Gt12 c3 b3 ứng dụng của tích phân trong hình học

PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG §5 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Thời lượng dự kiến: tiết Facebook GV1 phản biện: Phạm Thanh Liêm(TT) Facebook GV2 soạn bài: Nguyễn Thùy Trang Facebook GV3 soạn bài: Phạm Nguyệt Minh Facebook GV4 soạn bài: Đinh Thúy Nhung Facebook GV5 phản biện: Nguyễn Nga Facebook GV6 Giáo viên chuẩn hóa: Nguyễn Ngọc Minh - https://www.facebook.com/nnminh52 A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y  f  x  a ; b  , trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn b hai đường thẳng x a , x b xác định S | f  x  | dx a  y  f  x   y 0  H : b  x a  S | f  x  | dx  x b a Ta có Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x  , trục hoành, đường thẳng x  , x 0 Lời giải Diện tích S hình phẳng S  2 x  4dx 2 Xét dấu x    2;0 Ta thấy x  0 , nên S  2 x  dx   x  dx  x  x  2 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng x  ; x 0 Trang 1/37 y  f  x  2 4  x x  , trục hoành PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Lời giải Diện tích S hình phẳng S  1  x dx x Xét dấu 0  x  x    x S  dx   dx     dx 3ln   x    1;0 x  x  x    1 1 1 Ta thấy x  nên Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3x  trục hoành Lời giải  x 1 x  3x  0    x 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 S x  x  2dx   x  3x  dx  Diện tích S hình phẳng 1 Chú ý:  Nếu đề chưa cho x a , x b ( cận tích phân) ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm f  x  0 để tìm cận tích phân b  Nếu f  x không đổi dấu  a ; b b S | f  x  | dx  f  x  dx a a  Phương pháp trắc nghiệm: + Xác định yếu tố cần thiết công thức y  f  x  y 0 x a x b , , , b + Khi S | f  x  | dx a + Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính Hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  y g  x   a ; b , liên tục đoạn b hai đường thẳng x a , x b xác định Trang 2/37 S | f  x   g  x  | dx a PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN - NĂM 2021-2022 Ta có  y  f1  x   y  f2  x   H  :   x a  x b   C1   C2  b  S | f  x   g  x  | dx a x Ví dụ 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y e , y 2 , x 0 , x 1 Lời giải Gọi S diện tích cần tìm Ta có S e x  dx x Xét e  0  x ln x Bảng xét dấu e  sau: ln x Ta có S e  dx   e x   dx   e x   dx ln  x  e x  ln   ex  2x  ln 4 ln  e  Vậy S 4 ln  e  Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x.ln x , y x hai đường thẳng x 1 , x e Lời giải  x 0   1;e  x ln x  x 0    x e   1;e  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho Diện tích S hình phẳng e e e e S x ln x  x dx   x ln x  x  dx  x ln x  xdx  1 1 e2  Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  đường thẳng y  x –1 Trang 3/37 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y x  3x  đường thẳng y  x –1  x 1  x  x  0    x 3 x  3x  x  3 Suy diện tích hình phẳng S x  3x   ( x  1)dx x  x  3dx  1 Chú ý:  Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số  Nếu đề chưa cho x a , x b (cận tích phân) ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm f  x   g ( x) để tìm cận tích phân B LUYỆN TẬP I Chữa tập SGK Bài trang 123 – SGK Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  ln x y 1 a) y  x , y x  b) , Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x y x   x  x x   x  x  0    x 2 Diện tích hình phẳng cần tìm  x3 x  2  S  x  ( x  2) dx   x  x  dx    x     1 1 1 2   b) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  x e  ln x 1 ln x 1     x 1 ln x   e  e e S ln x  1dx   ln x  1dx Diện tích hình phẳng cần tìm Trang 4/37 e e y  ln x y 1 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Ta có e e  ln x  1dx   ln x  1dx   ln x  1dx   ln x  1 x e e 1 e e e  dx   ln x  1 x  dx 2  e 1 e e S e   e Vậy Bài trang 123 – SGK Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  ; tiếp tuyến đường điểm M  2;5  trục Oy Lời giải Ta có y x   y 2 x  y  4 M  2;5  Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x  điểm y 4  x    hay y 4 x  2 S x   x  3dx  x  x  dx Diện tích hình phẳng cần tìm 0  x3    x  x    0 II Bài tập trắc nghiệm Câu 1: [Mức độ 1] Cho hàm số đồ thị hàm số y  f  x y  f  x A a b B  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x a; x b trục Ox tính cơng thức: b S f  x dx xác định, liên tục a S  f  x  dx a S f  x dx C Lời giải b a D S  f  x  dx b Chọn B b Theo công thức (SGK bản) ta có: Câu 2: [Mức độ 2] Cho hàm số đường Trang 5/37 f  x S  f  x  dx a liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  y 0 x  , ; x 2 (như hình vẽ bên) PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Mệnh đề đúng? S  A f  x dx  f  x dx 1 1 C S  B 1 f  x dx  f  x dx 1 S  f  x dx  f  x dx D Lời giải S  f  x dx  f  x dx 1 Chọn C Ta có Câu 3: S  f  x dx  f  x dx 1 [Mức độ 2] Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  x ; y 3 x  tính theo cơng thức A C S  x  x   dx B S   x  x   dx 2 S  x  3x   dx D Lời giải S   x  3x   dx Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  x y 3 x   x 1 x 3x   x  3x  0    x 2 x   1; 2 Mặt khác, x  3x  0 , nên diện tích hình phẳng cần tìm 2 S x  x  2dx   x  3x   dx Câu 4: [Mức độ 1] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức nào? Trang 6/37 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 A  x  3x  dx C  x  x   dx  B   x  x  dx 3   x   dx   x   dx   x D  x   dx Lời giải Chọn B Ta có Câu 5: 2    x     x  x    dx   x  3x  dx 0 [Mức độ 1] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x 3 là: 243 A (đvdt) 244 B (đvdt) 242 C (đvdt) Lời giải D (đvdt) Chọn B 3 x5 S  x dx  x dx  1 1 Diện tích hình phẳng cần tìm Câu 6: [Mức độ 1] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng x 1 x 2 A ln2 B ln  35   1 244    5 1 f ( x)  C ln  Lời giải Chọn D x 0  x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 2 x x  1 S  dx   dx       x  ln x  1  ln x x x 1 1 Suy Trang 7/37 x x , trục hoành, hai D  ln PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Câu 7: [Mức độ 2] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x  x, y 0, x 0 x 2 tính cơng thức: 2  x  x  dx A C B  x  x  x dx   x  x dx  x dx   x  x dx 1  x D Lời giải:  x  dx Chọn B  x 1  S   x  x  dx   x  x  dx x  x 0    x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm Câu 8: [Mức độ 2] Cho đồ thị hàm số y  f  x đoạn   2; 2 hình vẽ bên có diện tích 22 76 I f  x  dx S1 S  , S3  15 15 Tính tích phân -2 A I 32 15 B I 8 18 I C Lời giải: D I  32 15 Chọn A Ta có Câu 9: I f  x dx S3  S1  S  -2 76 22 32   15 15 15 [Mức độ 2] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức nào? Trang 8/37 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 A  x  x  x  dx 2 B  x  x  x  dx  2   x  x  x  dx 2  x  x  dx  x  x 0 C D  Lời giải  x  x  dx   x  x  x  dx Chọn B Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên  x 2  x     x  x  dx  x  x  x dx  x  x  x  dx  3 2 2 Câu 10: [Mức độ 3] Cho hình thang cong H  x  x  x  dx x giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x ln  H  thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k Đường thẳng x k chia S 2 S2 để k  ln A k ln B k ln C Lời giải: D k ln Chọn D k x Ta có Trang 9/37 S1 e dx e x k ln ln k x e  S  e dx e k x 4  ek k PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN - NĂM 2021-2022 Ta có S1 2 S2  e k  2   e k   k ln Facebook GV2 soạn bài: Phạm Nguyệt Minh: Phần III, IV III TÍNH THỂ TÍCH Thể tích vật thể Khái niệm: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox điểm a b; S  x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục  a x b  Giả sử S  x  hàm số liên tục đoạn  a; b  Ox điểm x , Người ta chứng minh thể tích vật thể V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng b (P) (Q) tính cơng thức: V S  x  dx a Thể tích khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:  H  giới hạn đường Ví dụ 1: Cho hình phẳng Khối trịn xoay tạo thành quay y  f  x , y  x  , trục hoành đường thẳng x 4  H  quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm x  0  x 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 4 V     x  dx   Ví dụ 2: Cho hình phẳng   x2  7    x x  x   x  x  dx  1   H  giới hạn đường y  x , x 0 , x 1 trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay sinh hình  H  quay quanh trục Ox Trang 10/37