page 35 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) ; Ox; x = m; Oy ′ ( x ) ; Oy; x n đồ thị y f= Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn = Từ hình vẽ ta thấy S > S1 n ⇔∫ n ⇔∫ 0 f ′ ( x ) dx > ∫ f ′ ( x ) dx m f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx m ⇔ f ( n ) − f ( ) > −  f ( ) − f ( m )  ⇔ f ( n) > f ( m) Từ bảng biến thiên kết hơp với điều kiện f ( n ) > f ( m ) ta thấy để phương trình f ( x ) = có nghiệm thực phân biệt ⇔ f ( ) < < f ( m ) Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình bên Mệnh đề sau đúng? A f ( ) > f ( ) > f ( −1) B f ( ) > f ( −1) > f ( ) C f ( ) > f ( ) > f ( −1) D f ( −1) > f ( ) > f ( ) Lời giải Theo đồ thị, ta có: f ( ) −= f ( −1) ∫ f ′ ( x ) dx > −1 ⇒ f ( ) > f ( −1) (1) , Page 36 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f ( ) −= f ( −1) ∫ f ′= ( x ) dx −1 ∫ −1 f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < 0 ⇒ f ( −1) > f ( ) ( ) Từ (1) ( ) ⇒ f ( ) > f ( −1) > f ( ) Cho hàm số f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) [ −3; 2] hình vẽ Câu 50: 0, giá trị f ( −1) + f (1) Biết f ( −3) = 23 A B 31 C Lời giải 35 D Chọn B Parabol y = ax + bx + c có đỉnh I ( −2;1) qua điểm ( −3;0 ) nên ta có  b −2  − 2a = a = −1   4a − 2b + c =1 ⇔ b =−4 ⇒ y =− x − x − 9a − 3b + c =0 c =−3    nên f ( −1) + f (= Do f ( −3) = 1)  f (1) − f ( )  +  f ( ) − f ( −1)  +  f ( −1) − f ( −3)  = ∫ 0 −1 −1 −1 −3 −3 f ′( x)dx + ∫ f ′( x)dx + ∫ ( − x − x − 3) dx =S1 + S + ∫ ( − x − x − 3) dx =1 + 31 + = Với S1 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = −1, x = và= x 0,= x Dễ thấy= S1 1;= S2 x ) f ( x ) − ( x − 1) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt g (= Câu 51: Page 37 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Mệnh đề đúng? A g ( −1) < g ( 3) < g ( ) B g ( −1) < g ( ) < g ( 3) C g ( ) < g ( −1) < g ( 3) D g ( 3) < g ( ) < g ( −1) Lời giải ′ ( x )  f ′ ( x ) − ( x − 1)  ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = Ta có g= x −1  x = −1 Dựa vào đồ thị ta có nghiệm sau:  x =   x = Ta có bảng biến thiên Ngồi dựa vào đồ thị ta có 5 1 ′ ′ g x d x g x d x > − ⇔ g x > − g x ( ) ( ) ( ) ( ) −1 −∫1 ∫3 ⇔ g ( 3) − g ( −1) > g ( 3) − g ( ) ⇔ g ( ) > g ( −1) Vậy g ( 3) > g ( ) > g ( −1) Câu 52: Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f '( x) cho hình vẽ bên Tính giá trị = H f (4) − f (2) ? Page 38 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A H = 45 C H = 51 B H = 64 D H = 58 Lời giải Theo y = f ( x) = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ , a ≠ ) y = f ′ ( x ) hàm bậc hai có dạng y = f ′ ( x ) = a′x + b′x + c′  a′ = c′ =   Dựa vào đồ thị ta có: a′ − b′ + c′ = ⇒ y = f ′ ( x )= x + ⇔ b′ = c′ =  a ′ + b′ + c ′ =   Gọi S diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y = f ′ ( x ) , trục Ox , x = 4, x = Ta có S = ∫ ( 3x + 1) dx = 58 = S Lại có: ) dx ∫ f ′ ( x= f (= x) f ( 4) − f ( 2) Do đó: H = f ( ) − f ( ) = 58 Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đặt M = max f ( x ) , [ −2;6] m = f ( x ) , T= M + m Mệnh đề đúng? [ −2;6] A T= f ( ) + f ( −2 ) B T= f ( ) + f ( −2 ) C = T f ( 5) + f ( ) D = T f ( 0) + f ( 2) Lời giải Page 39 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi S1 , S , S3 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hồnh Quan sát hình vẽ, ta có  ∫ −2 f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) −2 > f ( x ) 0 ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) < f ( )  ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) < f ( x ) ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( 5)  ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx 5 ⇔ f ( x) > f ( x) ⇔ f ( 5) − f ( ) > f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( ) Ta có bảng biến thiên = f ( x= = f ( x ) f ( ) m Dựa vào bảng biến thiên= ta có M max ) f ( −2 ) [ −2;6] [ −2;6] Khi T= f ( ) + f ( −2 ) Câu 54: Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  dx  e Hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? Page 40 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A a  c  B a  b  c  d  C a  c  b  d Lời giải D b  d  c  Chọn A Theo đồ thị ta có f (0)   d  hệ số a  Xét  f ( x)dx  f ( x) 1  a  b  c  d , mà  f ( x)dx  nên ta có a  b  c  d  1 1 Hay a  c  b  d Do ta loại C Thay d  ta có a  b  c , a  nên b  c  Loại Xét  f ( x)dx  f ( x) 10  a  b  c  d , mà Do ta loại D  f ( x)dx  nên ta có a  b  c  d  B Từ ta có a  b  c  d  cộng vế với ta có a  c  Câu 55: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị gồm phần đường thẳng phần parabol có đỉnh gốc tọa độ O hình vẽ Giá trị A 26 B 38 ∫ −3 f ( x ) dx C Lời giải D 28 Chọn D Ta có, phương trình đường thẳng có dạng = y ax + b Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng qua hai điểm A ( −2;0 ) , B ( −1;1) Page 41 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN +b = −2a= a Suy ra, ta có hệ phương trình  ⇔ ⇒ y =x + = a+b = − b = y ax , a ≠ Ta có, phương trình parabol có dạng x2 Từ hình vẽ, ta thấy parabol qua điểm B ( −1;1) ⇒ y =  x + 2, x ≤ −1 y f= = Do đó, hàm số ( x)   x , x ≥ −1 Vậy, −1 −3 −3 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + ) dx + ∫ x dx = ( x + 2) −1 −3 x3 + 3 = −1 1 28 − +9+ = 2 3 Câu 56: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm đến cấp  Biết hàm số y  f  x đạt cực tiểu x  1 , có đồ thị hình vẽ đường thẳng  tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm x  Tính  f   x  2 dx A B C D Lời giải Chọn C Dễ thấy đường thẳng  qua điểm 0; 3 1;0 nên  : y  x  suy hệ số góc  k   f  2  Hàm số y  f  x đạt cực tiểu x  1 suy f  1  Vậy  Câu 57: f   x  2 dx  f   x  2  f  2  f  1    Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hình vẽ Page 42 CHUN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 0 ∫ f ' ( x − )dx + ∫ f ' ( x + ) dx Giá trị biểu thức I= B A − C Lời giải D 10 Chọn C 4 0 0 Xét I = ∫ f ' ( x − )dx + ∫ f ' ( x + ) dx = ∫ f ' ( x − )d ( x − ) + ∫ f ' ( x + ) d ( x + ) = f ( x − ) + f ( x + ) =  f ( ) − f ( −2 )  +  f ( ) − f ( )  = f ( ) − f ( −2 ) =4 − ( −2 ) =6 0 Câu 58: Cho hàm số f ( x ) liên tục có đồ thị hình bên Biết F ′= ( x ) f ( x ) , ∀x ∈ [ −5; 2] −1 ∫ f ( x ) dx = −3 A −145 Chọn C B −89 14 Tính F ( ) − F ( −5 ) 145 Lời giải C D 89 Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số f ( x ) liên tục xác định đoạn [ −5; 2] xây  f1 ( x ) − ≤ x < −3  dựng ba hàm = số f ( x )  f ( x ) − ≤ x ≤ −1 Trong đó:   f3 ( x ) − < x ≤ Page 43 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f1 ( x ) đường thẳng qua hai điểm ( −5;5 ) ( −3; ) có phương trình: f1 ( x ) = f ( x ) có đồ thị đường cong nối từ điểm ( −3; ) đến điểm ( −1; ) −x + f3 ( x ) đường thẳng qua hai điểm ( −1; ) ( 0;3) có phương trình f3 ( x )= x + = Vậy: F ( ) − F ( −5) −3 −1 −3 −5 −5 −1 ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ f= −3 −1 −x + 14 21 145 = ∫ dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + 3) dx = =9 + + = −5 −3 −1 Page 44